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1、江西财经大学信息管理学院制作人：杨寿渊1/46目录1.1 勒贝格积分的基本思想1.2 测度的概念1.3 外测度1.4 勒贝格测度1.5 波雷尔集的可测性1.6 可测集的结构第1页/共47页第一页，编辑于星期三：八点 五十二分。江西财经大学信息管理学院制作人：杨寿渊2/461.1 勒贝格积分的基本思想1.1.1 黎曼积分的基本思想0121,iinaxxxxxxb1,iiixxx1,iiixx10, ,( ),niiiS ffx1| |0( )lim, , max.biiiaf x dxS fxx 其中第2页/共47页第二页，编辑于星期三：八点 五十二分。江西财经大学信息管理学院制作人：杨寿渊3/

2、46(Lebesgue1.1.)2 勒贝格积分的基本思想01min( )max( ),a x bna x bf xyyyf x 1,iiiyyy1 , :( ),iiiExa byf xy()iiEE集合 的“长度”10,(),niiiS fyE 1 , | |0( )( )lim, max.iiia bLf x dxS fyy 其中4E第3页/共47页第三页，编辑于星期三：八点 五十二分。江西财经大学信息管理学院制作人：杨寿渊4/46黎曼积分和勒贝格积分本质上是求和汇两种不同的总方式。假设你有一堆乱七八糟的零钱需要汇总： 1 2 2 1 5 5 2 5 1 2 2 1 5Riemann: 1

3、+2+2+1+5+5+2+5+1+2+2+1+5=34Lebesgue: 1X4+2X5+5X4=34要定义勒贝格积分就涉及到一个关键问集题合：如的“何定义一个长度”？这就需要引出一个重要的概念：测度第4页/共47页第四页，编辑于星期三：八点 五十二分。江西财经大学信息管理学院制作人：杨寿渊5/46所谓，本质上是长度、面积、体积等概念的推广，即给一个集族中的每一个集合赋予一个唯一确定的实数，用以度量这个集合的“长度”、“面积”或测度“体积”。( , ).:Ha babH设表示实数集上所有开区间所构成的集族，则我们我们可以在 上定义一例1 个测度：:0, ( , )( , ),Ha ba bba

4、 ,()+ = 这里我们需要约定：有限数有限数有限数，上面定义的测度本质上就是区间的长度。1.2 测度的概念第5页/共47页第五页，编辑于星期三：八点 五十二分。江西财经大学信息管理学院制作人：杨寿渊6/46, ; ,1, ; , , ) , ).:,a b c da b c dQa bc dHQab cdH例2 设表示坐标平面上的矩形区域，则我们我们可以在 上定义一个测度：1, ; , ; ,:0, ()() (),a b c da b c dA HQA Qbadc上面定义的测度本质上就是矩形区域的面积。理想的测度应该继承长度、面积体积所具有的好的性质，这些性质包括：( )0,AAH (1)

5、非负性：；()=0空集的测度为零：(2)；第6页/共47页第六页，编辑于星期三：八点 五十二分。江西财经大学信息管理学院制作人：杨寿渊7/461211,() nnnnA AHAA(3)如果 两两不交，则完全可加性：HH当然，要使得性质(3)成立，对集族 也是有要求的，例如集族对集合的并、交、补运算必须封闭，为此我们先引进几个概念。1.1 设 是一个集合， 是由 的某些子集所构成的集族，如果 满足下：定义列条件FF(1) ；F121,nnnA AAA(2) 如果 ，则 ；FF第7页/共47页第七页，编辑于星期三：八点 五十二分。江西财经大学信息管理学院制作人：杨寿渊8/46cAAA (3) 如果

6、 ，则 .FF.则称 是 上的一个 或 ，并称 ,- 代数- 是一 域个()间。可测空FF. 设 1,2,3,4,5,6 ，则下列集族构成 上的 -例3 代数：1 的所有子集F2 ，F312 3 4 5 6 ， ， ， ，F第8页/共47页第八页，编辑于星期三：八点 五十二分。江西财经大学信息管理学院制作人：杨寿渊9/46412, 1,22 3 4 5 6, 1,3,4,5,6, 3,4,5,6 ， ， ， , ，F(1,2,3,4)ii因此 , 都是可测空间。F1.2-( ). 设 是一个集合， 是由 的某些子集所构成的集族(不一定是代数)，定义由 生成如果 是的代数包含 的最小代数，则称

7、是，记作EFEEFFE1. E设 ， 是由下列左闭右开区间所构：例4成的集族R R1 , ):Ea bab 1-E则称由 所生成的 代数为实数集波雷尔(Borel上的)代数。第9页/共47页第九页，编辑于星期三：八点 五十二分。江西财经大学信息管理学院制作人：杨寿渊10/46-可以证明，由下列集族所生成的是波雷代数都尔代数：2( , :Ea bab 3( , ):Ea bab 4 , :Ea bab 5 ,):Eaa 6(, :Ebb 第10页/共47页第十页，编辑于星期三：八点 五十二分。江西财经大学信息管理学院制作人：杨寿渊11/467( ,):Eaa 8(, ):Ebb 有了可测空间的概

8、念就可以严格地定义测度的概念了。 , - .3 :0. ,设是一个可测空间，称定义在代数 上映射为 上的测度，如果它满足下定义 1列两个条件：FFF()=0空集的测度为零：(1)；第11页/共47页第十一页，编辑于星期三：八点 五十二分。江西财经大学信息管理学院制作人：杨寿渊12/461211,() nnnnA AAA(2)如果 两两不交，则完全可加性：F F121,(4) ;(5) (),1,2,)-(nniC CCCi 有限测度此外如果还存在 的子集使得：=则称 是 上的；如果，则称 是上的有限测度。第12页/共47页第十二页，编辑于星期三：八点 五十二分。江西财经大学信息管理学院制作人：

9、杨寿渊13/461, . 设 1,2,3,4,5,6 ，的所有子集 则我们可以按如下方式定义概例5一个：率测度F1123456,6PPPPPP一旦上述集合的概率值确定，则 中其他集合的概率值也随之确定。例如由完全可加性可得F11,2,31232PPPP不难发现按这种方式定义的概率测度与古典型概率完全一致。第13页/共47页第十三页，编辑于星期三：八点 五十二分。江西财经大学信息管理学院制作人：杨寿渊14/46我们也可以定义1116, 2536340PPPPPP，一旦上述集合的概率值确定，则 中其他集合的概率值也随之确定。例如由完全可加性可得F51,5,61566PPPP不难发现按这种方式定义的

10、概率测度与古典型概率不同。第14页/共47页第十四页，编辑于星期三：八点 五十二分。江西财经大学信息管理学院制作人：杨寿渊15/46 ( , )., Ba bb a 设 ， 是实数集 上的波雷尔代数，定义然后利用测度定义的条件(1),(2)将它延拓到整个波雷尔代数 上去，就得到了一个测度，称为实数集上的。雷例6波 尔测度R RR RR RBB -波雷尔测度不是有限测注：度，但是 有限测度。( , , )通常我们称三元组为一个。测度空间F F第15页/共47页第十五页，编辑于星期三：八点 五十二分。江西财经大学信息管理学院制作人：杨寿渊16/46( , , )通常我们称三元组为一个。测度空间F

11、F. 测度还具有如定理11下性质：( )( )( );ABB ABA集合的差的测度：(1)设，则1111112()( )( )(),()()() ( 1)()nnkkijijkki j ni j k nknnA BABA BAAAAAAAAAA ( 容斥原理：2) 11=lim (),nnnnnnnAAAAA如果 满足 ，则 测度的连续(性：3)F F第16页/共47页第十六页，编辑于星期三：八点 五十二分。江西财经大学信息管理学院制作人：杨寿渊17/46 111( )=lim ().nnnnnnnAAAEAA如果 满足 ，且，则 F F性质(3)第一个等式的证明：11,2,nnnAAAn设

12、满证明：足 ，令F F11221332-1,nnnBABAABAABAA 11nnnnnABB则 ，且两两互斥，因此111nnnnnnABB第17页/共47页第十七页，编辑于星期三：八点 五十二分。江西财经大学信息管理学院制作人：杨寿渊18/46111nnnnnnABB112()nnnAAA112()nnnAAAlim().nnAlim()nnA 上面的等式包含 注：的情形。到目前为止，我们只是给出了测度的比较正式的定义，但是并未回答如何去构造一个“好”的测度，使得它能够继承长度、面积、体积的直观性质。第18页/共47页第十八页，编辑于星期三：八点 五十二分。江西财经大学信息管理学院制作人：杨

13、寿渊19/461.3 外测度为了构造一个“好”的测度，使得它能够继承长度、面积、体积的直观性质，我们外测度需要引进的概念。 2 :240,. . 设是一个集合， 是其幂集，称映射为 上的外测度，如果它满足下列三定义 1个条件：()=0(1) ；( )( )BCBC单调非(2) 若，则降性：；11 .iiniiBBB(3) 对于 的任何一列子集皆次可加性：有第19页/共47页第十九页，编辑于星期三：八点 五十二分。江西财经大学信息管理学院制作人：杨寿渊20/46. 设 ，下面我们来定义实数集 上的度。例7一个外测R RR R).( , ) ( );iIa bIb a 分两步走： 对于实数集上的任

14、意开区间，定义 1211( ) inf( ): , ,.).nnnnEII IEiiEI是开区间，且 对于实数集的一般子集 ，定义下面我们将证明 满足外测度定义的条件。第20页/共47页第二十页，编辑于星期三：八点 五十二分。江西财经大学信息管理学院制作人：杨寿渊21/46 首先 满足外测度定义中的(1),(2)两条，这点可以证明：直接验证。下面我们验证 满足外测度定义中的条件(3)。 ,0:1,2,nnknEIk对于实数集 的任，存在一列开区间意一列子集，由 的定义使，意的得对任R Rd dN11,()() 2,nnnknknkkEIIE,nnknnkEI由于，因此()()2(),nnnkn

15、nnknnnEIEE(3)由 的任意性， 得证。第21页/共47页第二十一页，编辑于星期三：八点 五十二分。江西财经大学信息管理学院制作人：杨寿渊22/46中定义的外测度 称 勒贝格为例7外测度。(.( , ),a bb aa bb a 的勒贝格外测度，试证，其中皆为有限实数例8 ，且设 是实数集 上R Rs s 11,( , ,a ba ba bnnn对任意的自然数 皆：有证明于是由外测度的单调非降性得11,( , ,a ba ba bnn11 ( , ,baa bbann即第22页/共47页第二十二页，编辑于星期三：八点 五十二分。江西财经大学信息管理学院制作人：杨寿渊23/46 ( ,

16、.na bb a 由自然数 的任意性，得独点集的勒贝格外测度是多少？有理数集的勒贝格外测度思考题：是多少？第23页/共47页第二十三页，编辑于星期三：八点 五十二分。江西财经大学信息管理学院制作人：杨寿渊24/461.4 勒贝格测度在上一节中我们定义了外测度的概念，它具有许多很好的性质，特别地，实数集 上的勒贝格外测度 继承了线段长度的直观性。R Rs s但是外测度一般不具有可加性这一重要性质，因此还不符合测度的严格定义，本节我们将由勒贝格外测度出发，引出一种测度勒贝格测度。 ( )()(), . .5 cEEAEAEAA设 是实数集上的外测度， 是的任一子集，称 是，如勒贝格可测果集定义1第

17、24页/共47页第二十四页，编辑于星期三：八点 五十二分。江西财经大学信息管理学院制作人：杨寿渊25/46AcAAEcAE 体勒贝格可测集所构成的集实数集上的全族记作.M M -.2是一。定个1数理代M M- - -(1),(3)(2)很容易验证满足代数定义中的条件，下面我们集中精力验证 满足条件 ，即对可列并运算封证闭。明：M M - -M M , A BA B首先若，则。M MM M()()()()()cccABEABEABEBABEBABE第25页/共47页第二十五页，编辑于星期三：八点 五十二分。江西财经大学信息管理学院制作人：杨寿渊26/46cccBEABEBEAcBEBE( ),E

18、AB因此，M M由归纳法，对于有限并运算也是封闭的。M M121,knkB BBB现设 ，往证。MMMM第26页/共47页第二十六页，编辑于星期三：八点 五十二分。江西财经大学信息管理学院制作人：杨寿渊27/46112213312,ABAB BABBB令12311,:.iiiiA AAAAB则 两两不交，且 12,A A 对于两个不相交的可测集 ，有M M12121121cEAAEAAAEAAA12,EAEA nE因此对于任意自然数 及 的任意子集 皆有 11( )cnniiiiEEAEA第27页/共47页第二十七页，编辑于星期三：八点 五十二分。江西财经大学信息管理学院制作人：杨寿渊28/4

19、611cnniiiiEAEA1,nciiEAEAn令 即得1( )ciiEEAEA1ciiEAEA,cEAEA第28页/共47页第二十八页，编辑于星期三：八点 五十二分。江西财经大学信息管理学院制作人：杨寿渊29/4611iiiiBAA 因此 ，即 对可列并运算封闭。M MM M 11- ().kkkkkAAA设 是实数集 上的勒贝格外测度， 是 上所有勒贝格可测集所构成的 代数，则对于任意两两不交的可定理1.3测集列 皆有R RM MR RM M 11nnkkkkCACA记证明： =, =，则()()()cnnnnnCCACA1()()nnAC第29页/共47页第二十九页，编辑于星期三：八点

20、 五十二分。江西财经大学信息管理学院制作人：杨寿渊30/4611()()( ),nnAAA1()().nnkkCA即 ( )()()cnnCC CC C1()()()()nccnnknkCC CAC C1(), ,nkkAn N N11( ) lim()(),nkknkkCAA至于反向不等式，可由外测度的定义直接得到。第30页/共47页第三十页，编辑于星期三：八点 五十二分。江西财经大学信息管理学院制作人：杨寿渊31/46( )( ),.mm AAA 勒贝格测度联合定理2与定理3，我们证明了( , , )是一个测度空间，通常称 是实数集 上的，以 记之，即 R R M MR RM M接下来我们

21、给出几个勒贝格可测集的例子。 00.0.9xm x勒贝格例独点集是可测集，且 00011 ,xxxnn 0 x证明独点集的外测先：首度为零。 事实上，第31页/共47页第三十一页，编辑于星期三：八点 五十二分。江西财经大学信息管理学院制作人：杨寿渊32/46000112( ),xxxnnn由外测度的单调非降性，得0 ( )=0.nx令 即可得0ExE其次，对于任意实数集 ，若 ，则00 ()( )( );cExExEE 0 xE若 ，则0000 ( )( )cExExxEx0 ( ),ExE第32页/共47页第三十二页，编辑于星期三：八点 五十二分。江西财经大学信息管理学院制作人：杨寿渊33/

22、46至于反向不等式，由外测度的次可加性，是显然的。综上所述，我们便证明了独点集的可测性，而且其测度为零。 ( , ).Ia bm Ib a 开区间是勒贝格可测集，且例10 ( , )Jc dIJ设是任一开区间。若与 不相交，证明：则显然有( )()(); (*) cJJIJIIJ若与 相交，则必有下列四种情形之一：(1).;cadb(2).;cabd(3).;acbd(4).acdb(*)无论那种情况， 都是成立的。第33页/共47页第三十三页，编辑于星期三：八点 五十二分。江西财经大学信息管理学院制作人：杨寿渊34/460:1,2,nEEJn现设是任一实数集，由勒贝格外测度的定义，对任意，必

23、存在 的开区间覆盖使得,|( ),nnnnEJJE( )|cnnnnnEJJIJI 于是cnnnnJIJIcnnnnJIJI第34页/共47页第三十四页，编辑于星期三：八点 五十二分。江西财经大学信息管理学院制作人：杨寿渊35/46cE IE I0( ),cEE IE I由的任意性，得 ( , )( )( ).Ia bm IIb a 至于反向不等式，由外测度的次可加性，是显然的。综上所述，我们便证明了开区间的可测性，而且. 有限闭区间是否为勒贝格可测集？它的测度练习1是多少？Borel 是否所有集都是(即属于Borel代数思考中的集合)勒：贝格可测集？B B121,.nnnA AAA 设是一练

24、习2列可测集，试问是否可测？第35页/共47页第三十五页，编辑于星期三：八点 五十二分。江西财经大学信息管理学院制作人：杨寿渊36/46思考：Cantor三分集是：三分集是：先考虑区间0，1，然后按如下的步骤操作： 1.以0，1的中点为中点挖去一个长为1/3的开区间（1/3，2/3），剩余部分记作F1; 2.分别以0，1/3、2/3，1的中点为中点挖去两个长为1/9的开区间（1/9，2/9）、（7/9，8/9）,剩余部分记作F2; 3.仿上继续挖去四个长为1/27的开区间（1/27，2/27）、（7/27，8/27）、（19/27，20/27）、（25/27、26/27）剩余部分记作F3;所有

25、这些集合的交集便是Cantor 三分集，即1iiCFCantor 三分集是不是三分集是不是Lebesgue可测集？其测度是多少？可测集？其测度是多少？第36页/共47页第三十六页，编辑于星期三：八点 五十二分。江西财经大学信息管理学院制作人：杨寿渊37/46Cantor三分集三分集第37页/共47页第三十七页，编辑于星期三：八点 五十二分。江西财经大学信息管理学院制作人：杨寿渊38/461.5 波雷尔集的可测性.- 在12节的例4中我们介绍了波雷尔(Borel)代数 ，它是由下列开区间族所生成的 代数：B B3( , ):Ea bab 为了方便起见，以后我们把 中的元素称为。波雷尔集B B现在

26、的问题是波雷尔集到底包含些什么样的集合？例如我们所熟悉的开集、闭集是否包含于其中？00000 (, )(6,)(, ). GxGB x rxr xrB x rG开定义我们称为，如果对任意的皆存在邻域使得；开集的补集1集称为闭集。第38页/共47页第三十八页，编辑于星期三：八点 五十二分。江西财经大学信息管理学院制作人：杨寿渊39/46开集和闭集都是定理1.4 波雷尔集。我们只需证明开集是证明：波雷尔集。 , (1,1).kkkIIkk首先 是波雷尔集，事实上其中 Z ZR RR R ( ,)inf |,ccccy GGGGx GxGd x Gx y其次，对于任意的开集，不是空集，对于任意，定义

27、 到 的距离为 = =( ,)cd x G根据开集的定义，总是一个大于零的有限数。第39页/共47页第三十九页，编辑于星期三：八点 五十二分。江西财经大学信息管理学院制作人：杨寿渊40/46 1(,), ( ,),2GGGcqqqqQGGQq QBq r q rrd q G现以 表示 中的所有有理数所构成的集合，则是一个可数集。对于每一个，作一个邻域 ( , )( ,) cqqcBGx Bd q xd q GxGG则。事实上，对任意的 皆有 ，因此 必不属于 ，从而属于 。Gqq QGB接下来我们将证明，从而完成定理的证明。Gqqq QBGBG首先由于每一个 皆包含于 ，因此必有；第40页/共

28、47页第四十页，编辑于星期三：八点 五十二分。江西财经大学信息管理学院制作人：杨寿渊41/461( , ) |( ,)6cGx Gqd x qx qd x Gq Q 其次，由于有理数在实数集中是稠密的，因此对于任意的，总可以找到有理数 使得（从而），( , ) | | | |15 ( ,)( ,)( ,),66ccccy Gd y qy qy x x qy xx qd x Gd x Gd x G 对任意的 皆有5( ,)inf ( , )( ,),6cccy Gd q Gd y qd x G因此 15( ,)( ,)( , ),212ccqrd q Gd x Gd x q从而 ,qx B.GGqqq Qq Qx GGBGB由的任意性得，再结合前面的结果即可得到第41页/共47页第四十一页，编辑于星期三：八点 五十二分。江西财经大学信息管理学院制作人：杨寿渊42/46GF当然，波雷尔集不限于开集开集和闭集，例如，它还包括可数个开集的交()，可数个闭集型集型的并集()，-根据定理1.3，所有勒贝格可测集构成一个 代数，因此可测集的补集、可数个可测集的并集都是可测集，由此我们得到下列定理：所有波雷尔集都是勒贝定理格1.5 可测集。第42页/共47页