第8章 弯曲变形(土木类)

1、81 概述概述82 梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程84 按叠加原理求梁的按叠加原理求梁的挠度与转角挠度与转角85 梁的刚度校核梁的刚度校核 第八章第八章 弯曲变形弯曲变形 86 简单超静定简单超静定梁的求解方法梁的求解方法83 积分法求弯曲变形积分法求弯曲变形87 如何提高梁的承载能力如何提高梁的承载能力8 8 概概 述述研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。研究目的：对梁作刚度校核； 解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用用y表示表示( (单单位位mmmm）。与）。与 y同向为正，反之为负。同向为正，反之为负。2.转角：横截面

2、绕其中性轴转动的角度。用用 表示（单位表示（单位radrad）。）。由变形前的横截面由变形前的横截面转到变形后，顺时针为正，转到变形后，顺时针为正，逆时针为负。逆时针为负。 二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。 其方程为：其方程为： y =f (x)三、转角与挠曲线的关系：三、转角与挠曲线的关系：一、度量梁变形的两个基本位移量一、度量梁变形的两个基本位移量PxyC C1y (1) )( y ddytgxfx小变形小变形一、曲率与弯矩的关系：一、曲率与弯矩的关系：EIMr1二、曲率与挠曲线的关系（数学表达式二、曲率与挠曲

3、线的关系（数学表达式) )232)(1)(1yyx ryx )(1r（2）三、挠曲线与弯矩的关系三、挠曲线与弯矩的关系： 联立（1）、（2）两式得yx EIM)()(xyM EI（1）zEIxMx)()(1r, 12）（y 8-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分M00)( xy挠曲线近似微分方程的近似性挠曲线近似微分方程的近似性忽略了忽略了“Q”以及以及 对变形的影对变形的影响响 2)(y使用条件：使用条件：弹性范围内工作的细长梁。M xy)(xMy EI结论：挠曲线近似微分方程结论：挠曲线近似微分方程xyxy)(22xMdxydEI)(-)(xMxyEI (C1

4、、C2为积分常数)8-3 8-3 积分法求弯曲变形积分法求弯曲变形步骤步骤：（EI为常量）1 1、根据荷载分段列出弯矩方程、根据荷载分段列出弯矩方程 M M（x x）。）。2 2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分3 3、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。4 4、确定挠曲线方程和转角方程、确定挠曲线方程和转角方程 。5 5、计算任意截面的挠度、转角；挠度的最大值、转角的最大值。、计算任意截面的挠度、转角；挠度的最大值、转角的最大值。1d)(-)(CxxMxyEIEI）（2

5、1dd)(-)(yCxCxxxMxEIyEI ）（PABCPD考察（集中力、集中力偶作用处，截面变化处）0Ay0By0Dy0 D 右右左左CC 连续条件：连续条件：右右左左CCyy 边界条件：边界条件：（1 1）、固定支座处：挠度等于零、转角等于零。）、固定支座处：挠度等于零、转角等于零。（2 2）、固定铰支座处；可动铰支座处：挠度等于零。）、固定铰支座处；可动铰支座处：挠度等于零。（3 3）、在弯矩方程分段处：）、在弯矩方程分段处： 一般情况下左、右的两个截面挠度相等、转角相等。一般情况下左、右的两个截面挠度相等、转角相等。讨论：讨论： 适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。适

6、用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。 积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条 件）确定。件）确定。 可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。 优点：使用范围广，直接求出较精确；优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：计算较繁。缺点：计算较繁。例例1 1 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。建立坐标系并写出弯矩方程)(-)(xLPxM写出微分方程的积分并积分应用位移边界条件求积分常数)()(xLPxMyEI 12)(21CxLPyEI213)

7、(61CxCxLPEIy061)0(23CPLEIy021)0()0(12CPLfEIEI322161 ; 21PLCPLC解：PLxy写出弹性曲线方程并画出曲线3233)(6)(LxLxLEIPxfEIPLLf3)(y3maxEIPLL2)(2max最大挠度及最大转角xyPL322)(xLxEIPx解：建立坐标系并写出弯矩方程)( 0)0( )xa (-)(LxaaxPxM写出微分方程的积分并积分112)(21DCxaPyEI21213)(61DxDCxCxaPEIy )( 0)0( )(LxaaxxaPyEIxyPLa例例1 1 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。应用位移边

8、界条件求积分常数061)0(23CPaEIy021)0(12CPaEI32221161 ; 21PaDCPaDC)()(ayay)()(aa11DC 2121DaDCaCPLaxy写出弹性曲线方程并画出曲线)(a 36)0( 3)(6)(32323Lx axaEIPax axaxaEIPxfaLEIPaLf36)(y2maxEIPaa2)(2max最大挠度及最大转角PLaxf)(a Pa21Pa21)0( Pa21)(322Lxax x11)(xLPbxMPC解：解：a)建立坐标系并写出弯矩方程建立坐标系并写出弯矩方程b)写出写出微分方程并积分微分方程并积分例例2 求图示梁的跨中的挠度和转角

9、（EI=常数）左侧段（0 x1a）：右侧段（ax2L）：1xABab2xlba)()(222axFxLPbxMlFblFa222323222222222226)(62)(2)(DxCaxPxLPbEIyCaxPxLPbyEIaxPxLPbyEI 11131112111162DxCxLPbEIyCxLPbyEIxLPbyEI （0 x1a）（ax2L）e) 跨中点跨中点挠度及两端端截面的转角挠度及两端端截面的转角d) 确定挠曲线和转角方程确定挠曲线和转角方程c) 应用位移边界条件和连续条件应用位移边界条件和连续条件求积分常数求积分常数x = 0 , y = 0 ; x = L , y = 0 .

10、 x1 = x2 = a ，y1 = y2 ；y 1 = y20);(6212221DDbLLPbCC2122112122113)(66xbLLEIPbyxbLLEIPbxy)(31)(2)()(62222222222232322bLxaxbLLEIPbyxbLxaxbLLEIPby2222424);43(4822bLLEIPbybLEIPbyLLxxLEIaLPabLEIbLPabBA6)(;6)(两端支座处的转角两端支座处的转角讨论：讨论：1、此梁的最大挠度和最大转角。、此梁的最大挠度和最大转角。 LEIbLPabxyA6)(00max111max1 左左侧侧段：段： 右右 侧侧 段：段：

11、LEIaLPabLxyB6)(0max222max2 LEIaLPabB6)(max3221max1221max)(393)2(301blLEIPbyyaxbaabLxyyxx最大挠度一定在左侧段最大挠度一定在左侧段FC1xABab2xlFblFa当当 ab 时时当当 ab 时时最大挠度发生在最大挠度发生在AC段段 2、a=b 时时此梁的最大挠度和最大转角。此梁的最大挠度和最大转角。EIPLyyEIPLLxCBA48;163max2max2FCABabqLABxC解：解：a) 建立坐标系并写出弯矩方程b)写出微分方程并积分c)应用位移边界条件求积分常数d)确定挠曲线和转角方程e)最大挠度及最大

12、转角ql/2ql/2)(222)(22xlxqqxxqlxM21431322)126(2)32(2)(2CxCxlxqEIyCxlxqyEIxlxqyEI x=0 , y=0 ; x=L , y=0 . )46(24)2(24323323xlxlEIqyxlxlEIqxy0,24231CqlCEIqlEIqlyBALx2438453max42max例例3：求分布载荷简支的最大挠度 和最大转角 ( EI = 常数 ）8-4 8-4 叠加法求弯曲变形叠加法求弯曲变形一、载荷叠加：一、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形 等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。)()()(),(22

13、1121nnnPPPPPP )()()(),(221121nnnPfPfPfPPPf 二、结构形式叠加（逐段刚化法）：二、结构形式叠加（逐段刚化法）：前提：小变形，线弹性使梁的挠度、转角均与载荷成线形关系。P154表8-1例例4 4 按叠加原理求A点转角和C点 挠度。解、载荷分解如图由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形。EIPafPC63EIPaPA42EIqLfqC2454EIqaqA33qqPP=+AAABBB CaaEIPafPC63EIPaPA42EIqLfqC2454EIqaqA33qqPP=+AAABBB Caa叠加qAPAA)43(122qaPEIaEIPaEIqafC6

14、24534例例6 结构形式叠加（逐段刚化法) 原理说明。=+PL1L2ABCBCPL2f1f2等价等价xfxy21ffffPL1L2ABC刚化刚化AC段段PL1L2ABC刚化刚化BC段段PL1L2ABCMxy8-5 8-5 提高梁弯曲刚度的措施提高梁弯曲刚度的措施 yymax max一、梁的刚度条件一、梁的刚度条件其中y称为许用挠度；称为许用转角；f/L称为许用挠跨比。由具体工作条件定,可查手册.通常依此条件进行如下三种刚度计算：、校核刚度：、设计截面尺寸；、设计载荷。(但：对于一般工程结构，强度常处于主要地位。特殊构件例外） LyymaxLPL=400mmP2=2kNACa=0.1m200m

15、mDP1=1kNB例例7 下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，杆的E=210GPa，工程规定C点的f=0.00001,B点的=0.001弧度,试核此杆的刚度。=+=P1=1kNABDCP2BCDAP2=2kNBCDAP2BCaP2BCDAMP2BCa=+图图1 1图图2 2图图3 3EIaLPafBC162111EILPB16211EILaPEIMLB3323EILaPafBC32233解：结构变换，查表求简单 载荷变形。02BEIaPfC3322PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxyP2BCa=+图

16、图1 1图图2 2图图3 3PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxyEILaPEIaPEIaLPfC3316223221EILaPEILPB316221叠加求复杂载荷下的变形48124444m10188 10)4080(6414. 3 )(64dDIm1019. 533166223221EILaPEIaPEIaLPfC)(10423. 0)320016400(18802104 . 03164221弧度EILaPEILPB 001.010423.04maxm10m1019.556maxff校核刚度8-6 简单超静定简单超静定梁的

17、求解方法梁的求解方法1、处理方法：变形协调方程、物理方程与平衡方程相结合，求全部未知力。解：建立静定基 确定超静定次数，用反力代替多余约束所得到的结构静定基。=EIq0LABLq0MABAq0LRBABxy几何方程变形协调方程0BBRBqBfff+q0LRBAB=RBABq0AB物理方程变形与力的关系补充方程EILRfEIqLfBBRBqB3;83403834EILREIqLB83qLRB求解其它问题（反力、应力、 变形等）几何方程 变形协调方程：解：建立静定基BCBRBqBLfffB=例例8 结构如图，求B点反力。LBCEAxyq0LRBABCq0LRBABEI=RBAB+q0AB=LBCE

18、Axyq0LRBABCRBAB+q0AB物理方程变形与力的关系补充方程求解其它问题（反力、应力、 变形等）EILRfEIqLfBBRBqB3; 834EALREILREIqLBCBB3834)3(834EILALIqLRBCBEALRLBCBBC8-7 8-7 如何提高梁的承载能力如何提高梁的承载能力强度：正应力：剪应力： maxzWM zzbIQS* zEIXMf)( 刚度：稳定性：都与内力和截面性质有关。一、选择梁的合理截面一、选择梁的合理截面矩形木梁的合理高宽比矩形木梁的合理高宽比北宋李诫于1100年著营造法式 一书中指出:矩形木梁的合理高宽比 ( h/b = ) 1.5英(T.Youn

19、g)于1807年著自然哲学与机械技术讲义 一书中指出:矩形木梁的合理高宽比 为刚度最大。时强度最大时, 3 ;, 2bhbhRbh一般的合理截面AQ3433. 1mmax 3231DWz13221.18 6)(6zzWRbhWmmax5 . 1)2/( ;,41221 DRaaD时当1 1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面zDzaa 1.0512 132zzIbhImmax2143375. 2 )0.8-(132zzWDW1222167. 1,4)8 . 0(4 DDDDD时当1121212,24 DaaD时当1312467. 1 646zzW

20、abhWmmax5 . 1zD0.8Da12a1z 59. 4)8 . 01 (64 1443zzIDI 2.0912812z14134Iabh Iz 55.9 15zzII)(= 3 . 2mmaxfAQ工字形截面与框形截面类似。1557. 4zzWW1222222105. 1,6 . 18 . 024 DaaaD时当0.8a2a21.6a22a2z2 2、根据材料特性选择截面形状、根据材料特性选择截面形状 Gz如铸铁类材料，常用T字形类的截面，如下图：二、采用变截面梁二、采用变截面梁最好是等强度梁，即)()()(maxxWxMx若为等强度矩形截面，则高为)(6)(bxMxh同时)(5 . 1maxxbhQ5 . 1)(bQxhPx