等比数列的概念及通项公式

1、等比数列的概念及通项公式第一页，课件共17页学习目标学习目标1.等比数列概念的理解与掌握；2.等比数列的通项公式的推导及应用第二页，课件共17页引例：v 如下图是某种细胞分裂的模型：如下图是某种细胞分裂的模型：细胞分裂个数可以组成下面的数列：细胞分裂个数可以组成下面的数列：124816第三页，课件共17页庄子庄子曰：曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭一尺之棰，日取其半，万世不竭.”意思：意思：“一尺长的木棒，一尺长的木棒，每日取其一半，永远也每日取其一半，永远也取不完取不完” 。11111 24816， 如果将如果将“一尺之棰一尺之棰”视为单位视为单位“1”，则每日剩下的部分依次为：则每日剩下

2、的部分依次为：引例：第四页，课件共17页引例：v计算机病毒传播时，假设每一轮每一台计算机病毒传播时，假设每一轮每一台计算机都感染计算机都感染20台计算机，则台计算机，则这种病毒每这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是：一轮感染的计算机数构成的数列是：1， 20， 202，203，第五页，课件共17页.1618141211，,.32,16, 8 , 4 , 2 , 1,.20,20,20,20,20, 15432共同共同特点特点: 从第二项起，从第二项起，每每一项与一项与其其前一项的比是前一项的比是同一同一个常数个常数对于数列，从第2项起，每一项与前一项的比都等于_;对于数列 ，从第2项起，每

3、一项与前一项的比都等于_;对于数列 ，从第2项起，每一项与前一项的比都等于_;22120第六页，课件共17页一、等比数列的定义一、等比数列的定义： v一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列等比数列，这个，这个常数就叫做等比数列的公比常数就叫做等比数列的公比,公比通常用字母公比通常用字母q表示表示（q0）.想一想：为什么要求q0？第七页，课件共17页判定下列数列是否是等比数列？如果是请指出公比。判定下列数列是否是等比数列？如果是请指出公比。(1) 3，6，12，2

4、4，48，；是是,q=2(2)2，2，2，2，；是是, q=1(3) 3，-3，3，-3，3，；是是, q=-1(4) 1，2，4，6，3，4，；不是不是 (5) 5, 0, 5, 0, .不是不是等比数列中不等比数列中不能存在为能存在为0的的项。项。第八页，课件共17页范例讲解范例讲解例例1：已知数列：已知数列 的通项公式为的通项公式为 试问这试问这个数列是等比数列吗？个数列是等比数列吗？ na1132232nnnnaa解：因为当解：因为当 时，时，所以数列所以数列 是等比数列，且公比为是等比数列，且公比为2. nanna23 2n第九页，课件共17页 累乘法累乘法qaa12qaa23qaa

5、3411nnqaaqaann1共共n 1 项项）等等比比数数列列v方法方法：叠加法：叠加法daa12daa23daa34dnaan) 1(1daann1+）等等差差数数列列类比类比思考：如何用思考：如何用a1和和q表示第表示第n项项an？二、等比数列的通项公式：二、等比数列的通项公式： 11nnqaa第十页，课件共17页二、等比数列的通项公式：二、等比数列的通项公式： v法法二二：不完全归纳法：不完全归纳法qaaqaa1212212323qaqaaqaa313434qaqaaqaa由此归纳等比数列的通项公式可得：由此归纳等比数列的通项公式可得： 11nnqaa等等比比数数列列等等差差数数列列d

6、aa12daa213daa314由此归纳等差数列由此归纳等差数列的通项公式可得：的通项公式可得： dnaan)1(1类比类比时上面等式也成立均不为零，当与其中11nqa第十一页，课件共17页(2)1(2)1，3 3，9 9，2727，8181，243243，( (3 3) 5) 5，5 5，5 5，5 5，5 5，5 5，( (4 4) 1) 1，-1-1，1 1，-1-1，1 1，(1)(1)2 2，4 4，8 8，1616，3232，6464，.思考：思考：你能写出下列等比数列的通项公式吗？你能写出下列等比数列的通项公式吗？ (6)1.2，-2.4，4.8，-9.6，.1)2(2 . 1n

7、na (5)0.5,0.25,0.125,0.0625，.nnna5 . 05 . 05 . 011) 1(nna11nnqaannna222111331nnna5151nna第十二页，课件共17页三.等比中项 观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成为观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成为一个等比数列：一个等比数列：（1）1，( ) , 9 （2）-1，( ) ，-4（3）-12，( )，-3 （4）1，( )，13261 在在a与与b中间插入一个数中间插入一个数G，使，使a，G，b成等比数列，那么成等比数列，那么G叫做叫做a与与b的的等比中项。等比中项。abGa

8、bG2即第十三页，课件共17页解解 ：用：用an 表示题中公比为表示题中公比为q的等比数列，由已知条件，有的等比数列，由已知条件，有,18,1243aa18123121qaqa即解得解得 因此因此，答：这个数列的第答：这个数列的第1项与第项与第2项项分别是分别是. 8316与11nnqaa82331612qaa316a123q 例例1. 一个等比数列的第项和第项分别是和一个等比数列的第项和第项分别是和，求它的第项和第项，求它的第项和第项思考与讨论：对于思考与讨论：对于本例本例中中的数列，你是否发现的数列，你是否发现 与与 相等相等你能说出其中的道理吗？你能说出其中的道理吗？你能由此推导出你能由

9、此推导出一个一般性的结论吗？一个一般性的结论吗？41aa32aa11nnqaa第十四页，课件共17页例例2、已知等比数列、已知等比数列an中，中，a5=20,a15=5,求求a20.解：由解：由a5=a1q4, a15=a1q144120551510aaq215 q25252152051520aqaa或范例讲解范例讲解11nnqaa第十五页，课件共17页随堂随堂练习练习v（1） 一个等比数列的第一个等比数列的第9项是项是 ，公比，公比是是 ，求它的第，求它的第1项；项；v（2）一个等比数列的第）一个等比数列的第2项是项是10，第，第3项是项是20，求它的第，求它的第1项与第项与第4项。项。9431第十六页，课件共17页小结小结v1