教育学夜大高数D专升本无穷级数

1、123 4 123, nuuuu nuuuu321则式子则式子称为称为, 简称简称,设给定一个数列设给定一个数列121nnnuuuu 即即1,nnu 记记作作 (即有没有和数即有没有和数)其中其中 称为级数的称为级数的(或或).1?nnu 存存在在不不存存在在或或, 或或.5一数列中有限项相加总是有和数的一数列中有限项相加总是有和数的,无限项相加是否有和数无限项相加是否有和数?可能有可能有, 也可能没有也可能没有.如何研究它如何研究它?通过有限项之和去认识和研究无限项之和通过有限项之和去认识和研究无限项之和.121nnnuuuu nS级数前级数前n项之和项之和:nnuuuS 21组成的数列称为

2、级数的组成的数列称为级数的.6 nkku1,11uS ,321nnuuuuS 部分和数列部分和数列Sn：nnuuuS 21显然显然, ,212uuS ,3213uuuS ,11Su 其其中中,122SSu ,1 nnnSSu1.nnnuS 的的部部分分和和数数列列就就是是.1 nnnuS来研究级数来研究级数现通过研究部分和数列现通过研究部分和数列1,nnnuS 则则给给定定级级数数就就唯唯一一确确定定一一个个部部分分和和数数列列1,nnnSu 反反之之 给给定定一一个个数数列列也也唯唯一一确确定定一一个个级级数数1.nnnuS 与与一一一一对对应应7 发散的级数没有和发散的级数没有和.1,nn

3、u 设设级级数数1,nnu 则则称称收收敛敛,nS对对应应的的部部分分和和数数列列lim,nnSS 若若存存在在 极限值极限值 S 称为级数的和称为级数的和.12nuuu ：lim,nnS若若不不存存在在1,nnu 则则称称发发散散1nnu ( )( ) S8,nSS 是是和和的的近近似似值值1( ),nnuC 时时nSS ,nnSS 且且因因为为时时, |nnrSS产生的误差为产生的误差为近似代替近似代替用用其差值其差值 rn =称为级数的称为级数的.0nr所所以以12nnuu 9qqan 1)1(讨论讨论 () 的敛散性的敛散性： 1nnSaaqaq L Lqa 11 q1 q 1211n

4、nnaqaaqaqaq LLLL(0,)aq 为为公公比比1,q 时时 1121,(1),1,1,1.nnnnaqnaqqSaaaqnaq 设设有有等等比比数数列列公公比比为为则则前前项项之之和和当当时时当当时时1,lim0.nnqqq 当当常常数数满满足足时时则则有有10 111nnnaaq1,q 时时 1111)1(nnnnaaq1,q 时时lim.nnS 不不存存在在anSn 11( ),1,(),1.nnCqaqDq )( n1( 1)naaa aaa .1qaS 1111ln 1.nn 判判别别级级数数的的敛敛散散性性1ln 1nunln)1ln(nn ln2ln1nS )1ln(

5、n原级数原级数 (D) )( n3ln4ln )1(lnln nnnnln)1ln( ln3ln212 11.(1)(2)nnn 判判别别级级数数的的敛敛散散性性 11,12nunn1123nS1111112nnnn2121 n 原级数原级数 (C)(21 n11341111.2334(1)(2)2nn且且13 1,nnus 若若 1nnuk则则k 是常数是常数,sk 1.nnku 证证:11,nnnnnnukuS 设设级级数数的的部部分分和和分分别别为为nnkukuku 21 则则)(21nuuuk ,nSk 1,nnus 因因为为,limsSnn 所所以以,limsknn 所以所以1. n

6、nkuks 则则证毕证毕1411.nnnnuku与与有有相相同同的的敛敛散散性性0,k 当当时时 1,nnus 若若 1nnuk则则k 是常数是常数,sk 1.nnku 15 1,nnus 1,nnv 1)(nnnvu则则设有两个收敛级数设有两个收敛级数 s , )(1Cunn 若若, )(1Dvnn . )()(1Dvunnn 则则.11 nnnnvu16由性质由性质2：11()nnnnnnvuvu 矛盾矛盾！ . )()(1Dvunnn 1() ( ),nnnuvC 若若(C) + (C) = (C)17, )(1Dunn 若若1(),nnvD .)(1的的敛敛散散性性不不一一定定则则 n

7、nnvu如如:)(111D )()1()1()1(D )()11()11()11(C 但但18 在级数前加上或去掉或改变有限项在级数前加上或去掉或改变有限项, 不影响不影响级数的敛散性级数的敛散性, 但收敛时其和会改变但收敛时其和会改变.2323888,999(C), 889.81719S 且且例例:,19898 q2323888,999a 232388,998.17Sa且且.1536498178 S且且(C)(C)19 收敛级数对其项任意加括号后所组成收敛级数对其项任意加括号后所组成的级数仍然收敛的级数仍然收敛, 且其和不变且其和不变.Suuuunnn 211设设 部分和为部分和为 Sn ,

8、 )()(54321uuuuu,m 部部分分和和为为,21S ,mnS 显显然然数数列列是是数数列列的的一一个个子子列列按某一规律加括号后的级数按某一规律加括号后的级数:,kmS ,52S ,limSSnn 因为因为,limSmm 所以所以证毕证毕该性质可理解为收敛的级数满足加法结合律该性质可理解为收敛的级数满足加法结合律.20 发散级数加括号后所成级数不一定发散发散级数加括号后所成级数不一定发散.注注1. 例例: 111111 (D)(11)(11)(11) 而而(C)加括号后所成的级数发散加括号后所成的级数发散,3. 则原级数也发散则原级数也发散. 甚至甚至, 对一个发散的级数对一个发散的

9、级数, 若按不同的方式加括号若按不同的方式加括号, 所得的级数可能收敛于不同的和所得的级数可能收敛于不同的和.0. 收敛于收敛于1( 11)( 11)( 11) 1.收收敛敛于于发散的级数不满足加法结合律发散的级数不满足加法结合律.收敛于收敛于 0, )11()11(加括号后所得的级数加括号后所得的级数 1111 (D) 添加了括号后所得的级数收敛并不能保证原来的级添加了括号后所得的级数收敛并不能保证原来的级2.例例:数收敛数收敛.而原来的级数而原来的级数21)(1Dunn 1( ),nnuC 若若lim0.nnu 则则 ,1Sunn 设设1 nnnSSu且且1limlimnnnnSS 1li

10、mlim()nnnnnuSS 0 SSlim0nnu )(1Cunn . 1lim0nnu .2lim,nnSS 则则11ln 1, ()nDn 22111:1.nnn 例例 判判别别的的敛敛散散性性 级数发散级数发散.1limlim 1nnnnun0 e例例2:11111123nnn 证明调和级数证明调和级数发散发散.(反证反证)11( ),nCn 设设)( nSSn则则此时此时)(2 nSSn; )(02 nSSSSnn 232111122nnSSnnn 但但111222nnnn 项项矛盾矛盾!. )(11Dnn 212 nn0; )(02 nSSSSnn24 习题习题 7 1 (第第17

11、3页页)4(1, 2, 3)2515(1)(0);nnaa 级数为等比级数级数为等比级数,公比为公比为,1aq aq1 所以当所以当a1 , 1 ,1时时即即 a级数收敛级数收敛;1qa 当当a1 1, 01,a即即时时级数发散级数发散.264. 判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性:13 (1)(2);3nnn 等比级数等比级数的公比为的公比为1,3q 则由性质则由性质1知原级数收敛知原级数收敛.133nn 1(1)3nnn 11,3q 由由知知13; 3nn 收收敛敛等比级数等比级数的公比为的公比为1,3q 11,3q 由由1(1); 3nnn 知知也也收收敛敛13(1);33nnnn

12、 274. 判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性:1(3);101nnn 则由级数收敛的必要条件知原级数发散则由级数收敛的必要条件知原级数发散.101110lim nnn因为因为, 0 281,0,nnnuu 若若中中1.nnu 则则称称为为正正项项级级数数29 收敛数列必有界收敛数列必有界,.nS有有界界)(1Cunn )()0(1Cuunnn .nS部部分分和和数数列列有有界界lim,nnSS ,nS又又有有界界11,nnnSSu 10,nu 而而,nS单单增增lim,nnSS 则则 1nnu(C)1,nnSS 30, ,nS对对正正项项级级数数若若部部分分和和数数列列无无界界如如:

13、11,1nSn 11,(1)nn n 有界有界)(C11ln 1,nn ln(1),nSn无界无界)(D则其必发散则其必发散.01,nS31)0(1 nnnuu)0(1 nnnvv nv若若), 2 , 1( nvunn且且 nu则则设有两个正项级数设有两个正项级数(C),(C).(1)(2)nu 若若(D), nv则则(D).则则32 (1)1,nnnuS 设设的的部部分分和和为为1,nnnvT 的的部部分分和和为为1,nnv 若若正正项项级级数数收收敛敛,M则则存存在在正正数数使得使得0,nTMnnuuuS 210所以所以nvvv 21nT ,M 1,nnu 即即正正项项级级数数的的部部分

14、分和和有有界界.1收敛收敛所以所以 nnu(2):利利用用反反证证法法1,nnv 若若正正项项级级数数收收敛敛可知可知则由则由)1(;1收敛收敛 nnu1,nnu 与与条条件件发发散散矛矛盾盾.1发散发散所以所以 nnv33 )0( kkvuvunnnn改为改为若若结论同样成立结论同样成立; 甚至上式只要在某个自然数后开始成立甚至上式只要在某个自然数后开始成立即可即可.34 11npnp级数级数证明证明1,p 当当时时收收敛敛1.p 当当时时 发发散散1,p 时时11(), ()nDn 调调和和级级数数1,p 时时11 pnn 11(),nDn 且且11().pnDn 35pxy1 1,p 时

15、时1,pyx 作作pppnnS131211 npxdx11111111ppn Mp 111 ,nS即即有有界界11( )pnCn nppx1111 11npn证毕证毕xy01 2 3n36 因为要与已知敛散的级数的一般项进行比较因为要与已知敛散的级数的一般项进行比较,等比级数等比级数 11nnaq P - 级数级数 11npn所以必须掌握一些已知敛散的级数所以必须掌握一些已知敛散的级数. 常用常用:)1(11 pnn调和级数调和级数(D)1|)( qC1|)( qD1)( pC1)( pD 37 例例1. 判别下列正项级数的敛散性判别下列正项级数的敛散性:(1)211(1)nn n 311nn

16、 2311(1)n nnn 由由13 p211( )(1)nCn n ,13n )(C38(2)2111nnn 211nn 111nn211().1nnDn n13121 2)1(1nn n 112211nnn )(D22111nnnnn 或或n1 39(3)13( 1)3nnn 3( 1)3nn 11,3q 13( 1)( )3nnnC 43n 143nn 而而)(C3( 1)3nn 3( 1)33nnn )()()(CCC 利用利用40lim0,且且nnnulv 11.nnnnuv则则与与有有相相同同的的敛敛散散性性 设正项级数设正项级数,1 nnu,1 nnv)0,( nnvu41 例例

17、2：判别前例中级数判别前例中级数(1),(2)的敛散性的敛散性：)1(1lim2 nnn311( ),nCn 原级数收敛原级数收敛.211(1)(1)nn n 31n, 1 42211limnnn 11(),nDn 原级数发散原级数发散.211(2)1nnn 2(1)lim1nn nn n1, 1 4311(1)ln 1nn 1ln 1limnn 例例3: 判别级数的敛散性判别级数的敛散性:n1, )(11Dnn 原级数发散原级数发散.1limln 1nnn 1limln 1nnn , 1 4411(2)2 (21)nnn 12 (21)limnnn 原级数收敛原级数收敛.21n, )(112

18、Cnn ,41 lim42nnn 45311(3)1nn 311limnn 原级数收敛原级数收敛.321n3121( ),nCn 1, 33lim1nnn 46设正项级数设正项级数1(0),nnnu u 1lim,nnnuu 若若则当则当,1 1( )nnuC 1()nnuD ),(1 或或 1nnu, 1 敛散性不定敛散性不定471(1)2nnn nnuu1 原级数收敛原级数收敛.例例1: 判别下列正项级数的敛散性判别下列正项级数的敛散性:121 nnnn2 nn21 21 n, 1 4811(2)(1)!nn 原级数收敛原级数收敛.!nnnuu1 n1 , 10 n=! )1( n49(3

19、) nnn!3! 32! 21321)1(! )1( nnn1nnn . )(C原级数原级数nnuu1 (1)nnnn !nnn en1 ,1 由此题结论还可得由此题结论还可得:!lim0.nnnn 5051 习题习题 7 2 (第第177页页)1(4, 5), 2(1)52 各项正负交错的级数称为各项正负交错的级数称为. nnuuuuu14321)1(如如: nnuuuuu)1(4321或或其中其中), 2 , 1(0 iui 11)1(nnnu 1)1(nnnu53若交错级数若交错级数 11)1(nnnu满足条件满足条件:), 2 , 1()11 nuunn则此级数则此级数, 1.Su 且

20、且其其和和0lim)2 nnu54111 nun(1) 111)1(nnnnun1 ),(01 nnun又又( ),原原级级数数且且和和CS 41312111 . . 55(2)1(1) sinnnn 11sinsin nnunnu 0sinlim nn 又又,().由由莱莱布布尼尼兹兹定定理理得得原原级级数数C)1( n56nu nnnuuuu211 任意项级数的敛散情况有下列三种任意项级数的敛散情况有下列三种: 对任意项级数对任意项级数, 一般有无穷多正项一般有无穷多正项,无穷多负项无穷多负项,但其各项的绝对值但其各项的绝对值组成了正项级数组成了正项级数:1. 绝对收敛绝对收敛;2. 条件

21、收敛条件收敛;3. 发散发散.57定义定义:1,nnu 若若收收敛敛1nnu 则则称称条条件件收收敛敛1,nnu 若若发发散散1nnu 则则称称绝绝对对收收敛敛1,nnu 而而收收敛敛1,nnu 对对任任意意项项级级数数而而言言5811,nnnnuu设设任任意意项项级级数数若若级级数数收收敛敛则则原原级级数数也也收收敛敛。绝对收敛的级数必收敛。绝对收敛的级数必收敛。59,nu 由由收收敛敛0 nv则则,nnuv 且且,nv 即即为为正正项项级级数数( ),nuC 2( ),nvC , )2( nnnuvu对对)2(性性质质得得级级数数也也收收敛敛收收敛敛级级数数逐逐项项相相加加减减所所收敛。收

22、敛。 nu,则则由由比比较较法法, )(Cvn ,2nnnuvu 又又), 2 , 1(),(21 nuuvnnn作作60.例例:,)1(11收敛收敛 nnn发散。发散。但但 11nn61 1)1()1(nnn11( 1)nnnnun ,)()1(1Cnnn 但由莱布尼茨定理知但由莱布尼茨定理知11,()nDn 1).()1( nnCCn则则 判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性, 若收敛则说明是若收敛则说明是绝对收敛还是条件收敛绝对收敛还是条件收敛:62(2)0(4sin1 nnn,4sin1 nnn 考察考察nn4sin )(411Cnn , )(4sin1Cnnn ).(CA原级数原

23、级数n41 63(3) 11212)1(nnnn 11212)1(nnnn考察考察用比值法用比值法 nnnuu1lim)12(232lim nnn, )(2121Cnnn . ).(CA原级数原级数1232lim nnn,121 1212nnn122 nn64(4) 11)1()1(nnnn 11)1(nnnnnu对对nn 1，而而)(11211Dnn 112111 nnunnnnu而由而由nn 11121 n, 011lim nnn且且，原级数原级数)(C).(CC且为且为 发散；发散；所以所以 1nnu65 为什么要讨论级数的绝对收敛与条件收敛为什么要讨论级数的绝对收敛与条件收敛? 绝对收

24、敛级数可以任意交换项的位置而不绝对收敛级数可以任意交换项的位置而不因为有很多性质是绝对收敛级数所具备的因为有很多性质是绝对收敛级数所具备的,而条件收敛的级数不具备而条件收敛的级数不具备. 如如:改变它的收敛性及和数改变它的收敛性及和数.注注: 条件收敛的级数不具有这一性质条件收敛的级数不具有这一性质.如如: 4131211条件收敛条件收敛, 其和记为其和记为 S可以证明重新排序后的级数可以证明重新排序后的级数 611119141715121311S23收敛于收敛于66 4131211条件收敛条件收敛, 其和记为其和记为 S 证明重新排序后的级数证明重新排序后的级数 61111914171512

25、1311S23收敛于收敛于1,:2将将原原级级数数的的每每一一项项乘乘以以并并改改写写成成 810610410210它收敛于它收敛于S21再将它与原级数逐项相加再将它与原级数逐项相加, 得重新排序后的级数得重新排序后的级数 611119141715121311S23显然收敛于显然收敛于67 黎曼于黎曼于1854年证明了年证明了: 可以把任何一个可以把任何一个条件收敛的级数的项适当重排条件收敛的级数的项适当重排, 使新级数收使新级数收敛于任何事先指定的数敛于任何事先指定的数; 也可以使重排后的也可以使重排后的级数发散于正无穷大或负无穷大级数发散于正无穷大或负无穷大.68 习题习题 7 3(第第1

26、81页页)1(2, 4, 6, 9)691. 用比较判别法或其极限形式判别下列正项级数的敛用比较判别法或其极限形式判别下列正项级数的敛散性散性:11(4);1nn n 11 1n nn n 因因为为则由正项级数的比较判别法知原级数收敛则由正项级数的比较判别法知原级数收敛.321n 31213 ,2nppn 而而是是的的 级级数数31,2p 由由知知其其收收敛敛701(5)sin;4nn sin4 limnn 因因为为则由正项级数的比较判别法极限形式知原级数收敛则由正项级数的比较判别法极限形式知原级数收敛.1, 11 ,44nn 而而是是公公比比为为的的等等比比级级数数4n 11,4 由由知知其

27、其收收敛敛1. 用比较判别法或其极限形式判别下列正项级数的敛用比较判别法或其极限形式判别下列正项级数的敛散性散性:7113(1);2nnnn 1 limnnnuu 因因为为则由正项级数的比值判别法知原级数发散则由正项级数的比值判别法知原级数发散.3,2nnnun 113(1)2lim32nnnnnnn 1132lim(1)23nnnnnnn 3lim2(1)nnn 23 , 1 2. 用比值判别法或其极限形式判别下列正项级数的敛用比值判别法或其极限形式判别下列正项级数的敛散性散性:7273上上为为定定义义在在区区间间设设Inxun), 2 , 1()( ,:的的函函数数列列则则表表达达式式 )

28、()()(21xuxuxun简称简称 (函数项函数项) .称为定义在区间称为定义在区间 I 上的上的, 1)(nnxu740,xI 显显然然 对对于于确确定定的的点点01(),;nnux 对对而而言言它它可可能能收收敛敛也也可可能能发发散散01() ( ),nnuxC 若若.01(),nnux 则则为为常常数数项项级级数数01() (),nnuxD 若若.01( ),nnxux 则则称称为为的的收收敛敛点点01( ),nnxux 则则称称为为的的发发散散点点 75 对于对于 I 中的每一点中的每一点, 不是收敛点就是发散不是收敛点就是发散点点. 对收敛域内任一点对收敛域内任一点 x, 函数项级

29、数退化为函数项级数退化为一收敛的常数项级数一收敛的常数项级数, 所以有一确定的和所以有一确定的和 S,显然显然 S 与与 x 有关有关, 由由 x 惟一确定惟一确定.记为记为 ,1( ).nnux 的的收收敛敛域域称为函数项级数的称为函数项级数的,其定义域就是其定义域就是76同样同样,),()(1xSnxunnn项部分和为项部分和为的前的前记记 则在收敛域内有则在收敛域内有)()(limxSxSnn ( )( )( )nnr xS xS x 其其余余项项, 在在收收敛敛域域内内 有有0)(lim xrnn121( )( )( )( )( )nnniiSxu xuxuxu x 7721: 1 n

30、xxx例例判判别别函函数数项项级级数数, .的的敛敛散散性性并并求求其其收收敛敛域域与与和和函函数数(,), 级级数数的的定定义义域域1 x1 x所以所以 的收敛域为的收敛域为 (1, 1). 0nnx.且且为为等等比比级级数数x 11由前面的讨论可知由前面的讨论可知当当时时, 这级数收敛于和这级数收敛于和当当时时,这级数发散这级数发散发散域为发散域为), 1 1,( 和函数为和函数为x 11注意注意: 和函数的定义域小于级数的定义域和函数的定义域小于级数的定义域.781. 判断下列级数是否收敛判断下列级数是否收敛. 如果是收敛级数如果是收敛级数, 指出是绝对收敛指出是绝对收敛? 还是条件收敛

31、还是条件收敛?1( 1)(2);2nnnn 11( 1)1 ,22nnnnnnn 因因为为nu nnnuu1lim而而12lim(1) 2nnnnn lim2(1)nnn 12 , 1 11 ,2nnn 所所以以收收敛敛则原级数绝对收敛则原级数绝对收敛.7912(4)( 1);3nnn 1122( 1),33nnnnn因因为为122,33nn 而而是是公公比比为为的的等等比比级级数数,132知其收敛知其收敛由由 则原级数绝对收敛则原级数绝对收敛.1. 判断下列级数是否收敛判断下列级数是否收敛. 如果是收敛级数如果是收敛级数, 指出是绝对收敛指出是绝对收敛? 还是条件收敛还是条件收敛?8031c

32、os(6);nnn 3311coscos=,nnnnnn 因因为为33cos1,nnn 而而311,nn 由由收收敛敛)3(级数级数的的 pp31cos,nnn 得得收收敛敛则原级数绝对收敛则原级数绝对收敛.1. 判断下列级数是否收敛判断下列级数是否收敛. 如果是收敛级数如果是收敛级数, 指出是绝对收敛指出是绝对收敛? 还是条件收敛还是条件收敛?8111(9)( 1);21nnnn ,2112lim nnn因为因为1 lim( 1)0,21nnnn 所所以以则原级数发散则原级数发散.1. 判断下列级数是否收敛判断下列级数是否收敛. 如果是收敛级数如果是收敛级数, 指出是绝对收敛指出是绝对收敛?

33、 还是条件收敛还是条件收敛?82 ( (20120nnnnna xaa xa xa x 20010200()()()nnnaxxaaxxaxx 或或)(0 nnxxa 的级数称为的级数称为.其中常数其中常数 称为幂级数的系数称为幂级数的系数,210aaa0.x 是是常常数数形如形如, ),( 00 ()xxx或或显然显然, 幂级数的定义域为幂级数的定义域为显然是幂级数的收敛点显然是幂级数的收敛点.83 幂级数是函数项级数中最常见最简单的一种幂级数是函数项级数中最常见最简单的一种, 0nnna x 设设有有00(1)(0)(*) ( )xxxC当当时时其收敛域如何其收敛域如何? 在收敛域内在收敛

34、域内, 和函数如何求和函数如何求? (*),0(*) ( . )xxxA C 则则适适合合的的一一切切都都使使0(2)(*) ()xxD 当当时时0(*) ().xxxD 则则适适合合的的一一切切都都使使那那么么84000(0),nnna xxx 若若在在处处收收敛敛00(,).xx 则则在在内内都都收收敛敛00,.xx 则则在在外外都都发发散散(1)00,nnna xx 若若在在处处发发散散ox发发 散散发发 散散收收 敛敛收敛收敛发散发散85, p p ,p p 且且到到原原点点的的距距离离是是相相同同的的,0 x均为均为00(,), xx 即即为为对对称称的的收收敛敛区区间间的的为为称称

35、 10nnnxax, 记为记为 .(2)在收敛域与发散域之间的分界点在收敛域与发散域之间的分界点上上, 幂级数可能收敛也可能发散幂级数可能收敛也可能发散,ox发发 散散发发 散散收收 敛敛pp 0 x0 x86,00一点收敛一点收敛不是只在不是只在若若 xxannn0,( . )nnnxRa xA C 当当时时0 ,()nnnxRa xD 当当时时0,nnnxRxRa x 当当与与时时可可能能收收敛敛.可可能能发发散散也不是在整个数轴上都收敛也不是在整个数轴上都收敛, 则必有一个完全确定则必有一个完全确定的正数的正数 R 存在存在, 使得使得：870,nnnRa x 为为的的收收敛敛半半径径的

36、的为为 0nnnxa),(RR ,处处的的收收敛敛情情况况后后当当讨讨论论了了点点RxRx ,RR , ,(RR , ),RR , ),(RR 的的可以决定出可以决定出 0nnnxa,00一点收敛一点收敛只在只在当当 xxannn: 0;收收敛敛域域为为,0都收敛都收敛对一切对一切当当xxannn , R则则则则 R = 0,为为).,(: 收敛域为收敛域为四种情况之一四种情况之一.88如果幂级数如果幂级数0nnna x 在在2 x处条件收敛处条件收敛,那么该幂级数的收敛半径为多少那么该幂级数的收敛半径为多少?2 R89(2)0, ?R如如何何求求收收敛敛半半径径且且设幂级数设幂级数)0(,0

37、 nnnnaxa1lim,nnnaa 1,nnaa 其其中中是是幂幂级级数数相相邻邻两两项项的的系系数数若若:(1)0, (3), 1 R则则 R则则0 R则则90求下列幂级数的收敛半径与收敛区间求下列幂级数的收敛半径与收敛区间. nnnxxx5)1(5352122由定理由定理 2：nnaa1 5,R51 n)2(51 nn15)2( nnnn5)1( . )5, 5( 收敛区间收敛区间 1.91 0!nnnx. 2nnaa1 R0 n11 n! )1( n!n. ),( 收敛区间收敛区间92. 3 0!nnxn0 R )(nnnaa1 !)!1(nn 1 n.0 处收敛处收敛所给幂级数只在所

38、给幂级数只在 x934. 1)1(nnxn1,xt令令nnaann11 1,nnnt 则则原原级级数数变变为为所以所以 R = 1,收敛区间为收敛区间为1| t1 n1|1| x即即: (0, 2).收收敛敛区区间间94 0nnnxa设幂级数设幂级数),(RR 0nnnxb幂级数幂级数) , (RR 1) 加减法加减法 000)(nnnnnnnnnnxbaxbxa),(MM ),min(RRM 95)(212111 vvuuvunnnn 121122111()(nnvuvuvuvuvu )1vun41312111vuvuvuvu42322212vuvuvuvu43332313vuvuvuvu4

39、4342414vuvuvuvu4321vvvv4321uuuu柯西乘积柯西乘积962) 乘法乘法 00nnnnnnxbxa 00110)(nnnnnxbababa xbababa)(011000 nnnnxbababa)(0110),(MM ),min(RRM (柯西乘积柯西乘积)97)()(0 nnnxaxS 0)(nnnxa11nnnna x 逐项求导后所得的幂级数和原级数有相同逐项求导后所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径的收敛半径, 但在端点处敛散性可能会改变但在端点处敛散性可能会改变. ; )( 0域内连续域内连续在其收敛在其收敛幂级数的和函数幂级数的和函数 nnnxaxS 1.性性

40、质质0 ( ) ; nnnS xa x 幂幂级级数数的的和和函函数数在在其其收收敛敛域域内内可可导导2. 性性质质:且有逐项求导公式且有逐项求导公式98 (反复用上述结论反复用上述结论, 可知可知 S(x) 在收敛域内有在收敛域内有任意阶导数任意阶导数)000( )()xxnnnS x dxa xdx 00 xnnna x dx 逐项积分后所得的幂级数和原级数有相同的逐项积分后所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径收敛半径, 但在端点处敛散性可能会改变但在端点处敛散性可能会改变.101nnnaxn 0 ( ) ; nnnS xa x 幂幂级级数数的的和和函函数数在在其其收收敛敛域域内内可可积积3

41、. 性性质质:且且有有逐逐项项积积分分公公式式99 用用或或的方法的方法, 可可求得一些级数在收敛区间内的求得一些级数在收敛区间内的.100 不必先求收敛区间不必先求收敛区间, 在求和函数的过程在求和函数的过程中中 3)(3xxxS设设(21),n 消消去去分分母母上上的的 6421)(xxxxS, 1 x 02)1(nnnx 753753xxxx可求得收敛区间可求得收敛区间. 01212)1(nnnnx先逐项求导先逐项求导:211x 101 )0()()(SxSxSxxxarctanarctan0 xnxnnnarctan12)1(012 . )1, 1(: X20211)1()(xxxSn

42、nn xxdxxdxxS02011)()1, 1( x102 nxnxx242)12(531 42531)(xxxS设设),12( n欲欲消消去去 xxxdxxdxS020)31()(200(21)xnnnx dx 1253nxxxx 02)12(nnxn 0012nxnx 012nnx先逐项积分先逐项积分:10321xx 1 x0( )( )xS xS x dx )1, 1(: X 1253nxxxx 012nnx xxxdxxdxS020)31 ()(21xx 22 21.(1)xx 104 习题习题 7 4 (第第186页页)1(1, 2, 5), 3(1, 2)1051. 求下列级数的

43、收敛域求下列级数的收敛域:23(1)22 42 4 62!nnxxxxn 210(2)( 1)21nnnxn 0(5)(5)nnxn 1063. 求下列级数的收敛区间及和函数求下列级数的收敛区间及和函数:11(1)3nnnnx 1( 1)(2)nnnxn 107108 （内具有内具有的某个邻域的某个邻域在点在点若若),()(00 xUxxf(1),n 直直到到阶阶导导数数次多项式与一个余项次多项式与一个余项的一个的一个可表示成可表示成nxx)(0 ( ):nRx 之之和和200000)(! 2)()(! 1)()()(xxxfxxxfxfxf )()(!)(00)(xRxxnxfnnn 0(,

44、 ),( )xU xf x 则则当当时时109200000)(! 2)()(! 1)()()(xxxfxxxfxfxf )()(!)(00)(xRxxnxfnnn 10)1()()!1()()( nnnxxnfxR 其中其中之间之间与与在在0 xx ,Taylor的的公公式式,( )nnTaylorRx到到阶阶的的公公式式其其中中称称为为 )(xf或称为或称为0 xx 在在处处展展开开按按上述公式称为上述公式称为)(xf的幂的幂0 xx 展开到展开到 n 阶阶拉格朗日拉格朗日型余项型余项.110 若若 在在 处有任意阶导数处有任意阶导数, 则称则称：)(xf0 xx 200000)(! 2)(

45、)()(xxxfxxxfxf nnxxnxf)(!)(00)(0( ).f xxTaylor为为在在处处的的级级数数1) 上述级数的收敛域是什么上述级数的收敛域是什么 ?2) 在收敛域上在收敛域上, 其和函数是否为其和函数是否为 f (x) ?3) 把把 f (x) 展开成幂级数是否就是上述形式展开成幂级数是否就是上述形式 ?或者说把或者说把 f (x) 展开成幂级数形式是否唯一展开成幂级数形式是否唯一 ?111级级数数的的充充要要在在该该邻邻域域内内能能展展开开成成则则Taylorxf)(:条条件件是是.)(0)(lim0 xUxxRnn 0, (),TaylorxU x 由由公公式式 当当

46、时时公式中的余项满足公式中的余项满足的的Taylorxf)(0( ), f xx设设在在的的某某一一邻邻域域内内具具有有各各阶阶导导数数112200000)(! 2)()()()(xxxfxxxfxfxf )()(!)(00)(xRxxnxfnnn 1( )( )( ).nnRxf xSx )()(xfTaylorxf级数收敛于级数收敛于的的)()(lim1xfxSnn 1lim( )lim ( )( )0.nnnnRxf xSx )(1xSn )(xRn .得得证证113 若若 f (x) 可以在可以在 x0 的某邻域内展开为幂级数的某邻域内展开为幂级数, 则这样的幂级数只能是泰勒级数则这样

47、的幂级数只能是泰勒级数.的幂级数的幂级数求得求得即当我们用不同的方法即当我们用不同的方法)(xf, . 展展开开式式时时其其结结果果是是一一样样的的114( )2(0)(0)(0)(0)2!nnffffxxxn ( )0. f xxTaylorMaclaurin 在在处处的的级级数数又又称称为为级级数数200000)(! 2)()()(xxxfxxxfxf nnxxnxf)(!)(00)(0( )f xxTaylor在在处处的的级级数数为为( )000()() .!nnnfxxxn ( )0(0).!nnnfxn 1151. 直直接接法法: 利利用用直直接接法法将将函函数数展展开开为为幂幂级级

48、数数的的步步骤骤 );1,2,( , )( )( 1.)( nxfxfn的各阶导数的各阶导数计算计算 0 , , x 如如果果在在处处某某阶阶导导数数不不存存在在 就就停停止止计计算算说说明明( )2. (0), (0) (1,2,) ; nffn 计计算算的的值值( )0(0)3. ( ) , !nnnff xxn 写写出出的的麦麦克克劳劳林林级级数数并并求求 ;R出出其其收收敛敛半半径径; 该该函函数数不不能能展展开开成成麦麦克克劳劳林林级级数数( )0( )0(0) ( ) ,!(0)( ).!nnnnnnff xxnff xxn 注注意意此此时时可可以以写写 但但不不能能写写 1164

49、. (, ) ( ) nxR RRx 考考察察当当时时余余项项的的极极限限( )0(0)( ),(,), !nnnff xxxR Rn (1)1( )lim( )lim(0)(1)!nnnnnfRxxxn 在在与与之之间间 .是否为零是否为零, 如如果果为为零零 则则有有 , .xR 再再讨讨论论时时级级数数的的敛敛散散性性 得得幂幂级级数数的的收收敛敛域域 , . 如如果果不不为为零零 则则函函数数不不能能展展开开成成麦麦克克劳劳林林级级数数117 例例: 将下列函数展开成将下列函数展开成 x 的幂级数的幂级数.xexf )()1(), 2 , 1 , 0()()( nexfxn ! 212

50、nxxxn), 2 , 1 , 0(1)0()( nfn于是得级数于是得级数易得收敛半径为易得收敛半径为 R 2! 2)0()0()0(xfxff nnxnf!)0()(1181)!1()( nnxnexR 01)!1(nnxnxe作作)!1(1 nxenx)0(之间之间与与在在x )!2(lim2 nxenxn)()!1(01Cnxennx 0)!1(|lim1| nxenxn0)(lim xRnnnnnuu1lim 由由1)!1( nxxen10 0)(lim xRnn| x 2lim nxn119 nxxnxxe!1! 2120!nnxn : (,).收收敛敛域域 120)2(xxfsi

51、n)( ( )( )sin, (1,2,)2nfxxnn , 1)0(, 0)0(, 1)0(, 0)0( ffff的麦克劳林级数为的麦克劳林级数为所以所以)(xf!7! 5! 3753xxxx , R且可得且可得: (,).收收敛敛域域 )!12()1(121nxnn 2! 2)0()0()0(xfxff nnxnf!)0()( 例例: 将下列函数展开成将下列函数展开成 x 的幂级数的幂级数.121?sin x是否收敛于是否收敛于)(xRn10( )(1)!nnxCn 0)!1(|lim1 nxnn0)(lim xRnn )!12()1(! 7! 5! 3)(121753nxxxxxxfnn

52、1sin(1)2(1)!nnxn 1,(1)!nxn 122 !7!5!3sin753xxxxx210( 1)(21)!nnnxn ),( !)12()1(121nxnn1211( 1)(21)!nnnxn )!2()1(! 4! 21cos242nxxxxnn),(123lim( )0nnRx ?124我们已掌握了以下函数的幂级数展开式我们已掌握了以下函数的幂级数展开式: ! 212nxxxenx),( )!12()1(! 5! 3sin1253nxxxxxnn),( )!2()1(! 4! 21cos242nxxxxnn),( 0!nnnx 012)!12()1(nnnnx 02)!2()1(nnnnx125 nnxxxx)1(1112)1 , 1( )1 , 1( x 11)1 , 1 )1ln(x )1 , 1( 2)1(1x )1ln(x 1 , 1( nxxx21 nxxxxn3232 12321nnxxx nxxxxnn 132)1(32 0)1(nnnx 11)1(nnnnx 0nnx 1nnnx 11nnnx12601.( )ln(2)0 f xxx例例求求在在处处的的幂幂级级数数展开式展开式. 11)1()1ln(nnnnxx1