案例2约化质量与竞赛中的两体问题

1、案例6-2约化质量与竞赛中的两体问题天台中学张新华一、教学设计思路采用“问题一讨论一引导一探究”体现合作的教学模式。学生的学习是师生之间、 生之间共同构建知识结构的过程。在教师的指导下，针对一定的问题情景，采用学生之间、 师生之间以讨论、答辨的方式进行教学。在交流中获取知识，在争鸣中生成智慧，在对话中深化理解，在比较中学会反思，在抗衡中内化动力，在碰撞中滋养品性。二、前期分析物理竞赛选修课的同学已经知道“玻尔模型理论”的有关知识。1913年，玻尔将卢瑟福的原子核式结构模型、描述氢原子光谱的里德伯方程及普朗克、爱因斯坦的量子化概念巧妙地联系起来，提出了开创性的三个假设：（1）定态假设：原子中的电

2、子绕核作圆周运动，并不向外辐射能量，其轨道半径只能 取一系列不连续值，对应的原子处于稳定的能量状态。（2） 跃迁假设：电子从一个定态轨道（设对应的原子定态能量为E初）跃迁到另一定态轨道（设定态能量为E终）上时，会辐射或吸收一定频率的光子，能量由这两种定态的能量差决定，即 h|E初-E终（3）角动量量子化假设：电子绕核运动，其轨道半径不是任意的，只有电子的轨道 角动量（轨道半径r和电子动量mv的乘积）满足下列条件的轨道才是允许的。hrn mvnn (n 1,2,3.)式中的正整数 n称为量子数。课题引入从2007年高考物理试题 （江苏卷）中有一个关于原子能级图及跃迁的问题出发， 用玻尔假说解释氢

3、原子（hydrogen muon atom ）的能级，计算得到的数据与题中给出的能级示意图出现了很大偏差，引发学生的认知冲突。通过讨论引导的方式得到约化质量的物理意义。考虑到两体效应，引入约化质量后学生探究，对计算结果进行修正，很好地解释了氢原子的各能级值。重点与难点：1 .教学重点两个质点在相互作用下的运动可约化为一个质点相对另一个质点的相对运动而仍用牛顿第 二定律求解，这时质点的质量需改用约化质量。2 .教学难点引入约化质量，破解物理竞赛中的两体问题。三、教学目标1. 知识与技能(1) 会用玻尔假说解释类氢原子能级。(2) 知道二体约化质量的物理意义。(3) 会用约化质量解决两体问题。2.

4、 过程与方法学会通过将二体问题转化为一体问题的简化方法。3情感态度与价值观体验物理学中“化繁为简”、“等效替代”的思想。四、教学过程1. 例题引路2007年高考物理试题(江苏卷)中有一个关于原子能级图及跃迁的问题，题目如下:子与氢原子核(质子)构成的原子称为氢原子(hydrogen muon atom )，它在原子核物图6-2 -1为氢原子的能级示意图假定光子能量为E的一束光照射容器中大量处于n=2能级的发出频率为1、2、3、4、则E等于()A h(31)531B.h(C h 3D.h 4理的研究中有重要作用这道考题很简单，正确选项应为氢原子，氢原子吸收光子后，5和6的光，且频率依次增大，6

5、)C。然而，在教学实践中，鵲13 2一- 432同班里有一位物理竞赛班的学生提出一个不太好回答的问题：氢原子的各能级值的理论解释？这与氢原子的能级值有联系-2S29 S图6-2-1氢原子能级图吗？”2. 创设问题情境(1)玻尔假说解释氢原子的能级设电子绕核运转轨道是圆轨道，电子圆周运动的向心力来源是原子核对电子的库仑作用力，2 2有k e m*rn2rnh根据玻尔理论中角动量量子化假设mwn 2n2 h2rn( n 123 )联立式，可得n 4 2kme2 v 1,2, .)电子的总能量EnEkE p-1 mvn2(k e2)22k2e4m(n 1,2,3.)2rnn2 h2对于氢原子而言，把

6、 k、e、m、h数据代入得当 n=1 ri 0.53 10 10 m, Ei 13.6eV时，Er其他圆轨道rn - n2 5 En =n=1,2,3n2 讨论 氢原子的能级子的质量为电子质量的207倍，其它性质与电子相同。由子和氢原子核（质子）将式中m替换为207m，可得：E113.6207eV2815.2eVE23.40207eV703.8eVE31.51207eV312.57eVE40.85207 eV175.95eVE50.54207eV111.78eV为什么计算得到的数据与构成的氢原子，玻尔模型理论同样适用。氢原子的能级示意图出现了如此大的偏差?3.指导学生“问题解决”活动学生活动：

7、通过交流讨论，找出数据偏差的原因在于我们略去氢原子核的运动。情感共鸣：原子核与电子之间的相互作用构成二体问题。如何将二体问题转化为一体问题若取原子核为参考系 ,核外电子的运动如何处理智慧共享：二体约化质量（1）引入质量分别为 mA和mB的质点 A和B，其间作用力和反作用力分别为Fa和Fb。无外力试求A相对于B的动力学方程。a = p-任取惯性系S, B相对于S系的加速度为b。建立随B平动的非惯性系S ,A在SBBmB系中的加速度 aA，即为A相对于B的加速度。有FaF mA aA ，将mAmAFi=mA (- aB) = -Fb=Fa代入，即得FaaA，mAmB（称为二体问题mBmBmAmB的

8、约化质量）。同样，也可导得B相对A的动力学方程为 FbmB mAaBmBmA(2)物理意义两个质点在相互作用下的运动可约化为一个质点相对另一个质点的相对运动而仍用牛mA mB顿第二定律求解，这时质点的质量需改用约化质量。mA mB(3)问题的解决由于 子质量较大，应考虑两体效应，引入约化质量m= .207mM H .207m + M h将M h = 1836m 代入式得186m问题的提出:巴耳末系中的H a线是指氢原子从n=3能级跃迁到n=2能级时发出的谱线，它现在将式中m替换为约化质量186m，可得:E113.6 186eV2529.6eVE23.40186eV632.4eVE31.51 1

9、86eV280.86eVE40.85 186eV158.1eVE50.54186eV100.44eV如此计算得到的数据与氢原子的能级示意图吻合的非常好。4.结论的理解和应用Da谱线的波长问题的解决：若不考虑原子核的运动，则氢原子H a谱线与氘原子的 Da谱线的波长相同，1 1均为I = R( -1。式中里德伯常量22324R -e。8 02 h3 c考虑原子核的运动，应以约化质量代替R表达式中的电子质量m。对于氢原子和氘的波长为656.280nm。氢的同位素氘也有类似的巴耳末系，实验测得其中的 为656.101 nm。试由此确定氢核与氘核的质量比。解题思路：如果不考虑原子核的运动，氢原子与氘原

10、子的能级结构相同， H a与Da谱线的 波长也应相同。 实验结果表明两个波长有微小的差别， 这说明必须考虑原子核的运动。 原子 核与电子之间的相互作用构成二体问题。H a谱线和Da谱线的波长分mM H原子，约化质量分别为mH=, mD = mM d 。于是，别为 Hd e411D2 3(22)8 0 h c 23将 M h 1836m, h656.280nm, d 656.101 nm代入得M d 3678mM-dM h3678m2.00321836m氘原子核的质量是氢原子核质量的2倍。值得指出的是，历史上正是通过H和D谱线波aa长的测量发现了氢的同位素-氘。五、形成性评价有一个质量为 210倍电子质量的子，它的带电荷量与电子一样。当它以速度8.0 X105 m/s飞过质子边上时，被质子俘获，形成氢原子。(1) 当这原子回到基态的跃迁中，会发出电磁辐射，试问其波长为多少？(答案:4.53 10 10 m )(2) 要使处于基态的这种原子能被激发到较高能态，至少要多短波长的光加以