积分在物理和几何中的应用111111111111111111111

1、积分在物理和几何中的应用目录 摘要2关键字21微积分介绍3 1.1微积分的基本内容32微分在几何问题中的应用5 2.1一元微分的几何应用5 2.2多元微分的几何应用73微积分在物理问题中的应用.8摘要：关键字：积分 大学应用 物理 几何1微积分介绍1.1微积分的基本内容一元微分定义：设有函数，若存在常数A，使得对于自变量的改变量，函数的改变量可以表示为：，则称在点处可微，并称为在点处的微分，记为或，即=或=.几何意义：表示曲线在点处的切线上的点的纵坐标相应于的增量。多元微分 多元微分又叫全微分，是由两个自变量的偏导数相对应的一元微分的增量表示的。定义：设有二元函数，若存在常数A,B使得对于自变

2、量和的改变量和，函数的改变量可以表示为则称函数在点可微，并称为在点处的全微分，记为或，即或.定积分定义：设函数在区间上有定义，用分点将区间分成n个小区间，小区间的长度为，记，在每个小区间上任取一点，作乘积和式成为积分和，当（即n无限增大）时积分和的极限如果存在，且此极限与的分法及的取法无关，则称函数在区间上是可积的，并称此极限为函数在区间上的定积分，记作。其中符号“”称为积分符号，称为被积函数，称为积分变量，区间称为积分区间，称为积分下线，称为积分上限。二重积分定义：设是定义在平面有界闭区域上的有界函数对区域的任意划分以及任意属于的点，作和式（其中表示的面积）。当时（为的直径），如果不论对怎样

3、划分，点怎样选取，上述和式都趋于同一常数，则称函数在区域上是可积的，并称该常数为函数在区域D上的二重积分，记作，即。 其中叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做面积元素，和叫做积分变量，叫做积分区域。三重积分定义：设是定义在空间有界闭区域上的有界函数。对区域的任意划分以及任意取法，作和式（其中表示的体积）。当（为的直径），如果不论对怎样划分，点怎样选取，上述和式都趋于同一常数，则称函数在区域上是可积的，并称该常数为函数在区域上的三重积分，记为，即。其中叫做被积函数，叫做体积元素,叫做积分变量，叫做积分区域。2微分在几何问题中的应用2.1一元微分的几何应用求平面曲线的切线 若函数在包含的区间上可导，

4、则曲线在点有切线，切线方程为。例1、写出过点而与曲线相切的直线的方程。解:将曲线方程写成函数形式。设所求直线与曲线相切于点,则直线斜率为。根据直线斜率意义可得 。 将和代入上式得到关于u的方程 。 整理后得二次方程，解得或， 即切点可能是或； 所以满足要求条件的切线有两条，用两点式直线方程写出 整理后分别为：和如图一图一求参数方程曲线的切线 设曲线由下列参数方程表示，函数和都在区间上可导，则对于任意，当时，对应的上的点处有切线，其方程为。这里。也就是说，是曲线在处切线的方向向量。例2、设曲线的参数方程为，求曲线上对应于的点处的切线方程.解：计算得 故曲线上对应于处的切线的方向向量为结合，可得点

5、处的切线方程为， 整理得2.2多元微分的几何应用空间曲线的切线与法平面设曲线的参数方程为，并假设参数方程中三个函数的导数均存在，且在的某一个确定值处，三个导数不同时为零。设取参数时，对应曲线上的点为则有直线的两点式得割线方程为。向量为割线的方向向量，向量同样是割线的方向向量，所以割线方程可表示为。 当时，点沿曲线趋于点,因为不同时为零，所以非零向量为曲线在点处的切线方向向量，切线的方程为。 向量又称为曲线在点处的切向量，显然向量s又是曲线上的点处的法平面的法向量，所以曲线在点处的法平面方程为。例3、求柱面螺旋线在处的切线方程与法平面方程。解：因为， 。 故当时，对应点为 所以在点处的切线方程为

6、 法平面方程为，或。例4、求曲线在点（1,1,1）处切线方程。解：对方程两边同时对自变量求导数并移项，得 的条件下，由克拉默法则，得 ， 所以，。 所以曲线在点（1,1,1）处的切向量为， 故曲线在点（1,1,1）处的切线方程为， 即。曲面的切平面与法线 设曲面的方程为，曲面上一点，设函数在点处具有连续的偏导数（即在点处连续），且不同时为零（不全为零）。设曲面上过点的任意一条曲线的参数方程为，设时，对应于曲面上的点，且存在但不完全为零。向量垂直于曲面上过点的任意曲线在该点处的切线。这就是说，过点M0的的所有曲面曲线在点处的切线都在过点且垂直于向量的平面上，所以平面为曲面在点处的切平面，向量即为

7、切平面的法向量。曲面在点处的切平面方程为。又因为曲面在点处的的法向量，所以曲面在点处的法线方程为。例5、设曲面 上点处有，求曲面在此点处的切平面方程及法线方程。解：由题意知曲面在给定点处的法向量 切平面方程为， 即。 法线方程为。3微积分在物理中的应用1、微积分1.1定义：设函数在上有界，在中任意插入若干个分点a= . =b把区间分成个小区间。在每个小区间上任取一点，作函数值与小区间长度的乘积，并做出如果不论对怎样分法，也不论在小区间上的点怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和S总趋于确定的极限I，这时我们称这个极限I为函数在区间上的定积分。 设函数在某区间内有定义，及在此区间内。如果函数的增

8、量可表示为 （其中是不依赖于的常数），而是比高阶的无穷小，那么称函数在点是可微的， 称作函数在点相应于自变量增量的微分，记作，即。设函数在某区间内有定义，及在此区间内。通常把自变量的增量称为自变量的微分，记作，即。于是函数的微分又可记作。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。 1.2 几何意义： 设是曲线上的点在横坐标上的增量，是曲线在点对应在纵坐标上的增量，是曲线在点的切线对应在纵坐标上的增量很小时，比要小得多(高阶无穷小)，因此在点附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。1.3定积分和不定积分： 定积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。在应用上

9、，定积分作用不仅如此，它被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的一个函数的不定积分（亦称原函数）指另一族函数，这一族函数的导函数恰为前一函数。其中：一个实变函数在区间上的定积分，是一个实数。它等于该函数的一个原函数在的值减去在的值。定积分和不定积分的定义迥然不同，定积分是求图形的面积，即是求微元元素的累加和，而不定积分则是求其原函数，它们又为何通称为积分呢？这要靠牛顿和莱布尼茨的贡献了，把本来毫不相关的两个事物紧密的联系起来了。2微积分在物理学中的应用: 微积分作为数学的一门分支学科，在物理学中有着非常重要的应用价值。 尤其是在大学物理中，微积分作

10、为一种分析连续过程累积的方法已经成为解决问题的基本方法，本文主要介绍了微积分在物理学中的一些应用。 微积分在大学物理中的应用有很多，它能使复杂的问题简单化。例如质点运动学，功，粒子运动如速度，加速度，转动惯量，安培定律，电磁感应定律等。 在应用微积分方法解物理问题时，微元的选取非常关键，选的恰当有利于问题的分析和计算，其一要保证在所选取的微元内能近似处理成简单基本的物理模型，以便于分析物理问题；其二要尽量把微分元选取的大，这样可使积分运算更加简单，因为微分和积分互为逆运算，微分微的越细，越精确，但积分越繁琐，计算工作量较大，所以还要在微分和积分这对矛盾之间协调处理。微元的选取不唯一，在每一种微

11、元里近似的物理模型是不同的，重积分远比一元积分麻烦，所以在分析物理问题时，应充分利用对称性，选取适当的一元微元，使积分运算简单；不管选取怎样的微元，结果是相同的，都是问题的精确解。由此看出，用微积分解题的神奇之处，由于微元无限趋近于零，使得有限范围内的近似到无限小范围内的精确，从而完成了问题的精确求解。2.1力学力学是研究物质机械运动规律的科学，自然界物质有多种层次，从宇观的宇宙体系、宏观的天体和常宇宙体系，细观的颗粒、纤维、晶体，到微观的分子、原子、基本粒子。通常理解的力学以研究天然的或人工的宏观对象为主。但由于学科的互相渗透，有时也涉及宇观或细观甚至微观各层次中的对象以及有关的规律。又称经

12、典力学，是研究通常尺寸的物体在受力下的形变，以及速度远低于光速的运动过程的一门自然科学。力学是物理学、天文学和许多工程学的基础，机械、建筑、航天器和船舰等的合理设计都必须以经典力学为基本依据。 力是物质间的一种相互作用，机械运动状态的变化是由这种相互作用引起的。静止和运动状态不变，则意味着各作用力在某种意义上的平衡。因此，力学可以说是力和(机械)运动的科学。理论力学是研究物体的机械运动规律及其应用的科学，理论力学是力学的学科基础。它可分为静力学、运动学和动力学三部分：静力学：研究物体在平衡状态下的受力规律；运动学：研究物体机械运动的描述，如速度、切向加速度、法向加速度等等，但不涉及受力；动力学

13、：讨论质点或者质点系受力和运动状态的变化之间的关系。16世纪到17世纪间，理论力学开始发展为一门独立的、系统的学科。伽利略通过对抛体和落体的研究，提出惯性定律并用以解释地面上的物体和天体的运动。17世纪末牛顿提出力学运动的三条基本定律，使经典力学形成系统的理论。根据牛顿三定律和万有引力定律成功地解释了地球上的落体运动规律和行星的运动轨道，此后两个世纪中在很多科学家的研究与推广下，终于成为一门具有完善理论的经典力学。微积分在力学中应用的实例：例1.如图 1 所示，计算半径为，质量为，密度均匀圆盘绕过圆心且与盘面垂直的转轴的转动惯量. Rm图1我们用微分的方法来求解:如图1 所示，把圆盘分成许多无

14、限薄的圆环，圆盘的密度为 ，圆盘的厚度为，则半径为，宽为的薄圆环的质量为： （11）薄圆环对轴的转动惯量为: （12）然后沿半径积分得: （13）其中为圆盘体积，为圆盘质量，故圆盘转动惯量为例2.计算半径为，质量为的均匀球体绕任意直径转动的转动惯量.图2解：如图2所示,任选一体积元，则该体积元可近似为一质点，它到轴的距离为，绕轴的转动惯量为: （21）所有微分元对轴的转动惯量的和即积分值: （22）各质元质量与其到转动轴线垂直距离平方乘积之和，叫做刚体对称轴的转动惯量，用来表示，即它决定于刚体本身的质量分布以及转动轴线的位置。刚体的转动惯量应用实例：例如在汽车中，左边转动惯性大者称飞轮，与发动

15、机相连，右边轮则与传动装置和驱动轮相连，待飞轮获得转速后，再与右方相连，利用飞轮大的惯性带动传动装置和驱动轮运动起来。由此可以看出转动惯量的重要性。刚体转动惯量在刚体力学中有着广泛的应用，若物体的密度均匀形状规则，转动惯量可以分为圆柱体对柱体轴线的，细圆环对任意切线，实球体对任意直径的等。例1和例2都应用到了微积分解决问题即求刚体的转动惯量的典型例题，（11）（21）是对质量的微分，（12）是对薄圆环的转动惯量的微分，（13）（22）是对转动惯量的积分， 用微积分去解决就比较容易，把各个复杂的轨迹分成尽量小的几个部分，例如轨迹可以把它分割成无限个小的可以看成直线的一段，算出一段的距离，然后在积

16、在一起，这样就比较简单，使问题更加的容易理解和算出。 2.2电磁学电磁学是研究电、磁和电磁的相互作用现象，及其规律和应用的物理学分支学科。根据近代物理学的观点，磁的现象是由运动电荷所产生的，因而在电学的范围内必然不同程度地包含磁学的内容。所以，电磁学和电学的内容很难截然划分，而“电学”有时也就作为“电磁学”的简称.早期，由于磁现象曾被认为是与电现象独立无关的，同时也由于磁学本身的发展和应用，如近代磁性材料和磁学技术的发展，新的磁效应和磁现象的发现和应用等等，使得磁学的内容不断扩大，所以磁学在实际上也就作为一门和电学相平行的学科来研究了。电磁学从原来互相独立的两门科学(电学、磁学)发展成为物理学

17、中一个完整的分支学科，主要是基于两个重要的实验发现，即电流的磁效应和变化的磁场的电效应。这两个实验现象，加上麦克斯韦关于变化电场产生磁场的假设，奠定了电磁学的整个理论体系，发展了对现代文明起重大影响的电工和电子技术。 麦克斯韦电磁理论的重大意义，不仅在于这个理论支配着一切宏观电磁现象(包括静电、稳恒磁场、电磁感应、电路、电磁波等等)，而且在于它将光学现象统一在这个理论框架之内，深刻地影响着人们认识物质世界的思想。电子的发现，使电磁学和原子与物质结构的理论结合了起来，洛伦兹的电子论把物质的宏观电磁性质归结为原子中电子的效应，统一地解释了电、磁、光现象。和电磁学密切相关的是经典电动力学，两者在内容

18、上并没有原则的区别。一般说来，电磁学偏重于电磁现象的实验研究，从广泛的电磁现象研究中归纳出电磁学的基本规律；经典电动力学则偏重于理论方面，它以麦克斯韦方程组和洛伦兹力为基础，研究电磁场分布，电磁波的激发、辐射和传播，以及带电粒子与电磁场的相互作用等电磁问题，也可以说，广义的电磁学包含了经典电动力学。微积分在电磁学中的应用实例：例3.同轴电缆的内导体是半径为的金属圆柱，外道体是内外半径分别为和的金属圆桶，两导体相对磁导率为，两者之间充满相对磁导率为的不导电的均匀介质。电缆工作时，两导体的电流均为I（方向相反），电流在每个导体的横截面均匀分布。求各区的B。解：根据有介质时的安培环路定理分别在区内求

19、解 (31) (32) (33)在区域，由有介质的安培环路定理得：H=0 B=0 (34)这是一个计算磁感应强度的典型例题，在空间的传导电流分布及磁介质性质已知时，运用了安培环路定理，在恒定磁场理论原则上应能求的中安培环路定理是非常重要的一个定理，它说明了磁场不是势场，不是势场的矢量场称为涡旋场。所以磁场B是涡旋场。在静磁学中，当电荷分布有适当对称性时单从安培环路定理就可求得恒定磁场。它对任意恒定磁场中的任意闭曲线都是成立的.当空间的传导电流分布及磁介质的性质已知时，原则上应能求得空间各点的磁感应强度B。但是比较困难，运算的方式比较复杂。题中的电流分布电流在每个导体的横截面均匀分布。满足条件，

20、如题中的（11）等，先把闭合曲线运用微分分解成无限小的，可以当成直线的小段，在运用有介质的安培环路定理去求磁场强度H，进而求出磁感应强度B。3.结束语由此可见，微积分不仅在数学中有重要的作用而且在物理学中也有着十分的广泛的作用。在使用微积分解决问题时应注意由微积分导出的许多物理概念、物理定律，分析每个物理量的意义，让学生把复杂的物理问题化整为零，然后再积零为整的这种方法学会，应用到实际问题中去，增加学生的学习兴趣，提高学生的能力，使学生得到全面的发展。参考文献： 1袁作彬.浅谈大学物理电磁学中的定积分问题M.湖北:泰山学院学报杂志编辑部,2005.2马新泽.浅析大学物理中的微积分教学J.昌吉学

21、院学报.2009(02) 3黎定国,邓玲娜,刘义保,潘小青. 大学物理中微积分思想和方法教学谈J.大学物理.2005（12） 4梁小佳.微积分在大学物理中的应用探究J.甘肃高师学报.2010(02)5王国士.微积分在物理教学中的应用J.甘肃科技纵横.2004(04) 微积分解决物理问题时的微元选取在用积分求解物理问题中涉及到积分元，积分变量，积分上下限如何确定等问题，有时积分元或积分变量选得好，计算就变得很方便和简单，否则就难于计算甚至求不出结果。在应用微积分方法解物理问题时，微元的选取非常关键，选的恰当有利于问题的分析和计算，其一要保证在所选取的微元内能近似处理成简单基本的物理模型，以便于分析物理问题；其二要尽量把微分元选取的大，这样可使积分运算更加简单，因为微分和积分互为逆运算，微分微的越细，越精确，但积分越繁琐，计算工作量较大，所以还要在微分和积分这对矛盾之间协调处理。微元的选取不唯一，在每一种微元里近似的物理模型是不同的，重积分远比一元积分麻烦。所以在分析物理问题时，应充分利用对称性，选取适当的一元微元，使积分运算简单；不管选取怎样的微元，结果是相同的，都是问题的精确解。由此看出，用微积分解题的神奇之处，由于微元无限趋近于零，使得有限范围内的近似到无限小