MATLAB的符号运算ppt课件

1、第三讲 MATLAB的符号运算科学与工程技术中的数值运算固然重要，但自然科学实际分析中各种各样的公式、关系式及其推导就是符号运算要处理的问题。在Matlab7.0中，符号计算虽以数值运算的补充身份出现，但它们都是科学计算研讨的重要内容。Matlab开发了实现符号计算的工具包Symbolic Math Toolbox 。符号数学工具箱中的工具是建立在功能强大的Maple的根底上。它最初是由加拿大的滑铁卢(Waterloo)大学开发出来的。假设要求Matlab7.0进展符号运算，那么首先由Maple计算并将结果前往到Matlab7.0命令窗口。两个数学分析的可视化界面图示化符号计算器 (由命令fu

2、ntool引出)泰勒级数逼近分析界面 (由命令taylortool引出)图示化符号计算器由三个独立的窗口构成，经过函数运算控制窗口来演示另外两个图形窗口，任何时候，只需一个窗口属于激活形状。而被激活的函数图像可随运算控制窗口的操作而做相应的变化。下面给出运算控制窗口的键位功能。前两行是函数 f 和 g 的详细解析式，第三行是自变量 x 的取值范围和常数 a 的值。第四行只对 f 起作用，如求导、积分、简化、提取分子和分母、倒数、反函数。第五行是处置 f 和 a 的加减乘除等运算。第六行前四个进展 f 和 g 之间的运算，后三个分别是：求复合函数；把 f 传送给 ；swap是实现 f 和 g 功

3、能的交换。最后一行是对计算器本身进展操作。Funtool计算器存有一张函数列表fxlist 这7个功能键分别是：Insert：把当前激活窗的函数写入列表Cycle：依次循环显示fxlist中的函数Delete：从fxlist列表中删除激活窗的函数Reset：使计算器恢复到初始调用形状Help：获得关于界面的在线提示阐明Demo：自动演示Close：封锁整个计算器泰勒级数逼近分析该界面用于察看函数f(x)在给定区间被N阶泰勒多项式Tn(x)逼近的情况。f(x)的输入可由命令taylortool(fx)引入，或者在栏中直接输入表达式，回车确定。N默许值为7，a是级数的展开点。函数的察看区间默以为(

4、-2pi，2pi)。符号运算的功能符号表达式、符号矩阵的创建符号线性代数因式分解、展开和简化符号代数方程求解符号微积分符号微分方程一、符号运算的根本操作什么是符号运算与数值运算的区别 数值运算中必需先对变量赋值，然后才干参与运算。 符号运算无须事先对独立变量赋值，运算结果以规范的符号方式表达。特点： 运算对象可以是没赋值的符号变量，以推了解析的方式进展，因此不受计算误差累积所带来的困扰。 可以给出完全正确的封锁解或恣意精度的数值解(当封锁解不存在时)。符号计算指令的调用简单，和经典教科书公式相近。计算所需的时间较长。Symbolic Math Toolbox符号运算工具包经过调用Maple软件

5、实现符号计算的。Maple软件主要功能是符号运算，它占据符号软件的主导位置。 2. 字符串与符号变量、符号常量字符串对象 f = sin(x)+5xf 字符串名sin(x)+5x 函数表达式 字符串标识字符串表达式一定要用 单引号括起来Matlab才干识别。用class( )来前往对象的数据类型。 里的内容可以是函数表达式，也可以是方程。例： f1=a*x2+b*x+c 二次三项式 f2= a*x2+b*x+c=0 方程 f3=Dy+y2=1 微分方程函数表达式或方程可以赋给字符串或符号变量，以后方便调用。符号变量符号变量是内容可变的符号对象。符号变量通常是指一个或几个特定的字符，不是指符号表

6、达式，甚至可以将一个符号表达式赋值给一个符号变量。符号变量有时也称自在变量，它的命名规那么和数值变量的命名规那么一样。相关指令为： sym( ) 和 syms( ) symbolic的缩写例：用函数命令sym( )和syms( )来创建符号对象并检测数据类型。a=sym(a) 留意两个 a的区别b=sym(c)classa=class(a)classb=class(b) 可看出两个变量均为符号对象syms a b c d e f g hwhos 也可以查看一切变量类型从上述比较来看：当需求同时定义多个符号变量时，运用syms( )更简约一些。符号常量当数值常量作为sym( )的输入参量时，就建

7、立了一个符号对象符号常量。虽然看上去是一个数值量，但曾经是一个符号对象了。例：a=3/4; b=3/4; c=sym(3/4); d=sym(3/4); whos 查看变量类型a为实双精度浮点数值类型；b为实字符类型；c和d都是符号对象类型。 由符号变量构成的符号函数和符号方程符号表达式是由符号常量、符号变量、符号函数运算符以及公用函数衔接起来的符号对象。包括：符号函数和符号方程。判别看带不带等号。例：syms x y z; f1=x*y/z; f2=x2+y2+z2; f3=f1/f2; e1=sym(a*x2+b*x+c) e2=sym(sin(x)2+2*cos(x)=1) e3=sym

8、(Dy-y=x)3.符号矩阵的创建 数值矩阵 clear clc A=1,2;3,4 A=a,b;c,d 不识别用Matlab函数sym创建矩阵命令格式：A=sym( ) 符号矩阵内容同数值矩阵 需用sym指令定义，需用 标识 留意与a,b;c,d的区别例如：A = sym(a , 2*b ; 3*a , 0) A = a, 2*b 3*a, 0 这就完成了一个符号矩阵的创建。留意：符号矩阵的每一行的两端都有方 括号，这是与 Matlab数值矩阵的 一个重要区别。用字符串直接创建矩阵v 模拟Matlab数值矩阵的创建方法v 需保证同一列中各元素字符串有相v 同的长度。例：A = a,2*b;

9、3*a, 0 A = a, 2*b 3*a, 0 符号矩阵的修正 a.直接修正 可用、 键找到所要修正的矩阵，直接修正 b.指令修正 用A1=subs(A, new, old)来修正例如：例如：A = a, 2*b 3*a, 0A(2,2)=4*bA1 = a, 2*b 3*a, 4*bA2=subs(A1, c, b) A2 = a, 2*c 3*a, 4*c v将数值矩阵转化为符号矩阵v 函数调用格式：sym(A)vclear A=1/3,2.5;1/0.7,2/5vA =v 0.3333 2.5000v 1.4286 0.4000vsym(A)vans =v 1/3, 5/2v10/7,

10、 2/5 符号矩阵与数值矩阵的转换v将符号矩阵转化为数值矩阵v函数调用格式： numeric(A)?vA =v 1/3, 5/2v10/7, 2/5vnumeric(A)vans =v 0.3333 2.5000v 1.4286 0.4000由于Matlab7.0采用了重载技术，使得符号计算表达式的运算符和根本函数，无论在外形、称号上，还是在运用方法上，都与数值计算中的运算符和根本函数几乎完全一样。这无疑给用户带来了极大的方便。例外：在符号对象的比较中，没有大于、 大于等于、 小于、 小于等于的概念，而只需能否“等于的概念。二、符号运算1.符号矩阵运算数值运算中，一切矩阵运算操作指令都比较直观

11、、简单。例如：a=b+c; a=a*b ；A=2*a2+3*a-5等。符号运算中，很多方面在方式上同数值计算都是一样的，没必要重新学习新的规那么。 2. 恣意精度的数学运算 在symbolic中有三种不同的算术运算：数值类型 matlab的浮点算术运算有理数类型 maple的准确符号运算vpa类型 maple的恣意精度算术 运算 浮点算术运算format long (定义输出格式) 1/2+1/3 ans =0.83333333333333符号运算sym(1/2)+(1/3)或sym(1/2+1/3)ans = 5/6 准确解恣意精度算术运算digits(n) 设置近似解的精读为n位有效数字，

12、默许32位有效数字。vpa(x,n) 求符号解的近似解，该近似解的有效位数由n来决议。digits(25)vpa(1/2+1/3)ans =.8333333333333333333333333vpa(5/6,40) ans =.8333333333333333333333333333333333333333 a=sym(1/4,exp(1);log(3),3/7)a = 1/4,exp(1)log(3), 3/7vpa(a,10)ans =.2500000000, 2.7182818281.098612289, .42857142863.符号表达式的化简可以对符号计算结果进展简化，诸如因式分解

13、、同类项合并、符号表达式的展开、符号表达式的化简和通分等等。合并同类项 collect(v) -将表达式v的一样次幂的项合并。例：syms x t % 定义根本变量 f=(x-1)*(x-2)*(x-3) 定义符号表达式 collect(f) 合并f中x的同类项expand(s) 将s中的各项进展展开，用于多项式，三角函数、指数函数、对数函数。 例：syms x y; f=(x+y)3; f1=expand(f) f1 = x3+3*x2*y+3*x*y2+y3例：h=cos(x-y) expand(h)factor(S) 将系数为有理数的多项式(矩阵)S，表示成低阶多项式相乘的方式，假设不能

14、分解，那么前往S本身。例：syms x y factor(x3-y3)simplify( ) 该函数是一个强有力的具有普遍意义的工具，它利用Maple化简规那么对表达式进展简化。例：S=sym(x2+5*x+6)/(x+2);sqrt(16) simplify(S)simple( ) 用几种不同的算术简化规那么对符号表达式进展简化，使其用最少的字符来表示。虽然并非表达式中的字符越少，表达式就越简单，但采用这个规范往往可以得到称心的结果，尤其是对于包含三角函数的表达式。例：sym x simple(cos(x)2+sin(x)2)从结果看出，simple比较这些不同函数的结果，最终把最少字符作为

15、规范。diff(f) 对缺省变量求f的微分diff(f,v) 对指定变量v求微分diff(f,n) 对默许变量求n阶微分diff(f,v,n) 对指定变量v求f的n阶微分例：syms a x f=sin(a*x) df=diff(f) dfa=diff(f,a,2)4. 符号微积分与积分变换符号表达式的极限limit(F,x,a) 求当xa时，表达式F的极限limit(F, a) 默许自变量时，趋于a的极限limit(F) 默许自变量，默许a=0 limit(F,x,a, left) 取F的左极限limit(F,x,a, right) 取F的右极限例：syms h n x dc=limit(s

16、in(x+h)-sin(x)/h,h,0) %按照导数的定义求sin的导数留意：对于极限不存在，前往NaN例： limit(1/x,x,0) limit(1/x,x,0, left) limit(1/x,x,0, right)结果分别为：ans = NaNans = -Infans = Infint(f) 对f表达式的缺省变量求不定积分int(f,v) 对f表达式的v变量求不定积分int(f,v,a,b) 对f表达式的v变量在a,b) 区间求定积分 findsym(f) 可以找出f中的每个变量 留意：当函数的积分不存在时，Matlab7.0将简单地前往原来的积分表达式。符号表达式的积分int被

17、积表达式，积分变量，积分上限， 积分下限 定积分缺省时为不定积分例：int(-2*x/(1+x2)2) ans = 1/(1+x2) int(log(x) int(log10(x) int(sin(x),x,-pi,pi) taylor(f,n,v) n阶泰勒级数展开例：syms x f=1/(2+cos(x) r=taylor(f,8)symsum(f,v,a,b) 表达式f中变量 v从a变到b时的有限和例：syms x k s1=symsum(1/k2,1,inf) s2=symsum(xk,k,0,inf) 上述都是求无穷级数的和符号积分变换ztrans(f) Z变换Invztrans(

18、f) 反Z变换Laplace(f) 拉氏变换Invlaplace(f) 反拉氏变换fourier(f) 付氏变换Invfourier(f) 反付氏变换 留意 ：上述函数均缺省了部分参数 例1.计算二重不定积分dxdyxexyF=int(int(x*exp(-x*y),x),y)例例2.计算计算 f=x*exp(-x*10)的的Z变换变换 F=ztrans(f) F= z*exp(-10)/(z-exp(-10)2符号积分的例子 syms x y F=int(int(x*exp(-x*y),x),y)F =1/y*exp(-x*y) syms x f=x*exp(-x*10); F=ztrans

19、(f) F=ztrans(x*exp(-x*10);F =z*exp(-10)/(z-exp(-10)2 例3. 计算指数函数eAt。用拉氏反变换法计算eAt的公式为： eAt = L-1(SI-A)-1系统矩阵A= 3210tttttttteeeeeeee22222222eAt =结果： a=0 1;-2 -3; syms s b=(s*eye(2)-a)b = s, -1 2, s+3 B=inv(b) (s+3)/(s2+3*s+2), 1/(s2+3*s+2) -2/(s2+3*s+2), s/(s2+3*s+2) b11=ilaplace(sym(b,1,1);b(1,1)=b11;

20、 b12=ilaplace(sym(b,1,2);b(1,2)=b12; b21=ilaplace(sym(b,2,1);b(2,1)=b21; b22=ilaplace(sym(b,2,2);b(2,2)=b22; bb = -exp(-2*t)+2*exp(-t), exp(-t)-exp(-2*t) -2*exp(-t)+2*exp(-2*t), 2*exp(-2*t)-exp(-t) 5.符号代数方程求解 Matlab符号运算可以解普通的线性方程、非线性方程、超越方程。当方程组不存在符号解时，又无其他自在参数，那么给出数值解。命令格式：solve(f,v) 求一个方程f=0的解Solv

21、e(f1,f2, fn) 求n个方程的解 例1. f = ax2+bx+c 求解f=a*x2+b*x+c; solve(f) 对缺省变量x求解ans =1/2/a*(-b+(b2-4*a*c)(1/2)1/2/a*(-b-(b2-4*a*c)(1/2)计算机格式aacbb242普通格式例2. 符号方程cos(x)=sin(x) tan(2*x)=sin(x)求解f1=solve(cos(x)=sin(x),f1 =1/4*pi f2=solve(tan(2*x)=sin(x) solve(f , b ) 对指定变量b求解 加与不加效果一样 例3. 解方程组 x+y+z=1 x-y+z=2 2x

22、-y-z=1g1=x+y+z=1,g2=x-y+z=2,g3=2*x-y-z=1f=solve(g1,g2,g3)f=solve(x+y+z=1,x-y+z=2,2*x-y-z=1)f =z = 5/6, y = -1/2, x = 2/3f=solve(x+y+z=1,x-y+z=2,2*x-y-z=1)f = x: 1x1 sym f.x ans =2/3 y: 1x1 sym f.y ans =-1/2 z: 1x1 sym f.z ans =5/6 x,y,z=solve(x+y+z=1,x-y+z=2,2*x-y-z=1) x = 2/3 y =-1/2 z =5/66. 符号微分方

23、程求解 用一个函数可以方便地得到微 分方程的符号解符号微分方程求解指令：dsolve命令格式：dsolve(f,g)f 微分方程，可多至12个微分方程的求 解；g为初始条件默许自变量为 x,可恣意指定自变量t, u等微分方程的各阶导数项以大写字母D表示 dtdydxdy22dtydnndtyd22dxydnndxyd或或或y的一阶导数 Dyy的二阶导数 D2yy的 n 阶导数 Dnyy1,y2=dsolve(x1,x2,xn) 前往 微分方程的解一阶微分方程dsolve(Dx=y,Dy=x,x(0)=0,y(0)=1)ans =x(t) = sin(t), y(t) = cos(t)二阶微分方

24、程dsolve(D2y=-a2*y,y(0)=1,Dy(pi/a)=0)ans =cos(a*x)例.y=dsolve(D2y+2*Dy+2*y=0,y(0)=1,Dy(0)=0)ans =exp(-x)*cos(x)+exp(-x)*sin(x)ezplot(y) 方程解y(t)的时间曲线图22dxyddxdy202y00 ）（dxdy，1)0(y求该方程的解-6-4-2024050100150200250300 xexp(-x)*cos(x)+exp(-x)*sin(x)-6-4-2024050100150200250texp(-t) sin(t)+exp(-t) cos(t)三、mapl

25、e函数符号运算的扩展maple是专门进展数学运算的软件工具， 具有超强的符号运算才干，提供了 几乎包括一切数学领域的公用函数matlab依赖于maple的内核与函数库，扩 展了本人的符号运算功能。 matlab还设计了对maple库函数的调用功能使得已有的maple数学功能，可以扩展matlab中,作为本身符号运算才干的扩展。1. maple内核访问函数可以访问maple内核的matlab函数: maple 访问maple内核函数 mapleinit maple函数初始化 mpa maple函数定义 mhelp maple函数协助命令 procread maple函数程序安装. maple 的

26、调用格式maple(表达式 将表达式送至maple内核， 前往符号表达式结果。maple 函数，变量1，变量2 调用maple函数，传送给定 变量。 例1. 展开5阶 bernoulli 多项式，计算 x=3 时bernoulli 数。a=maple(bernoulli(5,x)a =-1/6*x+5/3*x3+x5-5/2*x4a=maple(bernoulli(5,3)a =85例2. 化简三角函数式sin2x+cos2xa=maple(simplify(sin(x)2+cos(x)2);)a =1例4. 求f(t)=e-3tsint的拉式变换f=maple(laplace(exp(-3*

27、t)*sin(t),t,s);)f =1/(s+3)2+1)例4. 寻觅二次多项式的完全平方 f (x) = x2+2x+2a=maple(completesquare(x2+2*x+2)a =completesquare(x2+2*x+2) 将工具包装入内存maple(with(student);)a=maple(completesquare(x2+2*x+2)a =(x+1)2+1maple软件中的一切函数，在初始化时并没有完全装入内存，可用readlib指令把库函数读入内存，或用with指令将运用工具包装入内存。调用格式maple(readlib(函数名);)maple(with(工具包

28、名);)例5.求sin(x2+y2)在x=0,y=0处泰勒级数展开式，8阶截断。maple(mtaylor(sin(x2+y2),x=0,y=0,8)ans =mtaylor(sin(x2+y2),x = 0, y = 0,8)maple(readlib(mtaylor);)maple(mtaylor(sin(x2+y2),x=0,y=0,8)ans =x2+y2-1/6*x6-1/2*y2*x4-1/2*y4*x2-1/6*y62. mpa maple变量定义任何一个matlab定义的函数f，可运用mpa语句直接调用，还可把 f 定义成maple变量v。maple的任务空间与matlab任务

29、空间是相互独立的， 所以f 与v是属于不同任务空间中的变量mpa的调用格式： mpa(v,f) mpa v ff为matlab任务空间中已存在的变量例. 电磁力计算公式为试I=0.5，x=0.1邻域展开泰勒级数，3阶截断，令常数 ，1.直接调用maple(readlib(mtaylor);)maple(mtaylor(k*I2/x2,I=0.5,x=0.1,3);)2204)(),(xNISxIF420NSk22),(xkIxIF2.定义符号函数f(matlab6.1无map函数)f=k*I2/x2;maple(mtaylor(f,I=0.5,x=0.1,3);)ans =mtaylor(f,I = .5, x = .1,3)mpa(u,f)maple(mtaylor(u,I=0.5,x=0.1,3);