物理竞赛-刚体

1、1刚体竞赛内容刚体竞赛内容2一、刚体运动的描述一、刚体运动的描述1、刚体的平动、刚体的平动 可以用可以用任一点任一点（通常选（通常选质心质心）的运动来代表。）的运动来代表。2、刚体的定轴转动、刚体的定轴转动（1） 角量描述角量描述角坐标角坐标 ： = (t)角位移：角位移：角速度：角速度：dtd 角加速度：角加速度：22dtddtd 33、角速度矢量、角速度矢量方向方向:与转向成右手螺旋关系。与转向成右手螺旋关系。大小：大小： dtd rvrv （2）匀变速匀变速转动的规律转动的规律 )(2 21 02022000 ttt rat 2 ran 4定义：刚体上各点均在平面内运动，且这些定义：刚体

2、上各点均在平面内运动，且这些平面均与一平面均与一固定平面固定平面平行，称作平行，称作刚体的平面刚体的平面（平行）运动。（平行）运动。4、刚体的平面（平行）运动、刚体的平面（平行）运动车轮滚动车轮滚动木梯下滑木梯下滑处理方法：处理方法：可看作可看作随基点的平动随基点的平动和和绕过基点绕过基点轴轴（固定平面）固定平面）的转动的转动的合成。的合成。AB1A B1 A2刚体由刚体由12可分为可分为（转动）（转动）（平动）（平动）2111 5刚体刚体固定平面的截面固定平面的截面B基点（任取）基点（任取）对刚体上对刚体上A点：点：rrrB dtrddtrddtrdB vvvB xyoBrrr x y AB

3、 rv 的位矢的位矢点相对基点点相对基点BAr 速度矢量速度矢量刚体绕过基点轴的角刚体绕过基点轴的角 rvvB 平面运动刚体上任一点的速度平面运动刚体上任一点的速度65、车轮（圆柱体）的无滑滚动、车轮（圆柱体）的无滑滚动若滚动车轮边缘上各点与支若滚动车轮边缘上各点与支撑面接触的瞬时，与支撑面撑面接触的瞬时，与支撑面无相对滑动，则称车轮作无相对滑动，则称车轮作无无滑滚动（纯滚动）滑滚动（纯滚动）。车轮（中心）前进的距离与车轮（中心）前进的距离与转过的角度的关系：转过的角度的关系： rx 则则 rvC 无滑滚动的条件无滑滚动的条件 raC 或或dtdrdtdx dtdrdtdvC CvxCr7对无

4、滑滚动，车轮边缘在与支撑面接触对无滑滚动，车轮边缘在与支撑面接触时，相对于支撑面的瞬时速度为时，相对于支撑面的瞬时速度为0.车轮上任一点的速度：车轮上任一点的速度：rvvC G点：点：0 GCCGrvv B点：点：CBvv2 A点：点：CCAvrvv2)(22 BCCBrvv ACCArvv CvBCrABGxCACrGCrr r r 的位矢）的位矢）该点相对质心该点相对质心（Cr例例1、求图示纯滚动中、求图示纯滚动中G、B、A相对支撑面的速度。相对支撑面的速度。8例例2、半径为、半径为R的圆环静止在水平地面上，的圆环静止在水平地面上，t=0时刻时刻开始以恒定的角加速度开始以恒定的角加速度 沿

5、直线纯滚动。任意沿直线纯滚动。任意t0时刻，环上最低点的加速度大小为，最时刻，环上最低点的加速度大小为，最高点的加速度大小为。高点的加速度大小为。(2001第第18届非届非物理类专业大学生物理竞赛试题物理类专业大学生物理竞赛试题)CaCR质心参考系：圆环上任一点质心参考系：圆环上任一点 Rat 2222)(tRtRRan 地面参考系：地面参考系：（纯纯滚滚动动条条件件） RaC 最低点：最低点：22221)(tRaaaantc 最高点：最高点：4222222224)()2()(tRtRRaaaantc 9rcCmizri yxo质心质心C的位矢为的位矢为mmrriiC （ ） immmxmxi

6、iC mymyiiC mzmziiC 二、刚体的动量和质心运动定理二、刚体的动量和质心运动定理1、刚体的质心、刚体的质心质量质量分立分立分布：分布：分量形式：分量形式：10rrcdmCom zx ymmdrrC mmdxxC 质量质量连续连续分布：分布：）（ dmm分量形式：分量形式：mydmyC mzdmzC dVdSdldm 或或或或, 11（1）只要质量分布和几何形状有相同的对称轴，只要质量分布和几何形状有相同的对称轴，质心必在此对称轴上。质心必在此对称轴上。（2）若刚体有多条这样的对称轴，质心必位于对若刚体有多条这样的对称轴，质心必位于对称轴的交点。称轴的交点。xyo匀质半圆匀质半圆盘

7、：质心盘：质心在在x轴上轴上oy非均匀圆锥体，非均匀圆锥体，密度密度 =Ay：质心在质心在y轴上轴上如匀质圆柱体如匀质圆柱体:xoyx、y为其对称轴为其对称轴质心在质心在o点点12（3）若刚体由若干部分组成，刚体质心与各部）若刚体由若干部分组成，刚体质心与各部分质心的关系为：分质心的关系为：mxmxCiiC mymyCiiC mzmzCiiC 2、刚体的动量和质心运动定理、刚体的动量和质心运动定理质点系的动量及质心运动定理可沿用至刚体：质点系的动量及质心运动定理可沿用至刚体：Cvmp CamF 外外质心运动定理质心运动定理（适用于惯性系）（适用于惯性系）刚刚体体的的动动量量守守恒恒若若外外 0

8、F13R例例3、如图所示，、如图所示， CxC Or Orddx y O均质圆盘均质圆盘求挖掉小圆盘后系统的质心坐标。求挖掉小圆盘后系统的质心坐标。由对称性分析，质心由对称性分析，质心C应在应在x轴上。轴上。解：解： 令令 为质量的面密度，则为质量的面密度，则 质心坐标为：质心坐标为： 2220rRrdxC ）（ 1/2 rRd挖空挖空 系统可看作虚线圆盘剩下部分系统可看作虚线圆盘剩下部分14yoxR例例4、一均匀铁丝弯成半径为、一均匀铁丝弯成半径为R的半圆，求其质心。的半圆，求其质心。dld y解：解： 由对称性，由对称性，0 CxCmmdyyC 任取线段元任取线段元dl,其质量其质量dm=

9、 dl, 为质量线密度。为质量线密度。思路：先取微元，再积分思路：先取微元，再积分mdlyyC 技巧：统一积分变量技巧：统一积分变量 RmRdRyC2sin0 15三、刚体定轴转动的角动量、转动惯量三、刚体定轴转动的角动量、转动惯量1、刚体定轴转动的、刚体定轴转动的角动量（动量矩）角动量（动量矩） JL 2、刚体对定轴的、刚体对定轴的转动惯量转动惯量若质量分立分布：若质量分立分布： iiirmJ2若质量连续分布：若质量连续分布： mdmrJ2J取决于刚体的取决于刚体的质量质量及其及其分布分布以及以及转轴的位置转轴的位置。 JL 或或16 常见几种常见几种匀质匀质刚体的转动惯量：刚体的转动惯量：

10、 221mR2121mL231mL2mR薄圆环（筒）薄圆环（筒） 对中心轴对中心轴圆盘（柱）圆盘（柱）对中心轴对中心轴细杆细杆对过端点对过端点杆的轴杆的轴对过中点对过中点杆的轴杆的轴实球体实球体252mR薄球壳薄球壳232mR对任意直径对任意直径对任意直径对任意直径17（1）平行轴定理平行轴定理：二轴平行，其中一轴过质心二轴平行，其中一轴过质心C，对另一轴的转，对另一轴的转动惯量为：动惯量为：2mdJJC m刚体质量；刚体质量；d两轴距离。两轴距离。（2）垂直轴定理垂直轴定理：厚度不计厚度不计的刚体（连续分布、的刚体（连续分布、分立分布均可）对一与它分立分布均可）对一与它的坐标轴（的坐标轴（z

11、轴）的转轴）的转动惯量，等于对它平面内另二直角坐标轴的转动动惯量，等于对它平面内另二直角坐标轴的转动惯量之和：惯量之和：yxzJJJ 18xyzoixiyirim)(222iiiiizyxmrmJ xyiiiiJJymxm 22证明：证明：例例5、均匀薄圆环：、均匀薄圆环：mx xoR轴轴轴轴平平行行于于 xx xxJJ ,求求y由对称性，由对称性，yxJJ 2mRJJJzyx 由垂直轴定理，由垂直轴定理，221mRJx 由平行轴定理，由平行轴定理，2223mRmRJJxx 19dtdLM 外外微分形式微分形式122121LLdLdtMLLtt 外外对定轴刚体，对定轴刚体，积分形式积分形式12

12、21 JJdtMtt 外外3、刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律、刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律（1）刚体定轴转动对轴的）刚体定轴转动对轴的角动量定理角动量定理角冲量（冲量矩）角冲量（冲量矩）的的夹夹角角）逆逆时时针针转转至至为为（轴轴的的力力矩矩对对FrrFMzz sin rz FFrM 20（2）刚体定轴转动的）刚体定轴转动的角动量守恒定律角动量守恒定律守守恒恒若若外外LM 04、刚体定轴转动的、刚体定轴转动的转动定律转动定律 JM 外外四、刚体定轴转动的动能定理四、刚体定轴转动的动能定理1、力矩的功、力矩的功 21 MdA对刚体，对刚体，内力矩不作功内力矩不作功： 21

13、dMA外外外外角动量定理角动量定理、角动角动量守恒定律量守恒定律和和转动转动定律定律适用于适用于惯性系惯性系和和质心系质心系！对非刚体，对非刚体，112221 JJdtMtt 外外212、刚体定轴转动的动能定理、刚体定轴转动的动能定理（1）刚体定轴转动的）刚体定轴转动的转动动能转动动能221 JEk （2）刚体定轴转动的）刚体定轴转动的动能定理动能定理21222121 JJA 外外对非刚体：对非刚体：2112222121 JJAA 内内外外3、刚体的、刚体的重力势能重力势能一个不太大的刚体的重力势能和它的全部质量集一个不太大的刚体的重力势能和它的全部质量集中在质心时所具有的势能一样。中在质心时

14、所具有的势能一样。CpmgzE 机机械械能能守守恒恒非非保保内内外外 0AA（适用于惯性系）（适用于惯性系）22五、刚体平面运动的动力学五、刚体平面运动的动力学刚体的平面运动刚体的平面运动可视作随基点的可视作随基点的平动平动和绕基和绕基点轴的点轴的转动转动。通常选质心为基点。通常选质心为基点。xyx y Co刚体刚体固定平面的截面固定平面的截面系系，质质心心运运动动定定理理）（外外oamFC 系系，转转动动定定律律）（外外CJM 1、刚体平面运动的基本动力学方程、刚体平面运动的基本动力学方程若刚体受力均在若刚体受力均在oxy面内，则有面内，则有yyxxCiCimaFmaF 惯性系惯性系质心系，

15、可以质心系，可以是非惯性系是非惯性系232、作用于刚体上的力、作用于刚体上的力（1）作用于刚体上的力）作用于刚体上的力FFC对刚体，力的三要素：对刚体，力的三要素：大小大小、方向方向、作用线作用线。作作用用，一一般般F使质心有加速度使质心有加速度使刚体有角加速度（若力过质使刚体有角加速度（若力过质心，则无此项）心，则无此项）（2）力偶和力偶矩）力偶和力偶矩力偶力偶大小相等方向相反的一对力。大小相等方向相反的一对力。力偶矩力偶矩力偶对某轴的力矩之和。力偶对某轴的力矩之和。24力偶对质心运动无影响。力偶对质心运动无影响。FF 1dC2d ，方方向向：轴轴力力矩矩大大小小：对对11FdMCF ，方方

16、向向：轴轴力力矩矩大大小小：对对22FdMCF力偶矩：力偶矩：FdddFMMM )(2121d力偶臂力偶臂（3）刚体受力的等效处理）刚体受力的等效处理CFFzM F等效为等效为转动转动轴的力矩）轴的力矩）对对原原附加一力偶（力偶矩附加一力偶（力偶矩平动平动平移至过质心平移至过质心将将 CFF253、刚体平面运动的动能、刚体平面运动的动能222121 CCkJmvE 刚体平面运动的动能等于随质心的平动动能刚体平面运动的动能等于随质心的平动动能与对质心的转动动能之和。与对质心的转动动能之和。科尼希定理科尼希定理（证明略）（证明略）六、刚体在平面力系作用下的平衡条件六、刚体在平面力系作用下的平衡条件

17、设各力均在设各力均在oxy面内，则刚体面内，则刚体静止平衡静止平衡（或（或作匀速作匀速直线平动直线平动）的充要条件为：）的充要条件为：0 iF轴）轴）（对任意（对任意zMzi0 其中，其中，0 iF通常写成分量形式：通常写成分量形式：0, 0 yxiiFF26七、质心参考系中的角动量：七、质心参考系中的角动量：CCCoLvmrL xyx y Co刚体刚体惯性系惯性系质心系质心系(可以是非惯性系可以是非惯性系)CrmCv刚体对惯性系中某定点的角动量等于刚体对惯性系中某定点的角动量等于质心对该定质心对该定点的角动量点的角动量加上加上刚体对质心的角动量刚体对质心的角动量（证明略）。（证明略）。27例

18、、例、 一均质圆柱，质量一均质圆柱，质量m、半径、半径R ，在水平外力，在水平外力F作用下，在粗糙水平面上作纯滚动，力的作用作用下，在粗糙水平面上作纯滚动，力的作用线与中心轴线的垂直距离为线与中心轴线的垂直距离为l，如图。求质心的加，如图。求质心的加速度和圆柱所受的静摩擦力。速度和圆柱所受的静摩擦力。解：不妨设静摩擦力解：不妨设静摩擦力f的方向向左，的方向向左，CmafF 由转动定律：由转动定律： CJRflF 纯滚动条件：纯滚动条件： RaC 圆柱对质心的转动惯量为圆柱对质心的转动惯量为 FaC221mRJC 则由质心运动定理：则由质心运动定理：28mR)lR(FaC32 FRlRf32 讨

19、论：讨论：l0,方向向左；方向向左；lR/2, f0, 方向向右；方向向右；l=R/2, f=0.联立以上四式，解得联立以上四式，解得 FaC29例、两均质圆柱轮子如图。移动两轮使它们接触，例、两均质圆柱轮子如图。移动两轮使它们接触，求转动状态稳定后两轮的角速度。求转动状态稳定后两轮的角速度。1m2m1R2R01 02 设两轮间摩擦力大小为设两轮间摩擦力大小为f，稳定后两轮角速度分别为稳定后两轮角速度分别为.21 和和由角动量定理，有由角动量定理，有）（1)(2101121101 RmdtfRt）（2)(2102222202 RmdtfRt稳定后两轮边缘线速度大小相等：稳定后两轮边缘线速度大小

20、相等：）（32211RR 22111122221212221111)(,)(0000RmmRmRmRmmRmRm ff选选 为正为正(1990第第7届非物理类届非物理类专业大学生物理竞赛专业大学生物理竞赛)30例、有一长为例、有一长为l、质量为、质量为m的匀质细杆，置于的匀质细杆，置于光滑光滑水平面上水平面上，可绕过中点，可绕过中点O的光滑固定竖直轴转动，的光滑固定竖直轴转动，初始时杆静止，有一质量与杆相同的小球沿与杆初始时杆静止，有一质量与杆相同的小球沿与杆垂直的速度垂直的速度 飞来，与杆端点碰撞，并粘附于杆飞来，与杆端点碰撞，并粘附于杆端点上，如图所示。端点上，如图所示。（1）定量分析系统

21、碰撞后的运动状态；）定量分析系统碰撞后的运动状态；（2）若去掉固定轴，杆中点不固定，）若去掉固定轴，杆中点不固定，再求碰后系统的运动状态。再求碰后系统的运动状态。vmvmlO(1999第第16届非物理类专业大届非物理类专业大学生物理竞赛学生物理竞赛)314202lmmlmyC mvmlO解：解：（1）对（杆对（杆+小球）系统，对小球）系统，对O轴合外力轴合外力矩为矩为0，故角动量守恒：，故角动量守恒： 121)2(222mllmlmv lv23 碰后系统将以碰后系统将以lv23 转动。转动。（2）碰后，系统质心位置为碰后，系统质心位置为mmlCyO Cv 系统的运动可看作随质心的平动和系统的运

22、动可看作随质心的平动和绕质心轴的转动。绕质心轴的转动。32mmlCyO Cv 对（杆对（杆+小球）系统，合外力为小球）系统，合外力为0，故动量守恒：，故动量守恒：Cmvmv2 2vvC 同时，对同时，对C轴合外力矩为轴合外力矩为0，故角动量守恒：，故角动量守恒： )(4球球杆杆CCJJlmv（平平行行轴轴定定理理）杆杆222487)4(121mllmmlJC 2)4(lmJC 球球lv56 碰后系统质心将以碰后系统质心将以向右运动，向右运动，2vvC 且系统以且系统以lv56 绕质心轴转动。绕质心轴转动。33例例12、光滑水平桌面上有一半径为、光滑水平桌面上有一半径为R、质量为、质量为M的的匀

23、质圆盘，圆心匀质圆盘，圆心O沿水平沿水平x轴以速度轴以速度v0匀速运动，匀速运动，同时圆盘绕其圆心同时圆盘绕其圆心O以匀角速以匀角速 0转动，运动过程中转动，运动过程中与一静止在与一静止在x轴上质量也是轴上质量也是M的质点相碰，并粘在的质点相碰，并粘在圆盘的边缘上。求圆盘的边缘上。求：（：（1）碰后系统质心速度；）碰后系统质心速度；（2）碰后系统绕质心转动角速度；（）碰后系统绕质心转动角速度；（3）碰撞过）碰撞过程中系统损失的机械能。程中系统损失的机械能。(2010“托普杯托普杯”天津市天津市大学生物理竞赛大学生物理竞赛)OR0v0 MMx34解解:(1)对（圆盘对（圆盘+质点）系统，合质点）

24、系统，合外力为外力为0，故动量守恒：，故动量守恒：CMvMv20 2/0vvC (2)碰后系统的运动可看作随质心碰后系统的运动可看作随质心C的平动和绕质心的平动和绕质心轴的转动。轴的转动。. 2/RxC 易易知知，系统对系统对C轴的合外力矩为轴的合外力矩为0，故角动量守恒。，故角动量守恒。 )2(2RMJLCC 盘盘碰撞前瞬间，系统对碰撞前瞬间，系统对C轴的角动量即圆盘对轴的角动量即圆盘对C轴的轴的角动量：角动量：OOOCLLvMrL 0OMMxCOr0221 MRLC2243)2(MRRMJJOC 盘盘盘盘2/0 35（3）以水平桌面为参考系，系统碰撞前的动能为）以水平桌面为参考系，系统碰撞

25、前的动能为202201212121 MRMvE 碰撞后的动能为碰撞后的动能为2222)2(21221 RMJMvECC 盘盘损失的机械能为损失的机械能为20220218141 MRMvEEE 37例、质量为例、质量为m长为长为l的均质杆，其的均质杆，其B端放在桌面上，端放在桌面上，A端用手支住，使杆成水平。突然释放端用手支住，使杆成水平。突然释放A端，在此端，在此瞬时，求杆质心的加速度和杆瞬时，求杆质心的加速度和杆B端所受的力。端所受的力。BA解：解：释放后，杆的运动可看释放后，杆的运动可看作随质心的平动和绕质作随质心的平动和绕质心轴的转动。心轴的转动。CNmg桌面参考系：桌面参考系：（质质心心运运动动定定理理）CmaNmg 质心参考系：质心参考系：（转转动动定定律律） 21212mllN释放瞬间，释放瞬间，B不动，有不动，有 2laC ，方方向向向向上上方方向向向向下下；mgNgaC41,43 联立求解联立求解38方法方法2：桌面参考系：释放瞬间，对桌面参考系：释放瞬间，对B轴，有轴，有（转转动动定定律律） 2312mllmg lg23 质心加速度：质心加速度：0220 laxCglayC432 方方向向向向下下,43gaC 由质心运动定理，有由质心运动定理，有mgNmamgNmaNyCyCxyx410 ，方方向向向