(14工)第六章统计物理学基础

1、从物质的微观结构出发从物质的微观结构出发,用统计的观点和用统计的观点和方法方法,求出微观量的统计平均值求出微观量的统计平均值,以了解宏以了解宏观规律的本质观规律的本质.6-1 6-1 物质的微观结构物质的微观结构热力学系统热力学系统：大量微观粒子（分子、原子等）组成的宏观体系。大量微观粒子（分子、原子等）组成的宏观体系。 外界外界：热力学系统以外的物体。：热力学系统以外的物体。微观粒子体系的基本特征微观粒子体系的基本特征(1)分子分子(或原子或原子)非常微小。非常微小。(2)热力学系统所包含的微观粒子数非常巨大热力学系统所包含的微观粒子数非常巨大.(3)分子之间存在相互作用力分子力分子之间存在

2、相互作用力分子力.(4)分子或原子的运动是杂乱无章的。分子或原子的运动是杂乱无章的。宏观量宏观量描描述述热力学系统宏观整体的特征和状态的参量。热力学系统宏观整体的特征和状态的参量。 如如 压强压强 p、体积、体积 V、温度、温度 T 等。等。微观量微观量 描述单个微观粒子特征和运动状态的物理量。描述单个微观粒子特征和运动状态的物理量。如分子的质量、如分子的质量、 直径、速度、动量、能量直径、速度、动量、能量 等。等。微观量与宏观量有一定的内在联系。微观量与宏观量有一定的内在联系。一、系统状态的描一、系统状态的描述述6-26-2 理想气体分子的动理论理想气体分子的动理论在这过程中，各点密度、温度

3、等均不相同，这就在这过程中，各点密度、温度等均不相同，这就是是非平衡态非平衡态。但随着时间的推移，各处的密度、。但随着时间的推移，各处的密度、压强压强、温度、温度等都达到了均匀，无外界影响，状态等都达到了均匀，无外界影响，状态保持不变，就是保持不变，就是平衡态平衡态。设一容器，用隔板将其设一容器，用隔板将其隔开隔开，当隔板右移时，当隔板右移时，分子向右边扩散分子向右边扩散平衡态平衡态: : 在在无外界的影响无外界的影响下，系统所有可观察的宏下，系统所有可观察的宏观性质不随时间改变的稳定状态。观性质不随时间改变的稳定状态。两点说明两点说明：平衡态是一种平衡态是一种理想状态理想状态 处在平衡态的大

4、量分子仍在作热运动，而且因处在平衡态的大量分子仍在作热运动，而且因为碰撞，为碰撞， 每个分子的速度经常在变，但是系统的宏每个分子的速度经常在变，但是系统的宏观量不随时间改变。观量不随时间改变。平衡态是一种平衡态是一种热动平衡热动平衡 若系统所受外界影响可以忽略，宏观性质只有若系统所受外界影响可以忽略，宏观性质只有很小变化时，可近似看作是平衡态。很小变化时，可近似看作是平衡态。物态方程（状态方程）物态方程（状态方程）理想气体理想气体po),(111TVpI),(222TVpII V0),( TVpf当系统处于平衡态时，三个状态参量存在一定的当系统处于平衡态时，三个状态参量存在一定的函数关系：函数

5、关系：RTMmpV 气气体体的的摩摩尔尔质质量量气气体体质质量量 MmKmolJR /31. 8 普适气体常量普适气体常量例例：氧气瓶的压强降到：氧气瓶的压强降到106Pa即应重新充气，以免混入即应重新充气，以免混入其他气体而需洗瓶。今有一瓶氧气，容积为其他气体而需洗瓶。今有一瓶氧气，容积为32L，压，压强为强为1.3 107Pa，若每天用，若每天用105Pa的氧气的氧气400L，问此瓶，问此瓶氧气可供多少天使用？设使用时温度不变。氧气可供多少天使用？设使用时温度不变。解解: 根据题意，可确定研究对象为原来气体、用去气根据题意，可确定研究对象为原来气体、用去气体和剩余气体，设这三部分气体的状态

6、参量分别为体和剩余气体，设这三部分气体的状态参量分别为使用时的温度为使用时的温度为T设可供设可供 x 天使用天使用原有原有每天用量每天用量剩余剩余 x 333222111mVpmVpmVpTmVp111TmVp222TmVp333分别对它们列出状态方程，有分别对它们列出状态方程，有RTMmVpRTMmVpRTMmVp333222111 23131xmmmVV 22131231)(VpVppmmmx 天天6 . 9400132)10130( RTMVpmRTMVpmRTMVpm333222111 二、分子热运动的无序性和统计规律性二、分子热运动的无序性和统计规律性什么是统计规律性？什么是统计规律

7、性？大量偶然性大量偶然性从从整体上整体上所体现出来的所体现出来的必然性必然性。分子热运动分子热运动无序性无序性统计性统计性单个分子运动情况单个分子运动情况具有很大的偶然性。具有很大的偶然性。大量分子的集体表现大量分子的集体表现存在一定规律性。存在一定规律性。从入口投入小球从入口投入小球与钉碰撞与钉碰撞落入狭槽落入狭槽( 偶然偶然 )隔板隔板铁钉铁钉伽尔顿板实验伽尔顿板实验再投入小球：再投入小球： 经一定段时间后经一定段时间后 , 大大量小球落入狭槽。量小球落入狭槽。分布情况：分布情况：中间多，两边少。中间多，两边少。重复几次重复几次 ，结果相似。，结果相似。 单个小球运动是随机的单个小球运动是

8、随机的 ,大量小球运动分布是确定大量小球运动分布是确定的。的。小球数按空间小球数按空间位置位置 分布曲线分布曲线伽尔顿板实验伽尔顿板实验统计规律特点统计规律特点: : (1)只对大量偶然的事件才有意义只对大量偶然的事件才有意义. (2)它是不同于个体规律的整体规律它是不同于个体规律的整体规律. (3)大数量现象在一定宏观条件下的稳定性。大数量现象在一定宏观条件下的稳定性。 统计物理学的任务统计物理学的任务: :对平衡态下的热现象进行微观描述，然后运用对平衡态下的热现象进行微观描述，然后运用统计的方法求得：统计的方法求得： (1)宏观量与微观量的统计平均值的关系，揭示宏宏观量与微观量的统计平均值

9、的关系，揭示宏观量的微观本质；观量的微观本质； (2)平衡态下微观量的统计分布。平衡态下微观量的统计分布。 三、三、 统计的基本概念统计的基本概念1. 概率概率如果如果N次试验中出现次试验中出现A事件的次数为事件的次数为NA,当当N时，比值时，比值NA/N称为出现称为出现A事件的事件的概率概率。NNAPAN lim)(2) 各种可能发生的事件的概率总和等于各种可能发生的事件的概率总和等于1.1)( NNAPiAiiii概率归一化条件概率归一化条件概率的性质概率的性质:(1) 概率取值域为概率取值域为1)(0 AP2. 2. 概率分布函数概率分布函数随机变量随机变量在确定条件下，一个变量以确定的

10、不在确定条件下，一个变量以确定的不相同的概率取各种不同的值，称这个相同的概率取各种不同的值，称这个变量为随机变量。变量为随机变量。(1) 离散型随机变量离散型随机变量取值有限、分立取值有限、分立表示方式表示方式 SSPPP2121 1), 2 , 1(01 SiiiPSiP有有随机变量随机变量x的的概率密度概率密度dxxdPx)()( 变量取值在变量取值在xx+dx间间隔内的概率隔内的概率概率密度等于随机变量取值在单位间隔内的概率。概率密度等于随机变量取值在单位间隔内的概率。1)( dxx (2) 连续型随机变量连续型随机变量取值无限、连续取值无限、连续又称为又称为概率分布函数概率分布函数（简

11、称分布函数）。（简称分布函数）。)(x 3. 3. 统计平均值统计平均值算术平均值算术平均值 NNNNiiiii 统计平均值统计平均值 iiiNiiiNPNNNN )(limlim对于离散型对于离散型随机变量随机变量 随机变量的统计平均值等于一切可能状态随机变量的统计平均值等于一切可能状态的概率与其相应的取值的概率与其相应的取值 乘积的总和。乘积的总和。i 对于连续型随机变量对于连续型随机变量统计平均值统计平均值 dxxxxxdPx)()( iiiNiiiNPNNNN )(limlim比较！比较！四、四、理想气体的微观模型和理想气体的微观模型和统计假设统计假设1. 1. 理想气体微观模型理想气

12、体微观模型分子本身的大小比起它们之间的平均距离分子本身的大小比起它们之间的平均距离可忽略不计。可忽略不计。 除碰撞外，分子之间的作用可忽略不计。除碰撞外，分子之间的作用可忽略不计。 分子间的碰撞是完全弹性的。分子间的碰撞是完全弹性的。 分子所受重力忽略不计。分子所受重力忽略不计。理想气体分子是弹性的自由运动的质点。理想气体分子是弹性的自由运动的质点。2 . 2 . 统计假设统计假设容器内任一位置附近单位体积内的分子数不比其容器内任一位置附近单位体积内的分子数不比其他位置占优势；他位置占优势； cbannn分子沿任一方向的运动不比其他方向的运动占优势。分子沿任一方向的运动不比其他方向的运动占优势

13、。 NvNvvvvin/ )(2222212abc 分子数密度处处相等；分子数密度处处相等；分子速度在各方向上的分量的各种平均值相等。分子速度在各方向上的分量的各种平均值相等。222231vvvvzyx zyxvvv 五理想气体的压强公式五理想气体的压强公式 一定质量的处于平衡态的某种理想气体。一定质量的处于平衡态的某种理想气体。(V,N,m )xyz1l2l3lO2A1Aivizviyvixvkvjvivviziyixi 平衡态下器壁各处平衡态下器壁各处压强相同，选压强相同，选A1面面求其所受压强。求其所受压强。xy1lO2A1Aixmvixmv i分子与器壁碰撞一次动量增量分子与器壁碰撞一

14、次动量增量ixixmvp2 i分子对器壁的冲量分子对器壁的冲量ixmv2i分子相继与分子相继与A1面碰撞的时间间隔面碰撞的时间间隔ixvlt/21 单位时间内单位时间内i分子对分子对A1面的碰撞次数面的碰撞次数121l/vt/Zix 单位时间内单位时间内i分子对分子对A1面的冲量面的冲量122l/vmvixix i分子对分子对A1面的平均冲力面的平均冲力122l/vmvFixixix 所有分子对所有分子对A1面的平均作用力面的平均作用力 NiixNiixxvlmFF1211压强压强NlllvmNvlllmllFpNiixNiixx321121232132 212xNiixvNv nlllN 3

15、212xvnmp 122l/vmvFixixix 222231vvvvzyx 2231vnmvnmpx 分子的平均平动动能分子的平均平动动能平衡态下平衡态下221vmW Wnp32 六、六、分子的平均平动动能与温度的关系分子的平均平动动能与温度的关系玻玻尔尔兹兹曼曼常常量量12310381 KJ.NRkAnkTp 温度是气体分子平均平动动温度是气体分子平均平动动能大小的量度能大小的量度RTMmpV TNRnRTNNVpAA 1Wnp32 kTvmW23212 气体分子的气体分子的方均根速率方均根速率2v大量分子速率的平方平均值的平方根大量分子速率的平方平均值的平方根 气体分子的方均根速率与气体

16、的热力学温度的平气体分子的方均根速率与气体的热力学温度的平方根成正比，与气体的摩尔质量的平方根成反比。方根成正比，与气体的摩尔质量的平方根成反比。Tv 2kTvmW23212 MRTmkTv332 Mv12 例例:在一个具有活塞的容器中盛有一定的气体。如果在一个具有活塞的容器中盛有一定的气体。如果压缩气体并对它加热，使它的温度从压缩气体并对它加热，使它的温度从270C升到升到1770C，体积减少一半，这时气体分子的平均平动，体积减少一半，这时气体分子的平均平动动能变化多少？动能变化多少？解：解：JTTkwww212312121011. 3)300450(1038. 123)(23 )(2312

17、12TTkWWW kTW23 1.1.自由度自由度 确定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数目。确定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数目。以刚性分子（分子内原子间距离保持不变）为例以刚性分子（分子内原子间距离保持不变）为例七、能量按自由度均分定理七、能量按自由度均分定理 xzy),(zyxC单原子分子单原子分子平动自由度平动自由度t=33 rtixzy),(zyxC 双原子分子双原子分子平动自由度平动自由度t=3转动自由度转动自由度r=25 rtixzy),(zyxC 三原子或三三原子或三原子以上的原子以上的分子分子平动自由度平动自由度t=3转动自由度转动自由度r=36 rti实际气体不能看

18、成刚性分子，因原子之间还有振动实际气体不能看成刚性分子，因原子之间还有振动. .2.2.能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理222231vvvvzyx kTvmvmvmzyx21212121222 气体分子沿气体分子沿 x,y,z 三个方向运动的三个方向运动的平均平动平均平动动能完全相等动能完全相等，可以认为分子的平均平动动，可以认为分子的平均平动动能能 均匀分配均匀分配在每个平动自由度上。在每个平动自由度上。kT23kTvmW23212 平衡态下，不论何种运动，相应于每一个可平衡态下，不论何种运动，相应于每一个可能自由度的平均动能都是能自由度的平均动能都是 .kT21能量按自由度均分定理

19、能量按自由度均分定理如果某种气体的分子有个如果某种气体的分子有个 t 个平动自由度个平动自由度, r 个转动自个转动自由度由度, s 个振动自由度个振动自由度.则分子具有：则分子具有：平均平均平动平动动能动能kTt2平均平均转动转动动能动能kTr2平均平均振动振动动能动能kTs2常温下，气体分子常温下，气体分子振动动能可忽略振动动能可忽略，则分子的平，则分子的平均动能为均动能为kTikTrt2)(21 八、理想气体的内能八、理想气体的内能分子间相互作用分子间相互作用可以忽略不计可以忽略不计分子间相互作用的势能分子间相互作用的势能=0理想气体的内能理想气体的内能= =所有分子的热运动动能之总和所

20、有分子的热运动动能之总和1mol理想气体的内能为理想气体的内能为RTikTiNEAmol2)2( 一定质量理想气体的内能为一定质量理想气体的内能为温度改变，内能改变量为温度改变，内能改变量为RTiMMEmol2 TRiMMEmol 2 例例 就质量而言，空气是由就质量而言，空气是由76%的的N2，23%的的O2和和1%的的Ar三种气体组成，它们的分子量分别为三种气体组成，它们的分子量分别为28、32、40。空气的摩尔质量为。空气的摩尔质量为28.9 10-3kg，试计算，试计算1mol空气空气在标准状态下的内能。在标准状态下的内能。解解： 在在1摩尔空气中摩尔空气中N2质量质量kgM33110

21、1 .22%76109 .28 摩尔数摩尔数 789. 0281 .22111 molMM O2质量质量kgM3321065. 6%23109 .28 摩尔数摩尔数208. 03265. 6222 molMM 1mol空气在标准状态下的内能空气在标准状态下的内能J31068. 527331. 8)007. 03208. 05789. 05(21 Ar质量质量kgM33310289. 0%1109 .28 摩尔数摩尔数007. 040289. 0333 molMM RTiiiRTiRTiRTiE)(21222332211332211 dvvekTmNdNkTmv22232)2(4 麦克斯韦麦克斯

22、韦速率速率分布律分布律22232)2(4)(vekTmvfkTmv 麦克斯韦麦克斯韦速率速率分布函数分布函数一、麦克斯韦速率分布律一、麦克斯韦速率分布律1859年由麦克斯韦应用统计概念从理论上推导出年由麦克斯韦应用统计概念从理论上推导出理想气体速率分布定律。理想气体速率分布定律。6-3 6-3 麦克斯韦分子速率分布律麦克斯韦分子速率分布律NdvdNvf )(f(v)f(vp)vvpv1v2dvvfNNvv 21)(分子出现在分子出现在v1v2区间内的概率区间内的概率1)(0 dvvf曲线下的总面积曲线下的总面积恒等于恒等于1归一化条件归一化条件NdvdNvf )(下列各表达式的物理意义：下列各

23、表达式的物理意义：dvvf)(.1dvvNf)(. 2dvvnf)(. 3 21)(. 4vvdvvf 21)(. 5vvdvvNf 0)(.6dvvf 02)(. 7dvvfv思考NdvdNvf )(NdvdNvf )(dvvf)(. 1dvvNf)(. 2dvvnf)(. 3 21)(. 4vvdvvf 21)(. 5vvdvvNf 0)(. 6dvvf 02)(. 7dvvfvNNNdN dvNdvdN NdN dvNdvdNN dN dvNdvdNVN VdN 21vvdvNdvdN 21vvdvNdvdNNN 1 02dvNdvdNvNdNv 222232)2(4)(vekTmvfk

24、Tmv f(v)v速率分布曲线从原点出发，经一极大值后，随速速率分布曲线从原点出发，经一极大值后，随速率的增加而渐近于横坐标轴。即速率很大和很小率的增加而渐近于横坐标轴。即速率很大和很小的分子所占比率实际上都很小，具有中等速率的的分子所占比率实际上都很小，具有中等速率的分子所占比率较大。分子所占比率较大。1 1、最概然速率、最概然速率pv与分布函数与分布函数f(v)的极大值相对应的速率的极大值相对应的速率极值条件极值条件0)( pvvdvvdf分子速率的三个统计值分子速率的三个统计值molpMRTmkTv22 22232)2(4)(vekTmvfkTmv 2 2、平均速率、平均速率v大量分子速

25、率的统计平均值大量分子速率的统计平均值速率是连续型随机变量速率是连续型随机变量 0)(dvvvfNdNvNvdNv22232)2(4)(vekTmvfkTmv molMRTmkTv 88 3 3、方均根速率、方均根速率2v大量分子速率的平方平均值的平方根大量分子速率的平方平均值的平方根 02022)(dvvfvNdNvvmkTv32 22232)2(4)(vekTmvfkTmv MmolRTmkTv332 f(v)vpvv2vpvv2v都与都与 成正比，成正比，与与 （或（或 ）成反比）成反比TmmolM1 1、温度与分子速率、温度与分子速率温度越高，分布曲线中的最温度越高，分布曲线中的最概然

26、概然速率速率vp增大，但归一化条件要求曲增大，但归一化条件要求曲线下总面积不变，因此分布曲线线下总面积不变，因此分布曲线宽度增大，高度降低。宽度增大，高度降低。麦克斯韦分布曲线的性质麦克斯韦分布曲线的性质f(v)f(vp3)vf(vp1)f(vp2)T1T3T2321TTT molpMRTmkTv22 1273K273K73Kf (v)50010001500vO2氧气分子分布函数和温度的关系氧气分子分布函数和温度的关系例例 如图所示两条曲线分别表示同种理想气体分子如图所示两条曲线分别表示同种理想气体分子在温度在温度T1、T2时的麦克斯韦速率分布曲线。已知时的麦克斯韦速率分布曲线。已知T1T2，

27、阴影部分面积为阴影部分面积为S0，求曲线，求曲线1对应的最概然对应的最概然速率为多少？温度分别为速率为多少？温度分别为T1、T2时，分子速率小时，分子速率小于于vp2的分子的概率之差为多少？的分子的概率之差为多少？f(v)vvp2T1T2O曲线曲线2的最概然速率为的最概然速率为molpMRTv222 曲线曲线1的最概然速率为的最概然速率为molpMRTv112 f(v)vvp2T1T2O2121TTvvpp 温度分别为温度分别为T1、T2 时，分子速率小于时，分子速率小于vp2的分子的概的分子的概率之差等于率之差等于vp2之左，曲线之左，曲线1、2所夹的无阴影面积。所夹的无阴影面积。10 dv

28、vf)(该无阴影区面积为该无阴影区面积为1-S0f(v)vvp2T1T2O2 2、质量与分子速率、质量与分子速率分子质量越大，分布曲线中的最分子质量越大，分布曲线中的最概然速率概然速率vp越小，但归一化条件要越小，但归一化条件要求曲线下总面积不变，因此分布求曲线下总面积不变，因此分布曲线宽度减小，高度升高。曲线宽度减小，高度升高。f(v)f(vp3)vf(vp1)f(vp2)M1molM2molM3mol相相同同TO321MMM molpMRTmkTv22 例：例： 有有N个气体分子，其速率分布函数为个气体分子，其速率分布函数为 00000)()(vvvvvvAvvf试求试求: (1)常数常数

29、A；(2)最概然速率，平均速率和方均根速率；最概然速率，平均速率和方均根速率；(3)速率介于速率介于0v0/3之间的分子数；之间的分子数；(4)速率介于速率介于0v0/3之间之间的气体分子的平均速率。的气体分子的平均速率。)(vfov0v解解： (1)气体分子的分布曲线如图气体分子的分布曲线如图由归一化条件由归一化条件10 dvvf)(16)(30000 vAdvvvAvv306vA (2)最概然速率由最概然速率由0)( pvdvvdf决定，即决定，即0)2(6)(030 ppvvvvvdvvdf20vvp 平均速率平均速率2)(6)(00023000vdvvvvvdvvvfvv 200033

30、0022103)(6)(0vdvvvvvdvvfvvv 方均根速率方均根速率02103vv 0003000)(6)(vvvvvvvvvf(3)速率速率介于介于0v0/3之间的分子数之间的分子数277)(6)(300303000NdvvvvvNdvvNfdNNvv (4)速率速率介于介于0v0/3之间的气体分子平均速率为之间的气体分子平均速率为143277)(603002303030300000vNdvvvvvNdNvdNvvvvv 0003000)(6)(vvvvvvvvvf讨论讨论速率速率介于介于v1v2之间的气体分子的平均速率的计算之间的气体分子的平均速率的计算 212121vvvvvvd

31、vvfdvvvfv)()( 2121vvvvdvvvfv)(对于对于v的某个函数的某个函数g(v)，一般地，其平均值可以表示为，一般地，其平均值可以表示为 2121)()()()(vvvvdvvfdvvfvgvgmolMRTv60. 1 氮气分子在氮气分子在270C时的时的平均速率为平均速率为476m.s-1.矛盾矛盾气体分子热运动平均速率高，气体分子热运动平均速率高，但气体扩散过程进行得相当慢。但气体扩散过程进行得相当慢。克劳修斯指出克劳修斯指出：气体分子的速度虽然很大，但：气体分子的速度虽然很大，但前进中要与其他分子作频繁的碰撞，每碰一次，前进中要与其他分子作频繁的碰撞，每碰一次，分子运动

32、方向就发生改变，所走的路程非常曲分子运动方向就发生改变，所走的路程非常曲折。折。气体分子气体分子平均速率平均速率二、平均碰撞频率和平均自由程二、平均碰撞频率和平均自由程AB 在相同的在相同的 t时间内，分子由时间内，分子由A到到B的位移大小比它的路程小得多的位移大小比它的路程小得多扩散速率扩散速率(位移量位移量/时间时间)平均速率平均速率(路程路程/时间时间) 分子分子自由程自由程:气体分子两次相邻碰撞之间自由通过的路程。气体分子两次相邻碰撞之间自由通过的路程。分子分子碰撞频率碰撞频率:在单位时间内一个分子与其他分子碰撞的次数。在单位时间内一个分子与其他分子碰撞的次数。nvdZ22 一秒钟内分子一秒钟内分子A经过路程为经过路程为v一秒钟内一秒钟内A与其它