固体物理教学 第三章-声子-复习与习题

1、第三章逻辑整理第三章逻辑整理3.1 引言；引言；3.2 原子间的相互作用势能；3.3 一维单原子链的振动；3.4 一维双原子链的振动；3.5 三维晶格振动；3.6 离子晶体的长光学波；3.7 晶格热容；3.8 非简谐效应；3.9 确定晶格振动谱的实验方法。：一维单原子链色散关系推导：一维单原子链色散关系推导12sin2aqm色散关系：色散关系： ：力常数：力常数a：晶格常数：晶格常数nnUFm 从运动方程导出色散关系：从运动方程导出色散关系：1、如何写出、如何写出U?2、如何解方程、如何解方程?：一维单原子链色散关系推导：一维单原子链色散关系推导是对平衡位置的偏离是格点的平衡位置，nn R .

2、)RR()(41 )RR(21nn,nn2nnnnnn, uuU一、推导一、推导U)RR(21)rr (21nnnnnn,nnnn, uuU晶体的总势能：晶体的总势能：Taylor展开：展开：20nnnnn,n2nnn,n1 ( )(RR )41 ( )2UUu1、简谐近似、简谐近似：一维单原子链色散关系推导：一维单原子链色散关系推导一、推导一、推导U2、最近邻近似、最近邻近似,2)(21nnnnUnn+1n+2n-1n-2 n n+1 n+2 n-1 n-2aa ：力常数：力常数只考虑最近邻原子间的相互作用：只考虑最近邻原子间的相互作用：2012 () /nnnUU ：一维单原子链色散关系推

3、导：一维单原子链色散关系推导222()( )( ) (0), ()( )(2)2 ()( ) uu xxu xu xxxxuu xxu xu xxu xxu xxxx二、求解运动方程二、求解运动方程第第n个原子间受到的作用力：个原子间受到的作用力：)2(11nnnnnUF 2012 () /nnnUU 第第n个原子的运动方程：个原子的运动方程：112 nnnnm()( , )it qxu x tAe2222,uYutx222(2)2 ()( ) uY u xxu xxu xtxnit qnaAe尝试解尝试解可写为：可写为：1、提出尝试解、提出尝试解(x=na)：一维单原子链色散关系推导：一维单

4、原子链色散关系推导二、求解运动方程二、求解运动方程2、求解色散关系、求解色散关系第第n个原子的运动方程：个原子的运动方程：112 nnnnmnit naqAe解解 格波方程格波方程222cos1iaqiaqmeeaq12sin2aqm解得解得 色散关系色散关系22iaqiait naqit naqit naqit nqaqAeAeAemAe3.3 其他内容其他内容二、通过画色散关系图谱，发现格波周期性与布里渊区的关系二、通过画色散关系图谱，发现格波周期性与布里渊区的关系12sin2aqm 色散关系色散关系qaa 布里渊区布里渊区a -a 02a 2a -q (q)3.3 其他内容其他内容三、推

5、导三、推导(q)，为以后的推导埋下伏笔，为以后的推导埋下伏笔q的分布密度：的分布密度： 22LNaq一维：一维：注意与电子气模型里面的注意与电子气模型里面的(k)类比。类比。四、在简正坐标下得到声子概念四、在简正坐标下得到声子概念为什么要用简正坐标？为什么要用简正坐标？为了方便！为了方便！3.3 其他内容其他内容四、在简正坐标下得到声子概念四、在简正坐标下得到声子概念3.3 其他内容其他内容四、在简正坐标下得到声子概念四、在简正坐标下得到声子概念简正坐标下的结果是（简正坐标下的结果是（P90,91）：）：222| )(|21| )(|21qqqQUqQTq如何引入简正坐标？如何引入简正坐标？1

6、 ( )( )qitinaqqnqQ qNmA eQ q eNm令 qnaqtiqqnqnqeA)( 线性变换系数正交条件：线性变换系数正交条件：,1q qnina q qeN *)( :QqQ 反反演演对对称称性性为什么说上面是简正坐标呢（为什么说上面是简正坐标呢（88，89）？）？3.3 其他内容其他内容222| )(|21| )(|21qqqQUqQTq四、在简正坐标下得到声子概念四、在简正坐标下得到声子概念如果如果Q(q)是简正坐标，那么由书本节结论就有：是简正坐标，那么由书本节结论就有：212nnTm晶体链的动能：晶体链的动能：2112nnnU晶体链的势能：晶体链的势能：1()21,

7、2,3,.qnqqqEnn能量本征值为：能量本征值为：所以格波的能量是分立的，所以说，格波最基本的能量单元，就是声子所以格波的能量是分立的，所以说，格波最基本的能量单元，就是声子3.4 一维双原子链一维双原子链一、推导色散关系一、推导色散关系3.4 一维双原子链一维双原子链一、推导色散关系一、推导色散关系3.4 一维双原子链一维双原子链二、色散关系的相关讨论二、色散关系的相关讨论（1）色散曲线）色散曲线3.4 一维双原子链一维双原子链二、色散关系的相关讨论二、色散关系的相关讨论（2）光学支以及声学支中原子相对运动规律）光学支以及声学支中原子相对运动规律iaqnneBAuu1223.4 一维双原

8、子链一维双原子链二、色散关系的相关讨论二、色散关系的相关讨论（2）光学支以及声学支中原子相对运动规律）光学支以及声学支中原子相对运动规律3.4 一维双原子链一维双原子链二、色散关系的相关讨论二、色散关系的相关讨论（2）光学支以及声学支中原子相对运动规律）光学支以及声学支中原子相对运动规律3.4 一维双原子链一维双原子链二、色散关系的相关讨论二、色散关系的相关讨论（2）光学支以及声学支中原子相对运动规律）光学支以及声学支中原子相对运动规律3.5 三维晶格振动三维晶格振动略。但是需要清楚：略。但是需要清楚：简单晶格：每个原胞中只有一个原子，每一个简单晶格：每个原胞中只有一个原子，每一个q的取值的取

9、值 对应于三个声学波（对应于三个声学波（1个纵波，个纵波，2个横波）个横波）晶格振动格波的总数晶格振动格波的总数3N晶体的自由度数晶体的自由度数复式晶格：若每个原胞中有复式晶格：若每个原胞中有s个原子，每一个个原子，每一个q的取值的取值 对应于对应于3个声学波和个声学波和3(s-1)个光学波个光学波 晶格振动格波的总数晶格振动格波的总数33(s-1)N=3sN=晶体的自由度数晶体的自由度数晶格振动波矢的总数晶体的原胞数晶格振动波矢的总数晶体的原胞数晶格振动格波的总数晶体的自由度数晶格振动格波的总数晶体的自由度数 提供思路：声学波是晶格的集体振荡，由于三维来说，集体振荡肯定只有提供思路：声学波是

10、晶格的集体振荡，由于三维来说，集体振荡肯定只有3个个方向，显然就是三个声学波；因为是直角坐标系如果选定某一个入射方向，方向，显然就是三个声学波；因为是直角坐标系如果选定某一个入射方向，那么一定要一个波振荡与传播平行，那么一定要一个波振荡与传播平行，2个是垂直，所以个是垂直，所以1个纵、两个横。个纵、两个横。练习练习 a a31 m M n-1 n-1 n n n+1 n+1 质量分别为质量分别为M和和m（设（设M m）的两种原子以）的两种原子以a和和a/3相间排成如图所示的一相间排成如图所示的一维晶体链，若只考虑近邻原子间的弹性相互作用，设相邻原子间的恢复力系维晶体链，若只考虑近邻原子间的弹性

11、相互作用，设相邻原子间的恢复力系数同为数同为 ， (1)写出每种原子的动力学方程式；写出每种原子的动力学方程式；(2)写出格波方程式；写出格波方程式；(3)导出色散关系式。导出色散关系式。1111()()(2)()()(2)nnnnnnnnnnnnnnnnMuvuuvvvuMvuvvuuuv4exp ()344exp ()exp ()33nnnuAi qnatvBi qnaqatuBi qnat答：若只考虑近邻原子间的弹性相互作用，第答：若只考虑近邻原子间的弹性相互作用，第n对大小原子的运动方程为：对大小原子的运动方程为： （1） （2） 取格波方程式为：取格波方程式为：练习练习224exp(

12、)2 34exp()2 3MABBiqaAmBAAiqaB224(2)1exp()0341exp()(2)03MAiqa Biqa AmB224(2)1exp()3041exp()(2)3Miqaiqam22224sin ()3qamMmMmMnM上式中，已将固定相位因子将位移方程代入式（将位移方程代入式（1）中，得到；）中，得到； （3） （4）由上式解得色散关系为：由上式解得色散关系为： （6）整理得：整理得：因振幅因振幅A和和B不会为零，所以其系数行列式必定为零，即：不会为零，所以其系数行列式必定为零，即： （5）3.6 离子晶体中的长光学支离子晶体中的长光学支(黄昆方程黄昆方程)首先明

13、确，由于声学支就是晶格的整体振动，可以用宏观理论首先明确，由于声学支就是晶格的整体振动，可以用宏观理论研究，很简单。但是，长光学波研究就相对困难，因此有了黄昆方程研究，很简单。但是，长光学波研究就相对困难，因此有了黄昆方程一、黄昆方程是什么以及其系数推导。一、黄昆方程是什么以及其系数推导。推导的方法是用极限法，选取推导的方法是用极限法，选取为为0以及无穷这两个极端情况下，给出的求解。以及无穷这两个极端情况下，给出的求解。11122122bbbb WWEP =WE黄昆方程黄昆方程第一个方程：决定离子相对振动的动力学方程第一个方程：决定离子相对振动的动力学方程第二个方程：极化方程第二个方程：极化方

14、程：宏观极化强度；：宏观极化强度； ：宏观极化电场：宏观极化电场PE3.6 离子晶体中的长光学支离子晶体中的长光学支(黄昆方程黄昆方程)首先明确，由于声学支就是晶格的整体振动，可以用宏观理论首先明确，由于声学支就是晶格的整体振动，可以用宏观理论研究，很简单。但是，长光学波研究就相对困难，因此有了黄昆方程研究，很简单。但是，长光学波研究就相对困难，因此有了黄昆方程一、黄昆方程是什么以及其系数推导。一、黄昆方程是什么以及其系数推导。推导的方法是用极限法，选取推导的方法是用极限法，选取为为0以及无穷这两个极端情况下，给出的求解。以及无穷这两个极端情况下，给出的求解。 1122122100220211

15、001bbbb 0：横长光学波的频率：横长光学波的频率0 Wl 静电场情况：静电场情况： 0l 高频电场情况：高频电场情况： 0 W3.6 离子晶体中的长光学支离子晶体中的长光学支(黄昆方程黄昆方程)二、长光学支的横波和纵波关系二、长光学支的横波和纵波关系推导的方法是对方程取旋度和散度来求解推导的方法是对方程取旋度和散度来求解 LOTO0 LST关系关系三、长光学支的原子理论三、长光学支的原子理论用来证明黄昆方程用来证明黄昆方程对于对于b12 = b21有强大怨念的同学，大可不必那么纠结，看看有强大怨念的同学，大可不必那么纠结，看看这部分推导，发现确实可以证明。这部分推导，发现确实可以证明。3

16、.7 晶格热容晶格热容一、基本思路一、基本思路VECTEE本征值本征值求求VCjjj12En引入引入配分函数配分函数Z=jEe令令=1/（kBT）原因：确定了原因：确定了Z之后，则系统的内能之后，则系统的内能U确定确定ln zU abU=E +EEln zE ln =ln(1)2jwjwzelnjzE 12exp()1 jjj3.7 晶格热容晶格热容一、基本思路一、基本思路在一定温度下，晶格振动的总能量为：在一定温度下，晶格振动的总能量为：01( )2exp1BEEE Tk Tjjjjj102Ejj 晶体的零点能晶体的零点能( )exp1BE Tk Tjjj 与温度有关的能量与温度有关的能量3

17、.7 晶格热容晶格热容二、二、Einstein模型模型01()2exp1BEEE Tk Tjjjjj 假设：晶体中各原子的振动相互独立，且所有原子都假设：晶体中各原子的振动相互独立，且所有原子都 以同一频率以同一频率 0振动。振动。0.const即：即：在一定温度下，由在一定温度下，由N个原子组成的晶体的总振动能个原子组成的晶体的总振动能为：为：003exp1BE TNk T02020exp3exp1BVBBBk TECNkTk Tk T3.7 晶格热容晶格热容BVNkC3二、二、Einstein模型模型02020exp3exp1BVBBBk TECNkTk Tk T定义定义 Einstein

18、温度：温度：0EBk v 高温下：高温下：T Ev 在低温下：在低温下：T D，即，即0DDxTv 在低温下：在低温下：T D，即，即 DDxT 433125BVDNkTCT这表明，这表明，Debye模型可以很好地解释在很低温度下晶格热容模型可以很好地解释在很低温度下晶格热容CV T3的实验结果。的实验结果。 用用Debye模型来解释晶格热容的实验结果是相当成功的，尤其是在低温下，温模型来解释晶格热容的实验结果是相当成功的，尤其是在低温下，温度越低，度越低，Debye近似就越好。近似就越好。3.7 晶格热容晶格热容四、模式密度四、模式密度在在q空间中，处在空间中，处在 d 两等频面之间的振动模

19、式数两等频面之间的振动模式数（只考虑其中第只考虑其中第j支格波支格波）为）为 jqgdd壳层q38VdSdq由于由于jdqd q j3j8VdSgq练习练习cSNkcSNNcSBDmm2/12/1024)3(42d)2(二维二维)4(326d21d)(2121)4(222302000ScNNcScSEgEmmmmm二维晶体总的零点能的格波的零点能为频率为22221)2(221)2(2)(2)(2)() 1 (cSccSqcSdSddqqdSqq例：由例：由N个原子组成的二维个原子组成的二维(面积为面积为S)简单晶格晶体，设格波的平均传播速简单晶格晶体，设格波的平均传播速 度为度为c，应用，应用

20、Debye模型分别计算：模型分别计算：(1)晶格振动的模式密度晶格振动的模式密度g( )； (2)截止频率截止频率 m； (3) Debye温度温度 D；(4)晶格的零点能晶格的零点能E0(用用N和和 m表示表示)。3.8 非简谐效应非简谐效应没有热膨胀没有热膨胀力常数不依赖于温度和压力力常数不依赖于温度和压力高温时热容量是常数高温时热容量是常数声子间不存在相互作用，声子的平均自由程和寿命都是无声子间不存在相互作用，声子的平均自由程和寿命都是无限的。或说：两个格波之间不发生相互作用，单个波不衰限的。或说：两个格波之间不发生相互作用，单个波不衰减或不随时间改变形式减或不随时间改变形式完美简谐晶体

21、的热导是无限大的完美简谐晶体的热导是无限大的简谐近似的局限性：简谐近似的局限性：1）热膨胀；）热膨胀；2）声子相互作用对于自由程的影响）声子相互作用对于自由程的影响先介绍一下晶格的状态方程先介绍一下晶格的状态方程3.8 非简谐效应非简谐效应一、晶格的状态方程一、晶格的状态方程 有有 dF=dU-d(TS)=pdVSdTTFpV 状态方程：状态方程： f(p, V, T)=0自由能的定义：自由能的定义： F=UTS热力学第一定律：热力学第一定律： dU=TdSpdV由统计物理可知，由统计物理可知，F2=kBTlnZ晶格自由能晶格自由能 F = F1+F2v F1=U(V)只与晶体的体积有关，而与

22、温度（或晶格只与晶体的体积有关，而与温度（或晶格 振动）无关，振动）无关， U(V)实际上是实际上是T=0时晶体的内能。时晶体的内能。v F2与晶格振动有关，即与温度有关。与晶格振动有关，即与温度有关。Z是晶格振动的配分函数是晶格振动的配分函数 exp(/),BEZE k T(1/ 2),jjjjjEEn3.8 非简谐效应非简谐效应一、晶格的状态方程一、晶格的状态方程jj2jlnln 1 exp2BBBBFk TZk Tk Tk T 3.8 非简谐效应非简谐效应一、晶格的状态方程一、晶格的状态方程 jjjln 1exp2BBBFU Vk Tk Tk T晶格自由能为：晶格自由能为：jjj2exp

23、1TBdFdUpVdVdVk T jjjjjj112exp1BddUdVdVkVTV jjjln1lnddUEdVVdV jjjj12e x p1BEkT其中其中是表征频率随体积变化的量，假定与是表征频率随体积变化的量，假定与 j无关。无关。 lnlnjdd V晶格状态方程：晶格状态方程：dUEpdVV lnlnddV Grneisen const. 与晶格振动的非简谐性有关与晶格振动的非简谐性有关Grneisen假定：假定：3.8 非简谐效应非简谐效应一、晶格的状态方程一、晶格的状态方程晶格状态方程：晶格状态方程：dUEpdVV 3.8 非简谐效应非简谐效应二、热膨胀二、热膨胀热膨胀指的是在

24、不加压的情况下，晶体体积随温度升高热膨胀指的是在不加压的情况下，晶体体积随温度升高而增大的现象。而增大的现象。令令p = 0，有：，有：dUEdVV近展 开V 静止晶格平衡体积可将其在化时时其体积变化不大 对大多数固体，温度变00022VVdUdUd UVdVdVdV3.8 非简谐效应非简谐效应二、热膨胀二、热膨胀00VdUdV平衡时：平衡时：020002VVEEVKVd UVVVd ,022VdVUddVdUVVEVdVUdV 022令令p = 0，有：，有：dUEdVV02002Vd UKVdV为静止晶格的压缩模量为静止晶格的压缩模量3.8 非简谐效应非简谐效应二、热膨胀二、热膨胀0200

25、02VVEEVKVd UVVVd当温度变化时，对下式温度求微商当温度变化时，对下式温度求微商对许多固体材料的测量结果证实了对许多固体材料的测量结果证实了Grneisen定律，定律， 的的值一般在值一般在12之间。之间。0VCKV Grneisen定律定律可得可得体积热胀系数体积热胀系数下面将证明下面将证明 是由非简谐近似带来的。是由非简谐近似带来的。 )(d)(d,dlnlnd21)2(dlnlnd21dlnlnd2sin411222/1222aVrrVaNaVVNaaqMmmMmMMma ，相当于三维晶格的体积相当于三维晶格的体积链的长度链的长度对一维双原子链对一维双原子链3.8 非简谐效应非简谐效应二、热膨胀二、热膨胀)()(21)()(121aVaVaaaVaV .)(61)(21)()()(32 aVaVaVaVrV ，没有热膨胀。，没有热膨胀。简谐近似，简谐近似，00)()(21)()(2 aVaVaVrV 原因。原因。非简谐近似是热膨胀的非简谐近似是热膨胀的，32)(61)(21)()()( aVaVaVaVrV 3.8 非简谐效应非简谐效应二、热膨胀二、热膨胀3.8 非简谐效应非简谐效应三、声子相互作用对于声子平均自由程的影响三、声子相互作用对于声子平均自由程的影响（1）声子碰撞对于自由程的影响）声子碰撞对于自由程的影响 声子间的相互碰撞必须满足声子间的相互碰撞必须