物理竞赛--张孟(全)

1、物理竞赛辅导物理竞赛辅导 力力 学学辅导老师：辅导老师： 张孟张孟参考资料：参考资料：1 1 教材教材2 2 大学物理学大学物理学 5 5册册 张三慧主编张三慧主编 清华大学出版社清华大学出版社3 3 历年考题历年考题参赛组：非物理类参赛组：非物理类A A组组N个粒子系统，定义质量中心个粒子系统，定义质量中心mrmmrmrNiiiNiiNiiic 111mxmxNiiic 1mymyNiiic 1mzmzNiiic 1一、质心一、质心xyzmiircrO对连续分布的物质，可以将其分为对连续分布的物质，可以将其分为N个小质元个小质元mdmrrc 例：任意三角形的每个顶点有一质量例：任意三角形的每

2、个顶点有一质量 m，求质心。，求质心。xyo（x1，y1）x2332121xxmmxmxxc 3311ymmyyc mxdmxc mydmyc mzdmzc dVdm dSdm dldm 二、质心系二、质心系011 NiiiNiciirmrrm )(ciirrr 01 Niiirm0 1 Niiivm以质点系的质心为原点，质心在其中静止的平动参照系。以质点系的质心为原点，质心在其中静止的平动参照系。yxxyzmiirir COOcrzyxxyzmiirir COOcrz0 1 Niiivm质心系可能不是惯性系，但质心系特殊，动量质心系可能不是惯性系，但质心系特殊，动量守恒定律适用，而且，守恒定

3、律适用，而且，总动量总动量 为零为零。ciivvv 质心系中质点质心系中质点 mi 的速度的速度（零动量参照系）（零动量参照系）质心系中质心系中三、质心运动定律三、质心运动定律 NiipP1dtPdF camF * 在质心系惯性力和外力完全抵消，故动量守恒。在质心系惯性力和外力完全抵消，故动量守恒。dtrdmdtrmdcc )(mrmrNiiic 1质点系的动量等于它的总质量与质心速度的乘积。质点系的动量等于它的总质量与质心速度的乘积。dtrmddtrdmNiiiNiii 11cvmp jiijiiifFrM)(内力矩内力矩 ijiijiinfrM)(jijijifrfr iiiiiiiLdt

4、dFrMM)(合外力矩为零合外力矩为零，质点系总角动量守恒，质点系总角动量守恒i joipirjriFijfjifijjifrr )(为零为零0 inMdtLdM dtLdi 合外力矩合外力矩)(ijjijifrfr iiiprLoicirrr oprLLcc iiL iiiivrmicivvv iicicivvrrm)()(iiiciiiicccvrmvrmvmrvmr )()(cL零零零零pzyxxyzmiirir COOcr0dd Ptrc OprLLcc d)(dddddOtprtLtLcc ptrtprtLccc ddddddtprtLtLccddddddO yxxyzmiirir

5、COOcrOM 质心系中：质心系中：tprtLtLccddddddO OOddMtL iiOFrMiciFrr )(dtpdrFrcii cMdtLdMcc dtpdrdtLdcc iciiFrFrdtpdrdtLdcc 作用力和反作用力大小相等、方向相反、所以两者所作用力和反作用力大小相等、方向相反、所以两者所作功的代数和必为零。（作功的代数和必为零。（ ）A 对对 B 不对不对答案：答案： BslvF子弹和木块的位移不等子弹和木块的位移不等作用力和反作用力大小相等、方向相反、所以两者对作用力和反作用力大小相等、方向相反、所以两者对同一点力矩之和必为零。（同一点力矩之和必为零。（ ）A 对对

6、 B 不对不对答案：答案： A一端固定在天花板上的长细线下，悬吊一装满水的一端固定在天花板上的长细线下，悬吊一装满水的瓶子（瓶子的质量不可忽略），瓶底有一小孔，在瓶子（瓶子的质量不可忽略），瓶底有一小孔，在摆动过程中，瓶内的水不断向外漏，如忽略空气阻摆动过程中，瓶内的水不断向外漏，如忽略空气阻力，则从开始漏水到水漏完为止的整个过程中，此力，则从开始漏水到水漏完为止的整个过程中，此摆的摆动频率（摆的摆动频率（ ）。）。A 越来越大越来越大 B 越来越小越来越小 C 先变大后变小先变大后变小 D 先变小后变大先变小后变大 E 保持不变保持不变答案答案 ： Dlgf 21 l是系统质心到悬点的距离是

7、系统质心到悬点的距离如图所示，一倾角为如图所示，一倾角为 的斜面放置在光滑桌面上，斜面的斜面放置在光滑桌面上，斜面上放一木块，两者之间的摩擦系数为上放一木块，两者之间的摩擦系数为 （tan 0的位置，求质点运动过程中加速度的位置，求质点运动过程中加速度ax与位与位置置x的关系的关系 ，质点位置，质点位置x与时间与时间t之间的函数关之间的函数关系系 。ox0t=02xaa x0atxx e地面上垂直竖立一高地面上垂直竖立一高20m的旗杆，已知正午时分太阳在的旗杆，已知正午时分太阳在旗杆的正上方。在下午旗杆的正上方。在下午2时整，杆顶在地面上影子速度的时整，杆顶在地面上影子速度的大小为大小为 ms

8、-1 ；在；在 时杆影将伸展至时杆影将伸展至20m。hs太阳太阳杆高杆高地面地面 t t解：以地球为参考系，地球自转相当于太阳绕地球转动解：以地球为参考系，地球自转相当于太阳绕地球转动，地球自转一周的，地球自转一周的24小时等于太阳绕地球转动一周的时小时等于太阳绕地球转动一周的时间。间。224 60 60杆的影长：杆的影长：tanSht21cos1620dsvhdtt当当S=h时，时，t=3 （下午（下午3小时）小时）纯滚动纯滚动（无滑动的滚动）（无滑动的滚动）cvAB Rvc 接触点对地的速度为接触点对地的速度为零零 Rac 质心的速度为质心的速度为cv质心的加速度为质心的加速度为ca相对于

9、质心系的角速度为相对于质心系的角速度为 相对于质心系的角加速度为相对于质心系的角加速度为 例：例： （18th, 5）半径为）半径为R 的圆环静止在水平地面上。的圆环静止在水平地面上。 t 0 时时刻开始以恒定角加速度刻开始以恒定角加速度 沿直线纯滚动。任意时刻沿直线纯滚动。任意时刻 t 0，环，环上最低点上最低点 A 的加速度的大小为的加速度的大小为 , 最高点最高点 B 的加速的加速度的大小为度的大小为。 cvAB解：解： 质心系中质心系中最低点最低点A，地面系中，地面系中22 RRvan 22tR Rat cttaaa Rat 向左向左 Ra c向右向右0 ta22ntRa 22tRa

10、合加速度的大小合加速度的大小ta cvAB最高点最高点Bcttaaa Raact Rat2 22tRan 2222)()2(tRRa 424tR 刚体的平面平行运动：所有质点的运动平行于某一个刚体的平面平行运动：所有质点的运动平行于某一个平面，如前进中的车轮。平面运动是一种较复杂的运平面，如前进中的车轮。平面运动是一种较复杂的运动，可把它视为平动和转动叠加而成的复合运动。动，可把它视为平动和转动叠加而成的复合运动。质心运动定理：质心运动定理：ccamdtVdmF 外外绕质心转动的转动定律：绕质心转动的转动定律：dtdJcM 外外动能：动能：222121ckmvJcE 势能：势能：cpmghE

11、一个人想用长为一个人想用长为l的竿子打在岩石上的办法把竿子折断的竿子打在岩石上的办法把竿子折断，为此它用手拿住竿子的一端，让竿子绕该端作无位，为此它用手拿住竿子的一端，让竿子绕该端作无位移转动，此人希望当竿子打在岩石的瞬间，手受到的移转动，此人希望当竿子打在岩石的瞬间，手受到的冲击力最小，问竿子离手多远的地方打在岩石上最好冲击力最小，问竿子离手多远的地方打在岩石上最好？（不计竿子重力）？（不计竿子重力）(A) l (B) 1/2 (C) 2l/3 ( D) l/3l/2l/2xACFC 质心，质心，A 打击点打击点竿的运动可视为作平面平行运动竿的运动可视为作平面平行运动dtVdmFc 外外dt

12、dJclxF )2/(2121mlJc 02 lVc 手握处速度为零手握处速度为零x=2l/3例例: (20th 9) 车厢内的滑轮装置如图所示，平台车厢内的滑轮装置如图所示，平台 C 与车厢一起运与车厢一起运动，滑轮固定不转动，只是为轻绳提供光滑的接触。物块动，滑轮固定不转动，只是为轻绳提供光滑的接触。物块A 与与平桌面摩擦系数平桌面摩擦系数 0.25，A 的质量的质量 mA 20kg，物块，物块 B 的质的质量量 m B 30 kg 。今使车厢沿水平方向朝左匀加速运动，加速。今使车厢沿水平方向朝左匀加速运动，加速度度 a02m/s2 ，假定稳定后绳将倾斜不晃，假定稳定后绳将倾斜不晃,试求绳

13、子张力试求绳子张力T。CAB0a解：解： mA gN f T f * mB g f *Ta以车厢为参照系，引入惯性力以车厢为参照系，引入惯性力amgmamTAAA 0ABamTgmamBBB 22220BABAmmmmaggaT 0220 125.4（N）a例：一长例：一长 L=4.8m 的轻车厢静止于光滑的水平轨道上，固定于车的轻车厢静止于光滑的水平轨道上，固定于车厢地板上的击发器厢地板上的击发器 A 自车厢中部以自车厢中部以 u0 = 2m/s 的速度将质量为的速度将质量为 m1 = 1kg 的物体沿车厢内光滑地板弹出，与另一质量为的物体沿车厢内光滑地板弹出，与另一质量为 m2 =1 kg

14、 的的物体碰撞并粘在一起，此时物体碰撞并粘在一起，此时 m2 恰好与另一端固定于车厢的水平恰好与另一端固定于车厢的水平位置的轻弹簧接触，弹簧的弹性系数位置的轻弹簧接触，弹簧的弹性系数 k = 400N/m ，长度，长度l =0 .30m ，车厢和击发器的总质量，车厢和击发器的总质量 （包括（包括m2）M = 2kg 求车厢自静止至弹求车厢自静止至弹簧压缩最甚时的位移（不计空气阻力，簧压缩最甚时的位移（不计空气阻力， m1 和和m2 视作质点）视作质点） 解：解：车车m1+m2 系统动量守恒系统动量守恒001 MVumAm1m20u+Vm1+m2 系统动量守恒系统动量守恒01uMmV ummum

15、)(2101 )(2101mmumu 由于车厢内光滑地板，所以在由于车厢内光滑地板，所以在m1还没有和还没有和m2发生碰发生碰撞前，撞前，m2相对于地面静止，因为没有摩擦力使它发生相对于地面静止，因为没有摩擦力使它发生运动。所以第一次动量守恒没有运动。所以第一次动量守恒没有m2。Am1m20u+V令令m1从被弹出到与从被弹出到与m2 碰撞结束所用的时间为碰撞结束所用的时间为 D Dt m1相对车厢的位移为相对车厢的位移为)2(lL m1相对车厢的速度为相对车厢的速度为 u0+VtuVlLD D )(200)2(uVlLt D D)2(01lLuVVtVX D D D D)2()2(110010

16、1lLMmmlLuuMmMum 在在D Dt 内，车厢向左的位移为：内，车厢向左的位移为：车车m1+m2弹簧系统机械能守恒弹簧系统机械能守恒弹簧压缩最甚时，弹簧压缩最甚时，m1、m2 速度为零。车厢相对地面也静止速度为零。车厢相对地面也静止22122)(2121)(21ummMVlk D D212101)11(1mmMkuml D D在在m1和和m2与弹簧碰撞的过程中，全部系统的动量守恒与弹簧碰撞的过程中，全部系统的动量守恒0)()()()(2121 tMVtummMVummVummMtVtu )()()(21A)(tu)(tV)()()(21tVmmMtu A)(tu)(tV设设m1和和m2

17、与弹簧碰撞所用的时间为与弹簧碰撞所用的时间为 D Dt 在在D Dt 内，内， m1和和m2相对车厢的速度为相对车厢的速度为 u(t)()()(tutVtu )()()(21tVmmMtV )()(2121tVmmMmm ldttutD D D D0)(20)(XdttVtD D D DlMmmmmXDD212122121012121)11(1mmMkumMmmmm 车厢的总位移为车厢的总位移为D DX21XXXD DD DD D )2(11lLMmm 2121012121)11(1mmMkumMmmmm D DX= 0.75(m)A)(tu)(tVP1 v1P2cab行星绕恒星的椭圆运动行星

18、绕恒星的椭圆运动一、能量和角动量一、能量和角动量)()(21camvcamv caMmGmvcaMmGmv 22221211由由由由222241bGMcvv GMabcav2222)( )(21cacavv 222bca aGMmbvcamL 2)(P1 v1P2cabGMabcav2222)( caMmGmvE 2221aGMm2 222bca 二、椭圆在二、椭圆在 P1 点的曲率半径为点的曲率半径为ab2 三、椭圆轨道的偏心率为三、椭圆轨道的偏心率为abaace22 例：行星原本绕着恒星例：行星原本绕着恒星S 做圆周运动。设做圆周运动。设S 在很短的时间内发在很短的时间内发生爆炸，通过喷射

19、流使其质量减少为原来的质量的生爆炸，通过喷射流使其质量减少为原来的质量的 g g 倍，行星倍，行星随即进入椭圆轨道绕随即进入椭圆轨道绕S 运行，试求该椭圆轨道的偏心率运行，试求该椭圆轨道的偏心率 e 。提。提示（记椭圆的半长，半短轴分别为示（记椭圆的半长，半短轴分别为A、B ，则，则)22ABAe 解：变轨后解：变轨后 P 或为近地点，或为远地点或为近地点，或为远地点对圆轨道对圆轨道 P 点：点：P1 v1P2C202)(0CAmGMCAmv 对椭圆轨道对椭圆轨道 P1 点：点：202)(0CAmMGmv g g AB2 222CBA S v0PAB先考虑先考虑 P 为近地点，后考虑为近地点，

20、后考虑P 为远地点的情况为远地点的情况202)(0CAmGMCAmv 202)(0CAmMGmv g g AB2 222CBA g g 1)( CAg g1)(2 CAABACABAe 22P1 v1P2Cg g 1ACAg gg g 1e202)(0CAmGMCAmv 对对P2 点点202)(0CAmMGmv g g g g1 ACAP1 v1P2C因为因为 g g 1 ，因此上式不成立，因此上式不成立 。故故 行星变轨后不可能处于行星变轨后不可能处于P2点，只能处于点，只能处于P1 点。点。解二：解二：)()(21CAmvCAmv CAMmGmvCAMmGmv 22221211椭圆轨道的角

21、动量椭圆轨道的角动量P1 v1P2CAGMmBvCAmL 2)(圆轨道的角动量圆轨道的角动量RGMmmvRL0 CAR 0MMg g CAAB 2g g222CBA ABAACe22 P1 v1P2CABg gg g 1e1)( g gACA角动量守恒角动量守恒AMGmBL0g g )(0CAGMm 例例（21届，届，10分）一个质量为分）一个质量为m 的卫星绕着质量为的卫星绕着质量为 M ，半径为，半径为 R 的大星体作半径为的大星体作半径为 2R 的圆运动。远处飞来一个质量为的圆运动。远处飞来一个质量为 2m，速，速度为度为 的小流星，它恰好沿着卫星的运动方向的小流星，它恰好沿着卫星的运动

22、方向追上卫星并和卫星发生激烈碰撞，结合成一个新的星体，作用时追上卫星并和卫星发生激烈碰撞，结合成一个新的星体，作用时间非常短。假定碰撞前后位置的变化可以忽略不计，新星的速度间非常短。假定碰撞前后位置的变化可以忽略不计，新星的速度仍沿原来的方向，仍沿原来的方向，（1）用计算表明新的星体的运动轨道类型，算出轨道的偏心率）用计算表明新的星体的运动轨道类型，算出轨道的偏心率e（2）如果用小流星沿着卫星的速度的反方向发生碰撞，算出此）如果用小流星沿着卫星的速度的反方向发生碰撞，算出此时新星体的轨道的偏心率。给出新星体能否与大星体碰撞的判断时新星体的轨道的偏心率。给出新星体能否与大星体碰撞的判断。RGMv

23、 解：解： M R 2R m 2m(1) 碰撞前卫星的速度碰撞前卫星的速度)2()2(202RvmRMmG RGMv20 M R 2R m 2m小流星与卫星碰撞，动量守恒小流星与卫星碰撞，动量守恒VmmRGMmRGMm)2(22RGMv RGMV624新星体的能量新星体的能量RmMGVmE2)3()3(21204 . 52)3( RmGM椭圆轨道椭圆轨道aGMmE2 对比对比Ra4 . 5 R2 在近地点在近地点 a63. 0 arae近近偏心率偏心率r=2R M R 2R m 2mRGMv (2) 小流星与卫星反方向碰撞，动量守恒小流星与卫星反方向碰撞，动量守恒vmmRGMmRGMm )2(

24、22RGMv23122 新星体的能量新星体的能量RmMGvmE2)3()3(212 02 . 12)3( RmGM椭圆轨道椭圆轨道aGMmE2 对比对比Ra2 . 1 R2 M R 2R m 2mRGMv Ra2 . 1 R2 a在远地点在远地点67. 0 aare新星与新星与 M 在近地点时的距离在近地点时的距离RRrar 4 . 02近近两者可以发生碰撞两者可以发生碰撞r=2R例：（例：（11th,9）质量为）质量为 M 的刚性均匀正方形框架，在某边的中点开的刚性均匀正方形框架，在某边的中点开一个小缺口，缺口对质量分布的影响可以忽略。将框架放在以纸平一个小缺口，缺口对质量分布的影响可以忽略

25、。将框架放在以纸平面为代表的光滑水平面后，令质量为面为代表的光滑水平面后，令质量为m 的刚性小球在此水平面上从的刚性小球在此水平面上从缺口处以速度缺口处以速度 v 进入框内，图中进入框内，图中v 的方向的角的方向的角 =45 ，设小球与，设小球与框架发生的碰撞均为无摩擦力的弹性碰撞，试证：（）小球必将框架发生的碰撞均为无摩擦力的弹性碰撞，试证：（）小球必将通过缺口离开框架。（）框架每边长为通过缺口离开框架。（）框架每边长为a，则小球从进入框架到，则小球从进入框架到离开框架，相对于水平面的位移为：离开框架，相对于水平面的位移为：vmMvam)(22 v解：（解：（ 1 ） vv a22（2）)(

26、mMrmrMrmMc )(.mMrmrMrmMc vMmmrVCc . vv 小小 球在框架内运动的时间为球在框架内运动的时间为 TavvaT22224 在在T 时间间隔内，质心的位移为时间间隔内，质心的位移为avvMmmTvSc22 vvMmma )(22 系统合外力为零，系统动量守恒，质心系统合外力为零，系统动量守恒，质心c的动量就是小的动量就是小球的初动量。球的初动量。例：例：（11th,15）质量为质量为2m 的匀质圆盘形滑轮可绕过中心的匀质圆盘形滑轮可绕过中心O 并并与盘面垂直的水平固定光滑轴转动，转轴半径线度可忽略，物与盘面垂直的水平固定光滑轴转动，转轴半径线度可忽略，物体体1、2

27、的质量分别为的质量分别为m 和和2m ，它们由轻质、不可伸长的细绳，它们由轻质、不可伸长的细绳绕过滑轮挂在两侧。细绳与滑轮间的摩擦系数处处相同，记为绕过滑轮挂在两侧。细绳与滑轮间的摩擦系数处处相同，记为 ，开始时，滑轮和两物体均处于静止状态，而后若，开始时，滑轮和两物体均处于静止状态，而后若 0则滑则滑轮不会转动；若轮不会转动；若 0，但较小时，滑轮将会转动，同时与绳之，但较小时，滑轮将会转动，同时与绳之间有相对滑动；当间有相对滑动；当 达到某临界值达到某临界值 0 0 时，滑轮与绳之间的相对时，滑轮与绳之间的相对滑动刚好消失，试求滑动刚好消失，试求 0 0 值。值。T2T1 m1 g m2

28、g解：解：amgmT111 amTgm222 mm 1mm22 212221mRJRTRT Ra T2T1 m1 g m2 g解：解：amgmT111 amTgm222 mm 1mm22 212mRJRTRT Ra mamgT 1maTmg222 maTT 12ga41 mgT451 mgT232 绳子的质量忽略不计绳子的质量忽略不计 0iF0 ddTTdTdf )()( 2)(2)( dTddTdN22sin dd2sin)(2sin)( dTddTdN TddN 对临界对临界 值值 dNdf0 NdT ( ) dfd 2 dT ( d )2cos)(2cos)( dTdfddT TddT0

29、 dTdT0 0021dTdTTT 012ln TT 012eTT 56ln10 dTTdTdf )()( TddN dNdf0 mgT451 mgT232 例：（例：（4th,）光滑的平面上整齐地排列着一组长为光滑的平面上整齐地排列着一组长为 l,质量为质量为m 的均的均匀匀 细杆，细杆， 杆的间距足够大。杆的间距足够大。 现有一质量现有一质量 为为 M 的小球以垂直于杆的小球以垂直于杆的的 速度速度 V0 与杆的一端做弹性碰撞，随着细杆的旋转，杆的另一与杆的一端做弹性碰撞，随着细杆的旋转，杆的另一端又与小球做弹性碰撞，而后小球相继再与第二杆、第三杆端又与小球做弹性碰撞，而后小球相继再与第二

30、杆、第三杆.相相碰。当碰。当 m/M 为何值时，为何值时， M才能仍以速度才能仍以速度 V0 穿出细杆阵列？穿出细杆阵列？0V m , lM解：解：cmVMVMV 0由动量守恒由动量守恒由角动量守恒由角动量守恒 cJlMVlMV2202121mlJc 由动能守恒由动能守恒2222212121210 JmVMVMVcV = VccmVMVMV 0 cJlMVlMV2202222212121210 JmVMVMVcV = Vc由由 得：得：lVc6 代入代入21 mM例例（19th,4）质量分别为）质量分别为m1 和和m2 的的 两物块与劲度系数为两物块与劲度系数为 k 的的 轻弹簧构成系统如图，

31、物块与物体（平面）光滑接触，右侧水轻弹簧构成系统如图，物块与物体（平面）光滑接触，右侧水平外力使弹簧压缩量为平外力使弹簧压缩量为 l 。物体静止。将右侧外力撤去，系统。物体静止。将右侧外力撤去，系统质心质心 C 可获得的最大加速度为可获得的最大加速度为 ，可获得的最大，可获得的最大速度值为速度值为 。 m1 m2 k解：解：F m1N f fF m2cammkxN)(21 lx xmmkac21 21maxmmklac 质心质心 的最大加速度的最大加速度质心质心 的最大速度的最大速度 m1 m2 kF m2过平衡位置时的速度过平衡位置时的速度2max222121mvkl lmkv2max2 m

32、ax212211max)(mmvmvmvc lmmkm212 = 0例：例：22届届1题题质量质量m，半径，半径 R 的匀质圆板静止在光滑水平面上，极的匀质圆板静止在光滑水平面上，极短时间内使其受水平冲量短时间内使其受水平冲量 。有关的几何方位和参量。有关的几何方位和参量如图所示。圆板中心如图所示。圆板中心O点将因此获得速度点将因此获得速度 ，同时，圆板将绕过同时，圆板将绕过O点的竖直轴以角速度点的竖直轴以角速度 旋旋转。转。I 0v 2/RORmI解：解：对质心对质心12ppI vm mIv 对质心对质心LtMdd LtFrdd LIrdd 222mRIR mRI 例：（例：（ 18th,

33、9分分 ）均匀细杆）均匀细杆AOB 的的A 端，端，B 端和中央位置端和中央位置O处处各有各有1个光滑的小孔先让杆在光滑的水平大桌面上绕个光滑的小孔先让杆在光滑的水平大桌面上绕 O 孔以角孔以角速度速度 。作顺时针方向旋转如图（图平面为大桌面）。今将一。作顺时针方向旋转如图（图平面为大桌面）。今将一光滑的细杆迅速插入光滑的细杆迅速插入 A 孔，棍在插入前后无任何水平方向的移孔，棍在插入前后无任何水平方向的移动，稳定后，在迅速拔动，稳定后，在迅速拔A棍的同时，将另一光滑细棍如前所述棍的同时，将另一光滑细棍如前所述插入插入B 孔，再次稳定后，又在迅速拔出孔，再次稳定后，又在迅速拔出 B 棍的同时，

34、将另一光棍的同时，将另一光滑细棍如前所述插入滑细棍如前所述插入 O 孔。试求：最终稳定后，细杆孔。试求：最终稳定后，细杆AOB 绕绕O 孔旋转方向和旋转角速度的大小。孔旋转方向和旋转角速度的大小。 解：解：AOB m , l2231,121mlIImlIBAo AALLPrLLccA 0 ocAILLAAAIL 插入插入A孔前后孔前后AOB m , l0 ocAILLAAAIL 0041 AoAII插入插入 B 孔前后孔前后PrLLccB crcvPrc cLOAAoBmulIL2 AAcOAlru 202241 mlLB BBBIL 081 B B反向转了反向转了再次插入再次插入O孔前后孔前

35、后BOOIL oooIL0081 BAOB m , l逆时针转逆时针转例：例：21届届18题题将劲度系数为将劲度系数为 k，自由长度为自由长度为L，质量为质量为m 的均匀柱形圆柱弹的均匀柱形圆柱弹性体竖直朝下，上端固定，下端用手托住。性体竖直朝下，上端固定，下端用手托住。（1）设开始时弹性体处于静止的平衡状态，其长度恰好为）设开始时弹性体处于静止的平衡状态，其长度恰好为L,试求此时手上的向上托力。试求此时手上的向上托力。（2）而后将手缓慢向下移动，最终与弹性体分离，试求其间）而后将手缓慢向下移动，最终与弹性体分离，试求其间手的托力所作的功手的托力所作的功W。解解:(1) 取下面一段研究取下面一

36、段研究0 F0TG它处于静止的平衡状态它处于静止的平衡状态T GF00FmgLyL 取取 一微元一微元dy计算其弹性系数计算其弹性系数将圆柱看做由许多的小段将圆柱看做由许多的小段 dy 串联而成串联而成nkkkk111121 0 y F0 y y dydyLkdy 1kyLkdyd TT+dT对微元对微元dy， 设伸长为设伸长为 dx xx xddykT x xddkyL yLkTdd x xyFmgLyLLkd)(10 其总伸长为其总伸长为 LyFmgLyLLk00d)(1dx xx x令令 x x 为零为零0d)(100 LyFmgLyLLkx xmgF210 （2）问）问 中中 x x

37、为为 LLyFmgLyLLk000d)(1dx xx x)21(10LFmgLLk kFkmg02 x xx xkmgF 210令令F 0mgk210 x x 00dx xx xFWx xx xd)21(20 kmgmgkkmg8)(2 例：例：22届届18题题如图所示，光滑水平面上有一半径为如图所示，光滑水平面上有一半径为R的固定圆环，的固定圆环，长长2l 的匀质细杆开始时绕着中心的匀质细杆开始时绕着中心C点旋转，点旋转，C点靠在点靠在圆环上，且无初速度，假定此后细杆可无相对滑动圆环上，且无初速度，假定此后细杆可无相对滑动的绕着圆环外侧运动，直到细杆的一端与环接触后的绕着圆环外侧运动，直到细

38、杆的一端与环接触后彼此分离，已知细杆与圆环之间的摩擦因数彼此分离，已知细杆与圆环之间的摩擦因数处处处处相同，试求相同，试求的取值范围。的取值范围。llRABRABCPvR rABRPvRr ABC解：设细杆初始角速度为解：设细杆初始角速度为0 0，转过，转过角后角速度为角后角速度为，在光滑水平面中转动，机在光滑水平面中转动，机械能守恒械能守恒2P2C21210 JJ 2CPmrJJ 2C31mlJ 解得解得0223 rll Rrrrllrv ,3220Ct dvdacc ,trrvcdddddd 22212222203)3(6213(rlrlrrll R 22212222203)3(6213r

39、lrlrrll R0223 rll 222420,)3(rlRlac Rrrrllv 220C3ABRPvRr ABCC点沿圆的渐开线运动点沿圆的渐开线运动222202c3rlrlran 细杆受力细杆受力 N 和和f 分别为分别为nmafmaNCC, 摩擦因子取值范围为摩擦因子取值范围为 CnCaaNf Rlrrl2223 0 rlRl 4 ABCC PrNf切向切向222420,)3(rlRlac Nf 例例（19th,9）如图所示。表面呈光滑的）如图所示。表面呈光滑的 刚体无转动地竖直下落。刚体无转动地竖直下落。图中虚线对应过刚体唯一地图中虚线对应过刚体唯一地 最低点部位最低点部位P1 的

40、水平切平面。图中的水平切平面。图中竖直虚线竖直虚线P1 P2 对应着过对应着过 P1 点的铅垂线，点的铅垂线， C 为刚体的为刚体的 质心。设质心。设C与铅垂线与铅垂线P1 P2确定的平面即为铅垂面，将确定的平面即为铅垂面，将C到到P1 P2 的距离记为的距离记为 d ，刚体质量为，刚体质量为 m。刚体相对于过。刚体相对于过 C 点且与图平面垂直的水平点且与图平面垂直的水平转轴的转轴的 转动惯量为转动惯量为 JC . 设设 JCm d 2。已知刚体与水平地面将发。已知刚体与水平地面将发生的碰撞为弹性碰撞，且无水平摩擦力，试在刚体中找出这样的生的碰撞为弹性碰撞，且无水平摩擦力，试在刚体中找出这样

41、的点部位，它们在刚体与地面碰撞前、后的两个瞬间，速度方向相点部位，它们在刚体与地面碰撞前、后的两个瞬间，速度方向相反，大小不变。反，大小不变。CdP1P2v0解：解：CdP1P2N yvc)(0vmmvtNc D D解：解：CdP1P2N y cJtdN D D2022212121mvJmvcc 022vmdJmdJvccc 022vmdJmdc P0cv0vdvvc 例例:(15th,11) 两个质量相同的小球两个质量相同的小球A 、B, 用长为用长为 2a 的无弹性且的无弹性且不可伸长的绳子联结。开始时不可伸长的绳子联结。开始时A、B 位于同一竖直线上，位于同一竖直线上， B在在A 的的下方，下方， 相距为相距为a，如图所示。今给，如图所示。今给A 一水平初速度一水平初速度v0 ， 同时静止同时静止释放释放B ，不计空气阻力。且设绳子一旦伸直便不再回缩，问：经，不计空气阻力。且设绳子一旦伸直便不再回缩，问：经过多长时间，过多长时间，A、B 恰好在同一水平线上？恰好在同一水平线上？ a v0ABCAB2 a解：解：001330cos2vavat 选择质心系，角动量守恒选择质心系，角动量守恒20v20v绳子拉紧前，绳子拉紧前， A 、B相对于质心的速度大相对于质心的速度大小为小为20v绳子拉紧后，绳子拉紧后， A 、B相对于质心做圆周运动，