大学物理实验理论课ppt课件

1、第三部分误差的根本性质与处置 当对同一丈量值进展多次等精度的反复丈量时，得到一系列不同的丈量值常称为丈量列，每个丈量值都含有误差，这些误差的出现没有确定的规律，即前一个数据出现后，不能预测下一个数据的大小和方向。但就误差整体而言，却明显具有某种统计规律。 随机误差是由很多暂时未能掌握或不便掌握的微小要素构成，主要有以下几方面： 丈量安装方面的要素 环境方面的要素 人为方面的要素零部件变形及其不稳定零部件变形及其不稳定性，信号处置电路的随性，信号处置电路的随机噪声等。机噪声等。温度、湿度、气压的变温度、湿度、气压的变化，光照强度、电磁场化，光照强度、电磁场变化等。变化等。瞄准、读数不稳定，人瞄准

2、、读数不稳定，人为操作不当等。为操作不当等。第一节随机误差 例如：用秒表测单摆的周期例如：用秒表测单摆的周期T T，将各丈量，将各丈量值出现的次数列表如下。值出现的次数列表如下。n=30n=30次次10621 05n nxixi丈量值丈量值xi 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 xi 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.10 1.09 1.10 次次 数数 n 1 1 2 8 8 5 2 2 n 1 1 2 8 8 5 2 2 1 0 1 0 丈量值丈量值xi 1.01 1.02 1.03

3、1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.10 xi 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.10次次 数数 n 0 2 4 10 14 16 7 5 1 1 n 0 2 4 10 14 16 7 5 1 1n=60 n=60 次次 10206161.05n n丈量值丈量值1.0561016202630丈量值丈量值 次数次数 xi n xi n1.01 11.02 41.03 71.04 231.05 251.06 201.07 111.08 51.09 21.10 2n=100n=100次次n nxixi 随着丈量次

4、数增多，统计显示随着丈量次数增多，统计显示 出如下规律。在出如下规律。在1.051.05附近，丈量值附近，丈量值 出现的次数最多，表现为单峰性。出现的次数最多，表现为单峰性。 与与1.051.05相差越多，丈量值出现的次相差越多，丈量值出现的次 数越少，表现为有界性。偏大的数数越少，表现为有界性。偏大的数 据与偏小的数据根本相等表现为对据与偏小的数据根本相等表现为对 称性。大部分数据存在于确定的范称性。大部分数据存在于确定的范 围内，该范围可评价随机误差的大围内，该范围可评价随机误差的大 小。小。 可以估计，当可以估计，当丈量次数无限增多丈量次数无限增多时，曲线将表现为时，曲线将表现为单峰、有

5、界、严厉单峰、有界、严厉对称的特征。在有对称的特征。在有限次丈量下，得到限次丈量下，得到的一切曲线，是以的一切曲线，是以对称曲线为中心，对称曲线为中心，左右摆动的曲线族。左右摆动的曲线族。n nx xi i3030次次6060次次100100次次在数理统计上在数理统计上, , 描画具有单峰、有界、对称的统计函数叫正态描画具有单峰、有界、对称的统计函数叫正态分布函数。常用来解释随机量丈量过程中的随机行为与规律分布函数。常用来解释随机量丈量过程中的随机行为与规律. .在在丈量次数趋于无穷时，有：丈量次数趋于无穷时，有：)2/(2221)(ef0)(dfEdf)(22 有 , 可推知分布具有对称性，

6、即绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等，这称为误差的对称性；0)(f)()(ff)(f从正态分布的随机误差都具有从正态分布的随机误差都具有的四个特征：对称性、单峰性、的四个特征：对称性、单峰性、有界性、抵偿性。由于多数随有界性、抵偿性。由于多数随机误差都服从正态分布，因此机误差都服从正态分布，因此正态分布在误差实际中占有非正态分布在误差实际中占有非常重要的位置。常重要的位置。0lim1nniin)0()(maxff)0()(ff数学期望和规范差是定量描画统计分布规律数学期望和规范差是定量描画统计分布规律的两个重要参数。的两个重要参数。1 1丈量值的数学期望等于真值。丈量值的数学期望等于真值

7、。2 2误差的数学期望等于零。误差的数学期望等于零。3 3规范差规范差反映了丈量值与真值的偏离程反映了丈量值与真值的偏离程度，即丈量值之间的离散程度。度，即丈量值之间的离散程度。规范差小，离散程度小，丈量精度高。规范差小，离散程度小，丈量精度高。三、正态发布规律随机误差的数字特征三、正态发布规律随机误差的数字特征 对某量进展一系列等精度丈量时，由于存在随机误差，因此其获得的丈量值不完全一样，此时应以算术平均值作为最后的丈量结果。 设 为n次丈量所得的值，那么算术平均值为: niinlnnlllx1211nlll,211、数学期望值、数学期望值(算术平均值算术平均值)算术平均值是真值的最正确估算

8、术平均值是真值的最正确估值值由前面正态分布随机误差的第四特征可知由前面正态分布随机误差的第四特征可知 ，因此，因此oiiLl onnnLlll)(2121nioiniinLl11nnlLniiniio110lim1nniin01Lnlxnii下面来证明当丈量次数无限添加时，算术平均值必然趋近于真值下面来证明当丈量次数无限添加时，算术平均值必然趋近于真值LoLo。 由此我们可得出结论：假设可以对某一量进展无限多次丈量，由此我们可得出结论：假设可以对某一量进展无限多次丈量，就可得到不受随机误差影响的丈量值，或其影响很小，可以忽略。这就可得到不受随机误差影响的丈量值，或其影响很小，可以忽略。这就是当

9、丈量次数无限增大时，算术平均值数学上称之为最大或然值就是当丈量次数无限增大时，算术平均值数学上称之为最大或然值被以为是最接近于真值的实际根据。但由于实践上都是有限次丈量，被以为是最接近于真值的实际根据。但由于实践上都是有限次丈量，因此，我们只能把算术平均值近似地作为被丈量的真值。因此，我们只能把算术平均值近似地作为被丈量的真值。 普通情况下，被丈量的真值为未知，不能够按式求得随机误差，这时可用算术平均值替代被丈量的真值进展计算。此时的随机误差称为剩余误差，简称残差：xlii一丈量列中单次丈量的规范偏向规范偏向一丈量列中单次丈量的规范偏向规范偏向 2、丈量的规范差、丈量的规范差 )2/(2221

10、)(ef一丈量列中单次丈量的规范偏向规范偏向一丈量列中单次丈量的规范偏向规范偏向 多次丈量，多次丈量， ，丈量列的规范差为：，丈量列的规范差为：2、丈量的规范差、丈量的规范差 nxlniin120)(limnlll,21当丈量次数当丈量次数n n 为有限次时，丈量列的算术平均值作为真值的最为有限次时，丈量列的算术平均值作为真值的最正确估计值；规范差常采用贝塞尔法来估计。正确估计值；规范差常采用贝塞尔法来估计。xlvnvnxlSiiniinii11)(1212用剩余误差求得用剩余误差求得单次丈量的规范单次丈量的规范差的估值差的估值 由于值反映了丈量值或随机误差的分布程度，因此值可作为随机误差的评

11、定尺度。值愈大，函数 减小得越慢；值愈小， 减小得愈快，即丈量到的精细度愈高，如图2-2所示。 )(f)(f 二丈量列算术平均值的规范差 在多次丈量的丈量列中，是以算术平均值作为丈量结果，因此必需研讨算术平均值不可靠性的评定规范。 假设在一样条件下对同一量值作多组反复的系列丈量，每一系列丈量都有一个算术平均值，由于随机误差的存在，各个丈量列的算术平均值也不一样，它们围绕着被丈量的真值有一定的分散，此分散阐明了算术平均值的不可靠性，而算术平均值的规范差那么是表征同一被丈量的各个独立丈量列算术平均值分散性的参数，可作为算术平均值不可靠性的评定规范。nx算术平均值的规范差算术平均值的规范差)1()(

12、12nnxlSniix规范差的估值规范差的估值 即在n次丈量的等精度丈量列中，算术平均值的规范差为单次丈量规范差的 ，当n愈大，算术平均值越接近被丈量的真值，丈量精度也愈高。 添加丈量次数，可以提高丈量 精度，但丈量精度是与n的平方根成 反比，因此要显著提高丈量精度， 必需付出较大的劳动。由图2-3可知, 一定时，当n10以后， 的减小很 慢。此外，由于添加丈量次数难以 保证丈量条件的恒定，从而引入新的 误差，因此普通情况下取n=10以内较为适宜。总之，提高丈量精度，应采取适当精度的仪器，选取适当的丈量次数。 nxn/1x 丈量的极限误差是极端误差，量丈量的极限误差是极端误差，量结果的误差不超

13、越该极端误差的概率结果的误差不超越该极端误差的概率为为P，并使差值，并使差值1-P可以忽略。可以忽略。1.单次丈量的极限误差单次丈量的极限误差 物理丈量的丈量值是随机变量，无法准确确定物理量的真物理丈量的丈量值是随机变量，无法准确确定物理量的真值是多少，只能做概率意义的推断，即只能阐明真值包含在以值是多少，只能做概率意义的推断，即只能阐明真值包含在以估值为中心的某个区间的概率是多少，把此区间成为置信区估值为中心的某个区间的概率是多少，把此区间成为置信区间。该区间内包含真值的概率成为置信度或置信概率。间。该区间内包含真值的概率成为置信度或置信概率。正态分布中某些正态分布中某些k k值的概率值的概

14、率xSx 阐明在该区域内存在的概率为阐明在该区域内存在的概率为 68.3%68.3%。xSx 2 阐明在该区域内存在的概率为阐明在该区域内存在的概率为 95%95%。 xSx 3 阐明在该区域内存在的概率为阐明在该区域内存在的概率为99.7%99.7%。随机变量随机变量t t称自在度为称自在度为 的学生氏的学生氏t t变量。变量。 t t分布的分布密度分布的分布密度 为图为图2-92-9： v)(tfv 五、随机误差的其他分布 正态分布是随机误差最普遍的一种分布规律，但不是独一分布规律。下面引见常见的非正态分布t 分布。 t t分布的数学期望为零，分布曲分布的数学期望为零，分布曲线对称于纵坐标

15、轴，但它和规范化线对称于纵坐标轴，但它和规范化正态分布密度曲线不同，如图正态分布密度曲线不同，如图2-92-9所所示。可以证明，当自在度示。可以证明，当自在度( (丈量次数丈量次数较少较少) )较小时，较小时，t t分布与正态分布有分布与正态分布有明显区别，但当自在度明显区别，但当自在度 时，时，t t分布曲线趋于正态分布曲线。分布曲线趋于正态分布曲线。t t分布分布是一种重要分布，当丈量列的丈量是一种重要分布，当丈量列的丈量次数较少时，极限误差的估计，或次数较少时，极限误差的估计，或者在检验丈量数据的系统误差时经者在检验丈量数据的系统误差时经常用到它。常用到它。 xStx附表正态分布中某些正

16、态分布中某些k k值的概率值的概率t t分布中不同自在度所对应的置信系数分布中不同自在度所对应的置信系数tptp的值的值 在一系列反复丈量数据中，如有个别数据与其它的有明显差别，那么它或它们很能够含有粗大误差简称粗差，称其为可疑数据，记为 。根据随机误差实际，出现大误差的概率虽然小，但也是能够的。因此，假设不恰当剔除含大误差的数据，会呵斥丈量精细度偏高的假象。反之假设对混有粗大误差的数据，即异常值，未加剔除，必然会呵斥丈量精细度偏低的后果。以上两种情况还都严重影响对 的估计。因此，对数据中异常值的正确判别与处置，是获得客观的丈量结果的一个重要方法。 一、粗大误差产生的缘由 产生粗大误差的缘由是

17、多方面的，大致可归纳为： 丈量人员的客观缘由 客观外界条件的缘由丈量者任务责任感不强、任务过于疲劳、缺乏阅历操作不当，或在丈量时不小心、不耐心、不仔细等，呵斥错误的读书或记录。丈量条件不测地改动如机械冲击、外界振动、电磁干扰等。dxx第三节粗大误差二、判别粗大误差的准那么二、判别粗大误差的准那么 在丈量过程中，确实是因读错记错数据，仪器的忽然缺点，或外界条件的突变等异常情况引起的异常值，一经发现，就应在记录中除去，但需注明缘由。这种从技术上和物理上找出产生异常值的缘由，是发现和剔除粗大误差的首要方法。有时，在丈量完成后也不能确知数据中能否含有粗大误差，这时可采用统计的方法进展判别。统计法的根本

18、思想是：给定一个置信概率，按一定分布确定一个临界值，凡超越这个界限的误差，就以为它不属于偶尔误差的范围，而是粗大误差，该数据应予以剔除。 在判别某个测得值能否含有粗大误差时，要特别慎重，应作充分的分析和研讨，并根据判别准那么予以确定。常用的判别准那么有： 33xdx3|xxvdd一一 准那么准那么 准那么是最常用也是最简单的判别粗大误差的准那么，准那么是最常用也是最简单的判别粗大误差的准那么，它是以丈量次数充分大为前提，但通常丈量次数比较少，因此它是以丈量次数充分大为前提，但通常丈量次数比较少，因此该准那么只是一个近视的准那么。实践丈量中，常以该准那么只是一个近视的准那么。实践丈量中，常以 替

19、代真替代真值。对某个可疑数据值。对某个可疑数据 ，假设其残差满足：，假设其残差满足： 那么可以为该数据含有粗大误差，应予以剔除。那么可以为该数据含有粗大误差，应予以剔除。在在n10n10的情形，用的情形，用 准那么剔除粗误差能够失败。为此，在丈准那么剔除粗误差能够失败。为此，在丈量次数较少时，最好不要选用量次数较少时，最好不要选用 准那么。下表是准那么。下表是 准那么的准那么的“弃真概率，从表中看出弃真概率，从表中看出 准那么犯准那么犯“弃真错误的概率随弃真错误的概率随n n的的增大而减小，最后稳定于增大而减小，最后稳定于0.3%0.3%。3333表表1 1 准那么准那么 “弃真概率弃真概率a

20、 an 11n 11 16 61 121 333 16 61 121 333a 0.019 0.011 0.005 0.004 0.003a 0.019 0.011 0.005 0.004 0.0033第四部分误差的合成与分配间接丈量间接丈量 函数误差函数误差 间接测得的被丈量误差也应是直接测得量及其误差的函数，故称这种间接丈量的误差为函数误差 经过直接测得的量与被丈量之间的函数关系计算出被丈量 第一节函数误差间接丈量的数学模型间接丈量的数学模型 12( ,.,)nyf x xx 与被丈量有函数关系的各个直接丈量值12,nx xx y y 间接丈量值间接丈量值一、函数系统误差计算一、函数系统误

21、差计算由由 y 的全微分，函数系统误差的全微分，函数系统误差 的计算公式的计算公式y1212.nnfffyxxxxxx 12( ,.,)nyf x xx误差的合成误差的合成 间接丈量数据处置的义务：根据直接丈量量的丈量值估计出间接丈量数据处置的义务：根据直接丈量量的丈量值估计出间接丈量量的数学期望；根据直接丈量量的丈量值和误差估间接丈量量的数学期望；根据直接丈量量的丈量值和误差估计出间接丈量量的误差。计出间接丈量量的误差。对于这种有确定关系的误差的计算，常称为误差的合成。对于这种有确定关系的误差的计算，常称为误差的合成。 为各个输入量在该丈量点处的误差传播系数 (1,2, )ifx iniix

22、xf 关于直接丈量量xi的分误差 二、函数随机误差计算二、函数随机误差计算变量中只需随机误差时的误差传送公式变量中只需随机误差时的误差传送公式12( ,.,)nyf x xx函数的普通方式函数的普通方式 2222222121122nyxxxnijxixjijnijfffffxxxxx 第i个直接测得量 的规范差 xiix 第i个丈量值和第j个丈量值之间的相关系数 ij 第i个丈量值和第j个丈量值之间的协方差 ijijxixjD 第i个直接测得量 对间接量 在该丈量点 处的误差传播系数 ifxixy12( ,)nx xx极限误差合成极限误差合成 单项极限误差单项极限误差: : 1,2,.,iii

23、kiq 单项随机误差的规范差 单项极限误差的置信系数 合成极限误差合成极限误差: : kiik 合成规范差 合成极限误差的置信系数 k211()2qqjiiiijijiijiijaka akk k 211()2qqiiijijijiijaa a 21qii0ij1ia 当各个单项随机误差均服从正态分布时，各单项误差的数目q较多、各项误差大小相近和独立时，此时合成的总误差接近于正态分布12qkkkk合成极限误差：合成极限误差： 假设和各单项误差大多服从正态分布或近似服从正态分布，各单项误差大多服从正态分布或近似服从正态分布，而且他们之间常是线性无关或近似线性无关，是较为而且他们之间常是线性无关或

24、近似线性无关，是较为广泛运用的极限误差合成公式广泛运用的极限误差合成公式 时：此时1 1、不确定度的概念、不确定度的概念 用误差来评价丈量结果的可靠程度，这种做法不尽完善，往往有能够脱漏一些影响丈量结果准确性的要素，如未定系统误差、仪器误差等。而且误差是一个不确定量不可知性。鉴于上述缘由，为了更准确地表述丈量结果的可靠性，国际上提出了采用不确定度的建议和规定。 不确定度表示由于丈量误差的存在而对被丈量值不能一定的程度，或者说它是被丈量值在某一范围内的一个评定。它是建立在误差实际根底上的一个新概念，是误差的数字目的。 客观地说： 不确定度是对经典误差实际的一个补充，是现代误差实际的内容之一，但它

25、还有待进一步研讨、完善与开展。2.2.丈量不确定度的评定方法丈量不确定度的评定方法A A类评定：经过对一系列观测数据的统计分析类评定：经过对一系列观测数据的统计分析 来评定用符号来评定用符号A A表示表示B B类评定：基于阅历或其他信息所认定的概率类评定：基于阅历或其他信息所认定的概率 分布来评定分布来评定, ,用符号用符号B B表示。表示。 3.3.丈量不确定度与误差丈量不确定度与误差联络： 丈量结果的精度评定参数； 一切的不确定度分量都用规范差表征，由 随机误差或系统误差引起； 误差是不确定度的根底。区别：区别： 误差以真值或商定真值为中心，不确定度以被丈量的估计值为中心； 误差普通难以定

26、值，不确定度可以定量评定； 误差有三类，界限模糊，难以严厉区分；丈量 不确定度分两类，界限清楚，分析方法简单。 假设丈量同一物理量时，同时含有不确定度假设丈量同一物理量时，同时含有不确定度A类分量和类分量和不确定度不确定度B类分量时，那么合成的不确定度为如下式所示：类分量时，那么合成的不确定度为如下式所示：留意：式中一切留意：式中一切A A类分量和类分量和B B类分量必需是测同一物理量时类分量必需是测同一物理量时的不确定度。否那么，合成不确定度无实践意义。的不确定度。否那么，合成不确定度无实践意义。 4 4、合成不确定度、合成不确定度 5 5、相对不确定度、相对不确定度 为表示丈量结果的好坏，

27、在丈量结果中应表示为表示丈量结果的好坏，在丈量结果中应表示出相对不确定度。即：出相对不确定度。即：相对不确定度越小，表示丈量质量越好。相对不确定度越小，表示丈量质量越好。%100 xB22BA 二、直接丈量的结果评价 直接丈量是将待丈量与规范量进展比较，得到待丈量的大小。如米尺测长度、天平称质量、秒表测时间等，都属于直接丈量。为了减小误差，直接丈量一个物理量普通要反复丈量多次。怎样合理对所丈量的物理量给出一个合理结果评价呢？ 需求做以下两步任务假设一切丈量数据都曾经进展合理性估计，也即系统误差和粗大误差的大小可以忽略： 1、求最正确估计值；2、求丈量不确定度。算术平均值可表示为式：算术平均值可

28、表示为式：当丈量次数当丈量次数n 趋于无穷时，算术平均值趋于真值。趋于无穷时，算术平均值趋于真值。 niixnx111、用算术平均值作为真值的最正确估计、用算术平均值作为真值的最正确估计值值其中其中 xi 为第为第 i 次测得值。次测得值。2、直接丈量的不确定度处置、直接丈量的不确定度处置不确定度不确定度A类规范分量：类规范分量：)1()(12nnxxSSniixAA、一样条件下多次反复丈量的情形、一样条件下多次反复丈量的情形 假定某一一样条件下的丈量列为假定某一一样条件下的丈量列为xi (i=1n) 。置信概率和置信区间丈量次数丈量次数n，正态分布，正态分布，A类不确定度为：类不确定度为：,

29、AASxSx阐明在该区域内存在的概率为阐明在该区域内存在的概率为95%95%。 阐明在该区域内存在的概率为阐明在该区域内存在的概率为99.7%99.7%阐明在该区域内存在的概率为阐明在该区域内存在的概率为68.3%68.3%。 2,2AASxSx3,3AASxSx,AAStxStxtt为一个大于为一个大于1 1的因子，是与丈量次数，置信概率有的因子，是与丈量次数，置信概率有关的量。关的量。AAStAAkS不确定度的不确定度的B类分量处置：在物理实验中类分量处置：在物理实验中B类不确定度类不确定度普通只思索由仪器引入的极限误差来确定，常用普通只思索由仪器引入的极限误差来确定，常用B来来表示。表示

30、。而不确定度而不确定度B类规范分量由仪器的极限误差估算出，类规范分量由仪器的极限误差估算出，CSB仪C称置信系数称置信系数均匀分布函数：均匀分布函数：,3C3/仪BS丈量值误差落在丈量值误差落在 -SB，SB 内的置信概率为内的置信概率为P=0.58 三角分布函数：三角分布函数：,6C6/仪BS丈量值误差落在丈量值误差落在 -SB，SB 内的置信概率为内的置信概率为P=0.74 正态分布函数：正态分布函数：,3C3/仪BS丈量值误差落在丈量值误差落在 -SB，SB 内的置信概率为内的置信概率为P=0.68 正态分布条件下丈量值的正态分布条件下丈量值的B类不确定度为类不确定度为CkkSBB/仪k

31、为置信因子。为置信因子。几种常见仪器的目的几种常见仪器的目的3直接丈量量不确定度估算直接丈量量不确定度估算过过程小程小结结 求丈量数据列的平均值求丈量数据列的平均值niixnx11 根据运用仪器得出根据运用仪器得出B ) 1()(12nnxxSnii 用贝塞耳公式求规范偏向用贝塞耳公式求规范偏向S 规范偏向规范偏向S乘以因子来求得乘以因子来求得A =tS xx 给出直接丈量的最后结果：给出直接丈量的最后结果： 22BA 由由A、 B合成总不确定度合成总不确定度 相对不确定度：相对不确定度：%100 xB展伸不确定度展伸不确定度 将合成不确定度乘以一个与一定置信概率相联络的包含因将合成不确定度乘

32、以一个与一定置信概率相联络的包含因子子K，得到增大置信概率的不确定度，叫做展伸不确定度。，得到增大置信概率的不确定度，叫做展伸不确定度。合成规范不确定度：合成规范不确定度：2268. 068. 0)/()(CStA仪对于正态分布，取置信概率为对于正态分布，取置信概率为0.95时，时，k=1.96 22268. 068. 095. 0)/()(22CStA仪取置信概率为取置信概率为0.997时，时，k=32268. 0997. 0)()(33BASS 不确定度普通最后结果取不确定度普通最后结果取1 1位位, ,有有效数字最后一位与不确定度对齐效数字最后一位与不确定度对齐。B、单次丈量的情形、单次

33、丈量的情形1xx%1001xB 有时因条件所限不能够进展多次丈量，往往只有时因条件所限不能够进展多次丈量，往往只进展一次丈量。进展一次丈量。 一次丈量的表示结果为：一次丈量的表示结果为：单位单位其中丈量不确定度的大小由仪器的极限误差来确定其中丈量不确定度的大小由仪器的极限误差来确定BBBA2220电流、电压表不确定度的计算电流、电压表不确定度的计算 按照我国国家规范规定，电表的准确度按照我国国家规范规定，电表的准确度等级分为等级分为0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5共共7个级别，级数越小的电表越准确。个级别，级数越小的电表越准确。 假设用表示电表本身的极限误差：假设用表示电表本

34、身的极限误差：3,100仪仪其不确定度级别电表量程B假设只测一次，其不确定度为：假设只测一次，其不确定度为：31003级别电表量程仪B其相对不确定度为：其相对不确定度为：%1003%100电表指示值电表指示值级别电表量程 B 从上式可以看出，为了使丈量精度最高即相从上式可以看出，为了使丈量精度最高即相对不确定度最小，应该选择的电表量程，必需使对不确定度最小，应该选择的电表量程，必需使丈量值接近量程。丈量值接近量程。电阻的不确定度计算电阻的不确定度计算电阻不确定度的计算目前可以分成两种：电阻不确定度的计算目前可以分成两种：3100级别读数值（或测量值） 另一种：由于电阻箱用另一种：由于电阻箱用P

35、PM方式表示其精度，所以在方式表示其精度，所以在计算不确定度时，需求根据不同数量级的精度来计算计算不确定度时，需求根据不同数量级的精度来计算各个级别的输出极限误差，然后再除以平均分布置信各个级别的输出极限误差，然后再除以平均分布置信因子因子 得出电阻箱的输出不确定度。得出电阻箱的输出不确定度。 特别强调的是：电阻不确定度没有相对不确定度特别强调的是：电阻不确定度没有相对不确定度的概念，其计算方法与电表不确定度的计算方法不同。的概念，其计算方法与电表不确定度的计算方法不同。一种：较早消费的电阻箱或丈量电阻的万用表用级别一种：较早消费的电阻箱或丈量电阻的万用表用级别的方式表示其精度，那么这样的读数

36、值或丈量值最后的方式表示其精度，那么这样的读数值或丈量值最后的不确定度计算应运用如下公式：的不确定度计算应运用如下公式：31.1.某长度测某长度测5 5次次, ,分别为分别为29.18 29.27 29.25 29.2629.18 29.27 29.25 29.26 29.24(cm) 29.24(cm) B=0.02cmB=0.02cm cmSUnnxxSXBXXniiX03002.0553530 .0)1()(24.292212 结结 果果 为为 Xcm 2924003不确定度保管不确定度保管1 1位位, ,且与平均值的最后一位对齐且与平均值的最后一位对齐. .取一位取一位取一位取一位 设

37、设y为某一间接丈量量，为某一间接丈量量，x1,x2,，xk为为k个直个直接丈量量。遵照的函数方式为：接丈量量。遵照的函数方式为： k21x,.x,xfy 各直接丈量量的丈量结果为：各直接丈量量的丈量结果为：111xxx222xxxkxkkxx三、间接丈量的数据处置三、间接丈量的数据处置间接丈量数据处置，主要处理以下两个问题：间接丈量数据处置，主要处理以下两个问题：由上可知，间接丈量的最正确估计值如下式所示：由上可知，间接丈量的最正确估计值如下式所示：)x,x,x(fyk 21 由于间接丈量量由于间接丈量量y与与k个直接丈量量有关，个直接丈量量有关，k个直接丈个直接丈量量的误差必然对间接丈量量量

38、量的误差必然对间接丈量量y有影响，也即有影响，也即y的值也存的值也存在着误差。因此，间接丈量量在着误差。因此，间接丈量量y的不确定度也是与各直的不确定度也是与各直接丈量量的不确定度有关的，它们之间的关系式被称为接丈量量的不确定度有关的，它们之间的关系式被称为不确定度传播公式或传送公式。不确定度传播公式或传送公式。 1、间接丈量的最正确值、间接丈量的最正确值2、间接丈量的不确定度处置、间接丈量的不确定度处置221ixkiiyxf由统计实际可推出传送公式：由统计实际可推出传送公式：上式中上式中 (i1k)是传播系数，是传播系数， 是是xi的不的不确定度。确定度。ixf ix计算间接丈量物理量不确定

39、度时，应首先对各直接计算间接丈量物理量不确定度时，应首先对各直接丈量量进展处置，然后再代入上式进展传送计算。丈量量进展处置，然后再代入上式进展传送计算。单位yyy%100yBy综合综合1、2所述，间接丈量的结果可表示为：所述，间接丈量的结果可表示为：间间接丈量量不确定度估算接丈量量不确定度估算过过程小程小结结 求直接丈量数据列的平均值求直接丈量数据列的平均值niixnx11 根据运用仪器得出根据运用仪器得出B ) 1()(12nnxxSnii 用贝塞耳公式求规范偏向用贝塞耳公式求规范偏向S 规范偏向规范偏向S乘以因子来求得乘以因子来求得A =tS xx 给出直接丈量的最后结果：给出直接丈量的最

40、后结果： 22BA 由由A、 B合成总不确定度合成总不确定度 计算间接丈量平均值；计算间接丈量平均值； 利用传送公式计算间接丈量平均值的不确定度；利用传送公式计算间接丈量平均值的不确定度； 写出最后完好的结果方式。写出最后完好的结果方式。例：用长度为例：用长度为2000mm的钢卷尺丈量讲桌的面积，长为的钢卷尺丈量讲桌的面积，长为120.01cm，宽为，宽为67.46cm，请正确表示各丈量值。，请正确表示各丈量值。解：由于是单次丈量，对钢卷尺的仪器极限误差知道解：由于是单次丈量，对钢卷尺的仪器极限误差知道j=仪仪=1mmcmmmSB06. 06 . 03/13/仪29 .8095cmDLS对于面

41、积为对于面积为利用间接丈量的不确定度传播公式得到利用间接丈量的不确定度传播公式得到S的不确定度为的不确定度为按均匀分布那么按均匀分布那么22222228cmDLxfLDxisi所以丈量结果为所以丈量结果为 cmL06. 001.120%04. 0%1001 .12003 . 0BcmD06. 046.67%08.0%1006 .6743 .0B288096cmS%1 . 0%10046.80958701.413B第六部分有效数字一、关于有效数字的几个概念一、关于有效数字的几个概念 丈量值中的可靠数字加上可疑数字统称为有效数字。丈量值中的可靠数字加上可疑数字统称为有效数字。一定义一定义有效数字中

42、一切位数的个数称为有效数字的位数。有效数字中一切位数的个数称为有效数字的位数。二有效数字来源于丈量时所用的仪器。有效数字的位数多少二有效数字来源于丈量时所用的仪器。有效数字的位数多少反映了丈量仪器的精度，有效位数越多，相应的仪器精度越高。反映了丈量仪器的精度，有效位数越多，相应的仪器精度越高。我们的义务是使丈量值尽能够准确地反映出它的真实值。有两个我们的义务是使丈量值尽能够准确地反映出它的真实值。有两个特征：特征：1 1以刻度为根据可读到最小刻度所在位。以刻度为根据可读到最小刻度所在位。2 2在最小刻度之间可估计一位在最小刻度之间可估计一位11位置为位置为35.00,35.00,不能写成不能写

43、成 35cm 35cm。1122位置为位置为35.40cm35.40cm22 33 估计值只需一位，所以也叫可疑位。估计值只需一位，所以也叫可疑位。直接丈量量原始数据的读数应反直接丈量量原始数据的读数应反映仪器的准确度映仪器的准确度游标类器具游标类器具游标卡尺、游标卡尺、分光计度盘、分光计度盘、大气压计等大气压计等普通读至游标普通读至游标最小分度的整最小分度的整数倍，即不需数倍，即不需估读。估读。直接丈量量原始数据的读数应反直接丈量量原始数据的读数应反映仪器的准确度映仪器的准确度数显仪表及有数显仪表及有十提高式标度十提高式标度盘的仪表电盘的仪表电阻箱、电桥、阻箱、电桥、电位差计、数电位差计、数

44、字电压表等字电压表等普通应直接读普通应直接读取仪表的示值。取仪表的示值。指针式仪表及指针式仪表及其它器具，读其它器具，读数时估读到仪数时估读到仪器最小分度的器最小分度的1/21/21/101/10，或使估读间隔或使估读间隔不大于仪器根不大于仪器根本误差限的本误差限的1/51/51/31/3。直接丈量量原始数据的读数应反直接丈量量原始数据的读数应反映仪器的准确度映仪器的准确度直接读数本卷须知直接读数本卷须知留意指针指留意指针指在整刻度线在整刻度线上时读数的上时读数的有效位数。有效位数。丈量结果表达式中的有效位数丈量结果表达式中的有效位数总不确定度总不确定度的有效位数，取的有效位数，取1 1 2

45、2位位首位大于首位大于5 5时，普通取时，普通取1 1位位首位为首位为1 1、2 2时，普通取时，普通取2 2位位例例 ：估算结果：估算结果 =0.548mm =0.548mm时，取为时，取为=0.5mm=0.5mm =1.37 =1.37 时，时， 取为取为=1.4=1.4 丈量结果表达式中的有效位数丈量结果表达式中的有效位数被丈量值有效位数确实定被丈量值有效位数确实定Yy中，被丈量值中，被丈量值 y 的末位要与不确定度的末位要与不确定度的末位对齐的末位对齐 求出求出 y后先多保管几位，求出后先多保管几位，求出，由，由决议决议 y的末位的末位例：环的体积例：环的体积不确定度分析结果不确定度分

46、析结果最终结果为：最终结果为：V=9.440.08cm3即：不确定度末位在小数点后第二位，丈量结果的最后一位即：不确定度末位在小数点后第二位，丈量结果的最后一位也取到小数点后第二位。也取到小数点后第二位。32122436. 9)(4cmhDDV 3cm0.08V四四“0 0在有效数字中的位置在有效数字中的位置 指数部分前面系数为有效数字，后面的不是。指数部分前面系数为有效数字，后面的不是。五有效数字中的科学表示法五有效数字中的科学表示法 数字前面的数字前面的0 0不是有效数字，数字中间或末尾的不是有效数字，数字中间或末尾的0 0却是有效却是有效数字。数字。三有效数字的位数与小数点位置无关三有效

47、数字的位数与小数点位置无关小数点的位置不影响有效数字的位数。小数点的位置不影响有效数字的位数。1.1.假设舍去部分数值大于保管部分末位的半个单位，那么末假设舍去部分数值大于保管部分末位的半个单位，那么末位加位加1 1二、丈量数据近似值的取舍原那么二、丈量数据近似值的取舍原那么2.2.假设舍去部分数值小于保管部分末位的半个单位，那么末位假设舍去部分数值小于保管部分末位的半个单位，那么末位不加不加3.3.假设舍去部分数值等于保管部分末位的半个单位，那么末假设舍去部分数值等于保管部分末位的半个单位，那么末位凑成偶数。位凑成偶数。有效数字相互运算后仍为有效数字，即最后一位可疑，其有效数字相互运算后仍为

48、有效数字，即最后一位可疑，其它位数可靠；它位数可靠；可疑数与可疑数相互运算后仍为可疑数，但进位数可视为可疑数与可疑数相互运算后仍为可疑数，但进位数可视为可靠数；可靠数；可疑数与可靠数相互运算后为可疑数；可疑数与可靠数相互运算后为可疑数；可靠数与可靠数运算后仍为可靠数。可靠数与可靠数运算后仍为可靠数。一有效数字的加减法那么一有效数字的加减法那么 有效数字经过加减运算后，得到的最后一位数应该与参有效数字经过加减运算后，得到的最后一位数应该与参与运算的各个数中可疑位数最高的位数一致。与运算的各个数中可疑位数最高的位数一致。三、有效数字的运算规那么三、有效数字的运算规那么 二有效数字的乘除法运算法那么

49、二有效数字的乘除法运算法那么 有效数字经过乘除运算后，得数的有效数字位数与参与有效数字经过乘除运算后，得数的有效数字位数与参与运算的各数中有效数字位数最少的那个有效数字位数一样。运算的各数中有效数字位数最少的那个有效数字位数一样。三乘方、平方的有效数字运算法那么三乘方、平方的有效数字运算法那么 有效数字经过这些运算后，得数的有效数字位数与底数有效数字经过这些运算后，得数的有效数字位数与底数的有效数字位数一样。的有效数字位数一样。四三角函数、对数的有效数字运算法那么四三角函数、对数的有效数字运算法那么 三角函数的有效数字的位数与角度的有效数字位数一样。三角函数的有效数字的位数与角度的有效数字位数

50、一样。对数尾数的有效数字位数与真数的有效数字位数一样。对数尾数的有效数字位数与真数的有效数字位数一样。五特殊数的有效数字位数五特殊数的有效数字位数加减法加减法21 30033272097 2 13 0 03327 2 09 6 7 3 约简约简2 13 0 0333 2 09 6 7 可见，约简不影响计算结果。在加法运可见，约简不影响计算结果。在加法运算中，各量可约简到其中位数最高者的下一算中，各量可约简到其中位数最高者的下一位，其结果的欠准数位与参与运算各量中位位，其结果的欠准数位与参与运算各量中位数最高者对齐。数最高者对齐。乘法乘法 在乘除运算之前，各量可先约简到比其中位数在乘除运算之前，

51、各量可先约简到比其中位数最少者多一位。普通与位数最少者一样，特殊情况最少者多一位。普通与位数最少者一样，特殊情况比最少者多少一位。比最少者多少一位。5 23 2116 7 多一位的情况多一位的情况1 011 210 83 1 21 1 010 083 968 4 2 0 363 56全部可疑时，商所在位即为全部可疑时，商所在位即为为可疑数位。比位数最少者为可疑数位。比位数最少者少一位的情况。少一位的情况。 5 2 32 1 61 6 0 51 6 6 9 2 4 2初等函数运算初等函数运算四位有效数字，经正弦运算后得几位？四位有效数字，经正弦运算后得几位？52 130 问题是在问题是在 位上有

52、动摇，比如为位上有动摇，比如为 ，对正弦值影响到哪一位，哪一位就应是可疑对正弦值影响到哪一位，哪一位就应是可疑数所在位。数所在位。 根据微分在近似计算中的运用，可知：根据微分在近似计算中的运用，可知： 1 1ydydxxxx coscos52 131601800 00020知知sin52 130 79030 第四位为可疑数位。第四位为可疑数位。第七部分物理实验中常用的数据处置方法一、列表法一、列表法 将数据按一定规律列成表格，可使物理量之间的对应关系简明、醒目的表达出来，有助于发现实验中的规律。1.1.列表要简单明了，利于记录、运算处置数据和检查处置结果列表要简单明了，利于记录、运算处置数据和

53、检查处置结果2.2.列表要标明符号所代表的物理量的意义。列表要标明符号所代表的物理量的意义。3.3.列表的方式不限，根据详细情况，决议列出哪些工程。列表的方式不限，根据详细情况，决议列出哪些工程。4.4.表格记录的丈量值和丈量偏向应正确反映所用仪器的精度。表格记录的丈量值和丈量偏向应正确反映所用仪器的精度。二、作图法二、作图法 在现有的坐标纸上用图形描画各物理量之间的关系，将实验数据用几何图形表示出来，这就叫做作图法。1.1.作图一定要用坐标纸。作图一定要用坐标纸。2.2.定坐标轴和坐标标度。定坐标轴和坐标标度。3.3.描点与画线。描点与画线。4.4.图注。图注。2. 定坐标轴和坐标定坐标轴和

54、坐标标度：标度： 用粗实线画坐用粗实线画坐标轴，用箭头标轴标轴，用箭头标轴方向，标坐标轴的方向，标坐标轴的称号或符号、单位称号或符号、单位,再按顺序标出坐标再按顺序标出坐标轴整分格上的量值。轴整分格上的量值。I (mA)U (V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.000 02.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.003.描点和画线：描点和画线： 实验点可用实验点可用“ 、 “ 、“ 等符号标出等符号标出同一坐标系下不同一坐标系下不同曲线用不同的符同曲线用不同的符号。号。 用直尺、曲线用直尺、曲线板等把点

55、连成直线、板等把点连成直线、光滑曲线。光滑曲线。4.图注：图注： 在图线下方或在图线下方或空白位置写出图线空白位置写出图线的称号及某些必要的称号及某些必要的阐明。的阐明。电阻伏安特性曲线电阻伏安特性曲线不当图例展现：不当图例展现：n(nm)1.6500500.0700.01.67001.66001.70001.69001.6800600.0400.0玻璃资料色散曲线图玻璃资料色散曲线图图图1曲线太粗，曲线太粗，不均匀，不均匀，不光滑。不光滑。应该用直应该用直尺、曲线尺、曲线板等工具板等工具把实验点把实验点连成光滑、连成光滑、均匀的细均匀的细实线。实线。n(nm)1.6500500.0700.0

56、1.67001.66001.70001.69001.6800600.0400.0玻璃资料色散曲线图玻璃资料色散曲线图矫正为：矫正为：图图2I (mA)U (V)0 02.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.001.003.00电学元件伏安特性曲线电学元件伏安特性曲线横轴坐标分度选取横轴坐标分度选取不当。横轴以不当。横轴以3 cm 代表代表1 V，使作图，使作图和读图都很困难。和读图都很困难。实践在选择坐标分实践在选择坐标分度值时，应既满足度值时，应既满足有效数字的要求又有效数字的要求又便于作图和读图，便于作图和读图，普通以普通以1 mm

57、代表代表的量值是的量值是10的整数的整数次幂或是其次幂或是其2倍或倍或5倍。倍。I (mA)U (V)o o1.002.003.004.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.00电学元件伏安特性曲线电学元件伏安特性曲线矫正为：矫正为：定容气体压强温度曲线定容气体压强温度曲线1.20001.60000.80000.4000图图3P(105Pa)t()60.00140.00100.00o120.0080.0040.0020.00图纸运用图纸运用不当。实不当。实践作图时，践作图时，坐标原点坐标原点的读数可的读数可以不从零以不从零开场。开场。定容气

58、体压强温度曲线定容气体压强温度曲线1.00001.15001.20001.10001.0500 P(105Pa)50.0090.0070.0020.0080.0060.0040.0030.00t()矫正为：矫正为：三、图解法三、图解法 根据实验数据作好的图线，用解析法找出相应的函数方式。1.1.由实验图线建立阅历公式的普通步骤：由实验图线建立阅历公式的普通步骤：根据解析几何知识判别图线的类型；根据解析几何知识判别图线的类型；由图线的类型判别公式的能够特点；由图线的类型判别公式的能够特点；利用半对数、对数或倒数坐标纸，把原曲线改直；利用半对数、对数或倒数坐标纸，把原曲线改直；确定常数，建立起阅历

59、公式的方式，并用实验数据来检确定常数，建立起阅历公式的方式，并用实验数据来检验所得公式的准确程度。验所得公式的准确程度。2.线性关系处置：线性关系处置：I (mA)U (V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.000 02.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.00电阻伏安特性曲线电阻伏安特性曲线A(1.00,2.76)B(7.00,18.58)由图上由图上A、B两点可得被测电阻两点可得被测电阻R为：为：)k(379. 076. 258.1800. 100. 7ABABIIUURbkxy1212xxyyk1

60、22112xxyxyxb),(11yxA),(22yxB3.3.曲线改直，曲线方程的建立曲线改直，曲线方程的建立 自变量为等间距变化时，特别是当自变量与因变量成线性关系，用逐差法处置数据具有独特的优点.设两个变量之间满足线性关系，且自变量设两个变量之间满足线性关系，且自变量x x是等间距变化的，是等间距变化的，把因变量把因变量y y按顺序分成两组：按顺序分成两组：y1,y2,.yn y1,y2,.yn 和和 yn+1,yn+2,.y2nyn+1,yn+2,.y2n求出对应项的差值：求出对应项的差值：y1=yn+1-y1,y2=yn+2-y2 . yn=y2n-yn求出差值的平均值，即求出差值的