1.25洛必达法则ppt课件

1、在第三章求极限时，在第三章求极限时， 我们遇到过许多无穷小量之比我们遇到过许多无穷小量之比 或无穷大量之比的极限或无穷大量之比的极限 我们称这类极限为未定式我们称这类极限为未定式 例如，例如，0sinlim,xxx0e1lim,xxx都是无穷小量之比都是无穷小量之比 的极限。的极限。又如，又如，elim,xxx2lim,1xxx都是无穷大量之比都是无穷大量之比 的极限。的极限。以下各类极限称为不定型的极限：, 00, , 0 , , 1, 00. 0其中 ,; 0表示无穷小量; 表示无穷大量. 1 1为极限的变量表示以不定型的极限不定型的极限 00 0 1 00 0倒数法取对数法只需讨论这两种

2、极限它们不能用它们不能用“商的极限等于极限的商的规则进行运算商的极限等于极限的商的规则进行运算，但可用下面介绍的洛必达法则来求这类极限但可用下面介绍的洛必达法则来求这类极限. 第二节 洛必达法则（LHospitals Rule）三、其他类型的未定式三、其他类型的未定式 二、二、 型未定式的洛必达法则型未定式的洛必达法则一、一、 型未定式的洛必达法则型未定式的洛必达法则00四、小结与思考练习四、小结与思考练习 一、一、 型未定式洛必达法型未定式洛必达法则则0)(lim)(lim) 1xFxfaxax)()(lim)3xFxfax存在存在 (或为或为 )( )( )limlim( )( )xaxa

3、f xfxF xF x,)()()()2内可导在与axFxf0)( xF且定理定理 5.6 00(洛必达法则洛必达法则) ( 在在 x , a 之间之间)无妨假设无妨假设, 0)()(aFaf在指出的邻域内任取在指出的邻域内任取,ax 那那么么)(, )(xFxf在以在以 x, a 为端点的区间上满足柯为端点的区间上满足柯0)(lim)(lim) 1xFxfaxax故故)()()()()()(aFxFafxfxFxf)()(Ff)()(limxFxfax)()(limFfax)()(limxFxfax)3定理条件定理条件: 西定理条件西定理条件,)()(lim)3xFxfax存在存在 (或为或

4、为 ),)()()()2内可导在与axFxf0)( xF且证证:.123lim2331xxxxxx解解: 原式原式 lim1x00型266lim1xxx23注意注意: 不是未定式不能用洛必达法则不是未定式不能用洛必达法则 !266lim1xxx166lim1x332x1232 xx例例1 求求定理定理 5.6 中中ax 换为换为, ax,ax,xx之一之一,推论推论 2 假假设设)()(limxFxf满足定且型仍属)(, )(,00 xFxf理理5.6条件条件, 那那么么)()(lim)()(limxFxfxFxf)()(limxFxf 条件条件 2) 作相应的修改作相应的修改 , 定理定理

5、1 仍然成立仍然成立.,x)()(lim)()(limxFxfxFxfaxax洛必达法则洛必达法则推论推论 1 1 .arctanlim12xxx解解: 原式原式 limx00型221limxxx1211x21x11lim21xx考虑考虑: 如何求如何求 21arctanlimnnn( n 为正整数为正整数) ?型例例2 求求二、二、 型未定式的洛必达法则型未定式的洛必达法则1) lim ( )lim( )xaxaf xF x )()(lim)3xFxfax存在存在 (或为或为)( )lim( )xaf xF x定理定理 5.8（证明略）（证明略）( )lim( )xafxF x(洛必达法则洛

6、必达法则),)()()()2内可导在与axFxf0)( xF且说明说明: 定理定理5.8中中ax 换为之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理5.8仍然成立., ax, ax,xx,x. )0(lnlimnxxnx解解:型原式原式11limnxxxnnxxn1lim0例例4 求求解解: (1) n 为正整数的情形为正整数的情形.原式原式0 xnxexn1limxnxexnn22) 1(limxnxen!lim. )0, 0(limnexxnx型例例3 求求. )0, 0(limnexxnx(2) n 不为正整数的情形不为正整数的情形.nx从而从而xnexxkexxkex1由由(1)0liml

7、im1xkxxkxexexlim0nxxxe用夹迫准则用夹迫准则kx1kx存在正整数存在正整数 k , 使当使当 x 1 时时,例例4 求求. )0(0lnlimnxxnx例例3. 例例4. )0, 0(0limnexxnx1) 例例3 , 例例4 说明说明x时时,lnx后者比前者趋于后者比前者趋于更快更快 .例如例如,xxx21lim21limxxxxxx21lim而而xxx21lim11lim2xx1)0(xe, )0( nxn用洛必达法则用洛必达法则2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题计算问题 . 说明:,)()()(l

8、im时不存在xFxf.)()(lim)()(limxFxfxFxf例如例如,xxxxsinlim1cos1limxx极限不存在极限不存在)sin1 (limxxx13) 假设三、其他类型的未定式三、其他类型的未定式:,0 ,00,1型0解决方法解决方法:通分通分转化转化000取倒数取倒数转化转化0010取对数取对数转化转化例例5 求求0limln .xxx0型解解: 原式原式10lnlimxxx1 101limxxx 00lim()xx型. )tan(seclim2xxx解解: 原式原式)cossincos1(lim2xxxxxxxcossin1lim2xxxsincoslim20通分通分转化

9、转化000取倒数取倒数转化转化0010取对数取对数转化转化例例6 求求.lim0 xxx00 型解解: xxx0limxxxeln0lim0e1通分通分转化转化000取倒数取倒数转化转化0010取对数取对数转化转化例例7 求求.sintanlim20 xxxxx解解: 注意到注意到xsin原式原式30tanlimxxxx22031seclimxxx2203tanlimxxxxx22tan1sec31x00型例例8 求求说明说明: 这道题告诉我们，这道题告诉我们，洛必达法则是求未定式极限洛必达法则是求未定式极限的一种有效方法，的一种有效方法， 但最好能与其他求极限的方法结合使用，但最好能与其他求

10、极限的方法结合使用， 这样可以使运算简捷这样可以使运算简捷. nnnneln11. ) 1(limnnnn分析分析: 为用洛必达法则为用洛必达法则 , 必须改求必须改求. ) 1(lim121xxxx法法1 用洛必达法则用洛必达法则0 型但对本题用此法计算很繁但对本题用此法计算很繁 ! 21 limnn法法2) 1(lim121nnnn1ln1nne21limnnnnln121lnlimnnn0u1ue原式原式例例9 求求洛必达法则洛必达法则型00,1 ,0型型0型00型1gff g1111gfgffggfy 令令取对数取对数内容小结思考练习1. 设设)()(limxgxf是未定式极限是未定式

11、极限 , 假设假设)()(xgxf不存在不存在 , 是否是否)()(xgxf的极限也不存在的极限也不存在 ? 举例说明举例说明 .极限极限2103sincoslim(1cos )ln(1)2.xxxxxx原式xxxxx120cossin3lim21)1ln(xx)03(2123分析分析:分析分析:203cos1limxxx30 limxxxxxx1sin1cotlim0原式原式xsinx0limcos1xxxxsin222103limxxxxcos1221x6161xxxxxx20sin)sin(coslim3.,1xt 那那么么2011221limttttxxxxx122lim23解解: 令令原式原式tt2 lim021)21 ( t21)1 (t2)1 ()21 (lim2323210ttt414. 求5. 求下列极限求下列极限 :;)11ln(lim) 12xxxx解解:tttt1)1ln(1lim2020)1ln(limtttt.cossec)1ln()1ln(lim)3220 xxxxxxx;1lim)2211000 xxex)11ln(lim) 12xxxx)1 (2lim0ttttttt21lim110211()tx令令令21,tx那那么么ttet50lim原式原式 =txet50lim0ttet4950lim2110001lim)2xxex解解:t