0204极限运算法则ppt课件

1、下页返回上页第四节第四节 极限运算法则极限运算法则下页返回上页一、极限运算法则二、求极限方法举例三、小结 考虑下页返回上页一、极限运算法则定理定理. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中则则设设证证.)(lim,)(limBxgAxf . 0, 0.)(,)( 其其中中BxgAxf由无穷小运算法则由无穷小运算法则,得得下页返回上页)()()(BAxgxf . 0.)1( 成立成立)()()(BAxgxf ABBA )( )(BA. 0.)2(成立成立BAxgxf )()(BABA

2、 )( BBAB. 0 AB, 0, 0 B又又, 0 ,00时时当当 xx,2B BBBB21 B21 下页返回上页推论推论1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 则则为为常常数数而而存存在在如如果果常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 则则是是正正整整数数而而存存在在如如果果推论推论2 2,21)(2BBB ,2)(12BBB 故故有界，有界，.)3(成立成立下页返回上页二、求极限方法举例例例1 1.531lim232 xxxx求求解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxx

3、xx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 , 03 531lim232 xxxx)53(lim1limlim22232 xxxxxx.37 3123 下页返回上页小结小结: :则则有有设设,)(. 1110nnnaxaxaxf nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xf 则则有有且且设设, 0)(,)()()(. 20 xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx )()(00 xQxP ).(0 xf .,0)(0则则商商的的法法则则不不能能应应用用若若 xQ下页

4、返回上页时，时，当当其定义域为其定义域为为基本初等函数为基本初等函数设设DxDxf 0,)(. 3 )(lim0 xfxx).(0 xf下页返回上页解解)32(lim21 xxx, 0 商的法则不能用商的法则不能用)14(lim1 xx又又, 03 1432lim21 xxxx. 030 由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得例例2 2.3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx下页返回上页解解例例3 3.321lim221 xxxx求求.,1分分母母的的极极限限都都是是零零分分子子时时x.1 后后再再求求极极限限因因子子先先约约去去不不为为零零的的无无穷穷小小

5、 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 )00(型型(消去零因子法消去零因子法)下页返回上页解解., 232lim4221baxxbaxxx、求求设设例例 .,1而而商商的的极极限限存存在在分分母母的的极极限限是是零零时时x. 01)(lim21 babaxxx则则)1)(3()1)(1(lim32lim1221 xxxaxxxbaxxxx于于是是. 24231lim1 axaxx. 7, 6 ba故故下页返回上页例例5 5.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的极限都是无穷大分母的极限都是无穷大分子分子时时 x)

6、(型型 .,3再再求求极极限限分分出出无无穷穷小小去去除除分分子子分分母母先先用用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 (无穷小因子分出法无穷小因子分出法)下页返回上页小结小结: :为为非非负负整整数数时时有有和和当当nmba, 0, 000 , 0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx当当当当当当无穷小分出法无穷小分出法: :以分母中自变量的最高次幂除分以分母中自变量的最高次幂除分子、分母子、分母, ,以分出无穷小以分出无穷小, ,然后再求极限然后再求极限. .下页返回上页例例6 6., 2)12(lim2baba

7、xxxx、求求设设 解解222222 ()(1)lim()lim11()2lim21xxxxxaxb xaxbxxxaxab xbx 1,2,3aabb 下页返回上页例例7 7).21(lim222nnnnn 求求解解是是无无限限多多个个无无穷穷小小之之和和时时, n222221lim)21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先变形再求极限先变形再求极限.下页返回上页例例8 8.sinlimxxx 求求解解,1,为无穷小为无穷小时时当当xx .sin 是有界函数是有界函数而而x. 0sinlim xxxxxysin 下页返回上页例例9 9).(

8、lim,0, 10,1)(02xfxxxxxfx 求求设设yox1xy 112 xy解解两个单侧极限为两个单侧极限为是函数的分段点是函数的分段点,0 x)1(lim)(lim00 xxfxx , 1 )1(lim)(lim200 xxfxx, 1 左右极限存在且相等左右极限存在且相等,. 1)(lim0 xfx故故下页返回上页.)(lim)(lim)()(lim)()(lim)(0000AufxfxxxfAufauufaxaxxxuauxxauxx 时时的的极极限限也也存存在在，且且当当，则则复复合合函函数数又又，有有定定义义在在点点，而而函函数数即即，时时的的极极限限存存在在且且等等于于当当

9、运运算算法法则则）设设函函数数定定理理（复复合合函函数数的的极极限限)(lim0 xfxx )(limufau)(xu 令令)(lim0 xaxx 意义：意义：下页返回上页例例8 8.lim333axaxax 求求解解axaxaxax 3233)()(lim原原式式3233232)(limaaxxaxax 0 323203limauuaxu 令令下页返回上页三、小结 考虑1、极限的四则运算法则及其推论、极限的四则运算法则及其推论;2、极限求法、极限求法;a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分

10、出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.3、复合函数的极限运算法则、复合函数的极限运算法则下页返回上页思考题思考题 在某个过程中，假设在某个过程中，假设 有极限，有极限， 无极限，那么无极限，那么 是否有极限？为是否有极限？为什么？什么？)(xf)(xg)()(xgxf 下页返回上页思考题解答思考题解答没有极限没有极限假设假设 有极限，有极限，)()(xgxf )(xf有极限，有极限，由极限运算法则可知：由极限运算法则可知： )()()()(xfxgxfxg 必有极限，必有极限，与已知矛盾，与已知矛盾，故假设错

11、误故假设错误下页返回上页._1sinlim520 xxx、._33lim132 xxx、一、填空题一、填空题:._11lim231 xxx、._)112)(11(lim32 xxxx、._5)3)(2)(1(lim43 nnnnn、._coslim6 xxxeex、练练 习习 题题下页返回上页._2324lim72240 xxxxxx、._)12()23()32(lim8503020 xxxx、二、求下列各极限二、求下列各极限:)21.41211(lim1nn 、hxhxh220)(lim2 、)1311(lim331xxx 、下页返回上页38231lim4xxx 、)(lim5xxxxx 、1412lim6 xxx、2lim71 nmnmx