0105极限运算法则ppt课件

1、第五节第五节 极限运算法则极限运算法则定理定理 1 在同一变化过程中在同一变化过程中, 有限个无穷小的和仍是无穷小有限个无穷小的和仍是无穷小.注意：注意：无穷多个无穷小的和未必是无穷小无穷多个无穷小的和未必是无穷小. .定理定理 2 (部分部分)有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论1 有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论推论2 有限个无穷小的乘积是无穷小有限个无穷小的乘积是无穷小.xxxxx1arctan ,1sin,0 :2时时当当例例如如都是无穷小，都是无穷小，, 01sinlim 0 xxx即即. 01arctanl

2、im 20 xxx定理定理 3,)(lim,)(limBxgAxf 若若证明证明.)(lim,)(limBxgAxf . 0, 0 ,)(,)( 其其中中BxgAxf;)()(lim)1(BAxgxf ;)()(lim)3(ABxgxf . 0,)()(lim)4( BBAxgxf其其中中:则有则有;)()(lim)2(BAxgxf )()(xgxf)()( BA,BA .)1( 成立成立:)1( 的的证证明明 )()(xgxf)( BA)( BAAB,AB.)3(成立成立:)3(的证明的证明:)4(的证明的证明.0为为例例以以xx BAxgxf)()()()()(xBgxAgxBf , 0

3、AB, 0,)( BBxg又又, 0 ,00时时当当 xx,2)(Bxg 恒有恒有,2)(12BxBg ,)(xBgAB ,)(0时时的的无无穷穷小小是是xxxBgAB .)4(成成立立,)()(BAxgxf推论推论1 1则则为常数为常数而而存在存在如果如果,)(limcxf则则是是正正整整数数而而存存在在如如果果,)(limnxf推论推论2 2).(lim)(limxfcxcf .)(lim)(limnnxfxf ,)(lim,)(lim),()(bxaxxx 且且如如果果定理定理5 5. ba 则则例例1 1).1(lim41 xxx求求解解 )1(lim41xxx111 . 1 :,有有

4、一一般般地地,)(1110nnnnnaxaxaxaxP 设设 )(lim0 xPnxx则则nnnnaxaxaxa 0110100).(0 xPn 1limlimlim1141 xxxxx)(xf)(xff例例2 2.21lim 2231 xxxxx求求解解 原式原式)2(lim)1(lim21231 xxxxxx.43 :,有有一般地一般地则有则有且且设设, 0)(,)()()(0 xQxQxPxfnnm )(lim0 xfxx)()(00 xQxPnm ).(0 xf )(lim)(lim00 xQxPnxxmxx有理函数的代入法有理函数的代入法例例3 3.341lim 231 xxxx求求

5、解解 原式原式)3)(1()1)(1(lim21 xxxxxx31lim21 xxxx 32.消零因子法消零因子法)00(型型练习练习1 1).(lim 23cbxaxxx 计计算算解解cbxaxxxfxx 231lim)(1lim32311limxcxbxaxx , 0 ,系系知知由由无无穷穷大大与与无无穷穷小小的的关关 原式原式. 练习练习2 2.1sinlim,sinlim30 xxxxxx 求求解解,1,为无穷小为无穷小时时当当xx ,sin 是有界函数是有界函数而而x)sin1(limsinlimxxxxxx ; 0 :同理可知同理可知 xxx1sinlim30. 0 xxx1sin

6、lim30 定理定理4,lim,limByAxnnnn 若若;lim)1(BAyxnnn :则有则有;lim)2(BAyxnnn ;lim)3(BAyxnnn . 0,lim)4( BBAyxnnn数列极限的四则运算数列极限的四则运算:例例4 4,1213lim 33 xxxax计计算算解解 a332/12/1/31limxxxx ;21 b3/12)/13)(/12)(/11(limnnnnn . 3 )(型型 无穷小因子分出法无穷小因子分出法.12)13)(12)(1(lim3 nnnnbn例例5 5).21(lim222nnnnn 求求分分析析,是无穷个无穷小之和是无穷个无穷小之和时时

7、n221limnnn 原式原式2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先变形再求极限先变形再求极限.解解例例6 6).1(lim22nnnn 求求解解)(型型 11lim22nnnn 原原式式)(型型 nnnnn 2211lim)(分分子子有有理理化化nnnn/11/11/11lim2 .21111 nnnnnnn 22221)()1(lim例例7 7).1211(lim21xxx 求求解解)(型型 )1)(1(2)1(lim1xxxx 原原式式)0(因子因子消消)1)(1()1(lim1xxxx )(通通分分xx 11lim1.21 )00( 型型,)( ,)(lim (

8、1) AxgaAxgax 的的局局部部有有且且在在若若定理定理6 6,)(lim (2)BufAu .)(lim :Bxgfax 则有则有换元法换元法)(lim xFax求求)(lim xgfax )(xgu )(limufAuAxg)(例例8 8).(lim,0,0,1arctan)(01xfxexxxfxx 讨论讨论设设解解两两个个单单侧侧极极限限为为是是函函数数的的分分段段点点,0 x )(lim0 xfxuue lim )(lim0 xfx,2 左右极限存在左右极限存在, 但不相等但不相等,.)(lim0不存在不存在故故xfx, 0 uuarctanlim xxe10lim xx1ar

9、ctanlim0 例例9 9).(lim,0,1arctan0,1arctan)(0 xfxxxxxfx 讨论讨论设设解解两两个个单单侧侧极极限限为为是是函函数数的的分分段段点点,0 x )(lim0 xfxuuarctanlim )(lim0 xfx,2 左右极限存在左右极限存在, 且相等且相等,.2)(lim,)(lim00 xfxfxx且且存存在在故故,2 )arctan(limuu xx1arctanlim0 )1arctan(lim0 xx 思考题思考题 （1在相同的变化过程中在相同的变化过程中, 假设假设 f (x) 有极限有极限, g(x) 无极限无极限, 那么那么 f (x)

10、+g (x) 是否有极限？为什么？是否有极限？为什么？解答解答:（1没有极限没有极限假设假设 f (x)+g(x) 有极限有极限, 则由极限运算法则可知：则由极限运算法则可知：)()()()(xfxgxfxg 必有极限，必有极限，与已知矛盾，与已知矛盾，故假设错误故假设错误 （2在相同的变化过程中在相同的变化过程中, 假设假设 f (x) 有极限有极限, g(x) 无极限无极限, 那么那么 f (x) g (x) 是否有极限？为什么？是否有极限？为什么？思考题思考题解答解答: （2在相同的变化过程中在相同的变化过程中, 假设假设 f (x) 有极限有极限, g(x) 无极限无极限, 那么那么

11、f (x) g (x) 是否有极限？为什么？是否有极限？为什么？（2可能有极限，也可能没有极限可能有极限，也可能没有极限 ,0,时时当当如如x),(1)(, 0)() i (无无极极限限 xxgxxf., 11)()(有极限有极限 xgxf),(1)(, 0)()ii(2无无极极限限 xxgxxf.,1)()(没有极限没有极限 xxgxf会用以下求极限的方法会用以下求极限的方法: :(1) 有理函数的代入法有理函数的代入法.四、小结与教学基本要求四、小结与教学基本要求(2) 消去零因子法消去零因子法.(3) 无穷小因子分出法无穷小因子分出法.(4) 利用无穷小运算性质利用无穷小运算性质.(5)

12、 利用左右极限讨论分段函数在分段点处的极限利用左右极限讨论分段函数在分段点处的极限.(7) 换元法换元法(复合运算复合运算).(6) 无穷小运算性质无穷小运算性质.习题习题1-5 / P 48-49： 1( 3,5,6, 8,10,13,14).*思考题思考题: 2,3.pOXLp7v0djZKylHSJr3WxBmHK6NJ2GhiBeFZ7R4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2CHhI92tgKQcWA3PtGZ7R4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2CHhI92tgKQcWA3PtGshLs50cLmTWN60eo8Wgqv7XAv2OHUm32WGeaUwYDIAWGMeR4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2CHhI92tgKQcWA3PtGZ7R4I30kA1DkaGtgKQcWA3PtGZ7R4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2CHhI92tgKQcWA3PtGshLs50cLmTWN60eo8Wgqv7XAv2OHUm32WGeaUwYDIAWGMeR4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2CHhI92tgKQcWA3PtGZ7R4I30kA1Dk