时间序列分析报告报告材料方法第11章向量自回归

1、第十一章向量自回归前一章我们讨论了向量随机过程的基本性质。本章我们将深入分析向量自回归模型，这种模型更适合于估计和预测。由于Sims(1980)年在经济中的出色运用，向量自回归模型在分析经济系统的动态性上得到了广泛的应用。§1.1无限制向量自回归模型的极大似然估计和假设检验按照时间序列模型极大似然估计方法，我们首先分析向量自回归模型的条件似然估计。11.1.1 向量自回归模型的条件似然函数假设yt表示一个包含时间t时n个变量的n 1的向量。假设yt的动态过程可以由下面 的p阶高斯向量自回归过程：yt c 1 2yt 2pyt p §,耳n(o, q)假设我们已经在(T p)

2、个时间间隔中观测到这些n个变量的观测值。如同标量过程时的情形，最简单的方法是将前p个样本(表示为y p 1,y p 2, ,yo)做为条件，然后利用后面的T个样本(表示为y1, y2, ,yT)形成参数估计。我们的目的是构造下面的条件似然函 数：彳丫-丫丁 -，丫訂丫。" 1 ,Y p 1 (yT , yT 1 , ，y1 |y0，y 1，y p 1； ®这里参数向量为e (c,1,2,p, q)，我们在上述函数中相对于参数b进行极大化。一般情形下，向量自回归模型是在条件似然函数基础上，而不是在无条件似然函数基础上进行估计的。为了简单起见，我们将上述“条件似然函数”称为“似

3、然函数”，相应的“条 件极大似然估计”称为“极大似然估计”。向量自回归与标量自回归过程的似然函数的计算方法是类似的。基于时刻t 1以前观测值，时刻t的yt值等于常数向量：c1yt 12yt 2pyt p ,加上一个多元正态分布的随机向量§N(0, Q)，因此条件分布为：yt|yt 1, ,ytp n(c 1 ？yt 2pyt p, Q)我们可以将上述条件分布表示成为更为紧凑的形式。假设向量Xt是常数向量和yt滞后值向量构成的综合向量：xt (1, yt 1, ,yt p)这是一个维数为(np 1) 1的列向量。假设 n表示下述n (np 1)维矩阵：n c, 1,2,p这时条件均值可

4、以表示为n xt, n的第j行包含var模型第j个方程中的参数。使用这样的符号，我们可以把条件分布表示成为紧凑形式：yt |yt 1, ,yt p N(n xt, Q)因此第t个观测值的条件分布可以表示成为：fYt|,Yt 1, ,Y p 1 (yt |yt 1,yt 2 , y p 1; e)(2 ) n/2|Q 1|1/2exp( 1/2)(yt n xj Q 1(yt n xj这是基于条件y。，y 1, ,y p 1)的观测值从1到t的联合概率分布为：fYt ,Yt 1, ,Yi|Yo,Y 1 ，丫 pi(yt,yt1, ,y1 |y0,y 1 ,y p 1 ; B)fYt n 2，,Y

5、iY°,y i ,y p 1 (yt 1 ,yt 2, ,y1 |yo,y 1 ,y p 1; B) fYtiYt 1,Yt 2 ,y p 1 (yt |yt 1,y12 ,y p 1； B)连续叠代利用上述公式，可以获得全部样本yyT1, ,y1基于yo,y 1, ,y p 1)的联 合条件分布是单独条件密度函数的乘积：fYT,YT 1, Y1|Yo,Y 1 ,Y p 1 (yT , yT 1 , y1 |y 0 ,y 1,y p 1 ； B)TfYt|Yt 1,Yt 2 ,Y p 1 (yt |y t 1,y t 2, y p 1 ； B)t 1因此，样本对数似然函数为：TL(

6、B)log fYt|Yt 1,Yt 2 ,Y p 1 (yt |y t 1 ,y t 2, y p 1 ； B)t 1TnT11 T1iog(2 ) log |Q | 二(yt n xt) Q (yt n xj 2 2 21 111.1.2 的极大似然估计我们首先考虑 的极大似然估计，它包含常数向量c和自回归系数 j。我们的结论是它可以利用下述公式给出：TTaytXtxt xtn的第j行是:1） 1111这可以当作yt基于常数和xt母体线性投影的样本估计，j1 (np 1)yjt xt11Xt Xtt 1这正是yjt基于常数和Xt进行线性回归的普通最小二乘估计（ols）的估计系数向量。因此，V

7、AR模型第j个方程系数的极大似然估计可以从yjt基于常数项和该系统所有变量的p阶滞后变量进行线性回归得到的OLS估计获得。为了验证上述结论，我们将似然函数中的最后一项表示成为：T1(yt n xj Q (yt n xjtT(yt n xt n xt n xt) Q 1(yt n xt n xt n xt)t 1T?t (n n) xt Q (n n) xtt 1这里的n 1向量？t的第j个元素是从yjt基于常数和xt进行线性回归得到的观测值t的样本残差：? yt n xt进一步将上式化简为:T? (n n) Xt Q 1?t (f? n) Xtt 1TT?t Q 冷 2? Q 1( n n)

8、xtTxt (nn) q 1( n n) xtt 1考虑上式的中间项，由于这是一个标量,T% q 1( n n) xtt 1Ttrace % Qt 1利用“迹算子”进行计算数值不改变:n) xtTtrace Q 1 (nt 1n) xt ?trace QT1(f? n)xtt 1注意到在线性回归中,的j有：TXt ?jt 0t 1因此也有：TXt ?t 0t 1普通最小二乘估计下的样本残差与解释变量是正交的,即对所有这样就有：T1(yt n xt) Q (yt n xt) t 1因为Q是正定矩阵，它的逆矩阵*xt (n n) xt则上式最后一项可以表示成为：Txt(n n)Q 1(n n) x

9、tt 1因此，上式达到最小值时要求：自回归系数提供了极大似然估计。TXtt 11也是正定矩阵。因此，定义一个n(n n) q 1( n n)Xt1维向量:Xtt 1XtQ 1xt 即：nn，这意味着ols回归估计为向量t 1t 111.1.3 Q的极大似然估计我们可以利用矩阵导数的一些公式来获得q的极大似然估计。在n的极大似然估计?处，条件似然函数为：TnT1L(Q, n)log(2 ) log|Q 1 |22T?t Q 1t 1我们的目的是选择对称正定矩阵使得上述函数达到最大。类似的矩阵导数运算得到:T?t Itt 1上述矩阵的第i行和第j列元素的估计为：1 T?ij 7? ?jtI t 1

10、这里残差？t是VAR模型中第i个变量基于常数和所有变量的p阶滞后进行回归普通最小二乘估计得到的残差。11.1.4 向量自回归模型的似然比检验Likelihood Ratios Tests为了实施似然比检验，我们需要计算极大似然函数的具体数值，为此，我们考虑:T1 T-iog| ? 11 -22t 1L( ?, n)£log(2 )上式中的最后一项是:1 T2 t 1-trace2-trace2t-trace !? 1 (T ) traceT I n2 2Tn2代入到似然函数中，得到：?TnT ? 1 T nL( ?,询)2 log(2 ) 2log| ? | 2这使得似然比检验比较容

11、易进行。假设我们希望检验的原假设是一组变量是由具有Po阶滞后变量的高斯 VAR模型产生，而备选假设是滞后变量阶数为 P1 Po。为了在原假设下估计系统，我们对系统中的每一个变量基于常数和所有其他变量及其Po阶滞后变量进行最T小二乘回归，设 ?0 (1/T) lt(Po)?t(Po )是从这些回归中得到的残差的方差-协方差矩t 1阵。因此在原假设 Ho下对数似然估计的极大值是：TnT o 1 T nLolog(2 ) log 1 ?o 12 2 2类似，该模型系统可以利用最小二乘估计对包括所有变量P1阶滞后变量进行线性估计，得到备选假设下对数似然函数的最大值是：l Tnlog(2 ) pgi ?

12、11i TnT这里？1 (1/T) ?t(P1)2t(P1)是从第二组变量集合中获得的方差-协方差矩阵。则似t 1然比对数的二倍可以表示为：2(L1L。)2Tlog| ?11| 2Tlog| 召。1| Tlog |log | ?1 |2n2gp。)2 2在原假设下，似然比统计量具有2 分布的渐近分布，自由度是附加在原假设H。上约束的数目，系统中每个方程在原假设H。上的约束条件是每个变量减少了(P1 Po)个滞后变量，因此一个方程中的参数零约束是n(P1 Po)，因此整个VAR模型系统的约束条件数目n2 (P1Po)，因此上述似然比统计量在原假设成立时的渐近分布是2n2(P1 Po)。例如，假设

13、在滞后 3阶和4阶的情形下估计一个二元 VAR模型，这时的参数阶数为：n 2 , Po 3 , P1 4，假设原始样本中每个变量包含50个观测值，表示为y 3,y 2, $46 ,观测值1至46用于估计滞后3阶和4阶指定时的系统参数，因此这时T 46。假设？t(Po)表示t时yit基于常数、y1t的3阶滞后和ya的3阶滞后进行回归的残差，假设计算得到:1 T C21 T21 TMt(Po)2.o ,?2t(Po)2.5,备(Po)?2t(Po) 1.oT t 1T t 1T t 1则有:So2.O 1.o1.o 2.5计算这个矩阵的对数行列式值为：log |呂0 |log 4 1.386。类似

14、地，假设将变量的滞后4阶变量加入到回归方程中来，则可以得到残差的协方差矩阵为:1.8 0.9 0.9 2.2这个矩阵的对数行列式值为：log |為| 1.147。则有：2( L0)46(1.386 1.147) 10.992 29.49，因此拒绝原假设,检验统计量的自由度为22(4 3) 4，由于10.990.05(4)认为模型的动态性没有被VAR(3)描述，这时采用 VAR(4)更为合适。Sims(1980)提出了一种修正的似然比检验，该检验考虑了小样本带来的偏差。他建议的统计量为：(T k)log | 幽 | log | ?1 |2n2(p p。), k 1 5这里的k是每个方程中需要估计

15、的参数个数。这个修正后的统计量保持原来的渐近分 布，但是降低了小样本情形下拒绝原假设的可能性。对上面的例子而言，检验统计量为:(469)(1.386 1.147)8.84此时我们将得到相反的检验结果，这时原假设是被接受的。§1.2 二元 Gran ger 因果关系检验Bivariate Gran ger Causality Tests一个能够利用VAR模型处理的关键问题是如何描述一些变量预测其他变量时的有用程 度。下面我们主要分析由Granger(1969)提出的，由Sims(1972)推广的预测两个变量之间关系的方法。11.2.1 二元 Granger 因果关系的定义Defi ni

16、 tion of Bivariate Gran ger Causality我们在这里分析的主要问题是一个标量随机变量y对于预测另外一个标量随机变量x是否有帮助？如果没有任何帮助，则称变量y没有Gran ger影响变量x。更为正式地，如果对所有s 0 ,Xts基于(Xt,Xt1,)进行预测的均方误差(MSE)与Xts基于(Xt,Xt1,)和(yt, yt 1,)进行预测的均方误差是一样的，则称变量y无法Granger影响变量x(y failsto Gran ger-causex )。如果我们将预测限于线性预测，则当：MSEE?(Xt s|Xt,Xt1, ) MSEE?(Xt s| xt, xt

17、1,; yt ,yt 1,)则称变量y无法Granger影响变量x。等价地，如果上述预测无助性成立，这时我们也称“变量x在时间序列意义上相对于变量 y是外生的(x is exogenous in the time series sense with respect toy)。与上述意义相同的第三种表示是：如果上述预测无助性成立，则称y关于将来的x是非线性信息化的 (y is not lin early in formative about futurex)。提出如此定义的 Gran ger观点是：如果一个事件Y是另外一个事件 X的原因，则事件Y应该发生在事件 X之前。但是，即使人们从哲学角度同

18、意这样的观点，但在使用累积时间序列数据来实现这样的观点上遇到了巨大的障碍。为此，我们首先需要考虑二元系统中表示Gran ger因果关系的时间序列表示的机理。Alternative Implicatio ns of Gran ger11.2.2 Gran ger因果关系的另外一种启示Causality在描述x和y的二元VAR模型中，如果对所有j，下述模型中的系数矩阵 j是下三角 矩阵，则称变量 y无法Granger影响变量x。XtG110人1(2)110xt 21(1p)0Xt p1tytC2纠y22t 1(2)21yt 2(P)(p)y2122t p2t从这个模型系统的第-行可知，变量x的一阶

19、段向前预测仅依赖自身的滞后值，不依赖变量y的任何滞后值:Ext 1 | xt, xt 1,; yt, yt 1 (1),)C111 Xt(2)11 Xt 1(p)11 xt p 1进一步，从模型中可以获得Xt 2的值为：(1) (2)xt 2C111 xt 111 xt(p)X11 xt p 21, t 2根据投影的叠代法则，以t时刻的(Xt,Xt 1,;yt, yt 1,)为基础的预测也仅仅依赖(xt, xt 1, ,Xt p 1)。通过归纳，上述推断对任何s步长的预测都是成立的，因此上述断言成立：如果对所有j，上述模型中的系数矩阵j是下三角矩阵，则变量y无法Granger影响变量x。根据向

20、量回归方程中的结论，我们有下面的公式成立：% 1% 1 2 Ws 2 p % p , S 1,2,这里W。是单位矩阵，Ws 0 , s 0。这个表示意味着，如果对所有j，矩阵j是下三角矩阵，则对所有的 s，基础表示中的移动平均矩阵Ws也是下三角矩阵。因此，如果变量 y 无法 Gran ger影响变量x，则MA()过程的表示为：Xt1n(L)01tyt221(L)22(L)2t这里：ij(L) fL1i j(2) L2i j(3) 3(0)i j L,11(0) (0)22 1 , 21 0Sims (1972)给出了 Gran ger影响关系的另外一种启示。这样的启示可以从下面的命题得到。命题

21、11.1考虑变量yt依赖过去、当前和将来 xt的线性投影：ytcbjXt jd jXt j tj oj 1这里系数bj和dj定义为母体投影系数，即对所有的t和，有：E( tx ) 0则"变量y非Gran ger影响变量x ”的充分必要条件是：dj 0, j 1,2,11.2.3 Gran ger 因果关系的计量检验Econ ometric T ests for Granger Causality计量检验两个具体的可以观测到变量之间是否具有“变量y非Gran ger影响变量x的关系，都可以在上面论述的三种 Gran ger影响关系的意义上进行。最简单也可能是最好 的方法是使用字回归方程

22、中的下三角指定。为了进行这样的检验，我们假设一个特殊的滞后阶数为p的自回归方程并利用OLS估计下面的方程：XtC11Xt 12Xt 2pXt p i yt i 2 yt 2pyt p ut我们然后对下述原假设进行H 0 :12F 检验:p 0根据前面的命题8.2，TRSSUt2t 1将这个平方和与仅依赖TRSS0et2t 1这里的单变量回归方程是:Xt C01Xt 12Xt 2实施检验的一种方法是计算上述回归的残差平方和:Xt进行回归的残差平方和进行比较:pXt p定义F统计量为：S (RSS)RSS)/p RSS/(T 2p 1)如果该统计量大于 F(p,TF(p,T 2p 1)其中，RSS

23、i?2,RSS02p 1)分布的5%临界值，则我们拒绝"变量y非Gran ger 影响变量x ”的原假设。这就是说，当S1充分大的时候，我们能够得到“变量y确实Granger 影响变量x ”的结论。对于具有固定回归因子和高斯扰动时，上述检验统计量在原假设成立时具有精确的 分布，然而，如果在 Gran ger因果回归中具有滞后相依变量的话，那么上述检验只是渐 近的。渐近的等价检验统计量为：S2T(RSS0 RSS) 2/、- 一(p) RSS如果S2大于 2( p)分布的5%临界值，则拒绝原假设“变量y非Gran ger影响变量 另外一种方法是利用基于 Sims形式的检验来代替基于 G

24、ranger形式的检验。与 Sims 形式有关的一个问题是，其中的误差项在一般情况下是自相关的。因此检验“dj 0，j 1,2,”的标准F检验无法给出正确的答案。解决这种冋题的一种方法是可能存在自相关性的误差项进行变换，假设误差项t具有Wold表示：t22(L)V2t，在模型两端乘以逆算子：h(L) 22(L) 1，得到：yt C2hj yt jbjXt jdjXt j V2tj 1j oj 1这时上述模型中的误差项 V2t是白噪声过程，并且与其它解释变量无关。进一步，这时也有：“对任意j , dj 0 ”的充分必要条件是“对任意 j , dj 0”。因此，对上述模型中 的无限求和在某个整数

25、q上截断，就可以利用检验“ d1 d2dq 0”的F统计量来检验原假设“变量 y非Granger影响变量x ”。在Gran ger影响关系的经验检验中，人们发现检验结果对选取的滞后阶数q是比较敏感的，同时检验结果也依赖处理可能数据存在非平稳性的方法。这些都是在使用Gran ger影响关系检验中应该注意的问题。11.2.4 解释 Gran ger 因果关系检验In terpreti ng Gran ger-Causality Tests“Granger因果关系”与因果关系的标准含义是如何产生关系的？我们通过几个例子 来说明这个问题。(1) Gra nger因果关系检验和前瞻行为我们继续考虑股票投

26、资者的例子。假设在时刻t，一个投资者以价格 Pt购买一股股票，则在时刻t 1，投资者可以获得红利 Dt i，并以价格R i出售这股股票。这种股票的事前收 益率(ex post rate of return ，表示为rt 1)可以按照下式定义：(1 rt i) Rt Rt i Dt i如果在所有时刻股票的预期收益率是常数r，则下列一个简单的股票价格模型成立：(1 rt)Rt EtRi Dt i这里Et表示股票市场参与者利用时刻t能够获得的所有信息做出的期望。在上述公式中包含的逻辑关系是，如果投资者在时刻t获得的信息促使他们推测股票将具有高于正常的 收益率，则他们将在在时刻t购买更多的股票。这样的

27、购买将促使股票价格P上升，直到上述公式得到满足。这样的观点有时被称为有效市场假说。如果满足有界性条件，则股票价格路径满足:PtEtj iDt因此，按照有效市场假说，股票价格中包含将来所有红利现值的最优预测。如果这个预测是基于多余所有过去红利的信息基础上的，因为投资者企图推断红利中的变动， 则股票价格将对红利产生 Gran ger影响。为了比较简单地解释这一点，我们假设：Dt d utut 1 vt这里和Ut和Vt是独立的高斯白噪声序列，d是均值红利。假设投资者在时刻t知道所有的Ut,Ut 1, 和Vt,vt 1, 。则基于这些信息对红利 Dt j的预测是：d巳咏)d,Ut, j 1j 2, ,

28、3,将这些预测值代入到股票价格的贴现公式，得到：d utR-r 1 r因此，对这个例子而言，股票价格是白噪声，因此无法在滞后股票价格或者红利的基础 上进行预测。没有序列能够对股票价格产生Gran ger影响。另一方面，注意到公式中的Ut i能够从滞后股票价格中恢复出来。1 rUt i (1 r)R i dr上式说明，u中具有除了包含在Dt i,Dt 2, 以外的有关Dt的信息。因此，股票价 格对红利具有 Gran ger影响，虽然红利对股票价格没有 Gran ger影响。因此，二元 VAR 模型具有下述形式：Ptd/r 00 Riut/(1 r)Dtd / r 1 r 0 Dt 1ut vt因

29、此，在这个模型中，Gran ger影响关系体现的因果关系是按照相反方向起作用的。红利没有对价格产生 Gran ger影响，即使投资者对红利的察觉是股票价格的唯一确定成分。 另一方面，价格确实对红利产生了 Gran ger影响，虽然现实中股票的市场估价对红利过程 没有任何影响。一般地，例如股票和利率等反应前瞻性行为的时间序列经常被认为可以作为许多关键时 间序列非常优秀的预测因子。显然这并不意味着这些时间序列促使GDP或者通货膨胀率上升或者下降。取而代之的是，这些时间序列的数值反应了GNP或者通货膨胀率的走势市场最优信息。对于评价有效市场观点，或者研究市场是否考虑或者能够预测GDP或通货膨胀率等，

30、对这些序列的Gran ger影响关系检验时有帮助的，但不应该用于推断因果性的方向。从来就没有那样的情景，Gran ger因果关系用来为真实因果关系的方向提供有帮助的迹象。作为这种论题的示意，可以考虑试图度量石油价格上涨对经济的作用结果。(2) 检验强经济计量外生性Testi ng for Strict Econ ometric Exoge neity二次世界大战以后，美国经济中偶然出现的经济衰退之前，经常伴随着原油价格的急剧上升，这意味着石油价格冲击是经济衰退的原因吗？一种可能性是这种相关性是一种巧合，石油冲击和经济衰退只是偶然地在近似的时间内发生，而产生这两个时间序列的真实机制是不相关的。我

31、们可以通过检验石油价格没有 Granger影响到GNP这样的零假设来判断这样的假设。这样的假设被实际数据的检验所拒绝，即结论是石油价格有助于推断GNP的取值，它们对推断的作用是显著的。这样的讨论反对相关性是一种偶然的论点。为了对这种关系给出一种解释，我们需要确定石油价格中的上升并没有反映出那些确实 是导致衰退的其他宏观经济影响。石油价格上升的主要原因出于一些十分清楚的历史事件的影响，例如1956 1957年的Suez危机，1973 1974年的Arab-Israeli 战争等，人们可 以接受这样的观点，即这些事件的形成原因完全属于美国经济以外的，而且是完全不可预测的。如果这个观点是正确的，则石

32、油价格与经济衰退之间的历史相关性可以被解释为一种因 果影响关系。这样的观点还具有一个可以辩论的支持，即没有时间序列能够Granger影响到石油价格序列。经验上看，人们确实很少能够发现一些宏观时间序列能够有助于推断石油 危机发生的时点。这两个例子的主题是 Gran ger因果关系检验能够作为检验关于特定时间序列可推断性 的假设的有效工具。另一方面，人们可能会怀疑他们作为建立任意两个时间序列之间影响关 系方向的一般诊断机制的功效。出于这个原因，最好将这个检验描述为检验是否 y有助于预测x,而不是检验是否 y影响x。这样的检验对后一个问题有一定的启发，但只有附加其他 假设才具有意义。到目前为止，我们

33、只考虑了两个变量x和y，将它们与其它变量分离开来。假设还有其他变量与x或者y产生交互影响，这会对预测x和y之间的关系产生什么样的影响呢？(3) 缺损信息的作用Role of Omitted In formatio n考虑下面三个变量构成的模型系统：y1t1LL01ty2t0102ty3t0L13t假设残差向量满足:E( q &s)00000,t s ； E( q £s)000 , t s2300022因此，上述模型表示 y在预测yi或者 y的过程中，比仅仅使用y和 屮滞后值相比没有任何改进。我们现在考虑检验变量 yi和y3之间的Granger影响关系，首先考虑关于 yi的过程

34、：y1titit 1 2t 1注意到过程 y1是一个一阶移动平均过程 1t1t 1与一个不相关的白噪声过程 2t 1之和。我们已经证明了这样的过程仍然是一个一元MA(1)过程，具有类似表示为:y1tutut 1根据第四章的结论,ut ( 1t1t 1(2t 12t 2可以知道预测误差可以表示为：1t 21t 3)( 1t2 3 )2t 32t 4)21t 21t 33 1t 4)y3,t 1相关:当然，一元预测误差Ut与自身滞后值是无关的。但是,E(ut)(y3t 1) E(ut)( 3t 1 2t 2)22因此，滞后的y3可以有助于改进 y1的预测，而它原来是仅仅基于 y1滞后值进行预测的。

35、 这意味着在二元系统中 y能够Granger影响y1。其原因是 y的滞后值与省略变量 y2是相 关的，这个省略的变量对预测如也是有帮助的。§11.3限制性向量自回归模型的极大似然估计Maximum Likelihood Estimationof Restricted Vector Autoregressi ons在第一届中我们讨论了无限制向量自回归模型的极大似然估计和假设检验问题。在这个VAR模型中每个方程都具有相同的解释变量，即常数加上系统中所有变量的滞后变量。我 们已经说明了如何计算线性约束的Wald检验，但我们没有讨论系统具有约束条件时的参数估计问题。因此，这节中我们考虑限制性

36、VAR模型的估计问题。多元情形下的Gran ger 因果关系Gran ger-Causalityin a MultivariateCo ntext作为一个我们在估计中感兴趣的限制性系统的例子，考虑前面已经讨论过问题在向量情形下的推广。考虑 VAR模型中的变量可以分成两个群体，利用门1 1维向量丫牡和n2 1维向量y2t表示。这时VAR模型可以表示为:y1t c1 A 1x1tA2X2ty2tC2B1 x1tB 2x2t这里X1t是包含y1t滞后值的 gp 1)向量，X2t是包含y2t滞后值的(n2p 1)向量:y1,t 1y 2,t 1y 1,t 2y 2, t 2X1t, X2ty1,t p

37、y2,t p模型中n11维向量c1和n2 1维向量c2表示包含 VAR模型中的常数项。而矩阵Al, A2,Bi,B2包含自回归系数。如果包含在 目2中的元素对于预测包含在yi中的任意元素没有任何帮助，这种预测是仅仅依赖yi中所有元素的滞后值的，这时我们称在时间序列的意义上，由变量yi的一组变量相对于y2中的变量是块外生的(block-exogenous)。在上述模型系统中，当矩阵A2 0时,yi是块外生的。为了讨论受到这个约束限制的系统，我们首先关注非限制性极大似然估计 计算和估计的另外一种形式。极 大似然 函数的 另外一种表示 An Alternative Expression for th

38、e Likelihood Fun cti on我们在第一节中使用推断误差分解计算了VAR模型的对数似然函数:TL(B)log fYtiXt (yt |Xt； B)y仆的边际分布密度与给定丫仁条件下y2t的条t 1这里yt(y1t,y 2t ),Xt(y 11, y 12,y tp )，函数形式为：log fYt|Xt (yt |xt； e)n1n2严 log(2 )*ogQ11Q 21Q 12Q 2212 (y1tC1A 1X1tA 2X2t )(y2tC2B1X1B 2X2t)11Q121(y1tc1A1xt A 2X2t )Q 21Q 22(y2tc2B1x1tB2X2t )另外，上述联合概率密度也可以表示成为件概率分布密度的乘积：fYt|Xt (y t |xt ; B)fY1t|Xt (y 1t |xt; B fY2t|Y1t,Xt (y 2t |y 1t , Xt ; B)基于条件xt , y1t的条件概率密度为:fY1t|Xt (y 1t |xt ; B)(2 ) n1/2| Qn | 1/21exp -(y1tC1A 1x1t1A 2x2t ) Q11 (y 1tA1x1tA 2x2t )而给定y1t和xt时y2t的条件概率密度也是正态的:fY2t|Y1t,xt(y2t|y1t,Xt； B (2