高等数学三重积分

1、北京理工大学北京理工大学2009-2010学年第二学期学年第二学期一、三重积分的定义一、三重积分的定义xyzo),(iii iv 三重积分的定义三重积分的定义即即 dvzyxf),(iiiniivf ),(lim10 .叫做体积元素叫做体积元素其中其中dv, 的的平平面面来来划划分分用用平平行行于于坐坐标标面面在在直直角角坐坐标标系系中中，如如果果.lkjizyxv 则则.积元素积元素叫做直角坐标系中的体叫做直角坐标系中的体其中其中dxdydz直角坐标系中将三重积分化为三次积分直角坐标系中将三重积分化为三次积分 - 投影法投影法二、利用直角坐标系计算三重积分二、利用直角坐标系计算三重积分xyz

2、o D1z2z2S1S),(1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy ),(yx如图，如图，,Dxoy面上的投影为闭区域面上的投影为闭区域在在闭区域闭区域 ),(:),(:2211yxzzSyxzzS ,),(作直线作直线过点过点Dyx 穿出穿出穿入，从穿入，从从从21zz函数，则函数，则的的只看作只看作看作定值，将看作定值，将先将先将zzyxfyx),(, ),(),(21),(),(yxzyxzdzzyxfyxF上的二重积分上的二重积分在闭区间在闭区间计算计算DyxF),(.),(),(),(),(21 DyxzyxzDddzzyxfdyxF ,),()(:21bxax

3、yyxyD 得得 dvzyxf),(.),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx注意注意于两点情形于两点情形相交不多相交不多的边界曲面的边界曲面直线与闭区域直线与闭区域内部的内部的轴且穿过闭区域轴且穿过闭区域这是平行于这是平行于Sz 解解由由 22222xzyxz, 得得交交线线投投影影区区域域, 122 yx故故 ： 22222221111xzyxxyxx,.),(11221122222 xyxxxdzzyxfdydxI例例2 2 化化三三重重积积分分 dxdydzzyxfI),(为为三三次次积积分分，其其中中 积积分分区区域域 为为由由曲曲面面22yx

4、z ,2xy ,1 y, 0 z所所围围成成的的空空间间闭闭区区域域.解解. 11, 1,0:222 xyxyxz如图，如图，xyz解解1D 10100),(2dyzyxfdzdxx原式原式 1101222),(xzxxdyzyxfdzdx.2D(3) 计算二重积分计算二重积分 zDdxdyzyxf),( 其结果为其结果为z的函数的函数)(zF；(4)最后计算单积分最后计算单积分 21)(ccdzzF即得三重积分值即得三重积分值.z解解（一）（一） zdxdydz,10 zDdxdyzdz1| ),(zyxyxDz )1)(1(21zzdxdyzD 原式原式 102)1(21dzzz241 .

5、xozy111 zdxdydz解解（二）（二） zzydxdyzdz101010 zdyzyzdz1010)1( 102)1(21dzzz241 .xozy111: ,| ),(czczyx 1222222czbyax 原式原式,2 zDccdxdydzzxyzozD解解)1()1(222222czbczadxdyzD ),1(22czab ccdzzczab222)1(.1543abc | ),(yxDz 1222222czbyax 原式原式解解如图如图,dzzxxdxxx21221111222 dxzzxxxx221132112| )3(1 1142)21(31dxxx.4528 三重积分

6、的定义和计算三重积分的定义和计算在直角坐标系下的体积元素在直角坐标系下的体积元素dxdydzdv （计算时将三重积分化为三次积分）（计算时将三重积分化为三次积分）三、小结三、小结,0 r,20 . z一、利用柱面坐标计算三重积分一、利用柱面坐标计算三重积分的柱面坐标的柱面坐标就叫点就叫点个数个数，则这样的三，则这样的三的极坐标为的极坐标为面上的投影面上的投影在在为空间内一点，并设点为空间内一点，并设点设设MzrrPxoyMzyxM,),( 规定：规定：xyzo),(zyxM),(rPr .,sin,coszzryrx 柱面坐标与直角坐柱面坐标与直角坐标的关系为标的关系为为常数为常数r为常数为常

7、数z为常数为常数 如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆柱面；圆柱面；半平面；半平面；平平 面面),(zyxM),(rPrzxyzo dxdydzzyxf),(.),sin,cos( dzrdrdzrrf 如图，柱面坐标系如图，柱面坐标系中的体积元素为中的体积元素为,dzrdrddv drxyzodzdr rd解解由由 zzryrx sincos, zrzr34222, 3, 1 rz知交线为知交线为 23242030rrzdzrdrdI.413 面上，如图，面上，如图，投影到投影到把闭区域把闭区域xoy .20, 3043:22 rrzr，解解由由 022xzy 绕绕 oz 轴旋转得，轴

8、旋转得，旋旋转转面面方方程程为为,222zyx 所围成的立体如图，所围成的立体如图， :2D, 422 yx.222020:22 zrr:1D,1622 yx,824020:21 zrr所围成立体的投影区域如图，所围成立体的投影区域如图， 2D1D,)()(21222221 dxdydzyxdxdydzyxIII 12821DrfdzrdrdI,345 22222DrfdzrdrdI,625 原式原式 I 345 625 336. 82402022rdzrrdrd 22202022rdzrrdrd二、利用球面坐标计算三重积分二、利用球面坐标计算三重积分的球面坐标的球面坐标就叫做点就叫做点，个数

9、个数面上的投影，这样的三面上的投影，这样的三在在点点为为的角，这里的角，这里段段逆时针方向转到有向线逆时针方向转到有向线轴按轴按轴来看自轴来看自为从正为从正轴正向所夹的角，轴正向所夹的角，与与为有向线段为有向线段间的距离，间的距离，与点与点点点为原为原来确定，其中来确定，其中，三个有次序的数三个有次序的数可用可用为空间内一点，则点为空间内一点，则点设设MrxoyMPOPxzzOMMOrrMzyxM ),(,r 0.20 ,0 规定：规定：为常数为常数r为常数为常数 为常数为常数 如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆锥面；圆锥面；球球 面；面；半平面半平面 .cos,sinsin,sinc

10、os rzryrx球面坐标与直角坐标的关系为球面坐标与直角坐标的关系为如图，如图，Pxyzo),(zyxMr zyxA，轴上的投影为轴上的投影为在在点点，面上的投影为面上的投影为在在设点设点AxPPxoyM.,zPMyAPxOA 则则 dxdydzzyxf),( .sin)cos,sinsin,sincos(2 ddrdrrrrf球面坐标系中的体积元素为球面坐标系中的体积元素为,sin2 ddrdrdv 如图，如图， drxyzodr dsinr rd d d sinr解解 1 采采用用球球面面坐坐标标az ,cos ar222zyx ,4 ,20,40,cos0: ar dxdydzyxI)

11、(22drrdda 40cos03420sin da)0cos(51sin255403.105a 解解 2 采用柱面坐标采用柱面坐标 ,:222ayxD dxdydzyxI)(22 aradzrrdrd2020 adrrar03)(254254aaa .105a 222zyx , rz ,20,0,: arazr解解 由由锥锥面面和和球球面面围围成成，采采用用球球面面坐坐标标，由由22222azyx ,2ar 22yxz ,4 ,20,40,20: ar adrrddV202020sin4 4033)2(sin2da.)12(343a 补充：利用对称性化简三重积分计算补充：利用对称性化简三重积

12、分计算使用对称性时应注意：使用对称性时应注意：、积分区域关于坐标面的对称性；、积分区域关于坐标面的对称性；、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的的奇偶性奇偶性解解积分域关于三个坐标面都对称，积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是被积函数是 的的奇函数奇函数,z. 01)1ln(222222 dxdydzzyxzyxz解解2)(zyx )(2222zxyzxyzyx 其其中中yzxy 是是关关于于y的的奇奇函函数数, 且且 关关于于zox面面对对称称, 0)(dvyzxy, 且且 关关于于yoz面面对对称称, 0 xzdv由由对对称称性性知知 dvydvx

13、22,则则 dxdydzzyxI2)(,)2(22 dxdydzzx在柱面坐标下：在柱面坐标下：,20 , 10 r,222rzr , 122 yx投影区域投影区域 xyD： 2222222010)cos2(rrdzzrrdrdI).89290(60 （1） 柱面坐标的体积元素柱面坐标的体积元素dzrdrddxdydz （2） 球面坐标的体积元素球面坐标的体积元素 ddrdrdxdydzsin2 （3） 对称性简化运算对称性简化运算三重积分换元法三重积分换元法 柱面坐标柱面坐标球面坐标球面坐标三、小结三、小结r sin2r作业作业 P1811(1)，(2)，2(2), (4) P1823(1)

14、（2）4(2)5（1） P1836(1)思考题思考题则则上的连续函数上的连续函数为为面对称的有界闭区域，面对称的有界闭区域，中关于中关于为为若若,),(3 zyxfxyR ; 0),(,_),(dvzyxfzyxf为为奇奇函函数数时时关关于于当当 1),(_),(,_),(dvzyxfdvzyxfzyxf为为偶偶函函数数时时关关于于当当.1面面上上方方的的部部分分在在为为其其中中xy zz2一、一、 填空题填空题: :1 1、 若若 由曲面由曲面和和)(3222yxz 16222 zyx所所围围, ,则三重积分则三重积分 dvzyxf),(表示成直角坐标下表示成直角坐标下的三次积分是的三次积分

15、是_; ;在柱面坐标下在柱面坐标下的三次积分是的三次积分是_; ;在球面坐标下在球面坐标下的三次积分是的三次积分是_. .2 2、 若若 由曲面由曲面及及222yxz 22yxz 所围所围, ,将将 zdv表为柱面坐标下的三次积分表为柱面坐标下的三次积分_, ,其值为其值为_. .练练 习习 题题 3 3、若空间区域、若空间区域 为二曲面为二曲面azyx 22及及 222yxaz 所围所围, ,则其体积可表为三重积分则其体积可表为三重积分_; ;或二重积分或二重积分_; ;或柱面坐标下的三次积分或柱面坐标下的三次积分_. . 4 4、若由不等式、若由不等式2222)(aazyx , ,222z

16、yx 所确定所确定, ,将将 zdv表为球面坐标下的三次积分为表为球面坐标下的三次积分为_；其值为；其值为_. .二、计算下列三重积分二、计算下列三重积分: : 1 1、 dvyx)(22, ,其中其中 是由曲面是由曲面 24z)(2522yx 及平面及平面5 z所围成的闭区域所围成的闭区域. . 2 2、 dvyx)(22, ,其中其中 由不等式由不等式 0,0222 zAzyxa所确定所确定. . 3 3、 dxdydzczbyax)(222222, , 其中其中 1),(222222czbyaxzyx. .三、求曲面三、求曲面225yxz 及及zyx422 所围成的立所围成的立体的体积体

17、的体积. .四、曲面四、曲面2224aazyx 将球体将球体azzyx4222 分分成两部分成两部分, ,试求两部分的体积之比试求两部分的体积之比. .五五、求求由由曲曲面面, 0,22 xayxyxz0, 0 zy 所所围围成成立立体体的的重重心心( (设设密密度度1 ) ). .六、求半径为六、求半径为a, ,高为高为h的均匀圆柱体对于过中心而垂的均匀圆柱体对于过中心而垂 直于母线的轴的转动惯量直于母线的轴的转动惯量 ( (设密度设密度)1 . .一、一、1 1、 22222216)(34422),(yxyxxxdzzyxfdydx )(3164422222222),(yxyxxxdzzy

18、xfdydx, , 21632020),sin,cos(rrdzzrrfrdrd rrdzzrrfrdrd31620202),sin,cos(, , 406020,cossin(rfdd drrrr sin)cos,sinsin2 406520,cossin(rfdd drrrr sin)cos,sinsin2；练习题答案练习题答案 2 2、 2221020rrzdzrdrd, ,127 ； 3 3、 dv, , Ddxdyayxyxa)2(2222, , raaradzrdrd20202； 4 4、4cos203402067,cossinadrrdda . .二、二、1 1、 8； 2 2、

19、)(15455aA ； 3 3、abc 54. .三、三、)455(32 . .四、四、27376276373321 aaVV. .五、五、)307,52,52(2aaa. .六、六、)3(422haM ( (其中其中 haM2为圆柱体的质量为圆柱体的质量).).思考题思考题 为为六六个个平平面面0 x，2 x，1 y，42 yx，xz ，2 z围围成成的的区区域域，),(zyxf在在 上上连连续续，则则累累次次积积分分_ dvzyxf),(.选择题选择题:;),()(201222 xxdzzyxfdydxA;),()(202212 xxdzzyxfdydxB;),()(201222 xxdz

20、zyxfdydxC.),()(202212 xxdzzyxfdydxD一、一、 填空题填空题: :1 1、 若若 由曲面由曲面22yxz 及平面及平面1 z所围成所围成, , 则三重积分则三重积分 dxdydzzyxf),(化为三次积分是化为三次积分是 _. .2 2、 若若 是由曲面是由曲面0( cxycz),),12222 byax, ,0 z所所围成的在第一卦限内的闭区域围成的在第一卦限内的闭区域, ,则三重积分则三重积分 dxdydzzyxf),(可化为三次积分为可化为三次积分为_._.3 3、 若若10 , 10 , 10: zyx, ,则则 dxdydzzyx)(可化为三次积分可化为三次积分_,_,其值为其值为_._.练练 习习 题题 4 4、若、若 : :是由是由),0(, 0, 0 hhzzx )