数学322最大值最小值问题北师大版选修2289384实用教案

1、一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)y=f(x)在在x=x0 x=x0及其附近有定义，如果及其附近有定义，如果(rgu)f(x0)(rgu)f(x0)的值比的值比x0 x0附近所有各点的函数值都大，附近所有各点的函数值都大，我们就说我们就说f(x0)f(x0)是函数的一个极大值，记作是函数的一个极大值，记作y y极大值极大值=f(x0)=f(x0)，x0 x0是极大值点。如果是极大值点。如果(rgu)f(x0)(rgu)f(x0)的值比的值比x0 x0附近所有各点的函数值都小，我们就说附近所有各点的函数值都小，我们就说f(x0)f(x0)是函数是函数的一个极小值。记作的一个极小值。记作y

2、y极小值极小值=f(x0)=f(x0)，x0 x0是极小值点。是极小值点。极大值与极小值统称为极值极大值与极小值统称为极值. . 一、函数极值一、函数极值(j zh)的的定义定义知知 识识 回回 顾顾第1页/共17页第一页，共17页。1 1、在定义中，取得、在定义中，取得(qd)(qd)极值的点称为极值点，极值的点称为极值点，极值点是自变量极值点是自变量(x)(x)的值，极值指的是函数值的值，极值指的是函数值(y)(y)。注意注意2 2、极值是一个、极值是一个(y )(y )局部概念，极值只是局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最

3、小最大或最小, ,并不意味着它在函数的整个的定并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。义域内最大或最小。第2页/共17页第二页，共17页。3 3、函数的极值不是唯一的即一个函、函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以极小值可以(ky)(ky)不止一个。不止一个。第3页/共17页第三页，共17页。4 4、极大值与极小值之间无确定的大小关、极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的系即一个函数的极大值未必大于极小值，极大值未必大于极小值，如下图所示，如下图所示， 是极大值点，是极大值点， 是极小值是极小值点，而点，而 1x4x41

4、()( )f xf x第4页/共17页第四页，共17页。3.3.用函数的导数为用函数的导数为0 0的点，顺次将函数的定义的点，顺次将函数的定义(dngy)(dngy)区间分成若干小开区间，并列成表格区间分成若干小开区间，并列成表格. .检检查查f(x)f(x)在方程根左右的值的符号，求出极大值和在方程根左右的值的符号，求出极大值和极小值极小值. .二、二、 求函数求函数f(x)f(x)的极值的极值(j zh)(j zh)的步骤的步骤: :1.1.求导数求导数(do sh)f(x);(do sh)f(x);2.2.求方程求方程f(x)=0f(x)=0的根的根(x(x为极值点为极值点.).)注意注

5、意: :如果函数如果函数f(x)f(x)在在x x0 0处取得极值处取得极值, ,意味着意味着反之不一定成立！反之不一定成立！如如y=xy=x3 3第5页/共17页第五页，共17页。一一. .最值的概念最值的概念(ginin)(ginin)(最大值与最最大值与最小值小值) )新新 课课 讲讲 授授 如果在函数定义域如果在函数定义域I I内存在内存在(cnzi)x0,(cnzi)x0,使得对任意的使得对任意的xI,xI,总总有有f(x) f(x0),f(x) f(x0),则称则称f(x0)f(x0)为函数为函数f(x)f(x)在定义域上的在定义域上的最大值最大值. .最值是相对最值是相对(xin

6、gdu)(xingdu)函数定义域整体而言的函数定义域整体而言的. .第6页/共17页第六页，共17页。1.1.在定义域内在定义域内, , 最值唯一最值唯一(wi y);(wi y);极值不唯一极值不唯一(wi y);(wi y);注意注意(zh y):(zh y):2.2.最大值一定最大值一定(ydng)(ydng)比最小值大比最小值大. .第7页/共17页第七页，共17页。二二. .如何如何(rh)(rh)求函数的最值求函数的最值? ?1.1.利用利用(lyng)(lyng)函数的单调性函数的单调性; ;2.2.利用函数利用函数(hnsh)(hnsh)的图象的图象; ;3.3.利用函数的导

7、数利用函数的导数. .如如: :求求y=2x+1y=2x+1在区间在区间1,31,3上的最值上的最值. .如如: :求求y=(xy=(x2)2)2 2+3+3在区间在区间1,31,3上的最值上的最值. .第8页/共17页第八页，共17页。 2. 2.将将y=f(x)y=f(x)的各极值的各极值(j zh)(j zh)与与f (a)f (a)、 f(b) f(b)比较，其中最大的一比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值个为最大值，最小的一个为最小值 1. 1.求求f(x)f(x)在区间在区间(q jin)a,b(q jin)a,b内内极值极值( (极大值或极小值极大值或极小值) ) 利

8、用导数求函数利用导数求函数f(x)f(x)在区间在区间(q jin)a,b(q jin)a,b上最值的步骤上最值的步骤: :第9页/共17页第九页，共17页。 例例1 求函数求函数 在区间在区间 上的最大值与上的最大值与最小值最小值2425yxx2,2 解：解：xxy443 0 y令令，有，有0443 xx，解得，解得1 , 0 , 1 x1345413y+00+02(1,2)1(0,1)0(-1,0)-1(-2,-1)-2x当当x 变化时，变化时， 的变化情况如下表：的变化情况如下表：yy , 从表上可知从表上可知(k zh)，最大值是，最大值是13，最小值是，最小值是4y 第10页/共17

9、页第十页，共17页。练习练习(linx)1 (linx)1 求函数求函数f(x)=x2-4x+3f(x)=x2-4x+3在在区间区间-1-1，44内的最大值和最小值内的最大值和最小值 解解: :f (x)=2x- 4f (x)=2x- 4令令f(x)=0f(x)=0，即，即2x4=02x4=0，得得x =2x =2x x-1-1 （-1,2-1,2） 2 2（2 2，4 4）4 40 0+8 83-1 故函数故函数(hnsh)f (x) (hnsh)f (x) 在区间在区间-1-1，44内内的最大值为的最大值为8 8，最小值为，最小值为-1 -1 第11页/共17页第十一页，共17页。6060

10、解解:设箱底设箱底(xingd)边长为边长为x cm， 箱子箱子(xing zi)容积为容积为V=x2 h例例2 在边长为在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个它的边沿虚线折起，做成一个(y )无盖的方底箱子，箱底边长为无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？则箱高则箱高xxV =60 x3x/2令令V =0，得，得x=40, x=0(舍去舍去)得得V (40)=16000答：当答：当箱底边长为箱底边长为x=40时时,箱子容积最大，箱子容积最大，最大

11、值为最大值为16000cm3第12页/共17页第十二页，共17页。例例3.已知某商品生产成本已知某商品生产成本C与产量与产量q的函数关系式为的函数关系式为C=100+4q,价格价格p与产量与产量q的函数关系式为的函数关系式为 求产量求产量q为何值为何值时时,利润利润L最大。最大。.8125qp 分析分析:利润利润L等于收入等于收入R减去成本减去成本(chngbn)C,而收入而收入R等于产量乘价格等于产量乘价格.由此可得出由此可得出利润利润L与产量与产量q的函数关系式的函数关系式,再用导数求最大利润再用导数求最大利润.求得唯一求得唯一(wi y)的极值点的极值点因为因为L只有只有(zhyu)一个

12、极值点一个极值点,所以它是最大值所以它是最大值.答答:产量为产量为84时时,利润利润L最大最大.第13页/共17页第十三页，共17页。求下列函数求下列函数(hnsh)在指定区间内的最大值和在指定区间内的最大值和最小值。最小值。答 案最大值最大值 f (/2)=/2，最小值，最小值 f (/2)= /2最大值最大值 f (3/4)=5/4，最小值，最小值 f (5)= 5+ 最大值最大值 f (1)=29，最小值，最小值 f (3)= 61练习练习(linx)2：第14页/共17页第十四页，共17页。求函数求函数 在在 内的极值；内的极值； ),(ba1. 求求 在在 上的最大值与最小值的步骤上的最大值与最小值的步骤(bzhu):求函数求函数 在区间端点在区间端点 的值；的值； )()(bfaf、 将函数将函数 在各极值与在各极值与 比较，其中最大的一比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值个是最大值，最小的一个