导数公式大全学习教案

1、会计学1导数导数(do sh)公式大全公式大全第一页，共29页。,11)(arcsin2xx 另外还有反三角函数(snjihnsh)的导数公式：,11)(arccos2xx ,11)(arctan2xx .11)cotarc(2xx 第1页/共29页第二页，共29页。定理(dngl)2. 1设函数 u(x)、v(x) 在 x 处可导，)0)()()( xuxuxv在 x 处也可导，(u(x) v(x) = u(x) v (x);(u(x)v(x) = u(x)v(x) + u(x)v(x);.)()()()()()()(2xuxvxuxvxuxuxv 导数(do sh)的四则运算且则它们(t

2、men)的和、差、积与商第2页/共29页第三页，共29页。推论(tuln) 1(cu(x) = cu(x) (c 为常数).推论(tuln) 2.)()()(12xuxuxu ()uvwu vwuv wuvw乘法法则(fz)的推广：第3页/共29页第四页，共29页。补充例题(lt)： 求下列函数的导数：解根据(gnj)推论 1 可得 (3x4) = 3(x4)，(5cos x) = 5(cos x)，(cos x) = - sin x，(ex) = ex，(1) = 0，故f (x) = (3x4 ex + 5cos x 1) = (3x4) (ex ) + (5cos x) (1)= 12x

3、3 ex 5sin x .f (0) = (12x3 ex 5sin x)|x=0 = 1又(x4) = 4x3，例 1设 f (x) = 3x4 ex + 5cos x - 1，求 f (x) 及 f (0).第4页/共29页第五页，共29页。例 2设 y = xlnx ， 求 y .解根据(gnj)乘法公式，有y = (xlnx)= x (lnx) (x)lnxxxxln11 .ln1x 第5页/共29页第六页，共29页。解根据除法(chf)公式，有22222)1()1()1()1)(1(11 xxxxxxxy例 3设,112 xxy求 y .2222)1()1()1()()1()(1(

4、xxxxx.)1(12)1()1(2)1(222222 xxxxxxx第6页/共29页第七页，共29页。教材P32 例2 求下列(xili)函数的导数：3(1)cosyxx2(2)xyx e2(3)1xyx32(4)23 sinyxxxe解：332(1)(cos )() (cos )3sinyxxxxxx2222(2)()()()2(2)xxxxxxyx exex exex exxe22222(1)(1)(3)()1(1)xxxxxyxx2221( 2 )(1)xxxx222)1 (1xx 32(4)(2) (3 sin ) ()yxxxe0)sin( 3)(23xxx)cos(sin362x

5、xxx第7页/共29页第八页，共29页。 高阶导数(do sh)如果(rgu)可以对函数 f(x) 的导函数 f (x) 再求导，所得到(d do)的一个新函数，称为函数 y = f(x) 的二阶导数，.dd22xy记作 f (x) 或 y 或如对二阶导数再求导，则称三阶导数，.dd33xy记作 f (x) 或 四阶或四阶以上导数记为 y(4)，y(5)， ，y(n),dd44xy,ddnnxy或 ， 而把 f (x) 称为 f (x) 的一阶导数.第8页/共29页第九页，共29页。例3 求下列(xili)函数的二阶导数(1)cosyxx(2)arctanyx(1)cos( sin )coss

6、inyxxxxxxxxxxxxxycossin2)cos(sinsin21(2)1yx222)1 ()1 (xxy22)1 (2xx解：二阶以上的导数可利用(lyng)后面的数学软件来计算 第9页/共29页第十页，共29页。2.2.4 复合函数的求导法则2.2 ( )( )( ( )( ) ( ) dydy dudxdu dxdyfuu xduu xxyf uuyf u xxx定理若函数在点 可导，函数 在点 处可导，则复合函数在点 可导，且或记作：推论设 y = f (u) ， u = (v)， v = (x) 均可导，则复合(fh)函数 y = f ( (x) 也可导，.xvuxvuyy

7、第10页/共29页第十一页，共29页。以上法则说明：复合函数(hnsh)对自变量的导数等于复合函数(hnsh)对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.23tan4.1(31) ; 2)sin(2); 3)lncos ;4);5)2xxyxyxyxyey例 求下列函数的导数：）32322222222(1)( ), ( )31,( )3( )( )3(31)(31)3(31)618 (31)yux u xxyuxuxu xxxxxxx解： 函数可以分解为第11页/共29页第十二页，共29页。(2)2 cos(2) (2) 1cos(2)2cos(2)2xyxxxxxx把当作中间变量，(3)co

8、s1sin(cos )tancoscosxxyxxxx 把当作中间变量，第12页/共29页第十三页，共29页。tantan2tan(4)tan()(tan )secxxxxyeexxe把当作中间变量，(5)(2 )2 ln2 ()2 ln2xxxxyx 把当作中间变量，第13页/共29页第十四页，共29页。 先将要求导的函数分解成基本初等(chdng)函数,或常数与基本初等(chdng)函数的和、差、积、商. 任何初等函数的导数都可以按常数和基本初等函数的求导公式和上述(shngsh)复合函数的求导法则求出. 复合(fh)函数求导的关键: 正确分解初等函数的复合(fh)结构.求导方法小结：第1

9、4页/共29页第十五页，共29页。2 3221( 1) ; (2)cos3 (3)32 4 lgcos(32)xyxyyxxx 练习：求下列函数的导数(课堂练习)（）；（ ）222222222(1) 6 ( 1)(2) 3 ln3 sin323(3) 232cos(32)sin(32)(4) (32)4 tan(32)cos(32)cos(32)xxyxxyxyxxxxyxxxxx 解:第15页/共29页第十六页，共29页。例5：求下列(xili)函数的导数（1） （2）（3） （4）2cosxy 232xxeyxylnlnln)1ln(2xxy第16页/共29页第十七页，共29页。2.2.5

10、 隐函数的导数00( )yxF xyF xyyy x与 的关系由方程（ ， ） 确定，未解出因变量的方程（ ， ）= 所确定的函数称为隐函数6( )1.ydyyy xyxedx 例 设函数由方程所确定，求(1) (),()(1) 1yyyyyyyyyxyxeyexeex eyxeyeeyxe解：上式两边对 求导，则有 即第17页/共29页第十八页，共29页。1;2.xyyy隐函数的求导步骤：（）方程两边对 求导，求导过程中把 视为中间变量，得到一个含有 的等式（ ）从所得等式中解出第18页/共29页第十九页，共29页。227( )cos().dyyy xyxyxdx例 设函数由方程所确定，求2

11、22222222222222222 sin() ()1 sin() (22)1 2 sin()2 sin()12 sin() 1 2 sin()1 2 sin()12 sin()xxyxyxyyxyxyyyxxyyxyyyxyyxxyxxyyyxy 解：方程两边分别对 求导，得第19页/共29页第二十页，共29页。2( )2.dyyy xxyyxdx练习：设函数由方程所确定，求2 () ()2 22(2 )222xxyyyx yy yxyyyyyxy解：两边分别对 求导，得第20页/共29页第二十一页，共29页。 二元函数(hnsh)的偏导数的求法求 对自变量 (或 )的偏导数时,只须将另一自

12、变量 (或 )看作常数,直接利用一元函数求导公式和四则运算法则进行(jnxng)计算.),(yxfz xyyx例1 设函数(hnsh)324( , )23,f x yxx yy求( , ),xfx y( , ),yfx y(1,1),xf(1, 1),yf解： xyxyyxxyxfxx43)32(),(242332423122)32(),(yxyyxxyxfyy111413) 1 , 1 (2xf14) 1(1212) 1, 1 (32yf第21页/共29页第二十二页，共29页。例2 设函数(hnsh) 求),ln()(2222yxyxzxzyz解：xxyxyxyxyxxz )ln()ln()

13、(222222222222222212 ln()()()xxxyxyxyxy222 ln()2xxyx222 ln() 1xxy类似(li s)可得2222222)()ln(2yxyyxyxyyz222 ln() 1yxy第22页/共29页第二十三页，共29页。 二元函数(hnsh)的二阶偏导数函数 z = f ( x , y ) 的两个(lin )偏导数),(yxfxzx ),(yxfyzy 一般说来仍然(rngrn)是 x , y 的函数， 如果这两个函数关于 x , y 的偏导数也存在， 则称它们的偏导数是 f (x , y)的二阶偏导数.依照对变量的不同求导次序，二阶偏导数有四个：（用

14、符号表示如下）第23页/共29页第二十四页，共29页。 xzxxzx22xz ),(yxfxx ;xxz xzyxzyyxz 2),(yxfxy ;xyz yzxyzxxyz 2),(yxfyx ;yxz yzyyzy22yz ),(yxfyy .yyz 第24页/共29页第二十五页，共29页。其中 及 称为二阶混合偏导数.),(yxfxy ),(yxfyx 类似(li s)的，可以定义三阶、四阶、 、n 阶偏导数，二阶及二阶以上(yshng)的偏导数称为高阶偏导数，),(,),(yxfyyxfx而称为(chn wi)函数 f ( x , y ) 的一阶偏导数.注：当两个二阶导数连续时，它们是相等的 即 ),(yxfxy ( , )yxfx y第25页/共29页第二十六页，共29页。例 3arctan