第4讲Matlab的常用数学函数与运算

1、系统仿真 1:311 / 32第四讲 Matlab的常用数学函数与运算系统仿真 1:312 / 32一、基本的数学函数(1)1、三角函数、三角函数 sin/asin 正弦/反正弦函数 sec/asec 正割/反正割函数sinh/asinh 双曲正弦/反双曲正弦函数 sech/asech 双曲正割/反双曲正割函数cos/acos 余弦/反余弦函数 csc/acsc 余割/反余割函数系统仿真 1:313 / 32cosh/acosh 双曲余弦/反双曲余弦函数 csch/acsch 双曲余割/反双曲余割函数tan/atan 正切/反正切函数 cot/acot 余切/反余切函数tanh/atanh 双

2、曲正切/反双曲正切函数 coth/acoth 双曲余切/反双曲余切函数atan2 四个象限内反正切函数 系统仿真 1:314 / 32一、基本的数学函数(2)2、指数函数exp（），log（），log10（），sqrt() exp() 指数函数 exp(a)=ea exp(1)=2.718log() 自然对数函数 log(a)=ln(a) log(3)=1.0968log10() 常用对数函数 log10(a)=lg(a) log10(100)=2系统仿真 1:315 / 32一、基本的数学函数(3)3、复数函数 abs(), ，angle（），conj（），imag（），real（）abs(

3、) 绝对值函数 实数，求其绝对值 复数，求其模 abs(-5) 5 abs(3+4i) 5 (abs(3+i4) ? Undefined function or variable i4.)系统仿真 1:316 / 32 imag() 求虚部函数 imag(3+4i) 4real() 求实部函数 real(3+4i) 3angle() 角相位函数 angle(4i) 1.5708 conj() 共轭复数函数 conj(3+4i) 3.0000-4.0000i系统仿真 1:317 / 32一、基本的数学函数(4)4、数值函数a-0.3,0.5,3.4fix() 沿零方向取整 fix(a) = 0

4、0 3round() 四舍五入取整 round(a) = 0 1 3floor() 沿-方向取整 floor(a) = -1 0 3ceil() 沿+方向取整 ceil(a) = 0 1 4sign() 符号函数 sign(a)= -1 1 1rem() 求除法的余数 REM(x,y) is x - n.*y where n = fix(x./y) if y = 0. rem(-8,3.3) -1.4 系统仿真 1:318 / 32一、基本的数学函数(5)5、统计分析函数max 求最大值 min 求最小值mean 求平均值median 求平均中间值sum 求和std 求标准差var 求方差so

5、rt 递增排序系统仿真 1:319 / 32一、基本的数学函数(6)6.矩阵函数矩阵函数 expm 矩阵指数函数 logm 矩阵对数函数 funm 矩阵任意函数 sqrtm 矩阵平方根expm（） 矩阵指数函数 expm(A)为 a1 1;1 1; b=expm(a) b=4.1945 3.1945; 3.1945 4.1945expm1() Pade近似法计算矩阵指数函数expm2() Taylor级数法计算矩阵指数函数expm3() 特征值法计算矩阵指数函数32!31!21AAAIeA系统仿真 1:3110 / 32 logm() 矩阵对数函数 logm(b) 1 1;1 1 sqrtm（

6、）矩阵平方根函数 a=1 1; 1 1, sqrtm(a)=0.7071 0.7071; 0.7071 0.7071funm（） 一般矩阵函数求值 funm(A,fun) F = funm(a,sqrt) 系统仿真 1:3111 / 32二、多项式运算(1)多项式的建立matlab语言把多项式表达成一个行向量，该向量中的元素是按多项式降幂排列的。 f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0 可用行向量 p=an an-1 a1 +a0表示1、poly 产生特征多项式系数向量特征多项式一定是n+1维的；特征多项式第一个元素一定是1。 系统仿真 1:3112 / 32例:a=1 2 3;4

7、 5 6;7 8 0;p=poly(a)p =1.00 -6.00 -72.00 -27.00p是多项式p(x)=x3-6x2-72x-27的matlab描述方法，我们可用：p1=poly2str(p,x) 函数，显示成数学多项式的形式：p1 =x3 - 6 x2 - 72 x - 27polyval（p,x） 多项式求值函数 polyval(p,1)=-104polyvalm（p,X） p为多项式系数，X为方阵系统仿真 1:3113 / 32二、多项式运算(2)2、roots 求多项式的根 p =1.00 -6.00 -72.00 -27.00 r=roots(p)r = 12.1229 -

8、5.7345 -0.3884 显然r是p的特征值当然我们可用poly令其返回多项式形式p2=poly(r)p2 = 1.00 -6.00 -72.00 -27.00系统仿真 1:3114 / 32二、多项式运算(3)3、conv卷积与多项式乘 例:a(x)=x2+2x+3; b(x)=4x2+5x+6;c = (x2+2x+3)(4x2+5x+6)a=1 2 3;b=4 5 6;c=conv(a,b)=conv(1 2 3,4 5 6)c = 4.00 13.00 28.00 27.00 18.00p=poly2str(c,x)p = 4 x4 + 13 x3 + 28 x2 + 27 x +

9、 18系统仿真 1:3115 / 32二、多项式运算(4)4、deconv（） 反卷积与多项式除 d,r=deconv(c,a)r：余数d：c除a后的整数a=1 2 3; c = 4.00 13.00 20.00 27.00 18.00d,r=deconv(c,a) d= 4 5 -2 r =0 0 0 16 24 系统仿真 1:3116 / 32二、多项式运算(5)5、polyder(): 求多项式的导数求多项式的导数 例：a=1 2 3 4 5; poly2str(a,x)ans = x4 + 2 x3 + 3 x2 + 4 x + 5b=polyder(a)b = 4 6 6 4系统仿真

10、 1:3117 / 32二、多项式运算(6)6、polyfit（）多项式拟合（）多项式拟合 用于寻找数据之间的函数关系，如欧姆定理 polyfit(X,Y,N) x0=0:0.1:1;y0=-.447 1.978 3.11 5.25 5.02 4.66 4.01 4.58 3.45 5.35 9.22;p=polyfit(x0,y0,3)%p = 56.6915 -87.1174 40.0070 -0.9043xx=0:0.01:1;yy=polyval(p,xx);plot(xx,yy,-b,x0,y0,or)系统仿真 1:3118 / 32二、多项式运算(7)7、插值的定义是对某些集合给定

11、的数据点之间函数的估值方法。当不能很快地求出所需中间点的函数时，插值是一个非常有价值的工具。Matlab提供了一维、二维、 三次样条等许多插值选择一维数据插值一维数据插值在MATLAB中，实现这些插值的函数是interp1，其调用格式为：Y1=interp1(X,Y,X1,method)函数根据X,Y的值，计算函数在X1处的值。X,Y是两个等长的已知向量，分别描述采样点和样本值，X1是一个向量或标量，描述欲插值的点，Y1是一个与X1等长的插值结果。method是插值方法，允许的取值有linear、nearest、cubic、spline。注意：X1的取值范围不能超出X的给定范围，否则，会给出“

12、NaN”错误。系统仿真 1:3119 / 32MATLAB中有一个专门的3次样条插值函数Y1=spline(X,Y,X1)，其功能及使用方法与函数Y1=interp1(X,Y,X1,spline)完全相同。例 某观测站测得某日6:00时至18:00时之间每隔2小时的室内外温度()，用3次样条插值分别求得该日室内外6:30至17:30时之间每隔2小时各点的近似温度()。设时间变量h为一行向量，温度变量t为一个两列矩阵，其中第一列存放室内温度，第二列储存室外温度。命令如下：h =6:2:18;t=18,20,22,25,30,28,24;15,19,24,28,34,32,30;XI =6.5:2

13、:17.5YI=interp1(h,t,XI, spline) %用3次样条插值计算二维数据插值二维数据插值的函数interp2，其调用格式为：Z1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1,method)系统仿真 1:3120 / 32二、多项式运算(8)8、residue（）（） 计算留数计算留数 R,P,K = residue(B,A) B(s) R(1) R(2) R(n) - = - + - + . + - + K(s) A(s) s - P(1) s - P(2) s - P(n) 例：已知控制系统的闭环传递函数为 ，利用residue.m函数作部分分式展开。n1 2 2;d=1 6

14、 11 6;r,p, k=residue(n,d);r;pans=2.5000 -2.0000 0.5000 -3.0000 -2.0000 -1.0000则部分分式分解的结果为：611622)(232ssssssG1s5 . 0235 . 2)(ssSsG系统仿真 1:3121 / 32三、线性方程组求解对于方程ax=b，a 为anm矩阵，有三种情况： 当n=m时，此方程成为“恰定”方程 当nm时，此方程成为“超定”方程 当nm时，此方程成为“欠定”方程 matlab定义的除运算可以很方便地解上述三种方程:x=ab系统仿真 1:3122 / 32方程ax=ba=1 2;2 3;b=8;13;

15、x=abx = 2.00 3.00322121xx138 = a x = b例: x1+2x2=8 2x1+3x2=13系统仿真 1:3123 / 32四、数值积分(1)1、数值积分基本原理求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法、辛普生(Simpson) 法、牛顿柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。它们的基本思想都是将整个积分区间a,b分成n个子区间xi,xi+1，i=1,2,n，其中x1=a，xn+1=b。这样求定积分问题就分解为求和问题。系统仿真 1:3124 / 32四、数值积分(2)2、变步长辛普生法基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数来求定积

16、分。该函数的调用格式为： I,n=quad(fname,a,b,tol,trace)其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和上限。tol用来控制积分精度，缺省时取tol=0.001。trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取trace=0。返回参数I即定积分值，n为被积函数的调用次数。 系统仿真 1:3125 / 32例 求定积分。 (1) 建立被积函数文件fesin.m。function f=fesin(x)f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6); (2) 调用数值积分函数quad求定积分。S,n=quad(fesin,0,3*

17、pi)S = 0.9008n = 77系统仿真 1:3126 / 32四、数值积分(3)3、被积函数由一个表格定义在MATLAB中，对由表格形式定义的函数关系的求定积分问题用trapz(X,Y)函数。其中向量X,Y定义函数关系Y=f(X)。例 用trapz函数计算定积分。命令如下：X=1:0.01:2.5;Y=exp(-X); %生成函数关系数据向量trapz(X,Y)ans = 0.28579682416393系统仿真 1:3127 / 32五、数值微分五、数值微分在MATLAB中，没有直接提供求数值导数的函数，只有计算向前差分的函数diff，其调用格式为：DX=diff(X)：计算向量X的

18、向前差分，DX(i)=X(i+1)-X(i)，i=1,2,n-1。DX=diff(X,n)：计算X的n阶向前差分。例如，diff(X,2)=diff(diff(X)。DX=diff(A,n,dim)：计算矩阵A的n阶差分，dim=1时(缺省状态)，按列计算差分；dim=2，按行计算差分。系统仿真 1:3128 / 32例 x=1:10Y1=diff(x.2)Y1=3 5 7 9 11 13 15 17 19Y2=diff(x.2,2)Y2= 2 2 2 2 2 2 2 2系统仿真 1:3129 / 32六、非线性方程数值求解非线性方程数值求解 在MATLAB中提供了一个fzero函数，可以用来求单变量非线性方程的根。该函数的调用格式为：z=fzero(fname,x0,tol,trace)其中fname是待求根的函数文件名，x0为搜索的起点。一个函数可能有多个根，但fzero函数只给出离x0最近的那个根。tol控制结果的相对精度，缺省时取tol=eps，trace 指定迭代信息是否在运算中显示，为1时显示，为0时不显示，缺省时取trace=0。 系统仿真 1:3130 / 32七、函数极值单变量函数求极值fminbnd() 求取固定区间内单变量函数的最小值。 调用格式：x = fmi