两个随机变量的函数的分布m学习教案

1、会计学1两个两个(lin )随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布m第一页，共39页。分别表示一个人的分别表示一个人的和和令令YX为了解决类似的问题(wnt)下面.的分布的分布布确定布确定 Z),(,YXgZYX 的函数关系的函数关系,年龄和体重年龄和体重,有一大群人有一大群人与与并且已知并且已知 Z,表示该人的血压表示该人的血压Z的分的分如何通过如何通过YX,我们讨论随机变量函数(hnsh)的分布.第1页/共38页第二页，共39页。的的联联合合分分布布律律为为若若二二维维离离散散型型随随机机变变量量 ,jiyYxXP的的分分布布律律为为则则随随机机变变量量函函数数),( YXgZ kzZP

2、 )( jikyxgzijp,ijp, 2 , 1, ji),(kzYXgP ., 2 , 1 k 第2页/共38页第三页，共39页。，是二维连续型随机变量是二维连续型随机变量设设),(YX).,(yxf密度密度它具有(jyu)概率仍为连续型随机变量，仍为连续型随机变量，则则YXZ 其概率密度为 )(zfYX)1 . 5(或 )(zfYX)2 . 5(的分布的分布一一YXZ )(,d),( yyyzf.d),(xxzxf 相互独立，相互独立，和和又若又若YX的边缘的边缘关于关于设设YXYX,),(第3页/共38页第四页，共39页。),(),(yfxfYX密度分别为密度分别为分别化为分别化为则则

3、)2 . 5(),1 . 5( )(zfYX和 )(zfYX)3 . 5()4 . 5(,的卷积公式的卷积公式和和这两个公式称为这两个公式称为YXff,YXff 记为记为即YXff yyfyzfYXd)()( .d)()(xxzfxfYX ,d)()( yyfyzfYX.d)()(xxzfxfYX 证),(zFYXZZ的分布函数的分布函数先来求先来求 即有第4页/共38页第五页，共39页。 )(zFZzZP ,dd),(yxyxfzyx :G这里积分区域这里积分区域是是zyx 半平面(pngmin)(如图3-9).将二重积分化成(hu chn)累次积分,及其左下方的及其左下方的直线直线zyx

4、xyOzyx .dd),(yxyxfyz 得 )(zFZ第5页/共38页第六页，共39页。作变量变换，作变量变换，对积分对积分和和固定固定 yzxyxfyzd),( x令令, yu 得 yzxyxfd),( zuyyufd),(于是(ysh)yuyyufzdd),( )(zFZ .dd),(uyyyufz .)1 . 5(式式由概率密度的定义即得由概率密度的定义即得.)2 . 5(式式类似可证得类似可证得第6页/共38页第七页，共39页。例1.变量变量是两个相互独立的随机是两个相互独立的随机和和设设YX他们(t men)都服,)1 , 0(分布分布从从其概率密度为,e21)(22xXxf ,e

5、21)(22yYyf , y, x.的概率密度的概率密度求求YXZ 解由(5.4)式 )(zfZ,d)()(xxzfxfYX 第7页/共38页第八页，共39页。xxzxdee212)(222 ,dee212242xzxz ,2zxt 令令得 )(zfZtzdee2122t -4 42e21z .e2142z .)2 , 0(分布分布服从服从即即NZ第8页/共38页第九页，共39页。说明(shumng)有限(yuxin)个相互独立的正态随机变量的线性组合),(,211NXYX相互独立且相互独立且设设Y).,(222N仍然服仍然服式经过计算知式经过计算知由由YXZ )5 . 4().,(22212

6、1NZ 且有且有一般(ybn),从正态分布,仍然服从正态分布.第9页/共38页第十页，共39页。解的概率密度为的概率密度为R )(zfR例2在一简单(jindn)电路中,串联联接，串联联接，和和两电阻两电阻21RR,21相互独立相互独立设设RR它们(t men)的概率密度均为)(xf,100,5010 xx., 0其他其他. .的概率密度的概率密度求电阻求电阻21RRR 由(5.4)式,.d)()( xxzfxf第10页/共38页第十一页，共39页。易知仅当,100 x,100 xz,100 x,10zxz 即时上述积分(jfn)的被积函数不等于零.参考(cnko)图3-10,即得)(zfR

7、zzxxzfxf0,100,d)()( 1010,2010,d)()(zzxxzfxf., 0其他其他 第11页/共38页第十二页，共39页。的表达式代入上式得的表达式代入上式得将将)(xf)(zfR., 0其他其他 ,100),60600(15000132 zzzz,2010,)20(1500013 zz第12页/共38页第十三页，共39页。例3),( Y,相互独立相互独立设随机变量设随机变量YX且分别服从(fcng)参数分布分布的的为为 ,;,),( X 分布分别记成分布分别记成的概率密度分别为的概率密度分别为YX,)(xfX, 0, 0 , 0,e)(11 xxx ., 0其他其他 第1

8、3页/共38页第十四页，共39页。)(yfY. 0, 0 ,分布分布的的服从参数为服从参数为试证明试证明 YXZ).,( YX即即证的概率密度为的概率密度为式式由由YXZ )4 . 5( )(zfZ易知仅当, 0,e)(11 yyy ., 0其他其他 xxzfxfYXd)()(第14页/共38页第十五页，共39页。 亦即 时上述(shngsh)积分的被积函数不等于零,于是(ysh)(参见图3-11), 0)(0 zfzZ时时知当知当时有时有而当而当0 z)(zfZxxzxxzxzde)()(1e)(1)(110 xxzxzzd)()()(e101 )(ztx 令令 , 0 x, 0 xz, 0

9、 x, zx 第15页/共38页第十六页，共39页。tttzzd)1()()(e11011 ,e1 zAz 记成其中(qzhng)tttAd)1()()(11101 .A现在来计算现在来计算由概率密度的性质(xngzh)得到: zeAzzd01 1zzfZd)( 第16页/共38页第十七页，共39页。)(d)(01 zezAz ),( A .)(1 A即有于是(ysh)(zfZ).,( YX即, 0,e)(11 zzz ., 0其他其他 第17页/共38页第十八页，共39页。分布分布个相互独立的个相互独立的上述结论还能推广到上述结论还能推广到 n.变量之和的情况变量之和的情况,21相互独立相互

10、独立即若即若nXXX.,1分布分布的的服从参数为服从参数为 nii且,), 2 , 1(,分布分布的的服从参数为服从参数为 niXii niiX1则则分布分布这一性质称为这一性质称为 的可加性.第18页/共38页第十九页，共39页。，是二维连续型随机变量是二维连续型随机变量设设),(YX).,(yxf密度密度它具有(jyu)概率仍为连续型随机变仍为连续型随机变则则XYZXYZ ,其概率密度分别(fnbi)为量, )(zfXY )(zfXY的分布的分布的分布、的分布、二二XYZYXZ )(,d),( xxzxfx.d),(1xxzxfx 第19页/共38页第二十页，共39页。.相互独立相互独立和

11、和如果如果YX的边缘的边缘关于关于设设YXYX,),(),(),(yfxfYX密度分别为密度分别为则则 )(zfXY )(zfXY证的分布函数为的分布函数为YXZ .d)()(xxzfxfxYX .d)()(1 xxzfxfxYX( )X YFz第20页/共38页第二十一页，共39页。 0,dd),(xzxyxyyxfyxyxfGGdd),(21 0,dd),(xzxyxyyxf zXYP )(zFXY xyyxfzxdd),(0 xyyxfzxdd),(0 xyOyzx1G2GxyO1G2Gzxy 0 z0z 第21页/共38页第二十二页，共39页。xuy 令令 xuxuxxfzdd),(0

12、 xuxuxxfzdd),(0 xuxuxfxzdd),()(0 xuxuxxfzdd),(0 xuxuxfxzdd),( uxxuxfxzdd),( )(zfXY )(zfXY.d)()(xxzfxfxYX .d)()(1 xxzfxfxYX所以(suy)类似(li s)可得第22页/共38页第二十三页，共39页。例4某公司提供(tgng)一种地震保险,度为)(yf , 0,e255 yyy, 0其他其他的概率密度为的概率密度为保险赔付保险赔付X)(xg , 0,e515 xx, 0其他其他的概率密的概率密保险费保险费Y.的概率密度的概率密度求求XYZ ,相互独立相互独立设设YX第23页/共

13、38页第二十四页，共39页。解由(5.7)式知,. 0)( zfZ时，时，当当0 z时，时，当当0 z的概率密度为的概率密度为Z )(zfZxxxzxde25xze51550 xxzzxde1255102 35)1( )3(125zz .)1(23zz 第24页/共38页第二十五页，共39页。).()(yFxFYX和和分布函数分别为分布函数分别为,变量变量是两个相互独立的随机是两个相互独立的随机设设YX它们(t men)的.,min,max的分布函数的分布函数及及YXNYX M现在来求现在来求都不都不和和等价于等价于不大于不大于由于由于YXzYXM,max , z大于大于故有zMP ,zYzX

14、P 的分布的分布及及三三,min,max)(YXNYXM ,相互独立相互独立又由于又由于YX的的得到得到,maxYXM 分布(fnb)函数为第25页/共38页第二十六页，共39页。.zYPzXP )(maxzFzMP ,zYzXP 即有).()()(maxzFzFzFYX 类似(li s)地,的分布函数为的分布函数为可得可得,minYXM )(minzF1zNP ,1zYzXP zNP .1zYPzXP 即).(1)(1 1)(minzFzFzFYX 第26页/共38页第二十七页，共39页。的的及及,min,max2121nnXXXNXXXM )(maxzF), 2, 1()(nixFiXi

15、它们的分布函数分别为它们的分布函数分别为,21个相互独立的随机变量个相互独立的随机变量是是设设nXXXn则分布(fnb)函数分别为),()()(21zFzFzFnXXX 推广(tugung) )(minzF)(1)(1)(1121zFzFzFnXXX 第27页/共38页第二十八页，共39页。分分布布相相互互独独立立且且具具有有相相同同的的当当nXXX,21,)()(maxnzFzF .)(1 1)(minnzFzF 时有时有函数函数)(xF第28页/共38页第二十九页，共39页。例5联联统统由两个相互独立的子系由两个相互独立的子系设系统设系统21, LLL接而成,联接的方式(fngsh)分别为

16、,(i)串联串联,(ii)并联并联 (iii),(21开始工作开始工作系统系统损坏时损坏时当系统当系统备用备用LL如图3-13所示.,21YXLL的寿命分别为的寿命分别为设设已知它们(t men)的XY1L2LXY2L1LXY2L1L概率密度分别(fnbi)为第29页/共38页第三十页，共39页。 , 0,e xx , 0, 0 x)(xfX , 0, 0 y)(yfY, 0,e yy.0, 0 且且其中其中试分别就以上(yshng)三种联接.的概率密度的概率密度的寿命的寿命方式写出方式写出ZL解串联的情况串联的情况(i)就停止就停止系统系统 L,21中有一个损坏时中有一个损坏时由于当由于当L

17、L的寿命为的寿命为所以这时所以这时 L工作(gngzu),第30页/共38页第三十一页，共39页。.,minYXZ 的分布函数分布为的分布函数分布为YX, , 0, 0 x)(xFX, 0,e1 xx , 0, 0 y)(yFY, 0,e1 yy的分布函数为的分布函数为,minYXZ )(minzF, 0,e1)( zz. 0, 0 z 第31页/共38页第三十二页，共39页。的概率密度为的概率密度为,minYXZ )(minzf, 0,e )()( zz. 0, 0 z的寿命为的寿命为所以这时所以这时 L.,maxYXZ 并联的情况并联的情况(ii),21都损坏时都损坏时由于当且仅当由于当且

18、仅当LL工作(gngzu),才停止才停止系统系统 L)(maxzF)()(zFzFYX , 0),e1)(e1( zzz. 0, 0 z第32页/共38页第三十三页，共39页。的的概概率率密密度度为为,maxYXZ )(maxzf, 0,e )(ee)( zzzz. 0, 0 z 才开始工才开始工系统系统2L备用的情况备用的情况(iii),1损损坏坏时时由由于于这这时时当当系系统统 L两者之和：两者之和：是是的寿命的寿命因此整个系统因此整个系统21,LLZL作,YXZ 的概率密度为的概率密度为时时当当YXZz 0第33页/共38页第三十四页，共39页。 )(zf zyzy0)(deeyyfyzfYXd)()( zyyzy0)(dee .ee zz ,0时时当当 z