数学物理方法复变函数的积分

1、数学物理方法2015.02第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分第一节第一节 积分的概念及性质积分的概念及性质第二节第二节 Cauchy定理定理第三节第三节 原函数与不定积分原函数与不定积分第四节第四节 Cauchy积分公式积分公式数学物理方法2015.02概念概念设C是z平面上一分段光滑的曲线，函数 f(z)在C上定义。分割：求和：取极限：njjjjCzzfdzzf11)(lim)(第一节第一节 积分的概念及性质积分的概念及性质数学物理方法2015.02性质性质CCCdzzgBdzzfAdzzBgzAf)()()()(2121)()()(CCCCdzzfdzzfdzzf的逆向是其中CCd

2、zzfdzzfCC,)()(CCdzzfdzzf)()(的长度为其中ClzfMMldzzfC|,)(|max,)(第一节第一节 积分的概念及性质积分的概念及性质数学物理方法2015.02路积分的计算方法路积分的计算方法1.归为二元函数的第二型积分来计算，计算公式为2. 参数方程的表达形式C: z=z(t) (t: )CCCdyyxudxyxvdyyxvdxyxudzzf),(),(i),(),()(dttztzfdzzfC)()()(第一节第一节 积分的概念及性质积分的概念及性质数学物理方法2015.02举例举例CzdzRe其中：(1) C为由原点到(2,0)再到(2,1)的折线； (2) C

3、为由原点到 (2,1)的直线Cdzz其中：C为圆周x=asint, y=acost (0t2)1, 01i,2)(nnazdzCn其中：C为以a为中心以为半径的圆周第一节第一节 积分的概念及性质积分的概念及性质数学物理方法2015.02单连通区域上的单连通区域上的Cauchy定理定理如果函数f(z)在单连通区域G内解析，则沿G内的任何一条光滑的闭合曲线C有0)(Cdzzf第二节第二节 Cauchy定理定理数学物理方法2015.02推广推广0)(Cdzzf如果函数f(z)在单连通区域G内解析，在 上连续，则沿 上的任何一条光滑的闭合曲线C（当然包括 的边界）有GGG举例举例02211|2zdzz

4、z证明：x yO1-1-1+i-1-i第二节第二节 Cauchy定理定理数学物理方法2015.02复连通区域上的复连通区域上的Cauchy定理定理njCCjdzzfdzzf1)()(0设G是由C0 , C1, C2 , , Cn围成的多连通区域，函数f(z)在G内解析，在 上连续，则有G第二节第二节 Cauchy定理定理数学物理方法2015.02举例举例2|) 1(13zdzzzz计算积分：2|211zdzz计算积分：dzzzz212计算积分：其中为包含|z|=1在内的任何正向的闭曲线x yO2-21xyO1x y-12-21第二节第二节 Cauchy定理定理数学物理方法2015.02原函数的

5、概念原函数的概念若F(z)= f(z)，则称F(z)是f(z)的原函数，其中zB，B是单连通区域第三节第三节 原函数与不定积分原函数与不定积分数学物理方法2015.02设 f(z)是单连通区域B内的解析函数，由Cauchy定理知：沿B内任一路径的积分l f(z)dz只与起点、终点有关，而与在B内的积分路径无关，因此当起点z0B固定时，这样该积分就定义一个关于终点z的单值函数，记作结论结论zzdfzF0)()(则F(z)是 f(z)的原函数。zz0B第三节第三节 原函数与不定积分原函数与不定积分数学物理方法2015.02不定积分不定积分函数 f(z)的原函数的一般表达式F(z)+C（其中C 是任

6、意常数）被称为函数 f(z)的不定积分，记作CzFdzzf)()(两个原函数的差是一个常数。说明第三节第三节 原函数与不定积分原函数与不定积分数学物理方法2015.02若函数 f(z)在单连通区域B内解析，而F(z)是它的一个原函数，则有结论结论)()()(1221zFzFdzzfzz其中z1, z2 B。z2z1B第三节第三节 原函数与不定积分原函数与不定积分数学物理方法2015.02举例举例10coszdzz计算积分：idzzz11) 1ln(计算积分：沿区域 Imz0, Rez0 内的圆弧|z|=11, 01i,2)(|nnazdzazn计算积分：第三节第三节 原函数与不定积分原函数与不

7、定积分数学物理方法2015.02单连通域上的单连通域上的Cauchy积分公式积分公式设 f(z)在单连通区域B内解析，在 上连续，则对B内任一点 ，有BBdzzzff)(i21)()(i2)(fdzzzfB或BB第四节第四节 Cauchy积分公式积分公式数学物理方法2015.02复连通域上的复连通域上的Cauchy积分公式积分公式 njCCjdzzzfdzzzff1)(i21)(i21)(0设B是由C0 , C1, C2 , , Cn围成的多连通区域，函数f(z)在B内解析，在 上连续，则对B内任一点 ，有B第四节第四节 Cauchy积分公式积分公式数学物理方法2015.02举例举例3|i 2

8、zdzzz计算积分：3|2) 1(zzdzzze计算积分：第四节第四节 Cauchy积分公式积分公式数学物理方法2015.02无穷域上的无穷域上的Cauchy积分公式积分公式设 f(z) 在简单闭合曲线C上及C外（包括无穷远点）是单值解析的，我们来计算积分Cdzazzf)(i21其中a是外C一点，积分路径C的走向是顺时针方向，即绕无穷远点的正向)()(faf第四节第四节 Cauchy积分公式积分公式数学物理方法2015.02举例举例1|i 2/1zdzzz计算积分：1|/1i 2zzdzze计算积分：特别地，当 f() = 0 时，有如果 f(z) 在简单闭合曲线C上及C外解析，且当z时， f(z)一致地趋于零，则有)()(i21afdzazzfC第四节第四节 Cauchy积分公式积分公式数学物理方法2015.02高阶导数公式高阶导数公式设 f(z)在单连通区域B内解析，在 上连续，则f(z)在B内任一点 ，有各阶导数，且BBnndzzzfnf1)()()(i2!)