第十一章 弯曲应力与强度计算(上)

1、1概论轴向拉压、扭转截面应力情况我们已经可解，那么弯曲的截面应力具体是怎么样的呢？2概论为了对梁进行强度计算，还需要进一步研究横截面上的应力。由于剪力Q与截面相切，正应力与截面垂直，所以，剪力Q只产生切应力。又由于切应力都通过截面的轴线，所以切应力与弯矩无关，换句话说，弯矩只产生正应力。3第一节 纯弯曲时梁横截面上的正应力如图，只有弯曲变形（弯矩），没有剪切变形（剪力）的变形形式，称为纯弯曲（图中的l部分）；既有弯曲变形（弯矩），又有剪切变形（剪力）的变形形式，称为剪切弯曲（图中的a部分）4梁横截面上正应力的分布规律实验观察与平面假设横向线m-m和n-n仍为直线且与纵向线正交，仅相对转动了一个

2、微小角度。纵向线a-a和b-b弯成了曲线，且a-a线缩短，而b-b线伸长。即下部受拉伸长，上部受压缩短，各纵向纤维无挤压。原为平面的横截面变形后仍保持为平面，并垂直于变形后的轴线，只是绕横截面内某一轴线旋一个角度。即满足平面假设。5梁纯弯曲时横截面上正应力的分布规律中性轴上的线应变为零，所以其正应力亦为零。距中性轴距离相等的各点，其线应变相等。根据胡克定律，它们的正应力也必相等。在图示的受力情况下，中性轴上部各点正应力为压应力(即负值)，中性轴下部各正应力为拉应力(即正值)。弯曲变形时，横截面上中性轴上下部分，正应力方向相反。6二、正应力公式推导1. 变形几何条件未变形时，矩形梁段长度都为dx

3、，弯曲之后中性层所在的纤维长度不变，在距离中性层y 处的纤维长度变为那么，y处的纤维增长量为由应变的定义是增长量/原长，故所以，梁横截面上任意一点处的线应变与该点到中性轴的距离y成正比。+yd（）+yd - d =yd （）ydyd 72. 物理条件 将胡克定律 代入 ，可得这表明，梁横截面上任一点的正应力与该点到中性轴的距离y成正比，即正应力沿截面高度按线性分布。中性轴处正应力为0，离中性轴最远处正应力最大。注意，此时公式中的中性轴位置（间接影响y的取值）和曲率半径还未给出，所以下一步考虑静力学条件。yEEy83. 静力学条件 选取一个截面作分析，建立坐标轴y-z，取微面积dA，则该微面积上

4、的力为 ，方向如图。由于弯曲没有轴力，故所有微面积的合力应为0，即将前文的 代入上式，有故应有 ，该式就是静矩的表达式，而且只有对于，才有静矩等于0。所以，中性轴必过形心，由此中性轴的位置可以确定。 dA0NdAEy0yENdAEdAydA0ydA 9该微面积上的力与对称位置的力可以构成一个力偶，所有力偶的合效应为 ，将前文的 代入上式，有可以发现， 就是惯性矩Iz的表达式，即 通过静力学条件，解决了中性轴和曲率半径的问题。将上式代入前文中的 可得ydAM22EyEMdAy dAEy2y dAz1MEIEyzMyI10对于该式，建议先判断应力正负（受拉部分为正，受压部分为负），再运用上式算出截

5、面上具体应力的大小。例11-1 矩形截面简支梁，受均布荷载作用，如图所示。已知：q=10kN/m，bh=200300mm，跨度l=5m。试求跨中截面上A、B、C三点处的正应力。zMyI11例11-2 56a工字钢简支梁如图所示，已知P=150kN，l=10m。试求此梁危险截面的最大正应力 和同一截面上D点处的正应力。例11-3 T形截面悬臂梁如图所示。已知Iz= ，yc=160mm，试求梁上危险截面的最大拉应力和最大压力应力。max448533 10 mm12第二节 梁的正应力强度条件梁的最大正应力对于等截面梁，弯矩最大的截面就是危险截面，该截面离中性轴最远处的各点为危险点定义 截面对中性轴z的抗弯截面系数，则有zMyImaxmaxmaxzMyIzzmaxWIymaxmaxzWM13正应力强度条件（1）抗拉抗压性能相同的材料，且截面关于中性轴对称（2）抗拉抗压性能相同的材料，且截面不关于中性轴对称（3）抗拉抗压性能不同的材料，且截面不关于中性轴对称（通常这类材料为充分发挥其性能，截面一般不是对称的） maxmaxzWM maxmaxmaxzyIMmaxlmaxllzyIMmaxymaxyyzyIM14例11-4 图示简支梁，受均布荷载q=40kN