难点：一些实际应用问题用微分方程构建数学模型及得到符合实际

1、单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级*高等数学电子教案单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级*第七章 微 分 方 程 四川职业技术学院数学教研室 课题二十八 微分方程应用举例单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级*返回 重点：一、二阶微分方程的定义和解法，由通过复习引出 。 难点：一些实际应用问题用微分方程构建数学模型及得到符合实际的解，由实例讲解方法。总时数：4 学时. 1、知道一阶和简单的二阶微分方程的解法； 2、会用一阶微分方程解决实际应用问题； 3、会用简单的二阶微分方程解决实际应用问题。【学习目标】【授课

2、时数】【重、难点】一、一阶微分方程应用举例用微分方程寻求实际问题中未知函数的一般步骤： 分析问题，建立微分方程，确定初始条件； 求出微分方程的通解； 由初始条件确定通解中任意常数，得方程相应的特解，即为所求函数例1 设充电电路如图所示，若在合闸前，化规律电容器上的电压，求合闸后电压的变由回路电压定律，得解从而，有分离变量得 两边积分得把初始条件代入得，即 所求的充电电路的电压的变化规律是ot设墓中木炭在时含量为由题设有分离变量得两边积分得解记木炭中含量为, 代入方程通解得又由的半衰期为5730年，得解得 于是 解得当0.772时，（年） 这表明距1972年初马王堆一号墓发掘时，墓中人已死亡约2

3、139年，由21391971168（年）,即墓中人辛追夫人死亡时间约为公元前168年. 例 3 有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间 t 的变化规律.解由力学知识得,水从孔口流出的流量为流量系数孔口截面面积重力加速度设在微小的时间间隔比较(1)和(2)得:水面的高度由h降至 ,即为未知函数的微分方程.可分离变量所求规律为解设鼓风机开动后 时刻 的含量为在 内,的通入量的排出量例4 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中含有的,为了降低车间内空气中

4、的含量, 用一台风量为2000立方米/秒的鼓风机通入含的的新鲜空气, 同时以同样的风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动6分钟后,车间内的百分比降低到多少?的改变量的通入量的排出量6分钟后, 车间内 的百分比降低到x解取为坐标原点，河岸朝顺水方向为轴，轴指向对岸，如图所示. 设水流速度为（鸭子的游速为（则鸭子的实际运动速度为 ）,），x设在时刻鸭子位于点则鸭子的运动速度为，故有 而由此得微分方程 令则代入上面方程，得分离变量，得 两边同时积分，并整理得 将代入上式，得 鸭迹线的方程为练一练解设降落伞下落速度为时伞所受空气阻力为（负号表示阻力与运动方向相反，为常数）.另外，伞在下降过程中还受重力

5、作用，由牛顿第二定律得对上述方程分离变量得 两边积分得 由初始条件得即故所求特解为 由此可见，的增大，速度逐渐变大且趋于常数，但不会超过这说明跳伞后，开始阶段是加速运动，以后逐渐趋于匀速运动ot随着二、二阶微分方程应用举例用微分方程寻求实际问题中未知函数的一般步骤： 分析问题，建立微分方程，确定初始条件； 求出微分方程的通解； 由初始条件确定通解中任意常数，得方程相应的特解，即为所求函数 例1设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A(1, 0)处的乙舰发射导弹，导弹头始终对准乙舰如果乙舰以最大的速度v0（ v0是常数）沿平行于y轴的直线行驶，导弹的速度是5v0，求导弹运行的曲线方程又乙舰行驶多远时

6、，导弹将它击中？解由于导弹头始终对准乙舰, 故此时直线PQ就是导弹的轨迹曲线弧OP在点P处的切线，x于是有R即 (1)又根据题意，弧OP的长度为的5倍，即 (2)由(1)(2)消去t整理得模型 (3)解得导弹的运行轨迹方程为当时，即当乙舰航行到点处时被导弹击中.被击中时间为. xR解设质点的运动规律为， 根据牛顿第二定律，质点运动的微分方程是 由题设知将代入上式，得从而得，质点运动的微分方程是将代入(1)式，得将代入(2)式，得 则质点的运动规律为解设在t时刻通过R的电压为通过L的电压为则由基尔霍夫定律，有将它们代入(1) 式，得 即将E=20，C=0.5，L=1.6，R=4.8代入上式，得解得将初始条件代入(2)、(3)式，得方程组 解得将上式代入(2)式，得电压的变化规律是ot解 如图所示，取平衡位置为原点， 轴的正向向下，受力分析，第二定律，物体的运动满足微分方程由牛顿运动可得对应齐次方程的通解为设方程的一个特解为则有代入原方程，整理得比较系数得从而得故原方程的通解为.将初始条件分别代入，求得再将得所求物体的运动规律为和的值代入原方程的通解，练一练解取炮口为原点，建立直角坐标系如图所示，设刚开始射击时t=0，炮弹在t时刻的位置为ox由牛顿运动第二定律，得初始条件由(1)解得由(2)解得由(4)解得将初始条件分别代入(3