工程力学第二篇第九章扭转

1、单辉祖:材料力学教程1第 3 章 扭 转 剪切基本定理 圆截面轴的扭转应力与变形 圆截面轴的扭转强度与刚度 简单静不定轴 非圆截面轴扭转简介本章主要研究：单辉祖:材料力学教程2 1 引言 2 扭力偶矩计算与扭矩 3 切应力互等定理与剪切胡克定律4 圆轴扭转应力5 圆轴扭转强度与合理设计6 圆轴扭转变形与刚度计算7 简单静不定轴 8 非圆截面轴扭转简介单辉祖:材料力学教程31 引 言 扭转实例扭转实例 扭转及其特点扭转及其特点单辉祖:材料力学教程4 扭转实例扭转实例FF单辉祖:材料力学教程5M单辉祖:材料力学教程6 扭转及其特点扭转及其特点变形特征：变形特征：各横截面间绕轴线作相对旋转，轴线仍为

2、各横截面间绕轴线作相对旋转，轴线仍为 直线直线扭转变形扭转变形外力特征：外力特征：作用面垂直于杆轴的力偶作用面垂直于杆轴的力偶扭转与轴：扭转与轴：以扭转变形为主要特征的变形形式以扭转变形为主要特征的变形形式扭转扭转 以扭转为主要变形的杆件以扭转为主要变形的杆件轴轴扭力偶矩：扭力偶矩：扭力偶之矩扭力偶之矩扭力偶矩扭力偶矩或或扭力矩扭力矩扭扭 力力 偶偶：作用面垂直于杆轴的力偶作用面垂直于杆轴的力偶扭力偶扭力偶单辉祖:材料力学教程72 扭力偶矩计算与扭矩 扭力偶矩计算扭力偶矩计算轴的轴的动力转递动力转递 扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图 例题例题单辉祖:材料力学教程8 扭力偶矩计算轴的动力转递扭力偶矩计算

3、轴的动力转递已知：动力装置的输出功率动力装置的输出功率 P（kW）, ,转速转速 n（r/min）试求：传递给轴的扭力偶矩传递给轴的扭力偶矩 M（N.m） MP 602103nMP min/rkWmN9549nPM 设角速度为设角速度为 (rad/s)例例: P5 kW, n=1450 r/min, 则则mN 9 .32m)(Nr/min 1450kW 59549 M单辉祖:材料力学教程9 扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图扭矩定义扭矩定义矢量方向垂直于横截面的内力偶矩，矢量方向垂直于横截面的内力偶矩， 并用并用 T 表示表示符号规定符号规定按右手螺旋法则将扭矩用矢量表示，按右手螺旋法则将扭矩用矢量表示

4、， 矢量方向与横截面外法线方向一致矢量方向与横截面外法线方向一致 的扭矩为正，反之为负的扭矩为正，反之为负扭矩单辉祖:材料力学教程10mxMTA mlMA 扭矩图（m轴单位长度内的扭力偶矩轴单位长度内的扭力偶矩）试分析轴的扭矩试分析轴的扭矩)(xlmT 表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（T-x曲线）曲线）扭矩图扭矩图mlT max单辉祖:材料力学教程11 例例 题题例 2-1 MA=76 N m, MB=191 N m, MC=115 N m, 画扭矩图画扭矩图解：mN 761 AMT02 CMTmN 1152 CMTmN 115max T单辉祖:材料力学教程12例

5、2-2 轴在轴在MA作用下旋转作用下旋转，飞轮转动惯量为飞轮转动惯量为J, 画扭矩图画扭矩图解：AMT 1AMT max02 T惯性力偶矩惯性力偶矩:JMA AMJM 单辉祖:材料力学教程133 切应力互等定理与剪切胡克定律 薄圆管的扭转切应力薄圆管的扭转切应力 切应力互等定理切应力互等定理 剪切胡克定律剪切胡克定律 例题例题单辉祖:材料力学教程14 当变形很小时，当变形很小时，各圆周线的各圆周线的大小与间距均不改变大小与间距均不改变试验现象 各圆周线的形状不变各圆周线的形状不变, ,仅绕轴线作相对转动仅绕轴线作相对转动由于管壁薄，可近似认由于管壁薄，可近似认为管内变形与管表面相为管内变形与管

6、表面相同，均仅存在切应变同，均仅存在切应变g g 。 薄壁圆管扭转切应力薄壁圆管扭转切应力单辉祖:材料力学教程15RT202 d2000 RRT假设：切应力沿壁厚均匀分布假设：切应力沿壁厚均匀分布 202 R 应力公式适用范围：适用范围：适用于所有匀质薄适用于所有匀质薄壁杆，包括弹性、非弹性、线壁杆，包括弹性、非弹性、线性与非线性等情况性与非线性等情况精度精度：线弹性情况下线弹性情况下, ,当当 R0/10 时时, ,误差误差 4.53%单辉祖:材料力学教程160dddddd , 0 xzyyzxMz在微体互垂截面上，垂直于截面交线的切应力数值相在微体互垂截面上，垂直于截面交线的切应力数值相等

7、，方向则均指向或离开该交线等，方向则均指向或离开该交线切应力互等定理切应力互等定理截面上存在正应力时，互等定理仍成立（请自证）截面上存在正应力时，互等定理仍成立（请自证） 切应力互等定理与切应力互等定理与纯剪切纯剪切微体互垂截面上仅存在切应力的应力状态微体互垂截面上仅存在切应力的应力状态纯剪切纯剪切 剪切剪切胡克定律胡克定律引入比例常数引入比例常数Gg g g g G 在剪切比例极限内，切应力与在剪切比例极限内，切应力与切应变成正比切应变成正比剪切胡克定律G切变模量切变模量，其量纲与应力相同，常用单位为，其量纲与应力相同，常用单位为GPaGPa 8075 G钢与合金钢：GPa 3026 G铝合

8、金：实验表明：当切应力实验表明：当切应力 不超过一定限度不超过一定限度 p 时时 p剪切比例极限剪切比例极限单辉祖:材料力学教程18 例例 题题例 3-1 图示板件图示板件, 边宽为边宽为a, 已知已知 D Ds = a/1000, G = 80 GPa, , 试求板边切应力试求板边切应力 = ?解：g g G )rad100 . 1)(Pa1080(39 注意注意：g g 虽很小，但虽很小，但 G 很大，很大，切应力切应力 不小不小MPa 80 10001tan asg gg g 为一很小的量，所以为一很小的量，所以rad100 . 1tan3 g gg g单辉祖:材料力学教程19例 3-2

9、 一薄壁圆管，平均半径为一薄壁圆管，平均半径为R0，壁厚为，壁厚为 ，长度为，长度为l，横截面上的扭矩为横截面上的扭矩为T，切变模量为，切变模量为G，试求扭转角试求扭转角j j。解： 202 RT 问题：如果问题：如果 = kg g n，则则 =? j j=?G g g 202 GRT xRdd0g gj j xGRTd230 xRdd0g gj j xGRTld 2030 j j j j302 GRTl 单辉祖:材料力学教程204 圆轴扭转应力 扭转试验与假设扭转试验与假设 扭转应力分析扭转应力分析 极惯性矩与抗扭截面系数极惯性矩与抗扭截面系数 例题例题单辉祖:材料力学教程21 扭转试验与假

10、设扭转试验与假设各横截面如同刚性平面，仅绕轴线作相对转动各横截面如同刚性平面，仅绕轴线作相对转动 当变形很小时，当变形很小时，各圆周线的各圆周线的大小与间距均不改变大小与间距均不改变扭转平面假设试验现象 各圆周线的形状不变各圆周线的形状不变, ,仅绕轴线作相对转动仅绕轴线作相对转动从试验、假设入手从试验、假设入手, ,综合考虑几何、物理与静力学三方面综合考虑几何、物理与静力学三方面单辉祖:材料力学教程22 扭转应力分析扭转应力分析addd g gg gtan物理方面物理方面xddj j g g 几何方面几何方面xGdd j j dj j / / dx扭转角变化率扭转角变化率j j d dd 单

11、辉祖:材料力学教程23静力学方面静力学方面TAA d pddGITx j j d2p AAI xGdd j j pIT TAxGA ddd2 j j应力与变形公式应力与变形公式极惯性矩极惯性矩max pmaxWT RIWpp 抗扭截面系数抗扭截面系数RITITRpp 公式的适用范围：公式的适用范围：圆截面轴；圆截面轴； max p单辉祖:材料力学教程24 极惯性矩与抗扭截面系数极惯性矩与抗扭截面系数 d2d A AAId2p 空心圆截面空心圆截面 44p132 DI 实心圆截面实心圆截面324pdI 43pp1162 DDIW163pdW Dd 2/2/2d2Dd 单辉祖:材料力学教程25 例

12、例 题题例例 4-1 已知已知MC= 2MA= 2MB=200Nm；AB段，段，d=20mm；BC段，段，di=15mm，do=25mm。求各段最大扭转切应力。求各段最大扭转切应力。AMT 143op116 dWaMP7 .63oidd 解：p1max1,WT CMT 2aMP9 .74p2max2,WT 163pdW 3max1,16dMA )1(16430max2, dMC单辉祖:材料力学教程265 圆轴扭转强度与合理设计 扭转失效与扭转极限应力扭转失效与扭转极限应力 圆轴扭转强度条件圆轴扭转强度条件 圆轴合理强度设计圆轴合理强度设计 例题例题单辉祖:材料力学教程27 扭转失效与极限应力扭

13、转失效与极限应力塑性材料塑性材料屈服屈服断裂断裂脆性材料脆性材料断裂断裂扭转扭转屈服应力屈服应力 s ，扭转强度极限扭转强度极限 b 扭转极限应力扭转极限应力 u圆轴扭转圆轴扭转屈服时横截面上的最大切应力屈服时横截面上的最大切应力扭转屈服应力扭转屈服应力圆轴扭转圆轴扭转断裂时横截面上的最大切应力断裂时横截面上的最大切应力扭转强度极限扭转强度极限扭转极限应力扭转失效形式单辉祖:材料力学教程28 圆轴扭转强度条件圆轴扭转强度条件max nu maxpmax WT pmaxmaxWT 等截面圆轴等截面圆轴: :变截面或变扭矩圆轴变截面或变扭矩圆轴: : u材料的扭转极限应力材料的扭转极限应力n -

14、安全因数安全因数塑性材料塑性材料： =（0.50.577） s s 脆性材料脆性材料： = （0.81.0） s st 为保证轴不因强度不够而破坏，要求轴内的最大扭转切应力不得超过扭转许用切应力危险点处于纯剪切状态，又有危险点处于纯剪切状态，又有单辉祖:材料力学教程29 圆轴合理强度设计圆轴合理强度设计1. 合理截面形状合理截面形状若若 Ro/ 过大过大将产生皱褶将产生皱褶空心截面比空心截面比实心截面好实心截面好2. 采用变截面轴与阶梯形轴采用变截面轴与阶梯形轴注意减缓注意减缓应力集中应力集中单辉祖:材料力学教程30 例例 题题例 5-1 已知已知 T=1.5 kN . m， = 50 MPa

15、，试试根据强度条根据强度条件设计实心圆轴与件设计实心圆轴与 = = 0.9 的空心圆轴，并进行比较。的空心圆轴，并进行比较。解：1. 确定确定实心圆轴直径实心圆轴直径 316dT 316 Td mm 54 d取取：m 5350.0Pa)10(50)mN101.5(16363 max 163pmaxdTWT 单辉祖:材料力学教程312. 确定空心圆轴内、外径确定空心圆轴内、外径 )1(161643odT mm 3 .76)1 (1634o Tdmm7 .68oi dd mm 68 mm 76 io dd，取：取：3. 重量比较重量比较%5 .394)(422i2o ddd 空心轴远比空心轴远比实

16、心轴轻实心轴轻 43op116 dW单辉祖:材料力学教程32解：1. 扭矩分析扭矩分析例 5-2 R050 mm的的薄壁圆管，左、右薄壁圆管，左、右段的壁厚段的壁厚分别分别为为 1 1 5 5 mm， 2 2 4 4 mm，m = 3500 N . m/m，l = 1 m， 50 MPa，试校核圆管强度试校核圆管强度。单辉祖:材料力学教程332. 强度校核强度校核危险截面危险截面：1202 RTAA 2202 RTBB 截面截面 A与与 BMPa 6 .442120 RmlMPa 9 .2722220 Rml单辉祖:材料力学教程34例 5-3 密圈螺旋弹簧应力分析与强度条件密圈螺旋弹簧应力分析

17、与强度条件解：1. 内力分析内力分析FFS2FDT 单辉祖:材料力学教程352. 应力分析应力分析FFS2FDT 22S44dFdF pmaxWT maxmax3. 应力修正公式应力修正公式342483max mmdFD 时）时）（当（当 10 dDm338162dFDdFD DddFD21834. 强度条件强度条件 纯剪切许用切应力纯剪切许用切应力max 单辉祖:材料力学教程366 圆轴扭转变形与刚度计算 圆轴扭转变形圆轴扭转变形 圆轴扭转刚度条件圆轴扭转刚度条件 例题例题单辉祖:材料力学教程37 圆轴扭转变形圆轴扭转变形pddGITx j jxxGIxTd)()(dp j jxxGIxTl

18、d)()( pj j pGITl j j扭转变形一般公式GIp圆轴圆轴截面扭转刚度截面扭转刚度，简称简称扭转刚度扭转刚度常扭矩等截面圆轴单辉祖:材料力学教程38 圆轴扭转刚度条件圆轴扭转刚度条件pddGITx j j maxp GIT圆轴扭转刚度条件圆轴扭转刚度条件 单位长度的许用扭转角单位长度的许用扭转角 注意单位换算注意单位换算:)/m( 180m/rad 1 一般传动轴，一般传动轴， = 0.5 1 ( )/m单辉祖:材料力学教程39 例例 题题例 6-1 已知：已知：MA = 180 N.m， MB = 320 N.m， MC = 140 N.m，Ip= 3105 mm4，l = 2

19、m，G = 80 GPa， = 0.5 ( )/m 。j jAC=? 校核轴的刚度校核轴的刚度解：1. 变形分析变形分析mN 1801 AMTmN 1402 CMTrad 101.502-p1 GIlTABj jrad 101.172-p2 GIlTBCj j单辉祖:材料力学教程40BCABACj jj jj j rad 1033010171101.502-2-2- .2. 刚度校核刚度校核p11ddGITx j jp22ddGITx j j21 TT 因因p11maxdddd GITxx j jj j故故 m/ )( 43. 0180)m1010Pa)(3.010(80mN 180dd412

20、-59max j j x注意单位换算！注意单位换算！单辉祖:材料力学教程41例 6-2 试计算图示圆锥形轴的扭转角试计算图示圆锥形轴的扭转角解：32)()(4pxdxI MT lxxdddGM0 4121d2132j j 32311211)-(332ddddGMlxldddxd121)( lxxGITd )( pj j单辉祖:材料力学教程427 简单静不定轴 扭转静不定问题分析扭转静不定问题分析 例题例题单辉祖:材料力学教程43 扭转静不定问题分析扭转静不定问题分析问题 试求图示轴两端的支反力偶矩试求图示轴两端的支反力偶矩问题分析(a) 0 , 0 MMMMBAx未知力偶矩未知力偶矩2个，平衡

21、方程个，平衡方程1个，一度静不定个，一度静不定单辉祖:材料力学教程44建立补充方程0 CBACABj jj jj j(b) 0 bMaMBA计算支反力偶矩(a) 0 , 0 MMMMBAx联立求解方程联立求解方程(a)与与(b) baMaMbaMbMBA ，p1GIaTAC j jp)(GIaMA p2GIbTCB j jpGIbMB 单辉祖:材料力学教程45 例例 题题例 7-1 图示图示组合轴，组合轴，承受集度为承受集度为 m 的均布扭力偶，的均布扭力偶，与矩为与矩为 M = ml 的集中扭力偶。的集中扭力偶。已知已知 G1 = G2 = G，Ip1 = 2Ip2 。试求试求圆盘的转角。圆

22、盘的转角。解：1. 建立平衡方程建立平衡方程沿截面沿截面 B 切开切开, ,画受力图画受力图单辉祖:材料力学教程462. 建立补充方程建立补充方程(a) , 021mlTTMBBx BB21j jj j变形协调条件变形协调条件未知力偶矩未知力偶矩2个，平衡方程个，平衡方程1个，一度静不定个，一度静不定lBxGIxT0p111d)( j j)()(11xlmTxTB 2121p11mllTGIBBj jp222GIlTBB j j单辉祖:材料力学教程47(b) 2221BBTmlT221mlTTBBp2p2222GImlGIlTBBBj jj j联立求解平衡与补充方程联立求解平衡与补充方程圆盘转

23、角为圆盘转角为3. 扭矩与圆盘转角扭矩与圆盘转角(a) , 021mlTTMBBx 2121p11mllTGIBBj jp222GIlTBBj jBB21j jj j单辉祖:材料力学教程488 非圆截面轴扭转简介 矩形截面轴扭转矩形截面轴扭转 薄壁杆扭转薄壁杆扭转 例题例题单辉祖:材料力学教程49 矩形截面轴扭转矩形截面轴扭转 圆轴平面假设不适用于非圆截面轴圆轴平面假设不适用于非圆截面轴试验现象 横横截面翘曲截面翘曲, 角点处角点处 g g 为零为零, 侧面中点处侧面中点处 g g 最大最大单辉祖:材料力学教程50应力分布特点 横截面上角点处，切应力为零横截面上角点处，切应力为零 横截面边缘各

24、点处，切应力横截面边缘各点处，切应力 / 截面周边截面周边 横截面周边长边中点处，切应力最大横截面周边长边中点处，切应力最大021 0 21 故故0n 0 n 故故单辉祖:材料力学教程51弹性力学解2tmaxhbTWT max1gg 3thbGTlGITl j j 系数系数 , , , , g g 表表长边中点长边中点 最大最大 0.208 0.219 0.231 0.239 0.246 0.258 0.267 0.282 0.299 0.307 0.313 0.333 0.141 0.166 0.196 0.214 0.229 0.249 0.263 0.281 0.299 0.307 0.313 0.333 g g 1.000 0.930 0.859 0.820 0.795 0.766 0.753 0.745 0.743 0.742 0.742 0.742 单辉祖:材料力学教程52 截面中心线截面中心