弹塑性力学-第九章 空间轴对称问题ppt课件

1、 1. 1. 域内所有物理量膂力、面力、位移、域内所有物理量膂力、面力、位移、应力、应变均为应力、应变均为r r、z z的函数。的函数。 与平面轴对称问题类似，空间轴对称与平面轴对称问题类似，空间轴对称问题的求解域、荷载和约束绕某一轴问题的求解域、荷载和约束绕某一轴z z轴轴对称，导致如下简化，对称，导致如下简化， 2 2荷载：体力荷载：体力f f=0=0，面力，面力 ，位移，位移u u=0=0，应力，应力 r r= = z z=0=0，应变，应变 r r= =z z=0=0。0F0rrzrrfrzr0zzrzzrfrzrrurrrurzwzrwzurrzzr3.3.变形协调方程四个）变形协调

2、方程四个）02122rrrrrr022222zrzrrzzr0)(12rzrzr01122rrzrzzrzzwruruerr)(1zrrE)(1zrE其中其中 体积应变体积应变或或 )(1rzzEzrrzE2)1 ( rruu ww ,rrk Zkzrz zzkZ,rzrk位移边界：位移边界： 在在Su上上6.按应力解法按应力解法 四个应力分量四个应力分量r、z、 rz 为基本为基本未知量。未知量。基本方程六个）：基本方程六个）： 两个平衡微分方程与两个平衡微分方程与 四个用应力表示的变四个用应力表示的变 形协形协 调方程；调方程； 再加上力的边界条件。再加上力的边界条件。 如果体力为零时，基

3、本方程为齐次方程，则如果体力为零时，基本方程为齐次方程，则可采用应力函数解法，引入应力函数可采用应力函数解法，引入应力函数 (r,z) ，使得应力用使得应力用 (r,z) 表示表示:)(222rzr)1(2rrz)2(222zzz)1(222zrzrrz (r,z)满足第一个平衡微分方程，而第二个平衡满足第一个平衡微分方程，而第二个平衡方程及四个相容方程，共同要求方程及四个相容方程，共同要求 2 2 = 4 =0 (r,z)应满足的基本微分方程。应满足的基本微分方程。222221zrrr0)()(2rrrfruuGreG2()0,zeGGwfz其中其中 a基本未知函数：基本未知函数： ur和和

4、w 基本方程两个：基本方程两个： 并考虑适当的边界条件。并考虑适当的边界条件。zrGur2210u)1 (221222zGw)(222rzr)1(2rrz)2(222zzz)1(222zrzrrzzRrPx yzzRrPx yz)(21231zRRrARrAGuzrRARRzAGw23211)43(21zRrPx yz位移：位移：)(13)21 (325231zRRRzARzrRzAr)()21 (231zRRARzA3253313)21 (RzARzRzAz3252313)21 (RrARrzRrArzzRrPx yz在在z=0且且r 0边界上边界上, z=0 自然满足。自然满足。在在z=0

5、且且r 0边界上边界上, zr= 0 3253313)21 (RzARzRzAz（1-2）A1+ A2 = 0(a)3252313)21 (RrARrzRrArz020Prdrz还需一个条件包括还需一个条件包括P的）。的）。 将将z 表达式代入，表达式代入，得得zPrrdrz0 z023)1(2030205300301drRrzAdrRrzdrRrzAP0023202031)(zdrzrrdrRr300252020531)(zdrzrrdrRr 而而GrPur4)21 ( GrPw2)1 ( Przzaqar寻求解答：寻求解答：1. z =0边界上的沉陷边界上的沉陷 w z=0 = ? 2.

6、r =0对称轴上的应力和位移。对称轴上的应力和位移。求解方法：采用叠加法和半空间体边界受法向求解方法：采用叠加法和半空间体边界受法向集中力集中力P的计算结果求解。的计算结果求解。1.设设M点为圆面积之外：点为圆面积之外： M点可以在荷载圆面积点可以在荷载圆面积之外也可在之内。之外也可在之内。zaqar 当半空间体边界上受法向集中力当半空间体边界上受法向集中力P时，时，边界上距边界上距P点为点为r的点竖向位移为的点竖向位移为 ：ErPGrPw)1 (2)1 (2rraMs1s2sdsdzaqarrraMs1s2sdsdEdsqdEsqsdsddw)1 ()1 (22ErPGrPw)1 (2)1

7、(2dssEqdsdEqdww)1 (2)1 (102221（对称性22212sin2rass而而rraMs1s2sdsddraEqw102222sin)1 (4rraMs1s2sdsd为了简化积分将积分为了简化积分将积分变量变量 转变为转变为 coscosaddr rraMs1s2sdsd2222coscos1 sin1sinadadrarr 222cos1sinaddarr 2sinsin1aar 的取值范围：由的取值范围：由0 1 rraMs1s2sdsd2222220224(1)cossin1sinqadwaaEarr222222022(1 sin)4(1)1sinadqrrEar22

8、22224(1)cos1sinqadEarr 22222222200224(1)1sin(1)1sinqraadwdErrar 对于不同对于不同a/r可由椭圆积分表得到。可由椭圆积分表得到。EdsqdEsqsdsddw)1 ()1 (22Masdsdrmn圆内距圆内距M点点s处微面积处微面积q对对M点沉陷的影响仍为点沉陷的影响仍为dsEqdsdEqdwwmn2022)1 (2)1 (对称性daEqw202cos2)1 (2darEqaw202222sin1)1 (4第二类椭圆积分第二类椭圆积分 利用利用 asin=rsin 02max)1 (2wEqawEqawar)1 (42 3.2 在在z

9、轴轴r=0上的应力和位移上的应力和位移 在在z轴上的应力和位移比同一水平面上其它点轴上的应力和位移比同一水平面上其它点的应力和位移要大。的应力和位移要大。23223)(1azzqz212223223)()1 (2)(212azzazzqrRRzGqrdrddw1)1 (2432RRzErdrdq1)1 (22)1 (32drRRzrGqwa1)1 (22320drRRzrGqwa1)1 (22320zazzaEqw)21 ()()21 ()1 (2)1 (2122324.1 4.1 接触问题的特点：接触问题的特点： 1 1两个弹性体互相接触，当无压力作用时，为两个弹性体互相接触，当无压力作用时

10、，为点接触或线接触。当有压力作用时，弹性体发点接触或线接触。当有压力作用时，弹性体发生变形，点接触或线接触变为面接触。生变形，点接触或线接触变为面接触。 3不计接触面摩擦力。不计接触面摩擦力。 rOz1z2O2O1R2R1球球1：E1 、1、R1球球2：E2 、2、R2 M1M2r距接触点距接触点z轴为轴为r的两球的两球表面上表面上M1和和 M2点的点的z坐标分别为坐标分别为M1和和M2与点与点o很很近）近）rOz1z2O2O1R2R1M1M2r1212Rrz )211 ()1 (2121121221122111RrRRRrRRrRRz2222Rrz 222121)2121(rrRRzz那那么

11、么rOz1z2O2O1R2R1M1M2rM1rPPoz1z2O1M2ar2由于接触问题是局部变形，在球体远离由于接触问题是局部变形，在球体远离o点的任意点位移为刚体位移。两球内距点的任意点位移为刚体位移。两球内距o点点很远处的相对位移刚体位移为很远处的相对位移刚体位移为 ？ 下面要建立找出三个条件几何、物下面要建立找出三个条件几何、物理、平衡方程寻求理、平衡方程寻求a 、q 和和。求解：首先根据接触面变形位移来建立一求解：首先根据接触面变形位移来建立一个关系个关系而而 w1(o)= w1+ w1(o)= w1+ z1 z1 M1rPPoz1z2O1M2ar w2(o)= w2+ z2 而而 w

12、1(o) +w2(o)=w1+ z1+w2+ z2w1(o) +w2(o)=w1+w2+ r2或或M1rPPoz1z2O1M2ar两球体距两球体距o点较远处两点的趋近距离。点较远处两点的趋近距离。 = w1+w2+ r2 变性协调关系变性协调关系w1(o) +w2(o)=w1+w2+ r2由于接触问题可看成半由于接触问题可看成半无限体受局部垂直分布无限体受局部垂直分布力问题，力问题，w1和和w2可以可以利用上一节的结果。利用上一节的结果。M1rPPoz1z2O1M2arqdsdkqdsdEw11211)1 (qdsdkqdsdEw22222)1 (qdsdkkww)(2121qdsdkkww)

13、(2121qdsdkkr)(212在此式中在此式中a a 、q q 和和 未知。未知。qdsdkkr)(212 q q与与P P 有关，为寻求解，赫兹假设接触面有关，为寻求解，赫兹假设接触面上的分布力上的分布力q q的。的。22222rayxazMasdsdrmnrrq0z22200q zqqaxyaa2201rqqaPdAarqqdA2201赫兹通过这样假设，并利用赫兹通过这样假设，并利用 2201rqqa222220000121()aarrqrdrqd raa32222000222(1)33arq aqaa Paaq30322023aPq得得 代回代回qdsdkkr)(2122221223()12Prrkkdsdaa赫兹通过接触面上的接触压力的分布假设可使赫兹通过接触面上的接触压力的分布假设可使 等式右端的积分为一个常数项和等式右端的积分为一个常数项和r2的二次项。的二次项。 qdsd 的积分，在任意的积分，在任意qdsdkkr)(2122220sinraaq222sin2ra rra222sin2ra 2220sin2qqdsara2220sinraaq222sin2ra dsdqkkr)(212daqrakkr0