D常系数非齐次线性微分方程学习教案

1、会计学1D常系数常系数(xsh)非齐次线性微分方程非齐次线性微分方程第一页，共18页。 为实数(shsh) ,设特解为其中 为待定多项式 , )(xQ代入原方程(fngchng) , 得 (1) 若 不是(b shi)特征方程的根, 则取从而得到特解形式为为 m 次多项式 .Q (x) 为 m 次待定系数多项式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共18页第二页，共18页。(2) 若 是特征方程的单根 , 为m 次多项式,故特解形式(xngsh)为(3) 若 是特征方程的重根 , , 02qp是 m 次多项式,故特解形式(xngsh)为小小结结(xioji)对方程,)()2(xQp即即当

2、 是特征方程的 k 重根 时,可设特解机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共18页第三页，共18页。的一个(y )特解.解解: 本题本题(bnt)而特征方程为不是(b shi)特征方程的根 .设所求特解为代入方程 :比较系数, 得于是所求特解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共18页第四页，共18页。的通解(tngji). 解解: 本题本题(bnt)特征方程为其根为对应齐次方程(fngchng)的通解为设非齐次方程特解为比较系数, 得因此特解为代入方程得所求通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共18页第五页，共18页。第二步第二步 求出如下求出如下(rxi)两

3、个方程两个方程的特解的特解分析(fnx)思路:第一步第一步 将将 f (x) 转化转化(zhunhu)为为第三步第三步 利用叠加原理求出原方程的特解第四步第四步 分析原方程特解的特点机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共18页第六页，共18页。利用欧拉公式(gngsh)将 f (x) 变形ximexPxf)()()(ximexP)()(机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第6页/共18页第七页，共18页。是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 故等式(dngsh)两边取共轭 :为方程(fngchng) 的特解 .ximexPyqypy)()( 设则 有特解:机动 目录

4、 上页 下页 返回 结束 第7页/共18页第八页，共18页。利用第二步的结果, 根据(gnj)叠加原理, 原方程有特解 :原方程(fngchng) 均为 m 次多项式 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共18页第九页，共18页。因均为 m 次实多项式 .11yyy本质(bnzh)上为实函数 ,11yy机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第9页/共18页第十页，共18页。对非齐次方程(fngchng)则可设特解:其中(qzhng) 为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), i机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第10页/共18页第十一页，共18页。的一

5、个(y )特解 .解解: 本题本题(bnt) 特征方程故设特解为不是(b shi)特征方程的根,代入方程得比较系数 , 得于是求得一个特解机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共18页第十二页，共18页。的通解(tngji). 解解: 特征方程为其根为对应齐次方程(fngchng)的通解为比较(bjio)系数, 得因此特解为代入方程:所求通解为为特征方程的单根 , 因此设非齐次方程特解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共18页第十三页，共18页。 为特征方程的 k (0, 1, 2) 重根,则设特解为为特征方程的 k (0, 1 )重根, 则设特解为机动(jdng) 目录

6、 上页 下页 返回 结束 第13页/共18页第十四页，共18页。时可设特解为 时可设特解为 lnm,max提示提示(tsh):1 . (填空填空(tinkng) 设设机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共18页第十五页，共18页。的通解(tngji) (其中为实数(shsh) ) .解解: 特征方程特征根:对应齐次方程通解:时,代入原方程得故原方程通解为时,代入原方程得故原方程通解为xexCCy221)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共18页第十六页，共18页。有特解求微分方程(wi fn fn chn)的通解 .解解: 将特解代入方程将特解代入方程(fngchng)得恒等式得恒等式比较系数得故原方程为对应齐次方程通解:原方程通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16