[理学]三重积分的应用ppt课件

1、一、三重积分的定义一、三重积分的定义二、三重积分的计算二、三重积分的计算三、小结三、小结第三节第三节 三重积分的三重积分的 计算计算设设),(zyxf是是空空间间有有界界闭闭区区域域上上的的有有界界函函数数，将将闭闭区区域域任任意意分分成成n个个小小闭闭区区域域1v ，2v , ,nv ，其其中中iv 表表示示第第i个个小小闭闭区区域域，也也表表示示它它的的体体积积, , 在在每每个个iv上上任任取取一一点点),(iii 作作乘乘积积iiiivf ),( ，), 2 , 1(ni ，并并作作和和, ,如如果果当当各各小小闭闭区区域域的的直直径径中中的的最最大大值值趋趋近近于于零零时时，这这和和

2、式式的的极极限限存存在在，则则称称此此极极限限为为函函数数),(zyxf在在闭闭区区域域上上的的三三重重积积分分，记记为为 dvzyxf),(, ,一、三重积分的定义一、三重积分的定义即即 dvzyxf),(iiiniivf ),(lim10 .叫做体积元素叫做体积元素其中其中dv, 的的平平面面来来划划分分用用平平行行于于坐坐标标面面在在直直角角坐坐标标系系中中，如如果果.lkjizyxv 则则三三重重积积记记为为 dxdydzzyxf),(iiiniivf ),(lim10 .积积元元素素叫叫做做直直角角坐坐标标系系中中的的体体其其中中dxdydz直角坐标系中将三重积分化为三次积分直角坐标

3、系中将三重积分化为三次积分二、利用直角坐标计算三重积分二、利用直角坐标计算三重积分xyzo D1z2z2S1S),(1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy ),(yx如图，如图，),(:),(:2211yxzzSyxzzS ,),(作作直直线线过过点点Dyx 穿出穿出穿入，从穿入，从从从21zz1. 坐标面投影法坐标面投影法(先一后二先一后二). ,xoyD 闭区域在闭区域在面上的投影为闭区域面上的投影为闭区域函函数数，则则的的只只看看作作看看作作定定值值，将将先先将将zzyxfyx),(, ),(),(21),(),(yxzyxzdzzyxfyxF( , )F x yD

4、计计算算在在闭闭域域上上的的二二重重积积分分.),(),(),(),(21 DyxzyxzDddzzyxfdyxF ,),()(:21bxaxyyxyD 得得 dvzyxf),(.),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx21()()( , )( , ).byxayxDF x y ddxF x y dy 从而：从而：留意留意.yzxS 1 1. .以以上上是是平平行行于于轴轴且且穿穿过过闭闭区区域域内内部部的的直直线线与与闭闭区区域域的的闭闭区区边边界界曲曲面面相相交交域域称称为为不不多多于于两两型型点点情情形形此此时时空空间间区区域域，xyzo D1z2

5、z2S1S),(1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy ),(yx.xyyzxzyzxz 2 2. .若若平平行行于于 轴轴或或 轴轴的的任任何何直直线线与与区区域域 的的边边界界曲曲面面的的交交点点不不多多于于两两个个，类类似似地地，可可把把 投投影影到到面面或或面面，进进而而把把相相应应的的三三重重积积分分化化为为三三次次积积分分。此此时时称称为为型型或或型型空空间间区区域域， 3 3. .若若平平行行于于坐坐标标轴轴的的直直线线与与边边界界曲曲面面的的交交点点多多于于两两个个时时，也也可可与与二二重重积积分分一一样样，把把 分分割割成成若若干干个个部部分分，然然后后

6、再再化化为为以以上上的的情情形形。例例 1 1 化化三三重重积积分分 dxdydzzyxfI),(为为三三次次积积分分，其其中中积积分分区区域域 为为由由曲曲面面 222yxz 及及22xz 所所围围成成的的闭闭区区域域.解解由由 22222xzyxz, 得得交交线线投投影影区区域域, 122 yx故故 ： 22222221111xzyxxyxx,.),(11221122222 xyxxxdzzyxfdydxI例例2 2 化三重积分化三重积分 dxdydzzyxfI),(为三为三次积分，其中次积分，其中 积分区域积分区域 为由曲面为由曲面22yxz ,2xy ,1 y, 0 z所围所围成的空间

7、闭区域成的空间闭区域. 1101222),(yxxdzzyxfdydxI.解解. 11, 1,0:222 xyxyxz如图，如图，2.坐坐标标轴轴投投影影法法(截截面面法法)，其其一一般般的的步步骤骤为为： (1) 把把积积分分区区域域 向向某某轴轴（例例如如 z 轴轴）投投影影，得得投投影影区区间间 ,21cc； (2) 对对 ,21ccz 用用过过 z轴轴且且平平行行xoy平平面面的的平平面面去去截截 ，得得截截面面zD; (3) 计算二重积分计算二重积分 zDdxdyzyxf),( 其结果为其结果为z的函数的函数)(zF；(4)最后计算单积分最后计算单积分 21)(ccdzzF即得三重积

8、分值即得三重积分值.z例例 3 3 计计算算三三重重积积分分 zdxdydz，其其中中 为为三三个个坐坐标标面面及及平平面面1 zyx所所围围成成的的闭闭区区域域. 解解法法 1（坐坐标标轴轴投投影影法法） zdxdydz,10 zDdxdyzdz1| ),(zyxyxDz 1(1)(1)2zzDDdxdySzz 原原式式 102)1(21dzzz241 .xozy1111法 ：法 ： zdxdydz zzydxdyzdz101010 zdyzyzdz1010)1( 102)1(21dzzz241 .2法 ：法 ：1100zzy zDdxdydydx xoz111解解法法 2（坐坐标标面面投投

9、影影法法） zdxdydz111000 xxydxdyzdz :01:xyzzxyD 01,01xyx1120011(1)224xdxxydy 例例 4 4 计计算算三三重重积积分分dxdydzz 2，其其中中 是是由由 椭椭球球面面1222222 czbyax所所成成的的空空间间闭闭区区域域. : ,| ),(czczyx 1222222czbyax 原式原式,2 zDccdxdydzzxyzozD解解)1()1(222222czbczadxdyzD ),1(22czab ccdzzczab222)1(.1543abc | ),(yxDz 1222222czbyax 原式原式例例 5 5 计

10、算三重积分计算三重积分dxdydzxy 21，其中，其中 由曲面由曲面221zxy ，122 zx，1 y所所围成围成. 将将 投投影影到到zox平平面面得得:xzD 122 zx,先先对对y积积分分，再再求求xzD上上二二重重积积分分,解解如图如图,22221121112xxxzx dxdz dxzzxxxx221132112| )3(1 1142)21(31dxxx.4528 221211xzxzDx dxdzydy 原原式式222211121111xxxzx dxdzydy ,0 r,20 . z三、利用柱面坐标计算三重积分三、利用柱面坐标计算三重积分的的柱柱面面坐坐标标就就叫叫点点个个

11、数数，则则这这样样的的三三的的极极坐坐标标为为面面上上的的投投影影在在为为空空间间内内一一点点，并并设设点点设设MzrrPxoyMzyxM,),( 规定：规定：xyzo),(zyxM),(rPr .,sin,coszzryrx 柱面坐标与直角坐柱面坐标与直角坐标的关系为标的关系为为常数为常数r为常数为常数z为常数为常数 如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆柱面；圆柱面；半平面；半平面；平平 面面),(zyxM),(rPrzxyzo dxdydzzyxf),(.),sin,cos( dzrdrdzrrf drxyzodzdr rd如图，柱面坐标系如图，柱面坐标系中的体积元素为中的体积元素为

12、,dvdxdydzrdrd dz xoy 若若积积分分区区域域在在面面上上的的投投影影易易用用极极坐坐标标表表示示时时，采采用用柱柱面面坐坐标标求求注注：解解则则更更简简。例例1 1 计算计算 zdxdydzI，其中，其中 是球面是球面 4222 zyx与抛物面与抛物面zyx322 所围的立体所围的立体.解解由由 zzryrx sincos, zrzr34222, 3, 1 rz知交线为知交线为 23242030rrzdzrdrdI.413 面面上上，如如图图，投投影影到到把把闭闭区区域域xoy .20, 3043:22 rrzr，四、利用球面坐标计算三重积分四、利用球面坐标计算三重积分( ,

13、 , )M x y zMrrOMOMzzxOPPMxoyrM 设为空间内一点，设为空间内一点，则点可用三个有次序的数则点可用三个有次序的数， ，来确定，其中为， ，来确定，其中为原点与点间的距离，为有向线段原点与点间的距离，为有向线段与轴正向所夹的角，为从正轴来看自与轴正向所夹的角，为从正轴来看自轴按逆时针方向转到有向线段的角，这里轴按逆时针方向转到有向线段的角，这里为点在面上的投影，这样的三个数为点在面上的投影，这样的三个数， ，就叫做点的球面坐标， ，就叫做点的球面坐标Pxyzo),(zyxMr zyxA,r 0.20 ,0 规定：规定：为常数为常数r为常数为常数 为常数为常数 如图，三坐

14、标面分别为如图，三坐标面分别为圆锥面；圆锥面；球球 面；面；半平面半平面cossincos ,sinsinsin ,coscos.xOPryOPrzOMr 球面坐标与直角坐标的关系为球面坐标与直角坐标的关系为如图，如图，Pxyzo),(zyxMr zyxA，轴轴上上的的投投影影为为在在点点，面面上上的的投投影影为为在在设设点点AxPPxoyM,.sinsinOAxAPy PMzOPOMr 则则 dxdydzzyxf),( .sin)cos,sinsin,cossin(2 ddrdrrrrf球面坐标系中的体积元素为球面坐标系中的体积元素为,sin2 ddrdrdv drxyzodr dsinr

15、rd d d sinr如图，如图，例例 2 2 计算计算 dxdydzyxI)(22，其中，其中 是锥面是锥面222zyx 与平面与平面az )0( a所围的立体所围的立体. 解解 1 采采用用球球面面坐坐标标az ,cos ar222zyx ,4 ,20,40,cos0: ar dxdydzyxI)(22drrdda 40cos03420sin da)0cos(51sin255403.105a 解解 2 采采用用柱柱面面坐坐标标 ,:222ayxD dxdydzyxI)(22 aradzrrdrd2020 adrrar03)(254254aaa .105a 222zyx , rz ,20,0

16、,: arazr例例 3 3 求求曲曲面面22222azyx 与与22yxz 所所围围 成成的的立立体体体体积积. 解解 由由锥锥面面和和球球面面围围成成，采采用用球球面面坐坐标标，由由22222azyx ,2ar 22yxz ,4 ,20,40,20: ar由由三三重重积积分分的的性性质质知知 dxdydzV, adrrddV202020sin4 4033)2(sin2da.)12(343a 补充：利用对称性化简三重积分计算补充：利用对称性化简三重积分计算运用对称性时应留意：运用对称性时应留意：、积分区域关于坐标面的对称性；、积分区域关于坐标面的对称性；、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴

17、、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的的 一般地，当积分区域一般地，当积分区域 关于关于xoy平面对称，且被平面对称，且被积函数积函数),(zyxf是关于是关于z 的奇函数，则三重积分为的奇函数，则三重积分为零，若被积函数零，若被积函数),(zyxf是关于是关于z 的偶函数，则三的偶函数，则三重积分为重积分为 在在xoy平面上方的半个闭区域的平面上方的半个闭区域的三重积三重积分的两倍分的两倍. 奇偶性奇偶性例例 4 利用对称性简化计算利用对称性简化计算 dxdydzzyxzyxz1)1ln(222222 其中积分区域其中积分区域1| ),(222 zyxzyx. 解解积分域关于三个坐标面都对

18、称，积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是被积函数是 的奇函数的奇函数,z. 01)1ln(222222 dxdydzzyxzyxz解解2)(zyx )(2222zxyzxyzyx 例例 5 5 计算计算 dxdydzzyx2)(其中其中 是由抛物是由抛物面面 22yxz 和球面和球面2222 zyx所围成的空所围成的空间闭区域间闭区域. 其其中中yzxy 是是关关于于y的的奇奇函函数数, 且且 关关于于zox面面对对称称, 0)(dvyzxy,同同理理 zx是是关关于于x的的奇奇函函数数, 且且 关关于于yoz面面对对称称, 0 xzdv由由对对称称性性知知 dvydvx22,则则 dxdy

19、dzzyxI2)(,)2(22 dxdydzzx在柱面坐标下：在柱面坐标下： ,20 , 10 r,222rzr 2222222010)cos2(rrdzzrrdrdI).89290(60 222222222,zxyzrxyzzr 1,r 交线为交线为1.xoyr 故在面的投影域为 故在面的投影域为 三重积分的定义和计算三重积分的定义和计算在直角坐标系下的体积元素在直角坐标系下的体积元素dxdydzdv 计算时将三重积分化为三次积分计算时将三重积分化为三次积分三、小结三、小结1 柱面坐标的体积元素柱面坐标的体积元素dzrdrddxdydz 2 球面坐标的体积元素球面坐标的体积元素 ddrdrd

20、xdydzsin2 3 对称性简化运算对称性简化运算三重积分换元法三重积分换元法 柱面坐标柱面坐标球面坐标球面坐标思索题思索题则则上的连续函数上的连续函数为为面对称的有界闭区域，面对称的有界闭区域，中关于中关于为为若若,),(3 zyxfxyR ; 0),(,_),(dvzyxfzyxf为为奇奇函函数数时时关关于于当当 1),(_),(,_),(dvzyxfdvzyxfzyxf为偶函数时为偶函数时关于关于当当.1面面上上方方的的部部分分在在为为其其中中xy zz2思索题思索题 为为六六个个平平面面0 x，2 x，1 y，42 yx，xz ，2 z围围成成的的区区域域，),(zyxf在在 上上连

21、连续续，则则累累次次积积分分( , , )f x y z dv _. 选择题选择题:;),()(201222 xxdzzyxfdydxA;),()(202212 xxdzzyxfdydxB;),()(201222 xxdzzyxfdydxC.),()(202212 xxdzzyxfdydxD一、一、 填空题填空题: :1 1、 若若 由曲面由曲面22yxz 及平面及平面1 z所围成所围成, , 则三重积分则三重积分 dxdydzzyxf),(化为三次积分是化为三次积分是 _. .2 2、 若若 是由曲面是由曲面0( cxycz),),12222 byax, ,0 z所所围成的在第一卦限内的闭区域围成的在第一卦限内的闭区域, ,则三重积分则三重积分 dxdydzzyxf),(可化为三次积分为可化为三次积分为_._.3 3、 若若10 , 10 , 10: zyx, ,则则 dxdydzzyx)(可化为三次积分可化为三次积分_,_,其值为其值为_._.练练