第五章 测量误差及测量平差

1、第五章第五章 测量误差及测量平差测量误差及测量平差5.1 测量误差概述测量误差概述一、误差的现象及定义一、误差的现象及定义二、误差来源二、误差来源三、误差的分类三、误差的分类 误差现象误差现象 距离多次丈量距离多次丈量 l1 l2 l3 , 三角形内角和三角形内角和 A+B+CA+B+C180180 水准测量水准测量 大量测量实践发现，测量结果中大量测量实践发现，测量结果中不可避免不可避免的的普遍普遍，具体表现在：，具体表现在： 1. 1. 对同一量多次观测，其观测值不相同。对同一量多次观测，其观测值不相同。 2. 2. 观测值之和不等于理论值观测值之和不等于理论值 ABC不符值不符值闭合差闭

2、合差 真真误差误差：观测值与客观真实值之差：观测值与客观真实值之差。 公式：公式： 目的目的: 找出误差产生的原因，制定减弱误找出误差产生的原因，制定减弱误差的措施，保证测量成果达到必需的精度。差的措施，保证测量成果达到必需的精度。误差的定义误差的定义lx 二、测量误差来源二、测量误差来源 原因：固定的精确度、仪器构造不完善原因：固定的精确度、仪器构造不完善 原因：感觉器官的局限性；技术水平、工作态度原因：感觉器官的局限性；技术水平、工作态度 原因：温度、气压等的变化原因：温度、气压等的变化 通常把测量仪器、观测者的技术水平和外界环境统称为通常把测量仪器、观测者的技术水平和外界环境统称为。观测

3、条件相同的各次观测。观测条件相同的各次观测。观测条件不同的各次观测。观测条件不同的各次观测。三、测量误差的分类三、测量误差的分类 测量误差按其产生的原因和对观测结果影响性质的测量误差按其产生的原因和对观测结果影响性质的不同，可分为系统误差、偶然误差和粗差不同，可分为系统误差、偶然误差和粗差 。定义定义特点特点消除办法消除办法粗差粗差系统误差系统误差偶然误差偶然误差 钢尺钢尺 尺长尺长、温度、倾斜改正、温度、倾斜改正 分析分析产生的主要原因：产生的主要原因： 是是仪器设备制造不完善。仪器设备制造不完善。 系统误差：在相同的观测条件下，对某量进行系统误差：在相同的观测条件下，对某量进行了一系列地观

4、测，如果了一系列地观测，如果思考思考： 水准仪水准仪 i i角角1. 系统误差系统误差000)(lttlllt水准仪：视准轴不水准仪：视准轴不平行于平行于水准管轴（水准管轴（i角）角）(ABihSS后前）结论：结论：i角误差与前后视距差成正比。角误差与前后视距差成正比。1 1）用计算的方法加以改正；）用计算的方法加以改正；（2 2）用一定的观测方法加以消除；）用一定的观测方法加以消除；（3 3）将系统误差限制在允许范围内。（校正仪器）将系统误差限制在允许范围内。（校正仪器） 注意：注意：系统误差具有系统误差具有积累性积累性，对测量成果影响较大。，对测量成果影响较大。 观测者的技术水平，观测者的

5、技术水平，外界外界环境的影响环境的影响 分析产生的主要原因：分析产生的主要原因： 偶然误差：在相同的观测条件下，对某量进偶然误差：在相同的观测条件下，对某量进行了一系列地观测，如果误差出现的行了一系列地观测，如果误差出现的，称为偶然误差（随机误差）。，称为偶然误差（随机误差）。2. 偶然误差偶然误差三角形内角和三角形内角和误差分布表误差分布表偶然误差的特性偶然误差的特性 有界性有界性 密集性密集性 对称性对称性 抵偿性：即抵偿性：即 就单个值而言，偶然误差在观测前不能预知其就单个值而言，偶然误差在观测前不能预知其大小和符号。大小和符号。 但就大量偶然误差总体来看，具有一定的但就大量偶然误差总体

6、来看，具有一定的随着观测次数的增多，统计规律越明显。随着观测次数的增多，统计规律越明显。 偶然误差偶然误差不能消除不能消除，只能通过改善观测条件加，只能通过改善观测条件加以控制。以控制。注意：注意：频率直方图频率直方图每一误差区间上的长方形面积表示误差在该区间出现的相对每一误差区间上的长方形面积表示误差在该区间出现的相对个数（频率）。所有长方形面积之和等于个数（频率）。所有长方形面积之和等于1 1。 密度函数法密度函数法因其符合正态分布，也称为因其符合正态分布，也称为正态分布正态分布曲线曲线。 当当 时，如果将误差区间时，如果将误差区间 无限缩小，无限缩小，则矩形上部的折线，就趋向于一条以纵轴

7、对称的光滑则矩形上部的折线，就趋向于一条以纵轴对称的光滑曲线，称为曲线，称为误差分布曲线误差分布曲线。n(d0) 密度函数法密度函数法 正态分布曲线的数学方程式：正态分布曲线的数学方程式： 式中式中 0，表示与观测条件有关的参数。，表示与观测条件有关的参数。 观测质量的好坏用误差分布的密集和离散程度来表示观测质量的好坏用误差分布的密集和离散程度来表示。221( )2fe nnnnnlim.lim22222122limnn三、测量误差的分类三、测量误差的分类 在观测结果中，有时会出现错误（读错、记错或测错在观测结果中，有时会出现错误（读错、记错或测错等），统称为等），统称为粗差粗差。 杜绝办法：

8、认真仔细作业，采取必要的检核措施杜绝办法：认真仔细作业，采取必要的检核措施3. 粗差粗差 通过检核的方法发现粗差；通过检核的方法发现粗差； 舍弃含有粗差的观测值，并重新进行观测。舍弃含有粗差的观测值，并重新进行观测。 按其产生的原因和规律加以改正、抵消和减弱。按其产生的原因和规律加以改正、抵消和减弱。 根据根据误差特性误差特性合理的合理的处理观测数据处理观测数据减少其影减少其影响。响。四、误差处理的原则四、误差处理的原则1.粗差：2.系统误差：3.偶然误差： （1 1）用计算的方法加以改正；）用计算的方法加以改正；（2 2）用一定的观测方法加以消除；）用一定的观测方法加以消除；（3 3）将系统

9、误差限制在允许范围内。（校正仪器）将系统误差限制在允许范围内。（校正仪器） 测量平差测量平差3.2 衡量精度的标准衡量精度的标准 精度精度：在相同的观测条件下，对一个量进行一组：在相同的观测条件下，对一个量进行一组观测，各观测值之间的密集和离散程度。观测，各观测值之间的密集和离散程度。评定精度的标准评定精度的标准 中误差中误差 极限误差极限误差 相对误差相对误差一、中误差一、中误差 设对某一未知量设对某一未知量x进行了进行了n次等精度的观测，其次等精度的观测，其观测值为观测值为l1 1、l2 2、ln，相应的真误差为相应的真误差为1 1、2 2、n，则定义该组观测值的方差则定义该组观测值的方差

10、D为：为：limnDn 1 12 2+ + 2 22 2+ +. . + + n2 2 i= =lix（i1 1、2 2、3 3、.、n） x为未知量的真值为未知量的真值。式中：式中： 由于由于D2 2，所以，所以 称为称为中误差中误差，在数理统计中称为标准偏差。，在数理统计中称为标准偏差。 当当n为有限时，为有限时，的估值为的估值为 在测量中常用在测量中常用m来代替中误差的估值，即来代替中误差的估值，即nDnlimnmn 221( )2fe 设有不同精度的两组观测值设有不同精度的两组观测值 结论：结论：说明中误差值越小，观测精度越高。说明中误差值越小，观测精度越高。m1 1= = 2.72.

11、7 ，m2 2= = 3.63.6 式中：例：试根据下表数据，分别计算各组观测值的中误差。例：试根据下表数据，分别计算各组观测值的中误差。解：第一组观测值的中误差：解：第一组观测值的中误差：第二组观测值的中误差：第二组观测值的中误差： 说明第一组的精度高于第二组的精度。说明第一组的精度高于第二组的精度。说明：中误差越小，观测精度越高。说明：中误差越小，观测精度越高。222222222210( 2)( 1)3( 4)( 3)21( 2)42.510m 222222222221( 2)601( 7)( 1)0313.210m 21mm 用中误差作为衡量精度的指标，代表了观测值用中误差作为衡量精度的

12、指标，代表了观测值的密集和离散程度。的密集和离散程度。 相同观测条件下进行的一组观测，对应的是同相同观测条件下进行的一组观测，对应的是同一种误差分布，即一种误差分布，即一组观测值中的每一个观测一组观测值中的每一个观测值都具有相同的精度值都具有相同的精度。 中误差不等于每个观测值的真误差中误差不等于每个观测值的真误差，而是一组，而是一组真误差的代表值，代表了一组测量结果中任一真误差的代表值，代表了一组测量结果中任一观测值的精度，通常把观测值的精度，通常把m称为观测值中误差或称为观测值中误差或一次观测中误差。一次观测中误差。二、极限误差二、极限误差 根据偶然误差的第一个特性，在一定观测根据偶然误差

13、的第一个特性，在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值，该限值称为的限值，该限值称为（限差、允（限差、允许误差）。许误差）。极限误差是偶然误差限制值，用作极限误差是偶然误差限制值，用作观测成观测成果取舍的标准果取舍的标准。 理论和实验研究表明，大于两倍中误差的偶然误理论和实验研究表明，大于两倍中误差的偶然误差个数约占总数的差个数约占总数的4.5%4.5%，大于三倍中误差的偶然，大于三倍中误差的偶然误差个数约占总数的误差个数约占总数的0.3%0.3%。 测量中通常取测量中通常取2 2倍或倍或3 3倍中误差作为偶然误差的容倍中误差作为偶然误差的容许误

14、差；许误差；即即 容容=2=2m 或或容容=3=3m 极限误差的作用：极限误差的作用：区别误差和错误的界限。区别误差和错误的界限。返回%3 .68683. 021222deP222221220.95595.5%2Ped 223231330.99799.7%2Ped 中误差和真误差都是中误差和真误差都是绝对误差绝对误差，误差的大小，误差的大小与观测量的大小无关。在有些情况下，中误差与观测量的大小无关。在有些情况下，中误差并不能全面反映观测精度。并不能全面反映观测精度。 例如：例如：分别丈量两段不同距离，一段为分别丈量两段不同距离，一段为100m100m，一段为一段为200m200m，中误差都是，

15、中误差都是 0.02m0.02m。此时是否能认。此时是否能认为两段距离观测结果的精度相同？为两段距离观测结果的精度相同？ 为了更客观地反映实际测量精度，必须引入为了更客观地反映实际测量精度，必须引入相对误差相对误差的概念。的概念。 K：中误差的绝对值：中误差的绝对值 m 与相应观测值与相应观测值 D 之比，通常以分母为之比，通常以分母为1 1的分式来表示，称其为相对的分式来表示，称其为相对（中）误差。即（中）误差。即: :mDDmK1 ，角度、高差的误差用角度、高差的误差用m表示，量距误表示，量距误差用差用K表示。表示。三、相对误差三、相对误差 与相对误差相对应，真误差、中误与相对误差相对应，

16、真误差、中误差、容许误差称为差、容许误差称为绝对误差绝对误差。 例例 已知：已知：D1 1=100m, =100m, m1 1= =0.01m0.01m，D2 2=200m, =200m, m2 2= =0.01m0.01m，求：，求： K1 1, , K2 2解：解：1110.01110010000mKD2220.01120020000mKDK1 1 K2,2,说明说明： 第二组的量距精度高于第一组的精度。第二组的量距精度高于第一组的精度。 或然误差或然误差：将一组误差按其绝对值的大小排序，：将一组误差按其绝对值的大小排序， 取居中的一个误差值作为精度指标，以取居中的一个误差值作为精度指标，

17、以 表示。表示。 平均误差平均误差：误差绝对值的平均值，用：误差绝对值的平均值，用v表示。表示。vn 实践数据表明：实践数据表明：45vm23m 从数值大小看，或然误差和平均误差都小于从数值大小看，或然误差和平均误差都小于中误差，所以常用中误差来作为衡量精度的指标。中误差，所以常用中误差来作为衡量精度的指标。S5.3 误差传播定律误差传播定律 直接观测的量，经过多次观测后，可通过直接观测的量，经过多次观测后，可通过真误差真误差或或改正数（改正数（5.4节内容讲述）节内容讲述）计算出观测值中误差，作为衡计算出观测值中误差，作为衡量观测值精度的标准。量观测值精度的标准。cosSD 概念 误差传播定

18、律：误差传播定律：倍数函数倍数函数和差函数和差函数一般线性函数一般线性函数非线性函数非线性函数函数形式函数形式 阐述阐述观测值观测值的中误差与的中误差与观测值函数观测值函数中误差的关系的定律。中误差的关系的定律。一、线性函数一、线性函数1. 1. 倍数函数倍数函数 设有函数设有函数Z= =kx， 为直接观测值，中误差为为直接观测值，中误差为x，k为常数，为常数，Z为观测值为观测值 的函数。如果对的函数。如果对x作作n次等精度观测，真误差次等精度观测，真误差分别为分别为 x1 1、 x2 2、. . xn，对应的函数真误差为，对应的函数真误差为 Z1 1、 Z2 2、. . Zn，观测值与函数间

19、的真误差存在如下关系，观测值与函数间的真误差存在如下关系：1122. . . . . . . . . . . . . . . .nnZxZxZxkkk 将上述关系式将上述关系式、得：得：2ZZxxknn 2ZZZmn 222Zxmk mZxmkm式中：式中：2,xxxmn 在在1 1：500500地形图上地形图上, ,量得量得A,BA,B两点间的距两点间的距离离Sabab=23.4mm=23.4mm，其中误差，其中误差mSabSab= =O.2mmO.2mm，求实，求实地平距地平距SABAB和中误差和中误差mSABAB。 解：解： 最后结果：ABabSMSSABSabmMm500 23.4mm

20、11.7m500 ( 0.2mm)0.1m 11.7m0.1mABS 设有函数设有函数Z= = x y，x、y是两个是两个相互独立相互独立的观测的观测值，均作值，均作n次观测，次观测，中误差分别为中误差分别为mx和和 my，真误，真误差关系式为差关系式为2. 2. 和差函数和差函数111222.nnnZxyZxyZxy 2yyxyZZxxnnnn 将上述关系式将上述关系式、得：得： 由于由于x、y是相互独立的，偶然误差是相互独立的，偶然误差 x、 y出现正负符号出现正负符号的机会相等，且正负符号互不相关，乘积的机会相等，且正负符号互不相关，乘积 x y也具有正也具有正负机会相同的性质。根据偶然

21、误差的第三、第四特性，负机会相同的性质。根据偶然误差的第三、第四特性，当当n趋于无穷大时，第三项趋于零。即趋于无穷大时，第三项趋于零。即 所以所以222Zxymmm22Zxymmm lim0 xynn 推广到推广到n个独立观测值代数和差：个独立观测值代数和差： 当当n个独立观测值是等精度观测时：个独立观测值是等精度观测时：12.nZxxx22Zxmnm122222.nZxxxmmmmZxmnm CABD36 2431 2.153 3328 1.7? m求？22mmm 解：解：89 5759 2.7222.11.72.7 89 5759 所以所以3. 3. 一般线性函数一般线性函数1122.nn

22、Zk xk xk x22221122.Znnmkmk mk m根据倍数函数与和差函数的中误差公式：根据倍数函数与和差函数的中误差公式： 设非线性函数的一般式为：设非线性函数的一般式为： 为为； 为独立观测值的中误差。为独立观测值的中误差。 求函数的全微分求函数的全微分123(,)nzf xxxxixim1212()()()nZxxxnfffxxx 式中：式中： 用用“”替代替代“d”d”，得，得1212d() d() d() dnnfffZxxxxxx 22222221212)()()(nnZmxfmxfmxfm ixf 式中：式中： 是函数是函数 f 对对 的偏导的偏导数，当函数式与观测值确

23、定后，它们均为常数，因数，当函数式与观测值确定后，它们均为常数，因此上式是线性函数，其中误差为：此上式是线性函数，其中误差为：), 2 , 1(ni ix2222222121)()()(nnZmxfmxfmxfm 例例 已知：测量斜边已知：测量斜边S=50.00=50.000.050.05m，测得倾角，测得倾角=15=15000000003030求：水平距离求：水平距离D的中误差？的中误差？解：解：1.1.函数式函数式 2.2.全微分全微分 3.3.求中误差求中误差 cossinddDdSScosDS222(co s)(sin)DSmmmS0.048(m)Dm 2230(cos15 ) 0.0

24、5( 50 sin15 ) oo 1.1.列出观测值列出观测值函数的表达式函数的表达式： 2.2.对函数式全微分对函数式全微分，得出函数的真误差与观测值，得出函数的真误差与观测值 真误差之间的关系式：真误差之间的关系式： 式中：式中： 是用观测值代入求得的值。是用观测值代入求得的值。 12(,)nZf x xx1212()()()nnfffdZdxdxdxxxx)(ixf三、运用误差传播定律的步骤三、运用误差传播定律的步骤 3.3.根据误差传播律计算观测值函数中误差：根据误差传播律计算观测值函数中误差： 注意：注意：22222221212()()()Znnfffmmmmxxx 在误差传播定律的

25、推导过程中，要求观测在误差传播定律的推导过程中，要求观测值必须是值必须是独立独立观测值。观测值。例如，设有函数例如，设有函数z = xy，而，而y=3=3x。2zm 因为因为 x 与与 y 不是独立观测值，不论不是独立观测值，不论 n 值多少，值多少，恒有恒有2333xxxxxyxmnnn22xymm2yyxyZZxxnnnn iiiZxy 因此，应把因此，应把 z 化成独立观测值的函数，即化成独立观测值的函数，即 z= =x+3+3x=4=4x 上式中上式中 x与与 3 3x两项是由同一个观测值两项是由同一个观测值X 组组成的，必须先并项为成的，必须先并项为z = 4= 4x, ,而后求其中

26、误而后求其中误差，即差，即 mz z= 4 = 4 mx例例 题题1.1.已知已知 设设 L1 1 和和 L2 2 为独立观测值，且中误差均为为独立观测值，且中误差均为m，试求，试求X、Y、Z 的中误差。的中误差。1212,2LLXLLYZXY解：解：（1 1）函数式：）函数式：（2 2）取全微分：）取全微分：（3 3）根据误差传播定律：）根据误差传播定律：12XLL12d =d+dXLL12222222X=2LLmmmmmmX = = L1+ +L22Xmm 121, =1ff解：（解：（1 1）函数式：）函数式： （2 2）取全微分：）取全微分： （3 3）根据误差传播定律：）根据误差传播

27、定律：122LLY1211d =dd22YLL1222222222Y11111()()22442LLmmmmmmY =（L1- L2）/21211, =-22ff22Ymm 121322ZXYLL1213dZ=dL +dL22122222222213195()()22442YLLmmmmmmZ = X - Y解：（解：（1 1）函数式：）函数式： （2 2）取全微分：）取全微分： （3 3）根据误差传播定律：）根据误差传播定律：1213, =22ff102Zmm 函数名称函数式函数的中误差倍数函数和差函数线性函数一般函数12nz x xx 1 12 2n nz kxk xk x12( , ,

28、, )nZf x xxkxz xzkmm22212znmmmm 2222221122znnmk mk mk mL2222221212()()()ZnnfffmmmmxxxL5.4 等精度等精度直观测的直接平差直观测的直接平差 一、求最可靠值一、求最可靠值 二、二、用改正数计算中误差用改正数计算中误差 三、精度评定三、精度评定 四、四、算术平均值中误差算术平均值中误差mL一、求最可靠值一、求最可靠值 设对某未知量进行了一组等精度观测，其真值为设对某未知量进行了一组等精度观测，其真值为X，观测值为，观测值为l1、l2，ln，中误差为，中误差为m，则，则其其算术平均值算术平均值L 为未知量的最可靠值

29、（最或然为未知量的最可靠值（最或然值）值） 12nllllLnn 设未知量的真值为设未知量的真值为X，可写出观测值的真误差公式为，可写出观测值的真误差公式为 将上式相加得将上式相加得 故故 两边取极限为两边取极限为 Xln Xlnn推导过程推导过程1122n.nlXlXlX limlimXlimXnnnllnnn 由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限增多时，即由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限增多时，即 所以所以 即即 说明说明：n 趋近无穷大时，趋近无穷大时，算术平均值算术平均值即为真值。即为真值。 0limnn limX=0nln 当当n为有限值时，通常取算术平均值为为有限值时，通常取算术平均值为最可靠值最可靠值，作为未知，作为未知量的最后结果。量的最后结