点津4-曲线运动

1、二轮复习名师点津 专题四 曲线运动考点解读质点的运动（曲线运动）内容要求说明7.运动的合成和分解8.曲线运动中质点的速度的方向沿轨道的切线方向，且必具有加速度9.平抛运动10.匀速率圆周运动.线速度和角速度.周期.圆周运动的向心加速度a=v2/r不要求会推导向心加速度的公式a=v2/r运动的合成与分解：知道运动的合成与分解是物理学中常用的用等效的观点处理问题的基本方法，理解合成与分解的概念，并能够在实际问题中正确区分合运动与分运动.知道合运动就是物体的实际运动.知道合成与分解遵循矢量的平行四边形定则，运用平行四边形定则熟练解决有关问题.曲线运动：知道曲线运动的概念，知道做曲线运动的物体的运动方

2、向（瞬时速度的方向）就是质点运动轨迹上的切线方向.理解物体做曲线运动，运动状态必定改变，即做曲线运动的物体一定具有与速度方向不在同一条直线上的加速度，也就是说，曲线运动必定是变速运动.平抛运动：理解平抛运动是质点受到与初速度方向垂直的恒力作用的运动，“平”是建立在以地球为参考系的角度上来说.深刻理解平抛运动的研究方法运用运动的分解将曲线运动变成两个互相垂直方向的直线运动（化曲为直）.在具体解决问题过程中要注意分清哪个是分运动，哪个是合运动.匀速率圆周运动：把握匀速率圆周的概念，能够弄清“匀”的含义仅仅是指速度的大小不变，而速度方向时刻改变.匀速率圆周运动的动力学特征是受力（向心力）与运动方向一

3、直垂直.线速度和角速度：知道这两个基本概念的确切含义，明白这两个物理量都是用来描述圆周运动快慢的，其定义是单位时间运动质点转过的弧长.线速度方向一直在圆周的切线方向上，角速度则是运动质点与圆心的连线在单位时间内转过的角度.周期：知道周期是做匀速率圆周运动的质点转过一周所用的时间，同样也是描述匀速率圆周运动快慢的物理量.熟练掌握线速度、角速度、周期之间的关系式.向心加速度：知道向心加速度的概念和基本表达式，并能够在一些特定的情况下，灵活选择向心加速度的不同表达式：等.考点清单1.运动分解与合成的一般思路（1）利用运动的合成与分解研究曲线运动的思维流程：（2）在处理实际问题中应注意：只有深刻挖掘曲

4、线运动的实际运动效果，才能明确曲线运动应分解为哪两个方向上的直线运动.这是分析处理曲线运动的出发点.进行等效合成时，要寻找两分运动时间的联系等时性.这往往是分析处理曲线运动问题的切入点.例1 如图4-9所示，AB为斜面，倾角为30°，小球从A点以初速度v0水平抛出，恰好落到B点，求：图4-9（1）AB间的距离；（2）物体在空中飞行的时间；（3）从抛出开始经多少时间小球与斜面间的距离最大？解析 (1)、(2)设飞行时间为t，则水平方向位移：竖直方向位移：解得.（3）设抛出t后小球与斜面间距离最大，由图可知，此时速度与斜面平行，由如图4-9速度三角形知：即.例2 如图4-10，一个人站在

5、地面上，用枪瞄准树上的猴子，当子弹从枪口射出时，猴子闻声立即从树上做自由落体运动，讨论一下猴子能否避开子弹的射击？图4-10解析 将子弹的运动分解为沿v0方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，猴子同时做自由落体运动，则在竖直方向上子弹与猴子保持相对静止；在瞄准方向上，子弹相对猴子以v0做匀速运动，所以只要子弹瞄准猴子则相对运动不受地面限制，在不计声音传播时间和空气阻力条件下，用大于某一值的速度一定会击中猴子.评价 从以上两例看出，将曲线运动分解，可正交分解，亦可斜交分解，有多种分解方法，视解题方便而定.2.平抛运动中几个有用的结论例3 如图4-11甲所示，为一物体平抛运动的x-y图象，物

6、体从O点抛出，x、y分别为其水平和竖直位移.在物体运动过程中的任一点P（x、y），其速度的反向延长线交于x轴的A点（A点未画出），则OA的长为（ ）图4-11A.x B.0.5x C.0.3x D.不能确定解析 作出图示如图4-11乙，设v与竖直方向的夹角为，根据几何关系： 由平抛运动，得水平方向：x=v0t 竖直方向： 由、得在RtAEP中，所以.答案 B评价 从解答本题中发现：平抛运动中以抛出点O为坐标原点的坐标系中任一点P（x、y）的速度方向与竖直方向的夹角为，则.其速度的反向延长线交于x轴的处.这两结论可以用于分析其他的平抛、类平抛问题.例4 一固定的斜面倾角为，一物体从斜面上的A点平

7、抛并落到斜面上的B点，试证明物体落在B点的速度与斜面的夹角为定值.图4-12解析 作图4-12，设初速度为v0，到B点竖直速度为vy，设合速度与竖直方向的夹角为.由几何关系：又由几何关系：所以：，即为定值.合速度与斜面夹角因为、为定值，所以也为定值，即速度方向与斜面的夹角与平抛初速度无关，只与斜面的倾角有关.评价 从上一例中可看出在推导过程中，若把这一结论迁移到本题中，马上找到了解答本题的方法.例5 如图4-13所示，倾角为的斜面上A点，以水平速度v0抛出一个小球，不计空气阻力，它落到斜面上B点所用的时间为（ ）图4-13A. B. C. D. 解析 设小球从抛出至落到斜面上的时间为t，在这段

8、时间内水平位移和竖直位移分别为如图4-14所示.由几何关系知图4-14，所以小球的运动时间.答案 B评价 上面是从常规的分运动方法来研究斜面上的平抛运动，还可以变换一个角度去研究.如图4-15所示，把初速度v0、重力加速度g都分解成沿着斜面和垂直斜面的两个分量.在垂直斜面方向上，小球做的是以v0y为初速度、gy为加速度的竖直上抛运动.小球“上、下”一个来回的时间等于它从抛出至落到斜面上的运动时间，于是立即可得图4-15.采用这种观点，还很容易算出小球在斜面上抛出后，运动过程中离斜面的最大距离、从抛出到离斜面最大距离的时间、斜面上射程等问题，有兴趣的同学请自行研究.3.小船过河问题的分析（1）处

9、理方法：小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对水的运动（即在静水中的船的运动），船的实际运动是合运动.（2）若小船要垂直于河岸过河，过河路径最短，应将船头偏向上游，如图4-16甲所示，此时过河时间；图4-16若使小船过河的时间最短，应使船头正对河岸行驶，如图4-16乙所示，此时过河时间.例6 一条宽度为的河流，已知船在静水中的速度为，水流速度为.那么：（1）怎样渡河时间最短？（2）若>，怎样渡河位移最小？（3）若<，怎样渡河船漂下的距离最短？解析 （1）如图4-17甲所示，设船头斜向上游与河岸成任意角，这时船速在垂直于河岸

10、方向的速度分量为，渡河所需的时间为可以看出：、一定时，t随sin增大而减小；当90°时，sin1（最大）.所以，船头与河岸垂直时渡河时间最短.（2）如图4-17乙所示，渡河的最小位移即河的宽度.为了使渡河位移等于，必须使船的合速度v的方向与河岸垂直.这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度.根据三角函数关系有因为0cos1,所以只有在>时，船才有可能垂直河岸横渡.图4-17（3）如果水流速度大于船在静水中的航行速度，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游.怎样才能使漂下的距离最短呢？如图4-17丙所示，设船头与河岸成角.合速度与河岸成角.可以看出：角越大，船漂下的距离x越短.

11、那么，在什么条件下角最大呢？以的末端为圆心、大小为半径画圆，当与圆相切时，角最大，根据cos/，船头与河岸的夹角应为船漂下的最短距离为此时渡河的最短位移：.4绳子末端速度的如何分解（1）绳子末端运动速度的分解，应按运动的实际效果进行.例如在图4-18中，人用绳子通过定滑轮拉物体A，当人以速度v0匀速前进时，求物体A的速度.图4-18首先要分析物体A的运动与人拉绳的运动之间有什么样的关系.物体A的运动（即绳的末端的运动）可看作两个分运动的合成：沿绳的方向被牵引，绳长缩短，绳长缩短的速度即等于v0；垂直于绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长.这样就可以求得物体A的速度.当物体A向左移动，将逐渐变大

12、，vA逐渐变大.虽然人做匀速运动，但物体A却在做变速运动.评价 在进行速度分解时，首先要分清合速度与分速度.合速度就是物体实际运动的速度.由物体的实际运动得是由哪些分运动叠加的，找出相应的分速度.在上述问题中，若不对物体A的运动认真分析，就很容易得出vA=v0 cos的错误结果.例7 如图4-19甲，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当小车匀速向右运动时，物体A的受力情况是（ ）A.绳的拉力大于A的重力B.绳的拉力等于A的重力C.绳的拉力小于A的重力D.拉力先大于重力，后变为小于重力图4-19解析 车水平向右的速度（也就是绳子末端的运动速度）为合速度，它的两个分速度v1、v2如图4-19乙所示

13、，其中v2就是拉动绳子的速度，它等于A上升的速度.由图得,vA=v2=v cos小车匀速向右运动过程中，逐渐变小，知vA逐渐变大，故A做加速运动，由A的受力及牛顿第二定律知绳的拉力大于A的重力.故选A.答案 A（2）速度投影定理：不可伸长的杆或绳，尽管各点速度不同，但各点速度沿绳方向的投影相同.例8 如图4-20所示，当放在墙角的均匀直杆A端靠在竖直墙上，B端放在水平地面上，当滑到图示位置时，B点速度为v，则A点速度是 .（为已知）图4-20解析 A点速度沿墙竖直向下vA.根据速度投影定理：答案 5平抛运动的求解方法（1）常规解法是运动的分解、水平方向和竖直方向的两个分运动是相互独立的，其中每

14、个分运动都不会因另一分运动的存在而受到影响.水平方向和竖直方向的两个分运动及其合运动具有等时性.由可知，平抛物体在空中运动的时间t只决定于物体抛出时离地的高度h，而与抛出时的初速度v0无关.（2）特殊的解题方法是选择一个适当的参考系.选择一个自由落体运动物体为参考系，平抛物体相对于这个参考系是水平匀速直线运动；选择一个相同初速度的水平匀速直线运动物体为参考系，平抛物体相对于这个参考系做自由落体运动.这种方法在解判断题时是方便的.例9 火车以1m/s2的加速度在平直轨道上加速行驶，车厢中一乘客把手伸到窗外，从距地面2.5m高处自由释放一物体，若不计空气阻力，则物体落地时与乘客的水平距离为（ ）（

15、取g=10 m/s2）A.0 B.0.50m C.0.25m D.因不知火车当时的速度，故无法判断解析 解法一 火车做匀加速直线运动，物体做平抛运动，其初速度为火车释放物体时的速度v0，设落地时间为t，在这一段时间内，火车前进了s1，物体沿水平方向前进了s2，则 以上三式联立可得m =0.25m.解法二 以火车为参考系，释放物体在水平方向将向后做初速度为零的匀加速直线运动，同时在竖直方向做自由落体运动.经时间t落到地面，竖直方向： 落地点距乘客的距离，即为释放物体在落地时间内相对于火车的水平位移大小，由匀加速直线运动： 由、得 m.答案 C评价 在分析平抛运动时，应先根据其运动特点列出文字方程

16、，解方程时不要急于代入数值，最好先进行文字运算，这样可以用文字结果进行讨论.如本题中物体与乘客的水平距离；如火车匀速运动时，a0，物体与乘客水平距离s1-s20；a越大，s1-s2也越大；h为原来的2倍，s1-s2也为原来的2倍.若过早代入数值，就不可能迅速得出结果.6.竖直平面内的圆周运动问题分析竖直平面内的圆周运动，是典型的变速圆周运动，对于物体在竖直平面内做变速圆周运动的问题，中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况，并且经常出现临界状态.（1）如图4-21所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：图4-21临界条件：小球到达最高点时绳子的拉力（或轨道的弹力）刚

17、好等于零，小球的重力提供做圆周运动的向心力.即.上式中的是小球通过最高点的最小速度，通常叫临界速度.能过最高点的条件：>（此时绳或轨道对球产生拉力F或压力FN）.不能过最高点的条件：<（实际上球还没有到最高点就脱离了轨道）.（2）如图4-22所示，有物体支撑的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：图4-22临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能达到最高点的临界速度0图4-22甲所示的小球过最高点时，轻杆对小球的弹力的情况：当0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力FN，其大小等于小球的重力，即FNmg.当0 <<时，杆对小球的支持力的方向竖直向上，大小随速度的增大而

18、减小，其取值范围是：mg > FN > 0.当=时，FN0.当时，杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大.图4-22乙所示的小球过最高点时，光滑硬管对小球的弹力情况：0时，管的内壁下侧对小球有竖直向上的支持力FN，其大小等于小球重力，即FN =mg.当0v时，管的内壁下侧对小球有竖直向上的支持力FN，大小随速度的增大而减小，其取值范围是mg > FN > 0.当时，FN0.当>时，管的内壁上侧对小球有竖直向下指向圆心的压力，其大小随速度的增大而增大.例10 长度为L0.50m的轻质细杆OA，A端有一质量为m3.0kg的小球，如图4-23所示，小球以O点

19、为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0m/s，g取10m/s2，则此时细杆OA受到（ ）图4-23A.6.0 N的拉力 B.6.0 N的压力C.24 N的拉力 D.24 N的压力解析 解法一 设小球以速率v0通过最高点时，球对杆的作用力恰好为零，即mg =m m/s=m/s由于v2.0m/s<m/s知过最高点时，球对细杆产生压力.如图4-24甲所示，为小球的受力情况图.由牛顿第二定律mg - FNFN = mg -3.0×（10-）N6.0N图4-24解法二 设杆对小球的作用力为FN（由于方向未知，设为向下）.如图4-24乙所示，由向心力公式得：FN +

20、mg =则FN - mg =(3.0×-3.0×10)N-6 N.负号说明FN的方向与假设方向相反，即向上.答案 B7.临界问题圆周运动中的临界问题的分析与求解方法不只是竖直平面内的圆周运动中存在临界问题，其他许多问题中也有临界问题.对这类问题的求解一般都是先假设某量达到最大、最小的临界情况，从而建立方程求出.例11 如图4-25所示，两个用相同材料制成的靠摩擦转动的轮A和B水平放置，两轮半径RA=2RB.当主动轮A匀速转动时，在A轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在A轮边缘上.若将小木块放在B轮上，欲使木块相对B轮也静止，则木块距B轮转轴的最大距离为（ ）图4-25A.RB

21、/4 B.RB/3 C.RB/2 D.RB解析 由图可知，当主动轮A匀速转动时，A、B两轮边缘上的线速度相同，由，得.由于小木块恰能在A边缘静止，则由静摩擦力提供的向心力达最大值µmg，得： 设放在B轮上能使木块相对静止的距B转轴的最大距离为r，则向心力由最大静摩擦力提供，故 因A、B材料相同，故木块与A、B的摩擦因数相同，、式左边相等，故所以选项C正确.答案 C8.向心力（1）理解要点定义：做圆周运动的物体所受的指向圆心的力.作用效果：产生向心加速度，以不断改变物体的线速度方向，维持物体做圆周运动.方向：总是沿半径指向圆心，是一个变力.大小：向心力来源向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是各力的合力或某力的分力，总之，只要达到维持物体做圆周运动效果的力，就是向心力.向心力是按力的作用效果来命名的.对各种情况下向心力的来源应明确.如：水平圆盘上跟随圆盘一起匀速转动的物体（图4-26甲）和水平地面上匀速转弯的汽车，其摩擦力是向心力；圆锥摆（图4-26乙）和以规定速率转弯的火车，向心力是重力与弹力的合力.图4-26（2）圆周运动中向心力分析匀速率圆周运动：物体做匀速率圆周运动时受到的外力的合力就是向心