第3章基本波函数

1、第第1章章 电磁理论基本方程电磁理论基本方程l* 第1章 电磁理论基本方程 l*1.1 麦克斯韦方程l 1.2 物质的电磁特性l*1.3 边界条件和辐射的条件l 1.4 波动方程l*1.5 辅助位函数及其方程l#1.6 赫兹矢量l 1.7 电磁能量和能流第第2章章 基本原理和定理基本原理和定理l2.1 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理l2.2 唯一性定理唯一性定理l2.3 镜像定理镜像定理l*#2.4 等效定理等效定理l2.5 感应原理感应原理l2.6 巴比涅原理巴比涅原理l#2.7 互易定理互易定理l2.8 线性系统的算子方程线性系统的算子方程第第3章章 基本波函数基本波函数 l*3.1 标量波函数

2、l*#3.2 平面波，柱面波和球面波用标量基本波函数展开 l3.3 理想导电圆柱对平面波的散射l3.4 理想导电圆柱对柱面波的散射l3.5 理想导电劈对柱面波的散射l3.6 理想导电圆筒上的孔隙辐射l3.7 理想导电圆球对平面波的散射l3.8 理想导电圆球对球面波的散射l*3.9 分层媒质上的电偶极子l*3.10 矢量波函数注：“*”表示重点，“#”表示难点，“”表示涉及学科前沿 背景背景l求解无源区的电磁场的问题可以归结为一定边界条件下的齐次矢量亥姆霍兹方程的求解。有一些电磁场问题，可以转化为一定边界条件下标量亥姆霍兹方程的求解。l而当某些电磁场问题具有特殊的边界，以至于在相当的坐标中可用分

3、离变量法求出齐次亥姆霍兹方程的通解时，就可以用这些通解构成具体电磁场问题的特解。也就是说，用分离变量法求出的这些通解形式是亥姆霍兹方程的基本波函数，可以将具有相同边界条件的场用基本波函数展开，那么只要求出展开系数，就可以确定场。l本章介绍3种常用坐标系中基本波函数的求解，以及基本波函数在电磁场问题中一些应用。3.1 标量波函数标量波函数l 标量波函数是齐次标量亥姆霍兹方程的基本解，也就是标量亥姆霍兹方程对应算子的本征函数。下面分别求解在直角坐标系、圆柱坐标和球坐标系中标量亥姆霍兹方程的标量波函数。（1）直角坐标系中的标量波函数）直角坐标系中的标量波函数在直角坐标系中，标量亥姆霍兹方程具有以下形

4、式： 22222220k xyz抖+=抖 (3-1) 将式（31）的解写成( ) ( ) ( )X x Y y Z z=形式，代入上式后除以，得 22222221110d Xd Yd ZkX dxY dyZ dz+= (3-2) 要使上式对任意得 , ,x y z都成立，其中每一项必须等于常数，若令前 3 项分别等于常数222,xyzkkk-和，则得到 3 个常微分方程 2220 xd Xk Xdx+= (3-3a) 2220yd Yk Ydy+= (3-3b) 2220zd Zk Zdz+= (3-3c) 式中 3 个分离常数,xyzk kk满足下列方程： 2222xyzkkkk+= (3-

5、4) 上式说明，3 个分离常数中仅有两个是独立的。 上述 3 个分离的二阶常微分方程类型相同，称为谐方程。其解具有相同的结构，可以是正弦函数、余弦函数或指数函数，通称为谐函数，通常用(), ()()xyzh k x h k yh k z和表示。因此，标量亥姆霍兹方程的解可以表示为 () () ()xyzh k x h k y h k z= （3-5） 式中h表示正弦函数、余弦函数或指数函数中的任一种谐函数。各种谐函数的性质以 ()xh k x 为例在表 3-1 中列出。 对对于于具具体体问问题题的的给给定定边边界界条条件件， 必必须须适适当当选选择择谐谐函函数数的的类类型型。式（3-5）通称为

6、基本波函数。 谐函数谐函数 ()xh k x xxxkkjk=- 函数的表示 波动特性 xjk xe- 0 xk = 0 xk = 复数xk xjk xe- xk xe- xxk xjk xee- 向x方向传播的等幅行波 随x衰减的凋落波 向x方向传播的衰减行波 xjk xe 0 xk = 0 xk = 复数xk xjk xe xk xe xxk xjk xee 向x-方向传播的等幅行波 随x-衰减的凋落波 向x-方向传播的衰减行波 sinxk x 0 xk = 0 xk = sinxk x sinhxk x 沿 x 分布的正弦驻波 两种凋落波的合成 cosxk x 0 xk = 0 xk =

7、 cosxk x coshxk x 沿x分布的余弦驻波 两种凋落波的合成 表表3-1 谐函数的类型及对应的性质谐函数的类型及对应的性质基本波函数的线性组合必定也是标量亥姆霍兹方程的解。式（3-4）中的分离常数只有两个是独立的，因此，对两个分离常数的可能选择求和，就能构成更一般的波函数。 如果分离常数具有一些离散值，标量亥姆霍兹方程的一种解就可以写成求和形式，例如 ,() () ()xyyxkkxyzkkAh k x h k y h k z=邋 (3-6) 式中,xykkA是与,xyzk kk 有关的常数。任何具体问题所需的,xyzk kk 值由具体问题的边界条件的确定，称为本征值或特征值。通常

8、在有限区域（如波导或谐振腔中） ，解的特征是本征值具有离散谱，也就是本征值取一些离散值； 而在无限区（如在天线周围） ，本征值具有连续谱，也就是本征值取连续值。在本征值为连续谱的情况下， 标量亥姆霍兹方程的一种解就可以写成积分的形式，例如 (,) () () ()yxxyxyzxykkA k kh k x h k y h k z dk dk =蝌 （3-7） 标量亥姆霍兹方程的解标量亥姆霍兹方程的解 取基本波函数为指数形式 ()xyzj k xk yk ze-+= （3-8） 如果,xyzk kk 均为实数，定义传播矢量k 为 xxyyzzkkk=+keee （3-9） 在圆球坐标中，,xyz

9、k kk可用传播矢量k 的极角k 和方位角k 表示为 sincosxkkk = (3-10a) sinsinykkk = (3-10b) coszkk = (3-10c) 式（3-8）可写为 je-=k r （3-11） 由此可见，,xyzk kk 为实数时实数时基本波函数表示沿空间角k ，k 方向传播的平面波。将式（3-11 代入式（3-6）及式（3-7）得 ,xyyxjkkkkAe-=邋k r (3-12) (,)yxjxyxykkA k kedk dk-=蝌k r (3-13) 以上两式说明，标量亥姆霍兹方程的解可以表示成不同传输方向的平面波之和标量亥姆霍兹方程的解可以表示成不同传输方向

10、的平面波之和，(,)xyA k k称为( , , )x y z的波谱或角谱波谱或角谱。 z k k k y x （2）圆柱坐标系中的标量波函数）圆柱坐标系中的标量波函数在圆柱坐标系中，可令 ( )( ) ( )R Z z= （3-14） 代入220k +=，可得下列 3 个独立的常微分方程 222222()0d RdRk n Rdd+-= （3-15） 2220dnd+= （3-16） 2220zd Zk Zdz+= （3-17） 式中 222zkkk+= （3-18） 式（3-16）及式（3-17）为谐函数，其解为谐函数()h n和 ()zh k z 。考虑到函数( )随的变化以 2 为周期

11、，因此常数 n 应为整数，即 n=0,1,2,。式（3-15）为贝塞尔方程，其解为柱贝塞尔函数，也称为柱函数柱函数，用()nB k 表示，称为第 n 阶贝塞尔函数。柱贝塞尔函数有多种类型： 第一类柱贝塞尔函数 通常称为贝塞尔函数，以()nJk 表示，称为第 n 阶贝塞尔函数。当 n 为整数时，可由下列级数表示 201J ()( 1)()!()!2knknkk k k nk+=-+ （3-19） 第二类贝塞尔函数 又称为诺依曼函数，以()nNk 表示。它与第一类贝塞尔函数的关系为 cos()()N ()limsinnnJk Jk k -= （3-20） 当0时，()nNk 。当 n 为整数时，(

12、)nNk 为贝塞尔方程的另一个线性无关的解。 第三类柱贝塞尔函数 又称为汉开尔函数。汉开尔函数又分为第一类汉开尔函数和第二类汉开尔函数，分别用(1)H()nk 和(2)H()nk 表示，它们与第一类及第二类柱贝塞尔函数之间的关系分别为 (1)H()J ()jN ()nnnk k k =+ (3-21a) (2)H()J ()jN ()nnnk k k =- (3-21b) 当22zkk时，k 为虚数，令kj=，则式（3-15）变为 222222()0d RdR nRdd+-+= （3-23） 上式称为修正贝塞尔方程，其解为修修正正贝贝塞塞尔尔函函数数。修正贝塞尔函数又分为第一类修正贝塞尔函数和

13、第二修正贝塞尔函数，分别以I ()n 和K ()n 表示，其定义为 I ()j J (j)nnnk -= （3-24a） ()()()limsin2nnII K-= (3-24b) 修正贝塞尔函数的大宗量渐进式分别为 1( )2xnxIxex （3-25a） ( )2xnxKxe- (3-25b) 在附录中列出了贝塞尔函数和修正贝塞尔函数的性质及有关迭推公式，有关贝塞尔函数更详细的内容请查阅数数学学物物理理方方程程、数数学学物物理理方方法法等书籍。 由式（3-14） ，在圆柱坐标中，基本波函数为 ( , , )() () ()nz zB k h n h k z= （3-26） 式中柱贝塞尔函数

14、()nB k 的类型可根据具体电磁场的特征选取。当()nB k 选为第一类汉开尔函数(1)()nHk 或第二类汉开尔函数(2)()nHk 时，基本波函数分别表示向内或向外的柱面波。 在在圆圆柱柱坐坐标标系系的的基基本本波波函函数数中中， 本本征征值值 n 为为离离散散谱谱， 而而zk或或k 值值为为离离散散谱谱还还是是连连续续谱谱取取决决于于边边界界情情况况。由于各种可能的 n 和zk 取值所对应的基本波函数都是标量亥姆霍兹方程的解，因此，在本征值zk 为离散谱的情况下，标量亥姆霍兹方程的通解为 ,( , , )() () ()zzn kznk zAB k h n h k z=邋 （3-27）

15、 在本征值zk 为连续谱的情况下，标量亥姆霍兹方程的通解为 ( , , )( ,)() () ()zznzznk zA n k B k h n h k z dk= （3-28） 在圆球坐标系中，令 ( , , )( )( )( ) r R r= （3-29） 代入220k +=中，可得下列 3 个独立的常微分方程 222222(1)0d RdRrrk rn nRdrdr+-+= （3-30） 22222(1)2 (1)01ddRmxxn ndxdrx-+-=- （3-31） 2220dmd+= （3-32） 式中 cosx= （3-33） 式（3-32）是谐方程，其解为谐函数()h m，为保证

16、以2为周期，m 应为包含零的正整数。式（3-30）中 n 是整数，此方程是球球贝塞尔方程贝塞尔方程，其解为球贝塞尔函球贝塞尔函数数， 用()nb kr 表示。 球贝塞尔函数也有 4 种类型， 分别是第一类球贝塞尔函数( )njx 、第二类球贝塞尔函数( )nn x 、第一类球汉开尔函数(1)( )nhx 和第二类汉开尔函数(2)( )nhx 。 （3）圆球坐标系中的标量波函数）圆球坐标系中的标量波函数球贝塞尔函数与整数阶柱贝塞尔函数的关系为 12b ()()2nnkrBkrkr+= （3-34） 半整数阶贝塞尔函数的特性见附录。 式（331）是连带勒让德方程，其解称为连带勒让德函数连带勒让德函

17、数(cos )mnL 。连带勒让德函数又分为第一类连带勒让德函数mnP ( )x 与第二类连带勒让德函数( )mnQx ， 其定义为 22P ( )(1)P ( )mmmnnmdxxxdx=- （3-35） 22Q ( )(1)Q ( )mmmnnmdxxxdx=- （3-36） 式中 21( )(1)2!nnnnndP xxn dx=- （3-37） 11111Q ( )P ( )( ln)P( )P( )21nnnkn kkxxxxxxk-=+=- （3-38） 式（3-37）和式（3-38）分别称为第一类勒让德函数( )nP x 和第二类勒让德函数Q ( )nx 。 当0m=， 即 场与

18、无关时，相应的方程称为勒让德方程，且P ( )P ( ),Q ( )Q ( )mmnnnnxxxx=。 由式（3-37）可以看出，P ( )nx 为 n 次多项式，因此，当mn时，mnP ( )x为零。 课后学习：球谐函数课后学习：球谐函数3.2平面波、柱面波和球面波用标平面波、柱面波和球面波用标量基本波函数展开及应用量基本波函数展开及应用(1)平面波用圆柱面基本波函数展开平面波用圆柱面基本波函数展开设平面波的某个分量为 0( )jkxxe-= （3-41） 在圆柱坐标系中，上式又可表示为 cos0( )jkxe-= （3-42） 将此函数用圆柱面基本波函数展开，考虑到上式中的平面波场与坐标

19、z 无关，且以2为周期，则上式可表示为 cos()jkjnnnneA Jk e-= - = （3-43） 式（3-43）两边同乘以jme-，并对从 0 到2积分，利用jme的正交性，得 2(cos)01()2j kmnnA Jked-+= （3-44） 上式与贝塞尔函数的积分表示 ( cos)( )2nj xnnjJxed-+= （3-45） 比较，得 nnAj-= （3-46） 于是，向 x方向传播得平面波用柱面波基本波函数展开为 ()jkxnjnnnejJk e-= - = （3-47） (2)柱面波用基本波函数展开柱面波用基本波函数展开在无限大的均匀空间中，位于源点(,) 的无限长无限长

20、线源场满足得标量亥姆霍兹方程为 22()k+= - （3-48） 无限长线源得场 与z 无关，是关于线源圆柱对称得。将坐标系平移，是z 轴与线源重合，设r =- ，则在圆柱坐标系中， 只是r =- 得函数，上式简化为 21()( )ddrk rr drdr+= - 除了z 轴， 满足齐次方程，即 21()0ddrkr drdr+= 上式又可写为 222220ddrrk rdrdr+= 与式（3-15）比较，这是0n=时得贝塞尔方程，考虑到无限长线源得场是向外传播的柱面波，因此，其解为 (2)0()CHkr= 可以证明常数/4Cj=，将r =-代入上式，可得无限长线源得场，也就是标量亥姆霍兹方程

21、在二维无限均匀空间得格林函数为 (2)0( ,)()4jGHk=- (3-49) 上式表示中心轴 的柱面波。利用贝塞尔函数的叠加定理贝塞尔函数的叠加定理，以 为中心轴的柱面波可转变为以z 轴中心轴的柱面波，即 (2)()(2)0(2)()()();()44()();jn nnnjn nnnJk Hk ejjHkJk Hk e-= - -= - (3-50) （3）平面波用球面波基本波函数展开）平面波用球面波基本波函数展开设平面波的某一分量为 jkze-= （3-51） 在圆球坐标中，上式可写完 cosjkre-= （3-52） 考虑到上式与无关，因此，上式所表示的平面波可用球面波基本波函数表示

22、为 cos0()(cos )jkrnnnneA j kr P-= （3-53） 上式为勒让德函数的展开式，式中()nj kr 为第一类球贝塞尔函数。上式两边同乘以(cos )sinnP ，并对从 0 到积分，利用勒让德函数的正交性，可得 cos021()(cos )sin2jkrnnnnA j krePd-+= （3-54） 将上式两边对r 求n次导数，并利用球贝塞尔函数勒让德函数的性质，可得 (21)nnAjn-=+ （3-55） 将式（3-55）代入式（3-53）得平面波用球面波基本波函数展开为 cos0(21)()(cos )jkrnnnnejnj kr P-=+ （3-56） （4）球

23、面波用基本波函数展开）球面波用基本波函数展开(5)点源场的平面波展开点源场的平面波展开3.3 理想导电圆柱对平面波的散射理想导电圆柱对平面波的散射 O P a izE x y 设无线长的理想导电圆柱的半径为a，沿 z 轴放置，如图 32 所示。设入射的线极化均匀平面波电场方向与理想导电圆柱平行，且垂直于理想导电圆柱入射，入射波为 ijkxze e （373） 由于入射波电场及导电圆柱轴均沿 z 方向，因此散射电场也沿 z 方向，理想导电圆柱外任一点的合成电场为 ()iszzzEEEe （374） 因为散射体表面为圆柱面，将入射波与散射波用柱面波展开。 由上节知，入射波电场用柱面波展开为 ()i

24、njnznnEjJke （375） 散射波电场为向外传播的柱面波，展开式为 (2)()snjnznnnEjB Hke （376） 式中系数nB取决于边界条件。由于在理想导电圆柱表面， 合成电场的切向分量为零，即 (2)()()()0njnnjnznnnnEajJka ejB Hka e） 因此有 (2)()()nnnJkaBHka （377） 将上式代入式（376）得 (2)(2)()()()snjnnznnnJkaEjHkeHka （378） 图3-2 导电圆柱对平面波的散射 在远离理想导电圆柱的点，1k，利用汉开尔函数的渐近式（322d） ，上式简化为 (2)()2()jksjnnznnJ

25、kaejEekHka （379） 上述散射场式（379）中级数的收敛快慢与理想导电圆柱半径的相对大小有关。半径相对波长越小，级数收敛越快；否则，半径相对于波长越大，级数收敛越慢。例如，当 ka=3 时，仅取 6 项即可，而当 ka=100 时，取 100 项才可得到满意的结果。当半径相对于波长很大时，级数收敛很慢，可以采用 Watson 变换，将级数变为围线积分进行计算。 3.4 理想导电圆柱对柱面波的散射理想导电圆柱对柱面波的散射如图 33 所示在无限长、半径为 a 的理想导电圆柱附近平行放置一根无限长的线电流，计算导电圆柱的散射场。设理想导电圆柱轴与 z 轴重合，线电流强度为 I，位于(,

26、) 处，则线电流产生的矢量磁位仅有zA分量，满足方程 22()tzzAk AI （380） 由二维均匀无限空间的格林函数可得上式的解为 (2)0( |)4zIAjHk （381） 上式代入jj EAA，并考虑到zA与变量 z 无关，得 (2)0( |)4izzIEj AHk （382） 因为散射体表面为以 z 为轴的圆柱面，将入射波及散射波用以 z 为轴 的柱面波展开。由 3.2 节知，入射波电场用以 z 轴为轴的柱面波展开为 (2)()(2)0(2)()()();( |)44()();jnnnnizjnnnnJkHkeIIEHkJkHke (383） 散射波电场为向外传播的柱面波，展开式为

27、(2)(2)()00()()4sjnznnIEB HkHke （384） 式中系数nB取决于边界条件。由于在理想导电圆柱表面，合成电场的切向分量为零，即在a,0iszzzEEE，得 (2)()()nnnJkaBHka （385） 将上式代入式（384）得 (2)(2)()00(2)()()()4()sjnnznnJkaIEHkHkeHka （386） - I O a x y 图33导电圆柱附近的线电流在远离理想导电圆柱的点，1k，利用汉开尔函数的渐近式（322d） ，上式简化为 (2)()0(2)()2()4()sjknjnnznnJkaIjEejHkekHka （387） 若线电流远离理想导

28、电圆柱，利用汉开尔函数的渐近式（322d） ，入射场变为平面波，散射场为 (2)()0(2)()2()4()sjknjnnznnJkaIjEejHkekHka （388） 3.5 理想导电劈对柱面波的散射理想导电劈对柱面波的散射(自习自习)3.6 理想导电圆筒上的孔隙辐射理想导电圆筒上的孔隙辐射 (自习自习) 3.7 理想导电圆球对平面波的散射理想导电圆球对平面波的散射(自习自习)3.8 理想导体圆球对球面波的散射理想导体圆球对球面波的散射本节利用球面波基本函数计算导体球附近的垂直电流元的场。设理想导体圆球半径为a，球心位于坐标原点，电流元l I沿z 轴放置，距坐标原点为d，如图 3-8 所示

29、，求理想导体圆球的散射场。 由于电流元 l I 沿z 轴放置，产生的矢量位为 iI4jkzlAeiAr-rzzeer -r （3-133） 根据式（3-60） ，将矢量位用球面波基本波函数展开为 (2)0(2)0(21)()()(cos );4(21)()()(cos );4nnnniznnnnjklnhkrjkr PrrAjklnj kr hkr PrrII (3-134) 由于入射场和散射体都关于z轴对称，因此，散射场的矢量位用球面波 基本波函数展开可以表示为 (2)0()(cos )4sznnnnjklAa hkr PI （3-135） 将上式代入1jwEA，并利用在球面上总电场0E，可

30、求得式（3-135）中的系数 ()(21)()nnnJkaanHka （3-136） 3.9 分层媒质上的电偶极子分层媒质上的电偶极子设空间为两种介质，0z 的半空间介质参数为11,0z 半空间介质参数为22,，分界面为0z 的平面，电流元Il位于上半空间，垂直于分界面，且距分界面距离为 d, 如图 3-9 所示。下面利用平面波基本波函数计算平面边界上垂直电偶极子的场。入射场矢量位iA 满足方程 2211()kI iizzAAlrr （3-137） 式中11 1k 为上半空间的波数。由式（3-60）及式（3-72）将iA 用平面波基本波函数平面波基本波函数表示为 221(1)01221()08j kkz zizHkeju lAk dkzzkk I （3-138） 入射波投射到平面边界上，在上半空间产生反射波并在下半空间产生透射波。 根据镜像原理，反射波及透射波均可看成垂直电偶极子产生的场，这两种场也可分别用处于源点及其镜像位置的垂直电偶极子产生的场以平面波基本波函数展开，即 221(1)01221()()8jkkz zizR kHkeju lAk dkkk I （3-139） 222(1)01222()()8jkkz zizT kHkeju lAk dkkk I （3-140） 以上两式中， R 及 T 分别为各平面波分量