第1章质点的的运动普通物理学程守珠

1、第一章第一章 质点的运动质点的运动1-1 参考系参考系 质点质点1. 1. 质点质点物体：物体：具有大小、形状、质量和内部结构的物具有大小、形状、质量和内部结构的物 质形态。质形态。 一般情况下，物体各部分的运动不相同，在一般情况下，物体各部分的运动不相同，在运动的过程中大小、形状可能改变，这使得运动运动的过程中大小、形状可能改变，这使得运动问题变得复杂。问题变得复杂。 某些情况下，物体的大小、形状不起作用，某些情况下，物体的大小、形状不起作用，或者起次要作用而可以忽略其影响或者起次要作用而可以忽略其影响简化为质简化为质点模型。点模型。质点：质点：具有一定质量没有大小或形状的理想物体。具有一定

2、质量没有大小或形状的理想物体。可以作为质点处理的物体的条件：可以作为质点处理的物体的条件：大小和形状对运动大小和形状对运动没有影响或影响可以忽略。没有影响或影响可以忽略。研究地球公转研究地球公转38104 . 6105 . 1EESRR1104 . 24地球上各点的公转速度相差很小，忽略地球自身尺地球上各点的公转速度相差很小，忽略地球自身尺寸的影响，作为质点处理。寸的影响，作为质点处理。质质 点点研究地球自转研究地球自转Rv地球上各点的速地球上各点的速度相差很大，因度相差很大，因此，地球自身的此，地球自身的大小和形状不能大小和形状不能忽略，这时不能忽略，这时不能作质点处理。作质点处理。质质 点

3、点除车轮外，汽车各部分运动情况完全相同，车轮除车轮外，汽车各部分运动情况完全相同，车轮的运动是次要的，此时可把汽车作为质点处理。的运动是次要的，此时可把汽车作为质点处理。研究汽车在平直道路上运动研究汽车在平直道路上运动 质质 点点涉及转动问题，汽车各部分运动情况不同，各个涉及转动问题，汽车各部分运动情况不同，各个车轮受力差异很大，不能把汽车做质点处理。车轮受力差异很大，不能把汽车做质点处理。研究汽车突然刹车研究汽车突然刹车“前倾前倾”或转弯或转弯质点是从实际中抽象出的理想模型，研究质点的运质点是从实际中抽象出的理想模型，研究质点的运动是为了抓住事物的主要矛盾进行研究分析。动是为了抓住事物的主要

4、矛盾进行研究分析。2. 2. 参考系和坐标系参考系和坐标系 静止是相对的，运动是绝对的，地心学说被日静止是相对的，运动是绝对的，地心学说被日心说取代，让人们明白，判断物体运动与否，首先心说取代，让人们明白，判断物体运动与否，首先要选择统一的物体作参考。要选择统一的物体作参考。即使是太阳，在银河系即使是太阳，在银河系中其它恒星系统观察，仍然运动着的。中其它恒星系统观察，仍然运动着的。参考系和坐标系参考系和坐标系银河系银河系指南针指南针参考系：参考系：描述物体运动时，被选作参考的物体，称描述物体运动时，被选作参考的物体，称为参考系为参考系。 要定量描述物体的位置与运动情况，就要运用要定量描述物体的

5、位置与运动情况，就要运用数学手段，采用固定在参考系上的坐标系。数学手段，采用固定在参考系上的坐标系。 常用的坐标系有直角坐标系常用的坐标系有直角坐标系( (x,y,z) )，极坐标系，极坐标系( ( , ) )，球坐标系，球坐标系( (R, , ) )，柱坐标系，柱坐标系( (R, ,z ) )。 xyzoz R参考方向参考方向zo Rxy 参考系和坐标系参考系和坐标系3. 3. 空间和时间空间和时间 空间空间反映了物质的广延性，与物体的体积和位反映了物质的广延性，与物体的体积和位置的变化联系在一起。置的变化联系在一起。 时间时间反映物理事件的顺序性和持续性，与物理反映物理事件的顺序性和持续性

6、，与物理事件的变化发展过程联系在一起。事件的变化发展过程联系在一起。各个时代有代表性的时空观：各个时代有代表性的时空观： 墨子：墨子：空间是一切不同位空间是一切不同位置的概括和抽象；时间是一切置的概括和抽象；时间是一切不同时刻的概括和抽象。不同时刻的概括和抽象。空间和时间空间和时间墨墨 子子 莱布尼兹：莱布尼兹：空间和时间是物质上空间和时间是物质上下左右的排列形式和先后久暂的持续下左右的排列形式和先后久暂的持续形式，没有具体的物质和物质的运动形式，没有具体的物质和物质的运动就没有时空间和时间，强调时间空间就没有时空间和时间，强调时间空间的客观性而忽略与运动的联系。的客观性而忽略与运动的联系。

7、牛顿：牛顿：空间和时间是不依赖于空间和时间是不依赖于物质的独立的客观存在，强调与运物质的独立的客观存在，强调与运动的联系忽略客观性。动的联系忽略客观性。莱布尼兹莱布尼兹牛牛 顿顿 爱因斯坦：爱因斯坦：相对论时空观，相对论时空观，时间与空间客观存在，与运动时间与空间客观存在，与运动密不可分。密不可分。 目前的时空观范围：宇宙的尺度目前的时空观范围：宇宙的尺度1026m(20亿光亿光年年)到到微观粒子尺度微观粒子尺度10-15m，从宇宙的年龄，从宇宙的年龄1018s(20亿年，宇宙年龄亿年，宇宙年龄)到微观粒子的最短寿命到微观粒子的最短寿命10-24s。 物理理论指出物理理论指出, ,空间和时间都

8、有下限：分别为空间和时间都有下限：分别为普朗克长度普朗克长度10-35m和普朗克时间和普朗克时间10-43s 。空间和时间空间和时间爱因斯坦爱因斯坦4. 4. 运动方程运动方程 在一定的坐标系中，质点的位置随时间按一定在一定的坐标系中，质点的位置随时间按一定规律变化，位置用坐标表示为时间的函数，叫做规律变化，位置用坐标表示为时间的函数，叫做运运动方程动方程。)(txx )(tyy )(tzz 例如：例如：vtxx020021attvxx0),(zyxf 将运动方程中的时间消去，得将运动方程中的时间消去，得到质点运动的轨迹方程。一般情况到质点运动的轨迹方程。一般情况轨迹方程是空间曲线。轨迹方程是

9、空间曲线。0),(zyxfoxyzP(x,y,z)ikj运动方程运动方程1-2 位移位移 速度速度 加速度加速度1. 1. 位矢位矢oxyzikj 在在坐标系中，用来确定质点所在位置的矢量坐标系中，用来确定质点所在位置的矢量，叫做叫做位置矢量位置矢量，简称简称位矢位矢。位置矢量是从坐标原位置矢量是从坐标原点指向质点所在位置的有向线段。点指向质点所在位置的有向线段。r222zyxr rkjirzyx P(x,y,z)rx/cosry/cosrz/cos1coscoscos222 2. 2. 位移位移)(Br BS A)(Aroxyzr位移位移反映质点位置变化的物反映质点位置变化的物理量，从初始位

10、置指向末位理量，从初始位置指向末位置的有向线段。置的有向线段。AB r路程路程是质点经过实际路径是质点经过实际路径的长度。路程是标量。的长度。路程是标量。注意区分注意区分、rrroArBrrABrr位移位移3. 3. 速度速度速度速度是描述质点位置随时间变化的快慢和方向的物是描述质点位置随时间变化的快慢和方向的物理量。理量。trv平均速度平均速度平均速率平均速率tvs平均速度是矢量，其方向与位移的方向相同。平均平均速度是矢量，其方向与位移的方向相同。平均速率是标量。平均速度的大小并不等于平均速率。速率是标量。平均速度的大小并不等于平均速率。例如质点沿闭合路径运动。例如质点沿闭合路径运动。速度速

11、度瞬时速度瞬时速度 o)(trP1ttttt0)()(limrrv 当当 t t0 0时，时，P P2 2点点向向P P1 1点无限靠近。点无限靠近。P2P2P2P2P2P2P2P2)(ttr)0(tr)0(trP2)(ttr)0(trtddrtt0limr速度速度方向:当当 时位移时位移 的极限方向，该位的极限方向，该位置的切线方向，指向质点前进的一侧。置的切线方向，指向质点前进的一侧。0tr瞬时速度是矢量，直角坐标系中分量形式：瞬时速度是矢量，直角坐标系中分量形式：txvxddtyvyddtzvzdd大小: vv222zyxvvv速度速度4. 4. 加速度加速度加速度加速度是描述质点速度的

12、大小和方向随时间变是描述质点速度的大小和方向随时间变化快慢的物理量。化快慢的物理量。x y z P2 P1 o)(ttr)(tv)(ttv)(tr)(tv)(ttvv)(tv)(ttvvv加速度加速度x y z P2 P1 o)(ttr)(tv)(ttv)(tr注意区分注意区分 、vvvvo)(tv)(tt v平均加速度平均加速度tva平均加速度是矢量，方向与速度增量的方向相同。平均加速度是矢量，方向与速度增量的方向相同。加速度加速度瞬时加速度瞬时加速度 与瞬时速度的定义相类似，瞬时加速速度是一个与瞬时速度的定义相类似，瞬时加速速度是一个极限值极限值tt0limvatddvtvaxxdd 瞬时

13、加速度简称加速度，它是矢量，在直角坐瞬时加速度简称加速度，它是矢量，在直角坐标系中用分量表示标系中用分量表示:22ddtr22ddtx tvayydd22ddtytvazzdd22ddtz加速度加速度222zyxaaaa加速度的加速度的方向方向就是时间就是时间 t趋近于零时，速度增量趋近于零时，速度增量的极限方向。加速度与速度的方向一般不同。的极限方向。加速度与速度的方向一般不同。大小大小加速度与速度的夹角为加速度与速度的夹角为0 或或180 ，质点做直线运动。，质点做直线运动。加速度与速度的夹角等于加速度与速度的夹角等于90 ，质点做圆周运动。，质点做圆周运动。avvava加速度加速度加速度

14、与速度的夹角大于加速度与速度的夹角大于90 ，速率减小。，速率减小。加速度与速度的夹角等于加速度与速度的夹角等于90 ，速率不变。，速率不变。vggvv远日点远日点近日点近日点vvvvvvvgggggggg加速度加速度质点作曲线运动，判断下列说法的正误。质点作曲线运动，判断下列说法的正误。rrr rrsrsrs质点的运动学方程为质点的运动学方程为x=6+3t-5t3(SI),判断正误判断正误:质点作匀加速直线运动，加速度为正。质点作匀加速直线运动，加速度为正。质点作匀加速直线运动，加速度为负。质点作匀加速直线运动，加速度为负。质点作变加速直线运动，加速度为正。质点作变加速直线运动，加速度为正。

15、质点作变加速直线运动，加速度为负。质点作变加速直线运动，加速度为负。思考题思考题思考题思考题例例1-1 1-1 已知质点作匀加速直线运动，加速度为已知质点作匀加速直线运动，加速度为a a，求，求该质点的运动方程。该质点的运动方程。解解：已知速度或加速度求运动方程，采用积分法：已知速度或加速度求运动方程，采用积分法：tddvatddav对于作直线运动的质点，采用标量形式对于作直线运动的质点，采用标量形式tavddtvvtav0dd0atvv0两端积分可得到速度两端积分可得到速度vtxddatv 0tatvxtxxd)(d00020021attvxx)(20202xxavv根据速度的定义式：根据速

16、度的定义式：两端积分得到运动方程两端积分得到运动方程消去时间，得到消去时间，得到1-3 圆周运动及其描述圆周运动及其描述1. 1. 切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度 在一般圆周运动中，质点速度的大小和方向都在一般圆周运动中，质点速度的大小和方向都在改变，即存在加速度。采用自然坐标系，可以更在改变，即存在加速度。采用自然坐标系，可以更好地理解加速度的物理意义。好地理解加速度的物理意义。 在运动轨道上任一点建立在运动轨道上任一点建立正交坐标系正交坐标系,其一根坐标轴沿轨其一根坐标轴沿轨道切线方向道切线方向,正方向为运动的前正方向为运动的前进方向；一根沿轨道法线方向，进方向；一根沿轨道法

17、线方向，正方向指向轨道内凹的一侧。正方向指向轨道内凹的一侧。tenetene切向单位矢量切向单位矢量te法向单位矢量法向单位矢量ne显然，轨迹上各点处，自然坐标轴的方位不断变化。显然，轨迹上各点处，自然坐标轴的方位不断变化。1.1 1.1 自然坐标系自然坐标系ttv ev 由于质点速度的方向一定沿着轨迹的切向，因由于质点速度的方向一定沿着轨迹的切向，因此，自然坐标系中可将速度表示为：此，自然坐标系中可将速度表示为：tvettsedd由加速度的定义有由加速度的定义有tvddattveddtvtdde切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度1.2 1.2 自然坐标系下的加速度自然坐标系下的加速

18、度teod dsnetePtePtetedd nteeddnttteeddddnenRve切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度以圆周运动为例讨论上式中两个分项的物理意义：以圆周运动为例讨论上式中两个分项的物理意义： 如图，质点在如图，质点在dt 时间内经历弧长时间内经历弧长ds，对应于角，对应于角位移位移d ，切线的方向改变，切线的方向改变d 角度。角度。作出作出dt始末时刻的切向单位矢，始末时刻的切向单位矢，由矢量三角形法则可求出极限由矢量三角形法则可求出极限情况下切向单位矢的增量为情况下切向单位矢的增量为ted即即 与与P点的切向正交。因此点的切向正交。因此teonetePanat

19、a 于是前面的加速度表达式可写为：于是前面的加速度表达式可写为：attveddnRve2tvatddRvan2即圆周运动的加速度可分解为两即圆周运动的加速度可分解为两个正交分量：个正交分量：at称切向加速度，其大小表示质点速率变化的快慢；称切向加速度，其大小表示质点速率变化的快慢；an称法向加速度，其大小反映质点速度方向变化的称法向加速度，其大小反映质点速度方向变化的 快慢。快慢。切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度 上述加速度表达式对任何平面曲线运动都适用，上述加速度表达式对任何平面曲线运动都适用，但式中半径但式中半径R 要用曲率半径要用曲率半径 代替。代替。at 等于等于0, an

20、等于等于0, 质点做什么运动？质点做什么运动？at 等于等于0, an不等于不等于0 , 质点做什么运动？质点做什么运动？at 不等于不等于0, an等于等于0 , 质点做什么运动？质点做什么运动？at 不等于不等于0, an不等于不等于0 , 质点做什么运动？质点做什么运动？例题例题 讨论下列情况时，质点各作什么运动：讨论下列情况时，质点各作什么运动：切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度ntaaa1tan的夹角给出为的夹角给出为的方向由它与法线方向的方向由它与法线方向attveddnRve2由由22ntaaa222dd Rvtva的大小为的大小为2. 圆周运动的角量描述圆周运动的角量

21、描述oxy 前述用位矢、速度、加速前述用位矢、速度、加速度描写圆周运动的方法，称线度描写圆周运动的方法，称线量描述法；由于做圆周运动的量描述法；由于做圆周运动的质点与圆心的距离不变，因此质点与圆心的距离不变，因此可用一个角度来确定其位置，可用一个角度来确定其位置，称为角量描述法。称为角量描述法。 A：tB：t+ t 设质点在设质点在oxy平面内绕平面内绕o点、沿半径为点、沿半径为R的轨道作的轨道作圆周运动，如图。以圆周运动，如图。以ox轴为参考方向，则质点的轴为参考方向，则质点的角位置为角位置为 角位移为角位移为 规定反时针为正规定反时针为正平均角速度为平均角速度为t圆周运动的角量描述圆周运动

22、的角量描述角速度为角速度为tt0limtdd角加速度角加速度为为22ddddtt角角 速速 度度 的的 单位：单位： 弧度弧度/秒秒(rad s-1) ；角加速度的单位：角加速度的单位： 弧度弧度/平方秒平方秒(rad s-2) 。讨论讨论： (1) 角加速度角加速度 对运动的影响：对运动的影响： 等于零，质点作匀速圆周运动；等于零，质点作匀速圆周运动； 不等于零但为常数，质点作匀变速圆周运动；不等于零但为常数，质点作匀变速圆周运动； 随时间变化，质点作一般的圆周运动。随时间变化，质点作一般的圆周运动。圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述)(22/02022000ttt (2) 质点作匀速或匀

23、变速圆周运动时的角速度、质点作匀速或匀变速圆周运动时的角速度、角位移与角加速度的关系式为角位移与角加速度的关系式为)(22/02022000 xxavvattvxxatvv与匀变速直线运动的几个关系式与匀变速直线运动的几个关系式比较知：比较知：两者数学形式完全相同两者数学形式完全相同,说明用角量描述说明用角量描述,可把可把平面圆周运动转化为一维运动形式，从而简化问题平面圆周运动转化为一维运动形式，从而简化问题。圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述ROx3. 线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系 圆周运动既可以用速度、加速度描述，也可以用圆周运动既可以用速度、加速度描述，也可以用角速度、角加

24、速度描述，二者应有一定的对应关系。角速度、角加速度描述，二者应有一定的对应关系。 + 0 0+t+ tBtA 图示图示 一质点作圆周运动：一质点作圆周运动：在在 t 时间内，质点的角位时间内，质点的角位移为移为 ，则，则A、B间的有向间的有向线段与弧将满足下面的关系线段与弧将满足下面的关系ABABtt00limlim两边同除以两边同除以 t，得到速度与角速度之间的关系：，得到速度与角速度之间的关系：Rv 线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系将上式两端对时间求导，得到切向加速度与角加速将上式两端对时间求导，得到切向加速度与角加速度之间的关系：度之间的关系：Rat将速度与角速度的关系代入法向加

25、速度的定义式，将速度与角速度的关系代入法向加速度的定义式，得到法向加速度与角速度之间的关系：得到法向加速度与角速度之间的关系：Rvan22R例例1例例2思考题思考题线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系法向加速度也叫向心加速度。法向加速度也叫向心加速度。线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系将上式两端对时间求导，得到切向加速度与角加速将上式两端对时间求导，得到切向加速度与角加速度之间的关系：度之间的关系：Rat将速度与角速度的关系代入法向加速度的定义式，将速度与角速度的关系代入法向加速度的定义式，得到法向加速度与角速度之间的关系：得到法向加速度与角速度之间的关系：Rvan22R例例1例例2

26、思考题思考题法向加速度也叫向心加速度。法向加速度也叫向心加速度。例题例题1 1 计算地球自转时地面上各点的速度和加速度。计算地球自转时地面上各点的速度和加速度。解：解：地球自转周期地球自转周期T=24 60 60 s，角速度大小为：，角速度大小为：T26060242151027. 7s 如图，地面上纬度为如图，地面上纬度为 的的P点，在与赤道平行的平面内点，在与赤道平行的平面内作圆周运动作圆周运动, cosRr 线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系R 赤道赤道rp 其轨道的半径为其轨道的半径为rvcosRcos1073. 61027. 765)/(cos1065. 42smran2cos2

27、Rcos1073. 6)1027. 7(625P点速度的大小为点速度的大小为P点只有运动平面上的向心加速度，其大小为点只有运动平面上的向心加速度，其大小为P点速度的方向与过点速度的方向与过P点运动平面上半径为点运动平面上半径为R的圆相切。的圆相切。线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系)/(cos1037. 322smP点加速度的方向在运动平面上由点加速度的方向在运动平面上由P指向地轴。指向地轴。 例如例如:已知北京、上海和广州三地的纬度分别已知北京、上海和广州三地的纬度分别是北纬是北纬39 57 、31 12 和和 23 00 ，则，则三地的三地的v 和和 an分别为：分别为：北京：北京：

28、),/(356smv )/(1058. 222sman上海：上海：),/(398smv )/(1089. 222sman广州：广州：),/(428smv )/(1010. 322sman线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系 例如例如:已知北京、上海和广州三地的纬度分别已知北京、上海和广州三地的纬度分别是北纬是北纬39 57 、31 12 和和 23 00 ，则，则三地的三地的v 和和 an分别为：分别为：北京：北京：),/(356smv )/(1058. 222sman上海：上海：),/(398smv )/(1089. 222sman广州：广州：),

29、/(428smv )/(1010. 322smanRo 在在t 时刻，质点运动到位时刻，质点运动到位置置 s 处。处。s s解解：先作图如右，先作图如右，t = 0 时，时，质点位于质点位于s = 0 的的p点处。点处。n线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系P （1） t 时刻质点的总加速度的大小；时刻质点的总加速度的大小； （2） t 为何值时，总加速度的大小为为何值时，总加速度的大小为b ； （3）当总加速度大小为）当总加速度大小为b 时，质点沿圆周运行时，质点沿圆周运行了多少圈。了多少圈。例题例题2 一质点沿半径为一质点沿半径为R的圆周按规律的圆周按规律 运动，运动，v0、b都是正的

30、常量。求：都是正的常量。求：2/20bttvsnaa22naaa （2）令）令a = b ，即，即bRbRbtva220)()(Ros （1）t 时刻切向加速度、法向加速度及加速度大小时刻切向加速度、法向加速度及加速度大小:tvddRv222ddtsbRbtv20)(RbRbtv220)()(n线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系（3）当当a = b 时，时，t = v0/b ，由此可求得质点历经，由此可求得质点历经 的弧长为的弧长为 /220bttvs它与圆周长之比即为圈数：它与圆周长之比即为圈数：Rsn2Rosbvt/0bv /220Rbv420n线量与角量之间的关系线量与角量之间的关

31、系得得线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系（3）当当a = b 时，时，t = v0/b ，由此可求得质点历经，由此可求得质点历经 的弧长为的弧长为 /220bttvs它与圆周长之比即为圈数：它与圆周长之比即为圈数：Rsn2Rosbvt/0bv /220Rbv420n得得返回1. 质点作匀变速圆周运动，则质点作匀变速圆周运动，则切向加速度的大小和方向都在变化切向加速度的大小和方向都在变化法向加速度的大小和方向都在变化法向加速度的大小和方向都在变化切向加速度的方向变化，大小不变切向加速度的方向变化，大小不变切向加速度的方向不变，大小变化切向加速度的方向不变，大小变化 质点作匀变速圆周运动，速

32、质点作匀变速圆周运动，速度的大小方向都在变化；切向加度的大小方向都在变化；切向加速度和法向加速度的大小方向都速度和法向加速度的大小方向都在变化。在变化。Ro思考题思考题思考题思考题2.2.判断下列说法的正、误：判断下列说法的正、误：a. 加速度恒定不变时，物体的运动方向必定不变。加速度恒定不变时，物体的运动方向必定不变。b. 平均速率等于平均速度的大小。平均速率等于平均速度的大小。d. 运动物体的速率不变时，速度可以变化。运动物体的速率不变时，速度可以变化。 例如：物体做抛体运动，加速度恒定，而速度方例如：物体做抛体运动，加速度恒定，而速度方向改变。向改变。c. 不论加速度如何，平均速率的表达

33、式总可以写成不论加速度如何，平均速率的表达式总可以写成2/)(21vvv,其中其中 v1是初速度，是初速度， v2 是末速度。是末速度。tsv/依据依据 平均速率平均速率 t/rv平均速度的大小平均速度的大小思考题思考题思考题思考题1-4 曲线运动方程的矢量形式曲线运动方程的矢量形式1. 圆周运动方程的矢量形式圆周运动方程的矢量形式 在直角坐标系中，作一般曲线运动的质点的在直角坐标系中，作一般曲线运动的质点的 坐坐标标x、y、z 为时间为时间t函数：函数： 这就是运动方程的分量形式，写成矢量形式为这就是运动方程的分量形式，写成矢量形式为),(zyxrr)(tr 运动的叠加原理：运动的叠加原理：

34、一个运动可以看成几个各自一个运动可以看成几个各自独立进行的运动的叠加。独立进行的运动的叠加。),(txx ),(tyy )(tzz 以上两个形式的运动方程等价；前者从三个相互垂直以上两个形式的运动方程等价；前者从三个相互垂直方向的分运动来描述质点的运动，后者是前述三个相方向的分运动来描述质点的运动，后者是前述三个相互垂直方向的分运动的叠加，即合运动。互垂直方向的分运动的叠加，即合运动。 x xy y平面内圆周运动的讨论：平面内圆周运动的讨论： ,sin tRx,cos tRy0z 在第一组方程中消去时间参数在第一组方程中消去时间参数t，得到运动，得到运动的轨迹方程的轨迹方程,222Ryx0z圆

35、周运动方程的矢量形式圆周运动方程的矢量形式 因此，一个复杂的运动可以分解为几个简单运因此，一个复杂的运动可以分解为几个简单运动，满足动，满足运动的叠加原理。运动的叠加原理。这显然是这显然是z=0的平面内以原点为圆心、半径为的平面内以原点为圆心、半径为R的圆。的圆。)cos(sinj ti tRr和和两种形式的运动方程可分别写两种形式的运动方程可分别写 出为：出为：对匀速圆周运动，速度、加速度的分量式为：对匀速圆周运动，速度、加速度的分量式为：txvxdd)sin(ddtRttRcostyvydd)cos(ddtRttRsintRtvaxxsindd2tRtvayycosdd2jiatRtRco

36、ssin22r2圆周运动方程的矢量形式圆周运动方程的矢量形式写成矢量形式为写成矢量形式为j tRi tRvsincos2. 抛体运动方程的矢量形式抛体运动方程的矢量形式 抛体运动：抛体运动： 从地面上某点向空中抛出的物体从地面上某点向空中抛出的物体在空中所做的运动称在空中所做的运动称抛体运动抛体运动。 以抛射点为坐标原点建立坐标系，水平方向为以抛射点为坐标原点建立坐标系，水平方向为x轴，竖直方向为轴，竖直方向为y轴。设抛出时刻轴。设抛出时刻t=0的速率为的速率为v0，抛抛射角为射角为 ，,cos00vvxsin00vvy而加速度恒定而加速度恒定gajg故任意时刻的速度为：故任意时刻的速度为：j

37、iv)sin()cos(00gtvv则初速度分量分别为：则初速度分量分别为：曲线运动方程的矢量形式曲线运动方程的矢量形式Oyx0vxv0yv0vg将上式积分，得到运动方程的矢量形式为将上式积分，得到运动方程的矢量形式为ttgtvtv000d)sin(d)cos(jirji)21sin()cos(200gttvtv抛体运动方程的矢量形式抛体运动方程的矢量形式消去此方程中的时间参数消去此方程中的时间参数t，得到抛体运动的轨迹，得到抛体运动的轨迹方程为方程为2202cos21tgvgxxy此为一抛物线方程，故抛体运动也叫抛物线运动。此为一抛物线方程，故抛体运动也叫抛物线运动。 令令y = 0 ，得到

38、抛物线与，得到抛物线与x 轴的另一个交点坐标轴的另一个交点坐标H ，它就是射程：它就是射程：gvH2sin20 根据轨迹方程的极值条件，根据轨迹方程的极值条件，求得最大射高为：求得最大射高为：gvh2sin220抛体运动方程的矢量形式抛体运动方程的矢量形式Oyx0vxv0yv0vgHh 运动的分解可有多种形式。例如，抛体运动也运动的分解可有多种形式。例如，抛体运动也可以分解为沿抛射方向的匀速直线运动与竖直方向可以分解为沿抛射方向的匀速直线运动与竖直方向的自由落体运动的叠加：的自由落体运动的叠加：jjir20021)sincos(gttvvjv2021gtt 知，抛体运动可看作是由水平方向的匀速

39、直线运动知，抛体运动可看作是由水平方向的匀速直线运动与竖直方向的匀变速直线运动叠加而成。这种分析与竖直方向的匀变速直线运动叠加而成。这种分析方法称为运动的分解。方法称为运动的分解。ji)21sin()cos(200gttvtvr由方程由方程Oyxt0vt gr这种分解方法可用这种分解方法可用 下图说明下图说明还可用子弹打猴子的古老演还可用子弹打猴子的古老演示来证实：示来证实：抛体运动方程的矢量形式抛体运动方程的矢量形式 猎人瞄准树上的猴猎人瞄准树上的猴子射击，猴子一见火光就跳下自子射击，猴子一见火光就跳下自由下落），却不能避开子弹。由下落），却不能避开子弹。抛体运动方程的矢量形式抛体运动方程的

40、矢量形式Oyxt0vt gr这种分解方法可用这种分解方法可用 下图说明下图说明1-5 1-5 运动描述的相对性运动描述的相对性 伽利略坐标变换伽利略坐标变换太阳、地球、月球系统太阳、地球、月球系统 研究火车在其轨道上运动，一小球在车厢内运动，研究火车在其轨道上运动，一小球在车厢内运动，以火车或者静止的地面为参考系来研究小球的运动情以火车或者静止的地面为参考系来研究小球的运动情况。况。 运动是绝对的，但是运动的描述具有相对性，运动是绝对的，但是运动的描述具有相对性，在不同参考系中研究同一物体的运动情况结果会完在不同参考系中研究同一物体的运动情况结果会完全不同。全不同。观察小球与火车的运动情况：观

41、察小球与火车的运动情况：运动描述的相对性运动描述的相对性 伽利略坐标变换伽利略坐标变换运动描述的相对性运动描述的相对性 伽利略坐标变换伽利略坐标变换运动描述的相对性运动描述的相对性 伽利略坐标变换伽利略坐标变换1. 伽利略坐标变换伽利略坐标变换 不同参考系对同一个运动描述的结果不同，其不同参考系对同一个运动描述的结果不同，其结果之间是否有某种联系呢？结果之间是否有某种联系呢？oxyzoxyz 考虑两个参考系中的考虑两个参考系中的坐 标 系坐 标 系 K 和和 K( O x y z 和和Oxyz)，它们相对作匀速，它们相对作匀速直线运动。直线运动。v 在在t=0时刻坐标原点重时刻坐标原点重合，对

42、于同一个质点合，对于同一个质点A，在任意时刻两个坐标系中在任意时刻两个坐标系中的质点对应的位置矢量：的质点对应的位置矢量：Prr运动描述的相对性运动描述的相对性 伽利略坐标变换伽利略坐标变换K系原点相对系原点相对K系原点的位矢：系原点的位矢：从图中很容易看出矢量关系：从图中很容易看出矢量关系：Rrr成立的条件成立的条件:绝对时空观！绝对时空观！空间绝对性空间绝对性:空间两点距离的空间两点距离的测量与坐标系无关。测量与坐标系无关。时间绝对性时间绝对性:时间的测量时间的测量与坐标系无关。与坐标系无关。r POtt oxyzoxyzvPrrR伽利略坐标变换伽利略坐标变换P点点K在系和在系和K系的空间

43、坐标、系的空间坐标、时间坐标的对应关系为：时间坐标的对应关系为：Rrr tt vtxx yy zz tt t vr 因此，满足经典时空观的条件时因此，满足经典时空观的条件时伽利略坐标变换式伽利略坐标变换式oxyzoxyzvPrrR伽利略坐标变换伽利略坐标变换2. 速度变换速度变换 分别表示质点在两个坐标系中的速度分别表示质点在两个坐标系中的速度、KvK vvvvxx KKyyvvKK zzvvKK t ddKrvttd)d(vr vv Ktddr vvv KK即即在直角坐标系中写成分量形式在直角坐标系中写成分量形式伽利略速度变换伽利略速度变换运动描述的相对性运动描述的相对性 伽利略坐标变换伽利

44、略坐标变换oxyzoxyzvPKvK vv 相对于地面竖直下落的物体，作出各个坐标系中相对于地面竖直下落的物体，作出各个坐标系中的速度方向，满足矢量三角形法则。的速度方向，满足矢量三角形法则。Ktgvv 为了便于记忆，通常把速为了便于记忆，通常把速度变换式写成下面的形式度变换式写成下面的形式KKKAAKvvv 注意：注意：低速运动的物体满低速运动的物体满足速度变换式，并且可通过实足速度变换式，并且可通过实验证实，对于高速运动的物体，验证实，对于高速运动的物体，上面的变换式失效。上面的变换式失效。速度变换速度变换3. 加速度变换加速度变换 设设K系相对于系相对于K系作匀加速直线运动系作匀加速直线

45、运动,加速度加速度 沿沿x方向。方向。0a0, 0vv t K系相对于系相对于K系的速度系的速度t00avv tttddddddKKvvv 0KKaaa 时,00 a当当KK aa表明质点的加速度相对于作匀速运动的各个参考系不变表明质点的加速度相对于作匀速运动的各个参考系不变。运动描述的相对性运动描述的相对性 伽利略坐标变换伽利略坐标变换例例1：某人骑摩托车向东前进，其速率为：某人骑摩托车向东前进，其速率为10m s-1时时觉得有南风，当觉得有南风，当其速率为其速率为15m s-1时，又觉得有东南时，又觉得有东南风，试求风速度。风，试求风速度。解解：取风为研究对象，取风为研究对象，骑车人和地面作为两骑车人和地面作为两个相对运动的参考系。个相对运动的参考系。作图作图v15ms-110ms-145y(北)x(东)O2KK