第五章定态微扰论

1、第四章第四章 定态微扰论定态微扰论1 引言引言 2 非简并定态微扰理论非简并定态微扰理论赣南师范学院物理系赣南师范学院物理系（一）近似方法的重要性（一）近似方法的重要性 前几章介绍了量子力学的基本理论，使用这些前几章介绍了量子力学的基本理论，使用这些理论解决了一些简单问题。如：理论解决了一些简单问题。如： （1 1）一维无限深势阱问题；）一维无限深势阱问题； （2 2）线性谐振子问题；）线性谐振子问题； （3 3）氢原子问题。）氢原子问题。 这些问题都给出了问题的精确解析解。这些问题都给出了问题的精确解析解。 1 1 引引 言言 然而，对于大量的实际物理问题，然而，对于大量的实际物理问题，Sc

2、hrodinger 方方程能有精确解的情况很少。通常体系的程能有精确解的情况很少。通常体系的 Hamilton 量量是比较复杂的，往往不能精确求解。因此，在处理是比较复杂的，往往不能精确求解。因此，在处理复杂的实际问题时，量子力学求问题近似解的方法复杂的实际问题时，量子力学求问题近似解的方法（简称近似方法简称近似方法）就显得特别重要。）就显得特别重要。 （二）近似方法的出发点（二）近似方法的出发点 近似方法通常是从简单问题的精确解（解析解）近似方法通常是从简单问题的精确解（解析解）出发，来求较复杂问题的近似（解析）解。出发，来求较复杂问题的近似（解析）解。常用的近似方法有常用的近似方法有微扰论

3、微扰论、变分法等等、变分法等等2 2 非简并定态微扰理论非简并定态微扰理论（一）微扰体系方程（一）微扰体系方程 （二）态矢和能量的一级修正（二）态矢和能量的一级修正 （三）能量的二阶修正（三）能量的二阶修正 （四）微扰理论适用条件（四）微扰理论适用条件 （五）讨论（五）讨论 （六）实例（六）实例 （一）微扰体系方程（一）微扰体系方程可精确求解的体系叫做可精确求解的体系叫做未微扰体系未微扰体系，待求解的体系，待求解的体系叫做叫做微扰体系微扰体系。假设体系。假设体系 Hamilton 量不显含时间，量不显含时间，而且可分为两部分：而且可分为两部分： HHH )0( H(0) 所描写的体系是可以精确

4、求解的，其本征值所描写的体系是可以精确求解的，其本征值 E n (0) ，本征态，本征态n(0) 满足如下本征方程：满足如下本征方程：(0)(0)(0)(0)nnnHE微扰论利用已知的可精确求解的体系求待求解的体系。微扰论利用已知的可精确求解的体系求待求解的体系。另一部分另一部分 H是很小的（很小的物理意义将在下面讨是很小的（很小的物理意义将在下面讨论）可以看作加于论）可以看作加于 H(0) 上的微小扰动，即上的微小扰动，即微扰微扰。现。现在的问题是如何求解微扰后在的问题是如何求解微扰后 Hamilton 量量 H 的本征的本征值和本征函数，即如何求解整个体系的值和本征函数，即如何求解整个体系

5、的 Schrodinger 方程：方程： nnnHEHHH )0(当当H = 0 时，时， n= n (0), En = E n (0) ；当当 H 0 时，引入微扰，使体系能级发生移动，由时，引入微扰，使体系能级发生移动，由 E n (0) En ，状态由，状态由 n (0) n 。为了明显表示出微扰的微小程为了明显表示出微扰的微小程度，将其写为：度，将其写为： )1(HH 其中其中是很小的实数，是很小的实数， 表征微扰程度的参量。表征微扰程度的参量。因为因为 En 、 n 都与微扰有关，可以把它们看成是都与微扰有关，可以把它们看成是的的函数而将其展开成函数而将其展开成的幂级数：的幂级数：

6、微扰使能级发生移动，波函数发生变化。我们的目的微扰使能级发生移动，波函数发生变化。我们的目的是，由原来的是，由原来的 求出微扰后的求出微扰后的 的各阶近似表达式，的各阶近似表达式，和由和由 近似求出近似求出 的各阶近似表达式。的各阶近似表达式。(0)n(0)nnn(0)(1)2(2)(0)(1)2(2)nnnnnnnnEEEE 其中其中E n (0), E n (1), 2 E n (1), . 分别是能量的分别是能量的 0 级近似，级近似，能量的一级修正和二级修正等；能量的一级修正和二级修正等； 而而n (0), n (1), 2 n (2), . 分别是状态的分别是状态的 0 级近似，一级

7、修正和二级修正等。级近似，一级修正和二级修正等。(0)(1)(0)(1)2(2)(0)(1)2(2)(0)(1)2(2)()()()()nnnnnnnnnHHEEE 代入代入Schrodinger方程得：方程得： 乘开得：乘开得： (0)(0)(0)(0)(0)(1)(1)(0)(0)(1)(1)(0)2(0)(2)(1)(1)2(0)(2)(1)(1)(2)(0)33nnnnnnnnnnnnnnnnnHEHHEEHHEEE 根据等式两边根据等式两边同幂次的系数应该相等，可得到同幂次的系数应该相等，可得到如下一系列方程式如下一系列方程式: :0(0)(0)(0)(0)1(0)(1)(1)(0)

8、(0)(1)(1)(0)2(0)(2)(1)(1)(0)(2)(1)(1)(2)(0):nnnnnnnnnnnnnnnnnHEHHEEHHEEE 整理后得：整理后得： (0)(0)(0)(0)(0)(1)(1)(1)(0)(0)(0)(2)(1)(1)(1)(2)(0)0nnnnnnnnnnnnHEHEHEHEHEE 上面的第一式就是上面的第一式就是H(0)的本征方程，第二、三式分别的本征方程，第二、三式分别是是n (1) 和和n (2)所满足的方程，由此可解得能量和波函所满足的方程，由此可解得能量和波函数的第一、二级修正。数的第一、二级修正。现在我们借助于未微扰体系的波函数现在我们借助于未微

9、扰体系的波函数n (0) 和本征能量和本征能量 E n (0)来导出扰动后的波函数来导出扰动后的波函数n和能量和能量 En 的表达式。的表达式。(1)能量一级修正能量一级修正E n (1) 根据力学量本征函数的完备性假定，根据力学量本征函数的完备性假定， H(0)的本征函数的本征函数n (0) 是完备的，任何波函数都可按其展开，是完备的，任何波函数都可按其展开，n (1) 也也不例外。因此我们可以将波函数的一级修正展开为：不例外。因此我们可以将波函数的一级修正展开为：(1)(1)(0 )1nkkka（二）波函数和能量的一级修正（二）波函数和能量的一级修正 (0)(0)(0)(0)(0)(1)(

10、1)(1)(0)(0)(0)(2)(1)(1)(1)(2)(0)0nnnnnnnnnnnnHEHEHEHEHEE 代回上面的第二式并计及第一式得：代回上面的第二式并计及第一式得：( 0 )( 0 )(1)( 0 )(1)(1)( 0 )1(1)( 0 )( 0 )( 0 )(1)(1)( 0 )1nkknnkkknknnkHEaHEaEEHE 左乘左乘m (0) *再积分再积分考虑到本征波函数的正交归一性：考虑到本征波函数的正交归一性：(1)(0)(0)1(1)(1)kknmkkmnnmnaEEHE (1)(0)(0)(1)(1)mmnmnnmnaEEHE (1)(0)(0)(0)*(0)1(

11、0)*(1)(0)(1)(0)*(0)kknmkkmnnmnaEEdHdEd (1)(0)*(1)(0)mnmnHHd其中其中考虑两考虑两种情况种情况 1. m = n(1)(1)(0)(1)(0)nnnnnEHHd2. m n(1)(1)(0)(0)mnmnmHamnEE(1)(0)(0)(1)(1)mmnmnnmnaEEHE (1)(0)*(1)(0)mnmnHHd其中其中称为微扰矩阵元称为微扰矩阵元准确到一阶微扰的体系能量：准确到一阶微扰的体系能量：)1()0(nnnEEE (0 )(0 )(1)(0 )nnnEHd(0 )(0 )(1)(0 )nnnEHd(0 )(0 )(0 )nnn

12、EHd(0)nnnEH(0)(0)nnnnHHd 其中能量的一级修正等于其中能量的一级修正等于 微扰微扰Hamilton 量在量在 0 级级 态中的平均值态中的平均值（2）波函数的一级修正）波函数的一级修正 n(1) (1)(1)(0)1nkkka(0)(0)(0)(0)(0)(0)knnkk nnkHdEE(0)(1)(0)1nnkkka(0)(1)(0)(0)(0)(0)(0)knnkknnkHdEE(0)(1)(0)(0)(0)(0)(0)knnkknnkHdEE可以证明可以证明an (1)= 0（证明略）（证明略） (0)(0)(0)(0)(0)nnnnknnnkk nnkEEHHEE

13、因此准确到一级修正，体系的能量和波函数为：因此准确到一级修正，体系的能量和波函数为： 与求波函数的一阶修正一样，将与求波函数的一阶修正一样，将n (2) 按按 n (0) 展开：展开：(2)(2)(0)1nkkka（三）能量的二阶修正（三）能量的二阶修正(0)(0)(0)(0)(0)(1)(1)(1)(0)(0)(0)(2)(1)(1)(1)(2)(0)0nnnnnnnnnnnnHEHEHEHEHEE 与与n n(1)(1)展开式一起代入展开式一起代入 关于关于 2 2 的第三式的第三式(0)(0)(2)(0)(1)(1)(1)(0)(2)(0)11nkknkknnkkHEaHEaE (0 )

14、(0 )( 2 )(0 )(1)(1)(1)(0 )( 2 )(0 )11knkknkknnkkEEaHEaE 左乘左乘m m(0)(0)* * 并积分并积分(0)(0)(2)(0)(0)(1)(0)(1)(0)11(1)(1)(0)(0)(2)(0)(0)1knkmkkmkkknkmknmkkEEadaHdEadEd正交归一性正交归一性(0)(0)(2)1(1)(0)(1)(0)(1)(1)(2)11knkmkkkmknkmknmnkkEEaaHdEaE (1)(1)(1)(1)(2)10knknnnkaHEaE (0)(0)(2)(1)(1)(1)(1)(2)1mnmkmknmnmnkEE

15、aaHEaE 1. 1. 当当 m = n m = n 时时(2)(1)(1)(1)(1)1nknknnnkEa HHa(1)(1)knkknaH)1()0()0()1(nkknknnkHEEH )0()0(*)1()1(knknknnkEEHH )0()0(2)1(|knknnkEEH 在推导中使在推导中使用微扰矩阵用微扰矩阵元的厄密性元的厄密性*(1)*(0)(1)(0)knknHHd(0)(1)(0)nkHd(0)(1)(0)nkHd)1(nkH (1)(1)(0)(0)knknkHaEE2. 2. 当当 m n m n 时时(0)(0)(2)(1)(1)(1)(1)1mnmkmknmk

16、EEaaHEa (1)(1)(1)(1)(2)(0)(0)(0)(0)1kmknnmmknmnma HHaaEEEE2)0()0()1()1()0()0()0()0()1()1(mnmnnnknmnmkknnkEEHHEEEEHH 能量的二级修正能量的二级修正)0()0(2)1(2)2(2|knknnknEEHE 2(0)(1)(0)(0)(0)knk nnkHdEE)0()0(2|knknnkEEH 在计及二阶修正后，扰动体系能量本征值由下式给出：在计及二阶修正后，扰动体系能量本征值由下式给出：)0()0(2)0()2(2)1()0(|knknnknnnnnnnEEHHEEEEE 2(0)(

17、0)(0)(0)knk nnkHdEE 总结上述，在非简并情况下，受扰动体系的能量和总结上述，在非简并情况下，受扰动体系的能量和波函数分别由下式给出：波函数分别由下式给出： 2( 0 )( 0 )( 0 )( 0 )( 0 )( 0 )( 0 )|knnnnnknnkknnnkknnkHEEHEEHEE（四）微扰理论适用条件（四）微扰理论适用条件 欲使二式有意义，则要求二级数收敛。由于不知欲使二式有意义，则要求二级数收敛。由于不知道级数的一般项，无法判断级数的收敛性，我们只能道级数的一般项，无法判断级数的收敛性，我们只能要求级数已知项中，后项远小于前项。由此我们得到要求级数已知项中，后项远小于

18、前项。由此我们得到微扰理论适用条件是：微扰理论适用条件是：)0()0()0()0(1knknknEEEEH 这就是本节开始时提到的关于这就是本节开始时提到的关于 H 很小的明确表示式。很小的明确表示式。当这一条件被满足时，由上式计算得到的一级修正通当这一条件被满足时，由上式计算得到的一级修正通常可给出相当精确的结果。常可给出相当精确的结果。微扰适用条件表明：微扰适用条件表明： （2）|En(0) Ek(0)| 要大，即能级间距要宽。要大，即能级间距要宽。例如：在库仑场中，体系能量（能级）与量子数例如：在库仑场中，体系能量（能级）与量子数n2成成反比，即反比，即En = -Z2e2/2 2n2 ( n = 1,2,3, .) 由上式可见，当由上式可见，当n大时，能级间距变小，因此微扰理大时，能级间距变小，因此微扰理论不适用于计算高能级（论不适用于计算高能级（n大）的修正，而只适用于大）的修正，而只适用于计算低能级（计算低能级（n小）的修正。小）的修正。（1）|Hkn| 要小，即微扰矩阵元要小；要小，即微扰矩阵元要小；)0()0()0()0(1knknknEEEEH (0)(0)(0)(0)knnnkknnkHEE表明扰动波函数表明扰动波函数n可以看可以看 成