第十一章11.1—11.2与三角形有关的线段;与三角形有关的角(1)

1、掌握合理的学习方法 培养良好的学习习惯第十一章 11.111.2与三角形有关的线段；与三角形有关的角一、考点突破知识点考纲要求题型分值三角形了解：三角形的有关概念；会按边和角对三角形进行分类；三角形的内心、垂心和重心。理解：三角形的内角和、外角和及三边关系；会画三角形的主要线段。掌握：三角形内角和定理及推论；会按要求解决三角形的边、角的计算问题。选择题填空题解答题5分左右二、重难点提示重点：1、会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线；2、掌握三角形内角和定理的应用。难点：1、用三角形的三边不等关系判定三条线段可否组成三角形；2、三角形的角平分线、三角形的高及三角形的中线的应用。微课程1：与

2、三角形有关的边【考点精讲】【典例精析】 例题1 某同学用长分别是5cm，7cm，9cm，13cm的四根木棒摆三角形（用其中三根木棒首尾顺次相接），每摆好一个后，拆开再摆，这样最多可以摆出不同的三角形的个数为（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个思路导航：根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边进行分析。从4根不同长度的木棒中任选3根，有4种可能：5，7，9；5，9，13；5，7，13；7，9，13。再逐一检验，发现第三组不可能，因为5+7<13。所以选C。答案：C点评：本题考查了三角形的三边关系，难点在于按照一定的顺序确定出摆放的方法，方能做到不重不漏。2例题2 一个三

3、角形的两边长分别为5cm和3cm，第三边也是整数，且周长是偶数，则第三边长是（ ）A. 2cm或4cm B. 4cm或6cm C. 4cm D. 2cm或6cm思路导航：本题可先求出第三边的取值范围。再根据5+3为偶数，周长也为偶数，可知第三边为偶数，从而找出取值范围中的偶数，即为第三边的长。答案：设第三边长为x，则53x5+3，即2x8。又x为偶数，因此x=4或6。故选B。点评：本题考查的是三角形的三边关系和特殊解。注意：偶数加偶数为偶数，偶数加奇数为奇数。【总结提升】1. 判断三条线段能否构成三角形，最简捷的方法是：用两条较短的线段的长度之和与最长线段的长度进行比较，若两条较短线段的长度之

4、和大于最长线段的长度，则这三条线段可以组成三角形；否则不能组成三角形。2. 已知两边长求第三边长的取值范围的方法：已知三角形两边长为a，b，则第三边长x的取值范围是<x<a+b。微课程2：三角形的中线、高线、角平分线【考点精讲】三角形的重要线段定义图形表示法说明三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。1. AD是ABC的BC边上的高线。2. ADBC于D。3. ADB=ADC=90°。三角形有三条高，且它们（或它们的延长线）相交于一点，这个交点叫做三角形的垂心。三角形的中线三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段。1. AD是ABC

5、的BC边上的中线。2. BD=DC=BC。三角形有三条中线，都在三角形的内部，且它们相交于一点，这个交点叫做三角形的重心。三角形的重心在三角形的内部。三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，连接这个角的顶点与交点之间的线段。1. AD是ABC的BAC的平分线。2. 1=2=BAC。三角形有三条角平分线，都在三角形的内部，且它们相交于一点，这个交点叫做三角形的内心。三角形的内心在三角形的内部。4【典例精析】例题1 如图，是甲、乙、丙、丁四位同学画的钝角ABC的高BE，其中画对的是_。甲 乙 丙 丁思路导航：根据三角形的高是过一个顶点向对边引垂线，顶点与垂足之间的线段是该三角形的高，

6、对各图形作出判断。答案：丁点评：这是学生在画图时的一个易错点，通过本题理解画高时的两个注意点：一是过哪个点；二是垂直于哪条边。这道题是过B点，垂直于AC边。例题2 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，则这个等腰三角形的底边长是_。思路导航：根据等腰三角形的性质和已知条件求出腰长和底边长，然后根据三边关系进行讨论，即可得出结论。答案：设等腰三角形的腰长是xcm，底边是ycm。根据题意，得：或，解得：或根据三角形的三边关系，知：8，8，17不能组成三角形，应舍去。所以它的底边是5cm。点评：本题考查了等腰三角形的性质；解题中，因为两部分的周长没有明确，所以首先要分

7、两种情况考虑。最后一定要注意检查结果是否符合三角形的三边关系。分类讨论是解题的关键。例题3 如图，D为ABC中BC边上的任意一点（不与B、C重合），AE和AF分别是ABD和ACD的角平分线。求证：EAF =BAC。思路导航：从三角形的角平分线的定义，你能得到什么呢？AE是ABD的角平分线，得到3=4=BAD；AF是ACD的角平分线，得到1=2=CAD。从需要求证的EAF我们想到它等于3+2，再通过计算，就可以得到结论。6答案：AE和AF分别是ABD和ACD的角平分线，3=4=BAD，1=2=CAD，3+2=BAD+CAD=（BAD+CAD）=CAB，即EAF =BAC。点评：三角形的角平分线和

8、角的平分线的用法是一样的，但是它们的概念本质不一样，三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线。例题4 有一块三角形绿地，现在要把它分成面积相等的四块三角形，请你设计一个可行的方案，并画出示意图。思路导航：根据“等（同）底等（同）高的三角形面积相等”，结合三角形的中线、等分点的定义去设计方案。答案：如图所示：先找出AC的中点D，再连接DB，再找出DB的中点E，连接AE、CE，就可以把三角形的绿地分成面积相等的四块；如图所示：先找出AB的中点D，再连接DC，再找出DC的中点E，连接AE，找到BC的中点F，连接DF，就可以把三角形的绿地分成面积相等的四块。 图 图点评：本题属于方案设计类问

9、题。实质是把一个三角形分成面积相等的四个三角形，“等（同）底等（同）高的三角形面积相等”是根本依据，还有很多方案，只要满足条件均可。如下图所示：【总结提升】三角形的高、中线和角平分线是三角形的三种重要线段，它们都分别交于一点，且三角形的三条中线和三条角平分线都分别交于三角形的内部；而锐角三角形三条高线都在三角形的内部且相交于一点；直角三角形有两条高分别与两直角边重合，另一条高在三角形内部，它们交于直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形的外部，一条高在三角形的内部，三条高8所在直线交于三角形外一点。微课程3：三角形的内角及外角【考点精讲】1. 三角形内角和定理（1）定理：三角形内角和是180

10、76; 即A+B+C=180°（2）作用：它是三角形三个内角必须满足的条件；它实际上提供了三个内角满足的一个等量关系，是求三角形角度时常用的一个条件。（3）定理形式的变形：A = 180°BC；B + C =180°A （数学中的公式不是一成不变的，它可以变通。）2. 直角三角形的性质：直角三角形两锐角互余；直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。3. 三角形的外角及三角形内角和定理的推论（1）三角形外角：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角。（2）三角形的外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。（3）三角形的外角和是360°

11、;。【典例精析】例题1 如图，在ABC中，AD平分BAC且与BC相交于点D，B = 40°，BAD = 30°，则C的度数是（ ）A. 70° B. 80° C. 100° D. 110° 思路导航：由图形可以知道要想求C的度数，只要求出BAC与B的和就可以，这里B=40°，AD平分BAC且与BC相交于点D，所以，由角平分线定义得，BAC=2BAD，而BAD =30°，这样就可以求出C的度数。答案：AD平分BAC且与BC相交于点D， BAC=2BAD，BAD = 30°，BAC=60°，B =

12、40°，C =180°（B+BAC）=180°（40°+60°）=80°，故选择B。点评：本题考查三角形内角和定理的应用，要求大家能够做到认真细致地解题，相信大家能够得到正确的答案。例题2 如图，RtABC中，ACB=90°，DE过点C且平行于AB，若BCE=35°，则A的度数为（ ）9A. 35° B. 45° C. 55° D. 65°思路导航：在RtABC中，ACB=90°，可以得到A+B=90°。DE过点C且平行于AB，根据“两直线平行，内错角相等

13、；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补”，A就非常易求了。答案：DEAB，B=BCE，BCE=35°，B=35°，RtABC中，ACB=90°，A+B=90°，A=90°B=90°35°=55°，故选择C。点评：本题涉及平行线性质定理、判定定理、三角形内角和定理的应用，可以解决有关的证明或求角度问题，此类型的题多以填空或选择题形式出现。在解题时，由已知想可知，由要求想需求，是一个很好的思维方法。例题3 如图，在ABC中，AE、OB、OC分别平分BAC、ABC、ACB，ODBC，求证：1=2。思路导航：根

14、据角平分线的定义和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，1=ABC+BAC，2=90°ACB，而ABC、ACB、BAC三个角的一半之和等于90°，所以2等于ABC与BAC的一半的和，所以1与2相等。答案：在ABC中，BAC+ABC+ACB=180°，AE、OB、OC分别平分BAC、ABC、ACB，OAB=BAC，OBA=ABC，OCD=OCB=ACB，1=OAB+OBA=（BAC+ABC）=（180°ACB）=90°ABC，ODBC，2=90°OCD=90°ABC，1=2。点评：本题主要考查三角形的外角性质和角平分线

15、的定义，熟练掌握概念和性质并灵活运用是解题的关键。例题4 如下几个图形是五角星和它的变形。（1）图（1）中是一个五角星，求A+B+C+D+E。（2）图（2）中的点A向下移到BE上时，五个角的和（即CAD+B+C+D+E）有无变化，说明你的结论的正确性。10思路导航：利用三角形内角和定理。（1）如图，连接CD，把五个角的和转化为同一个三角形内角和。根据三角形中一个外角等于与它不相邻的两个内角和，再根据三角形内角和定理可得。（2）将五个角进行转化，可以转化为一个平角，从而得到结论。答案：（1）如图，连接CD。在ACD中，根据三角形内角和定理，得出A+ECD+BDC +ACE+ADB=180

16、6;。BOC=B+E=ECD+BDC，A+B+ACE+ADB+ E=A+B+E+ACE+ADB=180°；（2）无变化。根据平角的定义，得出BAC+CAD+DAE=180°。BAC=C+E，EAD=B+D，CAD+B+C+D+E=BAC+CAD+DAE=180°；（3）无变化。ACB=CAD+D，ECD=B+E，CAD+B+ACE+D+E=ACB+ACE+ECD=180°。 点评：在解决这类问题时，要充分利用三角形内角和定理及推论，把结论中的角转换到一个或几个三角形中，使问题得到解决。常用的基本图形见下图。【总结提升】1. 在三角形中进行有关角的计算时，

17、要注意三角形内角和定理这一隐含条件的应用；2. “直角三角形的两个锐角互余”和“有两个角互余的三角形是直角三角形”是直角三角形的重要性质及判定，利用此性质和判定比应用三角形内角和定理更直接、便捷；3. 本讲中很多求角的度数的问题都可以采用列方程的方法来解答；4. 三角形的外角和与它相邻的内角互为邻补角。12（答题时间：60分钟）与三角形有关的边一、选择题1. 在下列长度的四组线段中，能组成三角形的是（ ）A. 4，5，6 B. 6，8，15 C. 7，5，12 D. 3，7，132. 如果三角形的两边长分别为3和5，则周长L的取值范围是（ ）A. 6<L<15 B. 6<L&

18、lt;16 C. 11<L<13 D. 10<L<163. 小明已有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，他想把木棒首尾相接钉成一个三角形的木框，现在第三根木棒可从长度为3cm，5cm，10cm，13cm，14cm的木棒中选择，则小明可以选用的木棒有（ ）A. 1根 B. 2根 C. 3根 D. 4根 *4. 一个三角形的两边分别是5和11，若第三边是整数，则这个三角形的最小周长是（ ）A. 21 B. 22 C. 23 D. 24 二、填空题*5. 等腰三角形的两边长分别为3和4，则周长为_。三角形的中线、高线、角平分线一、选择题*1. 等腰三角形的底边长为5cm，一腰

19、上的中线把原三角形的周长分成两部分，其差为3cm，则腰长为（ ）A. 2cm B. 8cm C. 2cm或8cm D. 3cm*2. 下列四个图形是四位同学画钝角ABC的高AD的示意图，其中正确的是（ ）A. B. C. D. *3. 下列叙述中错误的一项是（ ）A. 三角形的中线、角平分线、高都是线段B. 三角形的三条高线中至少存在一条在三角形内部C. 只有一条高在三角形内部的三角形一定是钝角三角形D. 三角形的三条角平分线都在三角形内部*4. 如图，三角形ABC中，AD平分BAC，EGAD，且分别交AB、AD、AC及BC的延长线于点E、H、F、G，下列四个式子中正确的是（ ）A. B. C

20、. D. 二、填空题135. 如图，在ABC中，D是BC边上一点，且BD：DC=2：1，ACD的面积为4，则ABC的面积为_。*6. 如图，在ABC中，已知AD是ABC角平分线，DE是ADC的高线，B60°，C45°，则ADE的度数为_。*7. 如图，在ABC中，ABC的平分线与ACB的平分线相交于点O,则BOC与A的关系是（ ）A. BOC 100°A B. BOC 90°A C. BOC 90°A D. BOC 90°A 三、解答题*8. 如图所示，在ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，SABC=4cm2，求SABE。*9.

21、在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，求B的度数。14三角形的内角及外角一、选择题*1. 已知三角形的三个外角的度数比为2：3：4，则它的最大内角的度数为（ ）A. 90° B. 110° C. 100° D. 120°*2. 如图，已知DB、EC交于点A，BE90°，C42°，则D的度数为（ ）A. 48° B. 42° C. 84° D. 58°*3. 如图所示，在RtADB中，D=90°，C为AD上一点，则x可能是（ ）A. 1

22、0° B. 20° C. 30° D. 40°二、填空题*4. 如图，将一副三角板折叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，则 。三、解答题*5. 在ABC中，AB30°，C4B。求A、B、C的度数。16*6. 如图所示，将ABC沿EF折叠，使点C落到点C处，试探求1，2与C的关系。*7. 如图，已知ABC的B和C的外角平分线相交于点D，A40°。求BDC的度数。*8. 如图所示，在ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求A的度数。 第十一章 11.3多边形及其内角和一、预习新知1. 已知多边形的每个内角都等于150&#

23、176;，则这个多边形的边数是_。2. 六边形共有 个顶点， 条边， 个内角。3. 四边形共有 条对角线；五边形共有 条对角线；六边形共有 条对角线；十边形共有 条对角线；n边形共有 _条对角线。4. 正三角形每一内角为 度；正五边形周长是40cm，它的边长是 cm。5. 内角和等于外角和的多边形是 边形。6. 已知四边形ABCD，A+C=180°，则B+D=_。二、问题思考1. 从多边形的一个顶点出发，可以引多少条对角线？它们将多边形分成多少个三角形？ 2. 总结多边形内角和的特点，你会得到什么样的结论？18与三角形有关的边1. A 解析：A. 4，5，6三条线段符合三角形任意两线

24、段的和大于第三条线段，这样的三条线段才能组成三角形，其他三组都不符合。2. D 解析：三角形的两边长分别为3和5，那么第三边小于8且大于2，则周长L的取值范围是3+5+2<L<3+5+8，即10<L<163. B 解析：第三根木棒的长xcm的范围是：85x8+5。即3x13。在这个范围内的有 5cm和10cm两根。故选B。4. C 解析：第三边的取值范围为6x16，第三边的最小值为7，这个三角形的最小周长=5+11+7=23。5. 10或11 解析：以3为腰的等腰三角形的三边之和为3+3+4=10，以4为腰的等腰三角形的三边之和为3+4+4=11，且均能组成三角形。三角

25、形的中线、高线、角平分线1. B 解析：设腰长为acm，则根据题意有：（a+）（+5）=3或（+5）（a+）=3，解之得：a=8或a=2。但当a=2时，2+2<5，应舍去。2. D 解析：A中AD不垂直于BC，不符合题意；B中AD应是线段，不符合题意；C中点D应为垂足，不符合题意；D中高AD交BC的延长线于点D处，符合题意。3. C 解析：只有一条高在三角形内部的三角形，除了钝角三角形还有直角三角形。4. C 解析：因为EGAD，交点为H，AD平分BAC，所以在直角三角形AHE中，190°。在三角形ABC中，易知BAC180°（23），所以190°180&#

26、176;（23）=（3+2）。又因为1是三角形EBG的外角，所以12G。所以G12（3+2）2（32）。5. 12 解析：等高的两个三角形面积的比等于底的比，因为ACD的面积为4，所以三角形ABC的面积等于12。6. 52.5° 解析：在ABC中，B60°，C45°，所以BAC=180°BC180°60°45°=75°，又AD是ABC角平分线，所以DAE=×75°=37.5°，在ADE中，AED=90°，所以ADE=180°90°DAE=180°

27、90°37.5°=52.5°7. B 在ABC中，ABCACBA180°，所以ABCACB180°A。因为ABC的平分线与ACB的平分线相交于点O,所以1ABC,2ACB。在BOC中，BOC180°12 180°ABCACB180°（ABCACB）180°（180°A）90°A，故BOC90°A。8. 1 cm2 解析：因为D为ABC中BC边中点，所以ABD和ADC面积相等，都是2 cm2，因为E为ABD中AD边中点，所以ABE和BDE面积相等，都是1 cm2。9. 20°或70° AB的垂直平分线与AC所在的直线相交，出现以下两种情况，如图（1）（2）所示。20显然图（1）中，BAC=140°，所以B=20°；图（2）中，A=40°，所以B=70°。三角形的内角及外角1. C 解析：三角形的三个外角的度数比为2：3：4，所以可以假设三角形的三个外角度数分别为2k、3k、4k，因为三角形的外角和为360°，所以2k+ 3k+4k=360°，解得k=40°，