静电场习题-张冰 2013529

1、1大学物理习题课大学物理习题课静电学部分静电学部分2013.5.292基本概念基本概念 1.电场强度：电场强度：电场中某点电场强度的大小等于单位电场中某点电场强度的大小等于单位 电荷在该点受力的大小，方向为正电电荷在该点受力的大小，方向为正电 荷在该点受力的方向荷在该点受力的方向/EF q点电荷的场强：点电荷的场强：0204qErr电荷组的场强：电荷组的场强：021014niiiiqErr连续分布电荷的场强：连续分布电荷的场强：0201d4qErr32.电势：电势： 电场中某点的电势在数值上等于将单位电场中某点的电势在数值上等于将单位 正电荷由该点移动到电势零点时电场力正电荷由该点移动到电势零

2、点时电场力 所做的功所做的功(0)0dPppWUElq点电荷的电势：点电荷的电势：04qUr电荷组的电势：电荷组的电势：1014niiiqUr连续分布电荷的电势：连续分布电荷的电势：01d4qUr电场强度与电势的关系电场强度与电势的关系EU 43.电势差：电势差：电场中电场中a、b两点的电势差，在数值上两点的电势差，在数值上 等于单位正电荷从等于单位正电荷从a点移到点移到b点时，电点时，电 场力做的功。场力做的功。dbababaUUUEl4.电势能：电势能：电荷电荷q在电场中某点的电势能，在数在电场中某点的电势能，在数 值上等于把电荷值上等于把电荷q从该点移到电势零从该点移到电势零 点时，电场

3、力所做的功。点时，电场力所做的功。(0)daaaWqElqU5一、一、 真空中的静电场真空中的静电场基本规律基本规律 iEEqFE0/库仑定律库仑定律还有电荷守恒定律，它时刻都起作用。还有电荷守恒定律，它时刻都起作用。 iirireqEi204LSlEqsE0dd0内0 () ()dPPPVEl1. 线索线索62. 求静电场的方法：求静电场的方法：静电场静电场 可以用电场可以用电场 强度来描述，强度来描述，静电场静电场 也可以用电势来描述。也可以用电势来描述。(1)求求E场强叠加法场强叠加法高斯定理法高斯定理法电势梯度法电势梯度法补偿法补偿法SqsE0d内VgradE7 叠加法：叠加法：场强积

4、分法：场强积分法：(2)求求V （零点要同）（零点要同）； VVii 。），（，（ 04d0VVqrq；分段，积分也要分段）分段，积分也要分段）（ E ， d)()(0VPPplE83. 几种典型电荷分布的几种典型电荷分布的EV和 点电荷（？）点电荷（？） 均匀带电球面（？）均匀带电球面（？） 均匀带电球体（？）均匀带电球体（？） 均匀带电无限长直线（？）均匀带电无限长直线（？） 均匀带电无限大平面（？）均匀带电无限大平面（？） 均匀带电细圆环轴线上一点（？）均匀带电细圆环轴线上一点（？） 无限长均匀带电圆柱面（？）无限长均匀带电圆柱面（？）9均匀带电球面：均匀带电球面：200()1()4rR

5、QErRr均匀带电球体：均匀带电球体：30201()41()4QrErRRQErRr无限长均匀带电直线：无限长均匀带电直线：012Er001()41()4QUrRRQUrRr10均匀带电半径为均匀带电半径为R的细的细圆环轴线上一点：圆环轴线上一点：223/2014()QxExR无限长均匀带电平面两侧：无限长均匀带电平面两侧：02E电偶极子轴线延长线上一点电偶极子轴线延长线上一点:(距电偶极子中心距电偶极子中心x)30124pEx电偶极子中垂线上一点电偶极子中垂线上一点:(距电偶极子中心距离距电偶极子中心距离y)3014pEy 22 1/2014()QUxR11静电平衡静电平衡-导体内部和表面无

6、电荷定向移动导体内部和表面无电荷定向移动静电平衡时静电平衡时, ,导体是个等势体，导体表面是个等势面导体是个等势体，导体表面是个等势面推论：推论：导体表面场强垂直表面导体表面场强垂直表面2.导体的静电平衡导体的静电平衡有导体存在时静电场的分析与计算有导体存在时静电场的分析与计算导体上的电荷重新分布导体上的电荷重新分布电场电场利用：利用：相互影响相互影响静电场的基本规律静电场的基本规律（高斯定理和环路定理）（高斯定理和环路定理）电荷守恒定律电荷守恒定律导体的静电平衡条件导体的静电平衡条件静电场的叠加原理静电场的叠加原理12电容：电容：表征导体和导体组静电性质的一个物理量表征导体和导体组静电性质的

7、一个物理量孤立导体的电容孤立导体的电容QCU孤立导体球的电容孤立导体球的电容04CR平行板电容器平行板电容器0rSCd 同心球形电容器同心球形电容器012214/()rCR RRR 同轴柱形电容器同轴柱形电容器0212ln/rLCRR 133.3.静电场中的电介质静电场中的电介质电介质对电场的影响电介质对电场的影响D的高斯定律的高斯定律0intsD dSq0DEP电位移矢量电位移矢量在解场方面的应用在解场方面的应用,在具有某种对称性的情况下在具有某种对称性的情况下,可可以首先由高斯定理解出以首先由高斯定理解出:DEPq 思路思路14静电场的能量密度静电场的能量密度2121122eEDED E

8、对任意电场都适合对任意电场都适合静电场的能量静电场的能量eeVWdV 电容器的能量：电容器的能量： 22111222ABQWCUQUUVVC 4. 能量：能量：15例例1. 如图所示在真空中有两块相距为如图所示在真空中有两块相距为 d，面积均为，面积均为 S， 带电量带电量 分别为分别为 +Q 和和 -Q 的的 平行板。平行板。 两板的线度两板的线度 远大于远大于 d，因此可忽略边缘效应。（，因此可忽略边缘效应。（作业作业6.2）2024dQf 对下面几种说法你认为对还是错？对下面几种说法你认为对还是错？为什么？为什么？Sd+Q-Q（A）根据库仑定律，）根据库仑定律， 两板间的作用力大小为两板

9、间的作用力大小为错。错。 （不是点电荷间的作用力）（不是点电荷间的作用力）【答答】16（C）两板间的作用力大小为）两板间的作用力大小为 SQqSQqqEfQQQ0200222 d/dd)()()(（B）根据电场力的定义两板间的作用力大小为）根据电场力的定义两板间的作用力大小为SQqSQqqEfQQQ0200 d/dd)()()(错。错。 （ 不应用总场强不应用总场强 E 计算）计算）正确。正确。【答答】【答答】类似的问题，作业类似的问题，作业6.20，请认真思考！，请认真思考！17例例 2 一锥顶角一锥顶角为为的圆台，上下底面半径分别为的圆台，上下底面半径分别为 R1 和和R2 ，在它的侧面上

10、均匀带电，电荷面密度为在它的侧面上均匀带电，电荷面密度为，求顶点，求顶点 O的的电势和场强。电势和场强。r解解: 在在 x 处取一小圆台，其到处取一小圆台，其到 O 点的母点的母线长为线长为 r，小圆台的侧面积为：，小圆台的侧面积为：drrds)sin(2XR1R2O小圆台带电荷为小圆台带电荷为: :dsdq小圆台在小圆台在 O点的电势为点的电势为:rdqdU04圆台在圆台在 O点的电势点的电势sin/sin/0212sinRRdrUxdrrsin2rdrr04sin2dr02sin)(2120RR 电势叠加原理求电势叠加原理求U！18求电场强度求电场强度322204()xdqdExR120s

11、in 24R ctgR ctgdxEdEx场强叠加原理求场强叠加原理求E（电荷（电荷连续分布）！连续分布）！R1R2OrXx32220202sin2cos44()tgxxdxdxxxx tg 201sin2ln4RR 19板板ppqP 对否？理由如何？对否？理由如何？错在两个相叠加的电势的零点不一致。错在两个相叠加的电势的零点不一致。例例3. 电荷分布如图所示电荷分布如图所示设设 q 0, 0不对。不对。a Pa /2 q无限大均匀带电板无限大均匀带电板有人由电势叠加原理求得有人由电势叠加原理求得P点电势为：点电势为：22)2/(400aaq 【答答】20正确作法：正确作法： aaaaxxxq

12、2022024/d)(d 板板PPqP 0044 aaq 可统一选大平板处可统一选大平板处 P0 点电势为零，点电势为零，)22)2/(4(00aaq q Pa /20ax 0p22)12/1(400aaaq 电势零点选择问题！电势零点选择问题！21例例4. 如图所示，半径为如图所示，半径为R的导体球原来带电的导体球原来带电Q ，现将一，现将一 点电荷点电荷q放在球外离球心距离为放在球外离球心距离为x(x R) 处，求导体处，求导体 上的电荷在上的电荷在P点点 产生的场强和电势。产生的场强和电势。/2OPROR+-+Pqx解解: :由于静电感应，球面上的由于静电感应，球面上的电荷重新分布，保证

13、球内处电荷重新分布，保证球内处处场强为零。因此，处场强为零。因此，P点总的点总的电场强度为零。电场强度为零。该点的电场强度是导体球面上非均匀分布的电荷该点的电场强度是导体球面上非均匀分布的电荷及球外点电荷及球外点电荷q所共同产生的。于是，所求场强等所共同产生的。于是，所求场强等于总场强减去球外点电荷产生的场强：于总场强减去球外点电荷产生的场强：2004()2PqERx 22同理，所求同理，所求P点的电势等于点的电势等于P点总的电势减去球外点电点总的电势减去球外点电荷荷q在在P点产生的电势，即点产生的电势，即04()2PpqUURx OR+-+Pqx由于导体达到静电平衡时为等势体，所以由于导体达

14、到静电平衡时为等势体，所以P点总的电点总的电势与势与O点总的电势相等，即点总的电势相等，即poUU由点电荷的电势公式及电势叠加原理，有由点电荷的电势公式及电势叠加原理，有000000444444oQqqqQqURRRxRx于是，有于是，有000444 (/2)pQqqURxxR 由上式可知，导体上的电荷在不同位置处产生的电势不同。由上式可知，导体上的电荷在不同位置处产生的电势不同。23例例5. 如图，有一空气平板电容器极板面积为如图，有一空气平板电容器极板面积为S，间，间 距为距为d。现将该电容器接在端电压为。现将该电容器接在端电压为U的电源上充的电源上充 电，求极板上的电荷电，求极板上的电荷

15、Q、极板间电场强度、极板间电场强度E和电容和电容 器的电容器的电容C 。 (1)充足电后充足电后 (2)平行插入一块面积相同、厚度为平行插入一块面积相同、厚度为 、 相对电容率为相对电容率为 的电介质板；的电介质板； (3)将上述电介质板换为相同大小的导体板时。将上述电介质板换为相同大小的导体板时。()d rUdr24解解:(1)空气平板电容器的电容空气平板电容器的电容00SCd充电后，极板上的电荷、极板间的电场强度充电后，极板上的电荷、极板间的电场强度E0为为00SQUd(2)插入电介质后，视为空气平板电容器与介质插入电介质后，视为空气平板电容器与介质平板电容器的串联平板电容器的串联(2)(

16、2)平行插入一块面积相同、厚度为平行插入一块面积相同、厚度为 、相对电容、相对电容 率为率为 的电介质板？的电介质板？()d rUd0UEd222222QQUUUCCUdr25则此时电容器的电容为则此时电容器的电容为02()rrSQCUd 02()rrSUQCUd 介质内的电场强度介质内的电场强度21()rUUEd 空气中的电场强度空气中的电场强度21()rrUUEdd2200()rQQUdSS Udr26(3)插入导体板后，极板上的自由电荷与插入导体插入导体板后，极板上的自由电荷与插入导体板上的感应电荷在导体板内激发的电场相互抵消，板上的感应电荷在导体板内激发的电场相互抵消，与电源相接的极板

17、将会从电源获得电荷，使间隙中与电源相接的极板将会从电源获得电荷，使间隙中的电场增强，以维持电势差不变，并有的电场增强，以维持电势差不变，并有3330()QQUdCS则此时电容器的电容为则此时电容器的电容为03SCd03SQUd导体中的电场强度为导体中的电场强度为20E 空气中的电场强度为空气中的电场强度为2UEd(3)(3)将上述电介质板换为相同大小的导体板时？将上述电介质板换为相同大小的导体板时？Ud27例例6 如图所示，两导体球如图所示，两导体球A、B，半径分别为，半径分别为R1=0.5m， R2=1.0m，中间以导线连接，两球外分别包以内半径为，中间以导线连接，两球外分别包以内半径为R=

18、1.2m的同心导体球壳（与导线绝缘）并接地，导体间的介的同心导体球壳（与导线绝缘）并接地，导体间的介质均为空气。已知：空气的击穿场强为质均为空气。已知：空气的击穿场强为3106 V/m，现使，现使A、B两球所带电荷逐渐增加，计算：两球所带电荷逐渐增加，计算：(1) 此系统此系统何处首先被击穿？何处首先被击穿？这里这里场强为何值？场强为何值？(2) 击穿击穿时两球所带的时两球所带的总电荷总电荷Q为多少？为多少？（设导线不带电，且对电场无影响。真空介电常数为）（设导线不带电，且对电场无影响。真空介电常数为） -212120mNC1085. 8AR1RBR2R28AR1RBR2R(1)此系统此系统何

19、处首先被击穿？何处首先被击穿？这里这里场强为何值？场强为何值？解：解：(1) 两导体球壳接地，两导体球壳接地，壳外无电场壳外无电场，且导体球，且导体球A、B外的电场均呈球对称分布。外的电场均呈球对称分布。现比较两球外场强的大小，击穿首先发生在场强最现比较两球外场强的大小，击穿首先发生在场强最大处。大处。设击穿时设击穿时A、B所带的电荷分别为所带的电荷分别为Q1、Q2，由于，由于A、B用导线连接，故用导线连接，故两者等电势两者等电势，即满足：，即满足：11220100204444QQQQRRRR7/1/21QQ代入数据得：代入数据得：29B球表面处的场强最大，这里先达到击穿场强球表面处的场强最大

20、，这里先达到击穿场强而被击穿，即而被击穿，即V/m 103462202max2RQE744/421222122022101max1max1RQRQRQRQEE两导体表面上的场强最强，其最大场强之比为：两导体表面上的场强最强，其最大场强之比为：AR1RBR2R30(2) 击穿击穿时两球所带的时两球所带的总电荷总电荷Q为多少？为多少？由由E2max解得：解得：Q2=3.310-4 CQ1=Q2/7=0.4710-4 CQ=Q1+Q2=3.7710-4 C击穿时两球所带的总电荷击穿时两球所带的总电荷Q为为:AR1RBR2R31例例7. 如图所示，平行板电容器两极板相距如图所示，平行板电容器两极板相距

21、d，面积，面积为为S，电势差为，电势差为U，其中放有一块厚为，其中放有一块厚为t，面积为，面积为S，相对电容率为相对电容率为 的介质板，介质板上下两边都是空的介质板，介质板上下两边都是空气，气， 忽略边缘效应。忽略边缘效应。求：求： (1)介质中的电场强度介质中的电场强度E，极化强度，极化强度P 和电位移和电位移D (2)极板上的电量极板上的电量Q (3)极板和介质间隙的场强极板和介质间隙的场强 (4)电容电容Crrdt32解解: (1)设电容器介质中和空气中的场强分别为设电容器介质中和空气中的场强分别为 E介质介质，E空气空气 ，则，则 ()UEtEdt介质空气为求为求E，作如图所示左边的圆

22、柱形高斯面，由，作如图所示左边的圆柱形高斯面，由E 的高斯定律的高斯定律0dSESES空气0E空气式中式中 是极板面自由电荷面密度，故是极板面自由电荷面密度，故rdt33dDSD SS D0rDE 介质故故00rrDE 介质代入代入U的表达式，得的表达式，得()()(1)rrrUEtEdtEtEdtEtd介质空气介质介质介质为求介质中的为求介质中的E ，可作图右边的圆柱形高斯，可作图右边的圆柱形高斯面，由面，由D的高斯定理的高斯定理rdt34故介质中的场强、极化强度、电位移分别为故介质中的场强、极化强度、电位移分别为(1)rrUEtd介质00(1)(1)rerrUPEtd 介质00(1)rrr

23、rUDEtd 介质3500(1)rrrUDEtd空气方向垂直于极板，由正极板指向负极板方向垂直于极板，由正极板指向负极板0(1)rrrSQCUtd 、 、 的方向垂直于极板，由带正电荷的极板的方向垂直于极板，由带正电荷的极板指向带负电荷的极板。极板上的电量、空气间隙中的场指向带负电荷的极板。极板上的电量、空气间隙中的场强、电容分别是强、电容分别是E介质PD0(1)rrrUSQSDStd (2)(2)极板上的电量极板上的电量,(3),(3)极板和介质间隙的场强极板和介质间隙的场强,(4),(4)电容？电容？rdt36例例8 两块靠近的平行金属板间原为真空。使两板分两块靠近的平行金属板间原为真空。

24、使两板分别带上面电荷密度为别带上面电荷密度为0 的等量异号电荷，这时两板间的等量异号电荷，这时两板间电压电压U0=300V。保持两板上电量不变，将板间一半空。保持两板上电量不变，将板间一半空间充以相对电容率间充以相对电容率 r =5 的电介质，的电介质，求：求： （1）金属板间有电介质部分和无电介质部分的）金属板间有电介质部分和无电介质部分的 E, D 和板上自由电荷密度和板上自由电荷密度； （2）金属板间电压变为多少？电介质上下表面束）金属板间电压变为多少？电介质上下表面束缚电荷密度多大？缚电荷密度多大？0-0S3000Udr1212E1D1E2D2U37解解:(1) 有介质部分的场强有介质

25、部分的场强E1 与无介质部分的场强与无介质部分的场强E2相等：相等：dUEdUEr022011,) 1 (5, 5,2121rr由电量守恒由电量守恒) 2(2,22021021SSS解得解得020131,35r1212E1D1E2D2U电位移电位移;3,35022011DD电场强度电场强度0002213 EE38（2）插入电介质前电压）插入电介质前电压)(3000000VddEU插入电介质后电压插入电介质后电压)(1003002VddEU电介质中电场强度电介质中电场强度01011rE电介质表面极化电荷面密度为电介质表面极化电荷面密度为00134)511 (35)11 (rr1212E1D1E2D2U39例例9.一平行板空气电容器，两极板相距一平行板空气电容器，两极板相距d，面积为，面积为S，充电至带电充电至带电Q后与电源断开，然后用外力缓缓地将后与电源断开，然后用外力缓缓地将两极间距拉开至两极间距拉开至2d。求：。求： (1)电容器能量的改变；电容器能量