连续信号与系统的时域分析

1、 引言 连续时间基本信号 卷积积分 系统的微分算子方程 连续系统的零输入响应 连续系统的零状态响应 系统微分方程的经典解法 信号与系统分析的基本任务是在给定系统和输入的条件下，求解系统的输出响应。 连续信号与系统的时域分析是指信号与系统的整个分析过程都在连续时间域进行，即所涉及的函数自变量均为连续时间 的一种分析方法。 t 奇异信号 正弦信号 指数信号 经常使用的信号 )() 1(tt t 正弦信号：随连续时间t按正弦规律变化的信号 正弦信号的形式： 其中， 分别为正弦信号的振幅、频率和初相。 周期信号 由欧拉公式tAtfcos)(和, AfT12tjtjeeAtAtf2cos)(0t)(tf

2、KT0t)(tfK2 在电路理论中曾用到衰减指数信号 ，其中是时间常数。一般指数信号可以表示为： tetKetf)(0t)(tf0tKK0tK)(tf)(tf （a）增长指数信号 （b）直流信号 （c）衰减指数信号仅存在于t0或t0时间范围内的指数信号称为单边指数信号。常见的是t0的单边衰减指数信号，其表达式为：0)(tKetft0 0tK)(tf 2复指数信号复指数信号与指数信号相似，其表达式为：stKetf)(其中，K为常数，可以是实数，也可以是复数；指数因子是一复数。复指数信号还可以写成三角形式：tjKetKeKetftttjsincos)()( （2-5）0t)(tf0tKK0tK)(

3、tf)(tfKKK （a）增幅正弦振荡信号 （b）等幅正弦振荡信号 （c）衰减正弦振荡信号一、信号的时域分解与卷积积分一、信号的时域分解与卷积积分1 . .信号的时域分解信号的时域分解(1) (1) 预备知识预备知识p(t)1t022(a)f1(t)At022(b)问问 f1(t) = ? p(t)直观看出直观看出)(A)(1tptf(2) (2) 任意信号分解任意信号分解22f(t)t023-1 0 1 2)(tff(0)(f)( f“0”号脉冲高度号脉冲高度f(0) ,宽度为，宽度为，用用p(t)表示为表示为：f(0) p(t)“1”号脉冲高度号脉冲高度f() ,宽度为宽度为，用，用p(t

4、 - - )表示为：表示为： f() p(t - - )“- -1”号脉冲高度号脉冲高度f(- -) 、宽度为，用、宽度为，用p(t + +)表示为表示为： f ( - - ) p(t + + )nntpnftf)()()(d)()()()(lim0tftftf卷积积分的定义卷积积分的定义已知定义在区间（已知定义在区间（ ，）上的两个函数）上的两个函数f1(t)和和f2(t)，则定义积分则定义积分 dtfftf)()()(21为为f1(t)与与f2(t)的的卷积积分卷积积分，简称，简称卷积卷积；记为；记为 f(t)= f1(t)*f2(t)注意注意：积分是在虚设的变量：积分是在虚设的变量下进行

5、的，下进行的，为积分变量，为积分变量，t为参变量。结果仍为为参变量。结果仍为t 的函数。的函数。 例例：f (t) = e t,（- -t)，h(t) = (6e- -2t 1)(t)，求求yf(t)。解解： yf(t) = f (t) * h(t)d)( 1e6e)(2tt当当t t时，时，(t -) = 0ttttftyd)eee6(d 1e6e)(32)(2tttttttttteeee2ee2eded)e6(e323232卷积的图解机理卷积的图解机理dtfftftf)()()(*)(2121卷积过程可分解为卷积过程可分解为四步四步：（1）换元换元： t换为换为得得 f1()， f2()（

6、2）反转平移反转平移：由：由f2()反转反转 f2()右移右移t f2(t-)（3）乘积乘积： f1() f2(t-) （4）积分积分： 从从 到到对乘积项积分。对乘积项积分。注意：注意：t为参变量。为参变量。下面举例说明。下面举例说明。例 f (t) ,h(t) 如图所示，求yf(t)= h(t) * f (t) 。解 采用图形卷积 。 f ( t - -)f ()反折反折f (- -)平移平移t t 0时时 , f ( t - -)向左移向左移f ( t - -) h() = 0，故故 yf(t) = 0 0t 1 时时, f ( t - -)向右移向右移2041d21)(ttytf 1t

7、 2时时4121d21)(1ttyttf 3t 时时f ( t - -) h() = 0，故故 yf(t) = 0f ( t )t0211th ( t )22h(t)函数形式复杂函数形式复杂 换元为换元为h()。 f (t)换元换元 f ()f (- )f (t - )t-1 tt-1 t t-1 ttyf (t )20134143tt-1 tt-1 2t 3 时时432141d21)(221tttytf0h( )f (t - )2013图解法图解法一般比较繁琐，但一般比较繁琐，但若只求某一时刻卷积值时若只求某一时刻卷积值时还是比较方便的。还是比较方便的。确定积确定积分的上下限是关键。分的上下

8、限是关键。例例：f1(t)、 f2(t)如图所示，已知如图所示，已知f(t) = f2(t)* f1(t)，求，求f(2) =？tf 2( t )-1131-1f 1( t )t2-22f1(- -)f1(2- -)f 1(2- - ) f 2( )22-2解解：d)2()()2(12fff（1）换元）换元（2） f1()得得f1()（3） f1()右移右移2得得f1(2)（4） f1(2)乘乘f2()（5）积分，得）积分，得f(2) = 0（面积为（面积为0） 卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。下

9、（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。下面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。 性质性质1：卷积代数：卷积代数满足乘法的三律：满足乘法的三律：1. 交换律交换律： f1(t)* f2(t) =f2(t)* f1(t)2. 分配律分配律： f1(t)* f2(t)+ f3(t) =f1(t)* f2(t)+ f1(t)* f3(t)3. 结合律结合律： f1(t)* f2(t)* f3(t) =f1(t)* f2(t) * f3(t)性质性质2： 与奇异信号的卷积与奇异信号的卷积1. f(t)*(t)=(t)*f(t) = f(t) 证：证：)(

10、d)()()(*)(tftftftf(t)*(t t0) = f(t t0)2. f(t)*(t) = f(t) 证：证：)( d)()( )(*)( tftftftf(t)*(n)(t) = f (n)(t)3. f(t)*(t)tftfd)(d)()(t) *(t) = t(t)(tf性质性质3：卷积的微分和积分：卷积的微分和积分1.nnnnnnttftftfttftftftd)(d*)()(*d)(d)(*)(dd212121证：上式证：上式= (n)(t) *f1(t)* f2(t) = (n)(t) *f1(t) * f2(t) = f1(n)(t) * f2(t) 2.d)(*)(

11、)(*d)(d)(*)(212121tttftftffff证：上式证：上式= (t) *f1(t)* f2(t) = (t) *f1(t) * f2(t) = f1(1)(t) * f2(t) 3. 在在 或或或或 或或 的前提下，的前提下， f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t) 0)()1(2f0)()1(1f0)(2f0)(1f例例1： f1(t) = 1， f2(t) = et(t)，求求f1(t)* f2(t) 解解：通常复杂函数放前面，代入定义式得：通常复杂函数放前面，代入定义式得 f2(t)* f1(t)=1eded)(e00注意：套用注意：套用 f1(t)

12、* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t) = 0* f2(1)(t) = 0 显然是错误的显然是错误的。例例2：f1(t) 如图如图, f2(t) = et(t)，求，求f1(t)* f2(t) )()e1 ()(e)(ded)(e)(00)1(2ttttfttttf 1(t)t201解法一解法一： f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t)f1(t) = (t) (t 2) f1(t)* f2(t)=(1- et)(t) 1- e(t-2)(t-2) 解解：f1(t) = (t) (t 2) f1(t)* f2(t)= (t) * f2(t) (t 2) * f2

13、(t) (t) * f2(t)= f2 (-1)(t)性质性质4：卷积时移：卷积时移若若 f(t) = f1(t)* f2(t)，则则 f1(t t1)* f2(t t2) = f1(t t1 t2)* f2(t) = f1(t)* f2(t t1 t2) = f(t t1 t2) 前例前例：f1(t) 如图如图, f2(t) = et(t)，求，求f1(t)* f2(t) f 1(t)t201利用时移特性，有利用时移特性，有 (t 2) * f2(t)= f2 (-1)(t 2)f1(t)* f2(t)=(1- et)(t) 1- e(t-2)(t-2) 例例：f1(t), f2(t)如图，

14、求如图，求f1(t)* f2(t) t11-1f 1(t)t102f 2(t)0解解： f1(t) = 2 (t) 2 (t 1) f2(t) = (t+1) (t 1) f1(t)* f2(t) = 2 (t)* (t+1) 2 (t)* (t 1) 2 (t 1)* (t+1) +2 (t 1)* (t 1) 由于由于 (t)* (t) = t (t) 据时移特性，有据时移特性，有f1(t)* f2(t) = 2 (t+1) (t+1) - 2 (t 1) (t 1) 2 t (t) +2 (t 2) (t 2)求卷积是本章的重点与难点。求卷积是本章的重点与难点。求解求解卷积的方法卷积的方

15、法可归纳为：可归纳为：（1）利用定义式，直接进行积分利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的。对于容易求积分的函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。（2）图解法图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。特别适用于求某时刻点上的卷积值。（3）利用性质利用性质。比较灵活。比较灵活。三者常常结合起来使用。三者常常结合起来使用。1微分算子2积分算子dpdt1()tdp 于是有于是有xdtdxpxdtdpxnnn ;txdxp11011110111d( )d( )d ( )( )dddd( )d( )d ( )( )dddnnnnnnmmmmmmr tr tr

16、tCCCC r tttte te te tEEEE e tttt微分方程：算子表示：10111011( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnmmmmC p r tC p r tCpr tC r tE p e tE pe tEpe tE e t10111011() ( )() ( )nnnnmmmmC pC pCpCr tE pE pEpEe t令：10111011( )( )nnnnmmmmD pC pC pCpCN pE pE pEpE微分方程表示为：( ) ( )( ) ( )D p r tN p e t 传输算子传输算子)()()()()()(tepHtepDpNtr)(

17、 pH 如果如果 则有则有 ， 为常数为常数( 不可约不可约) 算子可相约算子可相约 算子不可相约算子不可相约txxddtdxpp1ttxxddtdpxp1pypx cyxcp 系统的初始条件)()()(tytytyfx 根据线性系统的分解性，LTI系统的完全响应y(t)可分解为零输入响应yx(t)和零状态响应yf(t)，即 分别令t=0-和t=0+，可得 )0()0()0()0()0()0(fxfxyyyyyy)0()0()0()0()0()0()0()0(ffxxxyyyyyyyy对于因果系统，由于激励在t=0时接入，故有yf(0-)=0；对于时不变系统，内部参数不随时间变化，故有yx(0

18、+)=yx(0-)。因此，前式改写为 同理，可推得y(t)的各阶导数满足 )0()0()0()0()0()0()()()()()()(jxjjjxjxjyyyyyy例例：描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t)已知已知y(0-)=2，y(0-)= 0，f(t)=(t)，求，求y(0+)和和y(0+)。 解解：将输入将输入f(t)=(t)代入上述微分方程得代入上述微分方程得 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2(t) + 6(t) （1）利用利用系数匹配法系数匹配法分析：上式对于分析：上式对于t=0-也

19、成立，在也成立，在0-t 0 )2)(1()(pppAtxtxecypecyp2202101)2() 1(ttxececy22010解： 例例 电路如图所示，激励为is(t)，响应为iL(t)。已知R1=1， R2=5，C=0.25 F，L=2H，电容上初始电压uC(0-)=6 V，电感中初始电流iL(0-)=2A。试求t0时的零输入响应iLx(t)。 is(t)iL(t)2pp4is(t)iL(t)Lis(t)iL(t)uC(t)R2R1CuC(0)R2R1uL(0)iL(0)图2.4-1(a)(b)(c)5 1 解解 画出给定电路的算子电路模型如图 (b)所示，列出电路的回路电流方程 为确

20、定式中的待定常数，除应用电感初始电流iLx(0-)=iL(0-)=2A外，还需计算iLx(0-)值。为此，画出t=0-时的等效电路如图 (c)所示，由KVL可得 连续系统的零状态响应连续系统的零状态响应 连续信号的连续信号的(t)分解分解 任一连续信号f(t)与单位冲激信号(t)卷积运算的结果等于信号f(t)本身，即 dtfttftf)()()()()(连续信号的(t)分解 由图可见，当0，即趋于无穷小量d时，离散变量k将趋于连续变量，式中的各量将发生如下变化： 基本信号基本信号(t)激励下的零状态响应激励下的零状态响应 1. 冲激响应冲激响应 一个初始状态为零的LTI连续系统，当输入为单位冲

21、激信号时所产生的响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。 0)0()()()()(, 0)0()(xtpHttfxTthLTI系统H(p)h(t) (t)x(0)0冲激响应的计算冲激响应的计算简单系统简单系统1 pKpH)(此时，响应y(t)和输入f(t)满足的微分方程为 )()()( tKftyty当系统的初始状态为零时，y(t)为零状态响应，上式可表示为 )()()(tKftytyff根据h(t)的定义，若在上式中令f(t)=(t)，则yf(t)=h(t)，所以有 )()()( tKthth这是关于h(t)的一阶微分方程， 容易求得 )()(tKetht于是 )()()(tKet

22、hpKpHt式中，符号“”表示“系统H(p)对应的冲激响应h(t)为”。 将这一结果推广到特征方程A(p)=0在p=处有r重根的情况，有 )()!1()()()(1tetrKthpKpHtrr简单系统简单系统3 对于一般的传输算子H(p)，根据本书附录A的讨论结果，当H(p)为p的真分式时，可将它展开成如下形式的部分分式之和， 即 综上所述，可以得到计算系统冲激响应h(t)的一般步骤是： 例例 ： 描述系统的微分方程为 )(6)(10)(6)()(4)(8)(5)()1()2()3()1()2()3(tftftftftytytyty求其冲激响应h(t)。 例例 ： 二阶电路如图所示，已知L=0

23、.4 H，C=0.1F， G=0.6S，若以us(t)为输入，以uC(t)为输出，求该电路的冲激响应h(t)。 Lus(t)iC(t)uC(t)iL(t)CGiG(t)一般信号一般信号f(t)激励下的零状态响应激励下的零状态响应 LTI系统h(t)yf(t)f (t) 为了叙述方便，我们采用如下简化符号： )()(tytf零状态响应的另一个计算公式零状态响应的另一个计算公式 1. 连续信号的连续信号的(t)分解分解根据卷积运算的微积分性质，有 )()( )()( )()()(ttfdxxtfttftft按照卷积运算的定义，信号f(t)可表示为 dtftf)()( )(dttftttftf)()

24、( )()()()( 2. 系统的阶跃响应系统的阶跃响应 一个LTI连续系统，在基本信号(t)激励下产生的零状态响应称为系统的阶跃响应，通常记为g(t)。)()()(thttgdhdhtdhtdtdtgttt)()()()()()(所以阶跃响应g(t)与冲激响应h(t)之间的关系为 dhtgt)()(或者 dttdgth)()(3. 利用利用g(t)计算零状态响应计算零状态响应 例例 ： 某LTI连续系统N有A、B、C三部分组成，如图所示。已知子系统A的冲激响应，子系统B和C的阶跃响应分别为gB(t)=(1-e-t)(t)，gC(t)=2e-3t(t)， 系统输入f(t)=(t)-(t-2)，

25、试求系统N的冲激响应、阶跃响应和零状态响应。 )(21)(4tethtAABCNy(t)f(t)例例 ： 已知某连续系统的微分方程为 )(3)( 2)(2)( 3)(tftftytyty若系统的初始条件y(0-)=y(0-)=1，输入f(t)=e-t(t)，求系统的零输入响应yx(t)，零状态响应yf(t)和完全响应y(t)。 例例 ： 已知某LTI连续系统的冲激响应h(t)=(t)-(t-1)，输入f(t)=(t+2)-(t-2)。 若以t=0为初始观察时刻，试求系统的零输入响应yx(t)和零状态响应yf(t)，并画出波形。 12tg(t)112t11 0012tyx(t)101t1023yf(t)3(a)(b)(c)(d)f1(t) h(t)系统微分方程的经典解法系统微分方程的