计算机地图制图原理与方法——第2章地图与数字地图基础

1、l2.1 地图的概念地图的概念l2.2 数字地图与计算机地图制图数字地图与计算机地图制图l2.3 地图数据采集与输入地图数据采集与输入l2.4 计算机地图制图数据预处理计算机地图制图数据预处理l2.1 地图的概念地图的概念l2.2 数字地图与计算机地图制图数字地图与计算机地图制图l2.3 地图数据采集与输入地图数据采集与输入l2.4 计算机地图制图数据预处理计算机地图制图数据预处理l定义：按照一定的数学法则，将地球定义：按照一定的数学法则，将地球（或其他星球）上的自然和社会现象，（或其他星球）上的自然和社会现象，通过制图综合所形成的信息，运用符号通过制图综合所形成的信息，运用符号系统缩绘到平面

2、上的图形，以传递它们系统缩绘到平面上的图形，以传递它们的数量和质量，在时间和空间上的分布的数量和质量，在时间和空间上的分布和发展变化。和发展变化。模拟地图模拟地图l内容：图形内容：图形+文字注记文字注记l分类：分类：l按地图内容分：按地图内容分：l按比例尺分：按比例尺分：l按制图区分：按制图区分： l按用途分：按用途分：l按承载介质分：按承载介质分：l其他分类：其他分类：普通地图普通地图专题地图专题地图大比例尺地图大比例尺地图中比例尺地图中比例尺地图小比例尺地图小比例尺地图宇宙空间：地球图、月球宇宙空间：地球图、月球图、火星图；图、火星图；自然区：世界图、半球图、自然区：世界图、半球图、大洲图

3、、大洋图；大洲图、大洋图；行政区：国家图、省图、行政区：国家图、省图、乡镇图。乡镇图。通用地图通用地图专用地图专用地图纸质图纸质图磁介质图磁介质图纺织物图纺织物图聚酯薄膜图。聚酯薄膜图。按颜色分：黑白、彩色按颜色分：黑白、彩色按使用方式：桌面用图、按使用方式：桌面用图、挂图、手持地图、车载地挂图、手持地图、车载地图。图。按显示形态：平面、立按显示形态：平面、立体。体。l2.1 地图的概念地图的概念l2.2 数字地图与计算机地图制图数字地图与计算机地图制图l2.3 地图数据采集与输入地图数据采集与输入l2.4 计算机地图制图数据预处理计算机地图制图数据预处理l含义：含义：l数字地图是以数字地图是

4、以数字数字形式记录和存储的地图，形式记录和存储的地图，是在一定的坐标系统内具有确定的位置、属性及是在一定的坐标系统内具有确定的位置、属性及关系标志和名称的地面要素和现象的关系标志和名称的地面要素和现象的离散离散数据，数据，是在计算机可识别的存储介质上存储的概括的有是在计算机可识别的存储介质上存储的概括的有序序集合集合。l它用它用数字数字形式表示地图信息，独立于固定的符号形式表示地图信息，独立于固定的符号系统，以系统，以数据数据和和数据结构数据结构为信息传递语言。不强为信息传递语言。不强调信息的符号化，注重计算机对信息的识别和理调信息的符号化，注重计算机对信息的识别和理解，主要在计算机环境中使用

5、。解，主要在计算机环境中使用。 l含义：含义：l电子地图：是以电子地图：是以地图数据库地图数据库为基为基础，通过一定的硬件和软件在电子屏幕础，通过一定的硬件和软件在电子屏幕上上显示显示的可视化的地图，是数字地图在的可视化的地图，是数字地图在屏幕屏幕上符号化的表示；上符号化的表示；l关系：关系：数字地图是电子地图的基础，是数字地图是电子地图的基础，是存储存储方式方式；电子地图是地图数据的可视化电子地图是地图数据的可视化产品产品，是数字地图的可视化是数字地图的可视化，是，是表示方式表示方式；l从制图数据来看，用于计算机地图制图的数从制图数据来看，用于计算机地图制图的数据有别于其他领域的数据，它是具

6、有据有别于其他领域的数据，它是具有地理地理和和制图制图特性的空间定位数据。特性的空间定位数据。l所有制图的资料都必须变为计算机可以接受所有制图的资料都必须变为计算机可以接受的数字形式，并对以各种方法收集和准备的的数字形式，并对以各种方法收集和准备的数据进行编辑处理、管理和维护，在这点上数据进行编辑处理、管理和维护，在这点上可以说，计算机地图制图可以说，计算机地图制图也可也可称为数字地图称为数字地图制图技术。制图技术。l数字地图具有：数字地图具有： 灵活性、灵活性、选择性选择性 、现势性现势性 、动态性动态性 、扩展性扩展性比较内容比较内容数字地图数字地图模拟地图模拟地图语言语言数据和数据结构图

7、解符号信息的识别和传信息的识别和传输输依赖计算机基于人的视觉生理特征和文化素质信息的加工综合信息的加工综合计算机技术特点基于人的视觉感受特点l数字地图按其几何数据表示的形式，可分为：矢数字地图按其几何数据表示的形式，可分为：矢量和栅格两类。量和栅格两类。矢量地图栅格地图矢量式数字地图是目前数字地图矢量式数字地图是目前数字地图的一种主要形式，其特点是点的的一种主要形式，其特点是点的位置由位置由平面坐标平面坐标决定，任何图形决定，任何图形都由点的连线来确定因此便于都由点的连线来确定因此便于进行地理要素和物体的计算和分进行地理要素和物体的计算和分析，便于数据的提取、修改和制析，便于数据的提取、修改和

8、制作线划图。作线划图。栅格式数字地图是由扫描获得的栅格式数字地图是由扫描获得的像素矩阵像素矩阵组成的组成的,像素的尺寸就像素的尺寸就决定了地图的分辨率。包括扫描决定了地图的分辨率。包括扫描输入计算机的像素地图和数字化输入计算机的像素地图和数字化摄像输入、处理的数字影像和数摄像输入、处理的数字影像和数字地面模型字地面模型(DEM)。主要讨论l2.1 地图的概念地图的概念l2.2 数字地图与计算机地图制图数字地图与计算机地图制图l2.3 地图数据采集与输入地图数据采集与输入l2.4 计算机地图制图数据预处理计算机地图制图数据预处理l矢量地图数据矢量地图数据 分为：点、线、面三种基本分为：点、线、面

9、三种基本图形元素图形元素l地图数据地图数据 特点：量大；有定位、定性和时特点：量大；有定位、定性和时间的特性间的特性 ；多源、多时相；多源、多时相l矢量图形数据的获取：矢量图形数据的获取：外业测量、空间数外业测量、空间数据转换、现有地图数字化据转换、现有地图数字化包括：包括：地图、地图、遥感图像、遥感图像、文本资料、文本资料、统计资料、统计资料、实测数据、实测数据、多媒体数据、多媒体数据、已有数据已有数据l全站仪全站仪lGPSl三维激光扫描三维激光扫描l干涉雷达干涉雷达l全数字摄影测量全数字摄影测量栅格数据处理栅格数据处理图形数据采集图形数据采集属性数据采集属性数据采集数据质量检查数据质量检查

10、前期的收集、扫描，影前期的收集、扫描，影像数据的导入，配准、像数据的导入，配准、裁减等处理裁减等处理构建相应类型的矢量构建相应类型的矢量数据，通过鼠标进行数据，通过鼠标进行屏幕矢量化，采集数屏幕矢量化，采集数据并存储据并存储建立属性数据表，为每建立属性数据表，为每一个图形对象录入属性一个图形对象录入属性信息信息图形数据的精确编辑，图形数据的精确编辑，属性数据的校对、入库属性数据的校对、入库等等配置数字化仪配置数字化仪配置制图软件配置制图软件属性数据采集属性数据采集标定数字化仪菜单标定数字化仪菜单数据质量检查数据质量检查开始数字化录图开始数字化录图定屏幕显示区定屏幕显示区图纸定向图纸定向l对对复

11、杂地图复杂地图的处理能力较弱，对的处理能力较弱，对不规则曲线不规则曲线如等高如等高线只能采用取点模拟的方式，耗时多且处于半自动线只能采用取点模拟的方式，耗时多且处于半自动状态，效率不高。状态，效率不高。l适用适用于时间要求不紧迫，地图所包含信息不太复杂于时间要求不紧迫，地图所包含信息不太复杂的情况。的情况。l精度精度取决于工作底图上地图要素的宽度、复杂程度、取决于工作底图上地图要素的宽度、复杂程度、数字化仪器的性能（主要是分辨率）、作业人员的数字化仪器的性能（主要是分辨率）、作业人员的工作熟练程度等多种因素。工作熟练程度等多种因素。l扫描数字化法是目前比较先进的地图数字处扫描数字化法是目前比较

12、先进的地图数字处理方法，作业速度快，精度高。理方法，作业速度快，精度高。l扫描数字化地图的最终精度即所获得的矢量扫描数字化地图的最终精度即所获得的矢量化数据的精度取决于地图底图上描述地图要化数据的精度取决于地图底图上描述地图要素的宽度、复杂程度、扫描仪的扫描分辨率、素的宽度、复杂程度、扫描仪的扫描分辨率、地图工作底图的变形误差、作业员的熟练程地图工作底图的变形误差、作业员的熟练程度等。度等。l数据采集时应保证数据采集时应保证最小的数据冗余最小的数据冗余，只采集和，只采集和存储底图上的存储底图上的基本数据基本数据，能派生数据不采集；，能派生数据不采集；l对于对于点状类符号点状类符号（如独立地物符

13、号），仅需采（如独立地物符号），仅需采集符号的集符号的定位点数据定位点数据；l对对折线类型的线状符号折线类型的线状符号只需采集各只需采集各转折点转折点数据；数据；l曲线类型的线状符号曲线类型的线状符号，只对其，只对其特征点特征点的数据进的数据进行采集；行采集；l对面状类符号对面状类符号，则只需采集在其，则只需采集在其轮廓线上的拐轮廓线上的拐点或特征点点或特征点，并且要求，并且要求闭合闭合。l对于对于有方向性的线状类符号有方向性的线状类符号，数据采集只在，数据采集只在定位线定位线上上进行，采集数据的进行，采集数据的前进方向前进方向的选择要按软件图式符号的选择要按软件图式符号库的规定进行库的规定进

14、行l正确反映要素之间的正确反映要素之间的相互关系相互关系，不同要素层的，不同要素层的重叠要重叠要素素，其几何位置必须严格匹配。，其几何位置必须严格匹配。l有向点状符号有向点状符号数字化时采集符号的数字化时采集符号的定位点定位点和和方向方向。 l对称型线状符号对称型线状符号数字化符号的数字化符号的中心线中心线。 l侧向型线状符号侧向型线状符号数字化符号的基线，并考虑数字化符号的基线，并考虑系统符号化的左推或右推规则系统符号化的左推或右推规则l带状符号带状符号，首先数字化定位线并考虑系统符，首先数字化定位线并考虑系统符号化的左推或右推规则，然后再数字化符号号化的左推或右推规则，然后再数字化符号范围

15、线范围线 l对于对于注记注记不进行数字化，只在图形编辑时另不进行数字化，只在图形编辑时另行加入即可行加入即可 l数据数据分层采集分层采集。l点状要素点状要素l线状要素l面状要素l注记程序绘制符号示例：半加固的自然斜坡l通过通过图形图形实体与其实体与其属性的联合显示属性的联合显示，发现数字化，发现数字化中的遗漏、重复、不匹配等错误；中的遗漏、重复、不匹配等错误；l在屏幕上用地图要素对应的符号显示数字化的结在屏幕上用地图要素对应的符号显示数字化的结果，对照原图检查错误；果，对照原图检查错误；l把数字化的结果绘图输出在透明材料上，然后与把数字化的结果绘图输出在透明材料上，然后与原图叠加以发现错漏；原

16、图叠加以发现错漏；l对等高线，通过确定最低和最高等高线的高程及对等高线，通过确定最低和最高等高线的高程及等高距，编制软件来检查高程的赋值是否正确；等高距，编制软件来检查高程的赋值是否正确；l对于面状要素，可在建立拓扑关系时，根据多边对于面状要素，可在建立拓扑关系时，根据多边形形是否闭合是否闭合来检查，或根据多边形与多边形内点来检查，或根据多边形与多边形内点的匹配来检查等；的匹配来检查等；l对于属性数据，通常是在屏幕上对于属性数据，通常是在屏幕上逐表、逐行检查逐表、逐行检查，也可打印出来检查；也可打印出来检查；l对于属性数据还可对于属性数据还可编写检核程序编写检核程序，如有无字符代，如有无字符代

17、替了数字，数字是否超出了范围，等等；替了数字，数字是否超出了范围，等等；l对于图纸变形引起的误差，应使用几何纠正来进对于图纸变形引起的误差，应使用几何纠正来进行处理。行处理。l数字地图中一般采用计算机能识别的字符代数字地图中一般采用计算机能识别的字符代码表示属性数据。码表示属性数据。l地图要素编码地图要素编码：是用来描述要素类别、级别：是用来描述要素类别、级别等分类特征和其它质量特征的数字编码。等分类特征和其它质量特征的数字编码。l反映地图要素的分类分级、便于编辑处理；反映地图要素的分类分级、便于编辑处理；适应地图内容和设计要求适应地图内容和设计要求 。特征码特征码l设计原则：设计原则： 科学

18、性科学性 系统性系统性 唯一性唯一性 相对稳定性相对稳定性 完整性和可扩充性完整性和可扩充性 不受地图比例尺的限制不受地图比例尺的限制 符合国家规范和标准符合国家规范和标准 实用性实用性 高效性高效性l代码的表示形式一般有数字型、字母型、代码的表示形式一般有数字型、字母型、数字和字母混合型数字和字母混合型l系列顺序码、字母顺序码、层次码和特征系列顺序码、字母顺序码、层次码和特征组合码组合码lGJB一一148041：500、1：1000、1：2000地形图要素分类与编码地形图要素分类与编码大类码小类码一级代码二级代码识别码连接连接IDl要素编码录入方法：要素编码录入方法：1、事先设置好清单，采集

19、几何数据时，选择、事先设置好清单，采集几何数据时，选择特征码；特征码；2、在、在GIS中，选择对象，的弹出一个属性数中，选择对象，的弹出一个属性数据，用键盘输入对象的特征码等属性数据。据，用键盘输入对象的特征码等属性数据。l2.1 地图的概念地图的概念l2.2 数字地图与计算机地图制图数字地图与计算机地图制图l2.3 地图数据采集与输入地图数据采集与输入l2.4 计算机地图制图数据预处理计算机地图制图数据预处理几何纠正几何纠正图幅定向图幅定向数据裁减与拼接数据裁减与拼接投影变换投影变换地图比例尺变换地图比例尺变换数据压缩数据压缩数据光滑数据光滑数据规范化数据规范化数据匹配等数据匹配等。消除图底

20、及扫描产生的几消除图底及扫描产生的几何畸变何畸变图幅纠正图幅纠正 将栅格图幅由扫描仪坐标变将栅格图幅由扫描仪坐标变换为高斯投影平面直角坐标换为高斯投影平面直角坐标 几何纠正几何纠正图幅定向图幅定向数据裁减与拼接数据裁减与拼接投影变换投影变换地图比例尺变换地图比例尺变换数据压缩数据压缩数据光滑数据光滑数据规范化数据规范化数据匹配等数据匹配等。等比例变比例旋转l仿射变换仿射变换 BybxybxbybxbyxfyAyaxyaxayaxayxfx2221221121222212211211,321321321321cycxcbybxbycycxcayaxax321321bybxbyayaxaxl同素变

21、换同素变换l二次变换二次变换 l其他变换其他变换 一次变换一次变换l数字化仪数字化的几何纠正（图纸定向）数字化仪数字化的几何纠正（图纸定向）与扫描矢量化的几何纠正（图象配准）有与扫描矢量化的几何纠正（图象配准）有何异同？何异同？l在扫描矢量化中，一般先纠正图象后矢量在扫描矢量化中，一般先纠正图象后矢量化，可否先矢量化后进行图形几何纠正？化，可否先矢量化后进行图形几何纠正？l几何纠正的误差来源？能否用单一数学表几何纠正的误差来源？能否用单一数学表达描述？有何解决办法？达描述？有何解决办法？几何纠正几何纠正图幅定向图幅定向数据裁减与拼接数据裁减与拼接投影变换投影变换地图比例尺变换地图比例尺变换数据

22、压缩数据压缩数据光滑数据光滑数据规范化数据规范化数据匹配等数据匹配等。 数字地图的数据压缩分两种，一种是数字地图的数据压缩分两种，一种是信息量信息量的压缩，的压缩，另一种是另一种是存储空间存储空间的压缩。的压缩。 信息量的压缩又称信息量的压缩又称数据简化数据简化或或数数据综合据综合，矢量数据压缩是从数据集，矢量数据压缩是从数据集中抽出一个子集中抽出一个子集 ，在一定的，在一定的精度范围内精度范围内 ，要求这个子集所含，要求这个子集所含的数据量尽可能少的数据量尽可能少 ，并尽可能近，并尽可能近似地反映的原貌。似地反映的原貌。 提炼、精简数据，概括综合，剔提炼、精简数据，概括综合，剔除冗余数据，减

23、少数据的存储量，除冗余数据，减少数据的存储量，节省存储空间，加快后继处理速度。节省存储空间，加快后继处理速度。 存储空间存储空间的压缩是在的压缩是在信息量不变信息量不变的情况下压的情况下压缩存储空间。缩存储空间。l间隔取点法间隔取点法 l垂距法垂距法l偏角法偏角法 l道格拉斯道格拉斯-普克法普克法 l光栏法光栏法由上到下隔一点取一点由下到上依次按距离临界值选取临界值0(3)20(1)D210(4)D340(2)D2324343401234(1)0(2)2340(3)20(4)23434l1、 连接连接p1和和p2点，过点，过p2点作一条垂直于点作一条垂直于p1p2的直线，在该垂线的直线，在该垂

24、线上取两点上取两点a1和和a2，使使a1p2a2p2d2，此时此时a1和和a2为为“光栏光栏”边界点，边界点，p1与与a1、p1与与a2的连线为以的连线为以p1为顶点的扇形的两条边，为顶点的扇形的两条边，这就定义了一个扇形这就定义了一个扇形(这个扇形的口朝向曲线的前进方向，边这个扇形的口朝向曲线的前进方向，边长是任意的长是任意的)。通过。通过p1并在扇形内的所有直线都具有这种性质，并在扇形内的所有直线都具有这种性质，即即p1p2上各点到这些直线的垂距都不大于上各点到这些直线的垂距都不大于d/2。l2、若、若p3点在扇形内，则舍去点在扇形内，则舍去p2点。然后连接点。然后连接p1和和p3，过过p

25、3作作p1p3的垂线，该垂线与前面定义的扇形边交于的垂线，该垂线与前面定义的扇形边交于c1和和c2。在垂线在垂线上找到上找到b1和和b2点，使点，使p3b1p3b2d2，若若b1或或b2点落在原扇形点落在原扇形外面，则用外面，则用c1或或c2取代取代。l3、检查下一节点，若该点在新扇形内，则重复第、检查下一节点，若该点在新扇形内，则重复第(2)步；直到步；直到发现有一个节点在最新定义的扇形外为止。发现有一个节点在最新定义的扇形外为止。l4、当发现在扇形外的节点，如图中的、当发现在扇形外的节点，如图中的p4，此时保留此时保留p3点，以点，以p3作为新起点，重复作为新起点，重复13。如此继续下去，

26、直到整个点列检。如此继续下去，直到整个点列检测完为止。所有被保留的节点测完为止。所有被保留的节点(含首、末点含首、末点)，顺序地构成了简，顺序地构成了简化后的新点列。化后的新点列。l 判别标准：简化后曲线的判别标准：简化后曲线的总长度总长度、总面积总面积、坐坐标平均值等标平均值等与原始曲线的相应数据的对比。与原始曲线的相应数据的对比。l 大多数情况下道格拉斯大多数情况下道格拉斯普克法的压缩算法较好，普克法的压缩算法较好，但必须在对但必须在对整条曲线数字化完成后整条曲线数字化完成后才能进行，且才能进行，且计算量较大计算量较大；光栏法的压缩算法也很好，并且可；光栏法的压缩算法也很好，并且可在数字化

27、时在数字化时实时处理实时处理，每次判断下一个数字化的，每次判断下一个数字化的点，且计算量较小；垂距法、偏角法算法简单，点，且计算量较小；垂距法、偏角法算法简单，速度快，但有时会将曲线的弯曲极值点去掉而失速度快，但有时会将曲线的弯曲极值点去掉而失真。真。l讨论：压缩时如何保留特征点？讨论：压缩时如何保留特征点？几何纠正几何纠正图幅定向图幅定向数据裁减与拼接数据裁减与拼接投影变换投影变换地图比例尺变换地图比例尺变换数据压缩数据压缩数据光滑数据光滑数据规范化数据规范化数据匹配等数据匹配等。l原因：原因： 数据获取时用点方式记录了线状要素的数据获取时用点方式记录了线状要素的特征点；特征点； 为了节省存

28、储空间进行了必要的压缩；为了节省存储空间进行了必要的压缩； 图形缩放时，为了逼真显示图形；模拟图形缩放时，为了逼真显示图形；模拟地形等。地形等。 为了在图形输出时恢复要素的本来面目为了在图形输出时恢复要素的本来面目需要对线状要素进行必要的光滑处理。需要对线状要素进行必要的光滑处理。l基本要求：基本要求： 曲线中轴线通过已知序列特征点，且线曲线中轴线通过已知序列特征点，且线上各点是有连续的一阶导数。上各点是有连续的一阶导数。l基本方法：基本方法： 根据给定点列用根据给定点列用插值插值或或拟合拟合法建立符合法建立符合实际要求的连续光滑曲线的函数，使给定点满足实际要求的连续光滑曲线的函数，使给定点满

29、足函数关系，并由函数关系加密点列来完成光滑连函数关系，并由函数关系加密点列来完成光滑连接的过程。接的过程。 最简单的插值函数是代数多项式最简单的插值函数是代数多项式 Pn(x)= a0 +a1x+anxn, . (1)这时插值问题变为这时插值问题变为:求求n次多项式次多项式Pn(x),使满足插值条件使满足插值条件 pn(xi)=yi, i= 0,1,2,，n, (2) 只要求出只要求出Pn(x)的系数的系数a0 ,a1, an即可即可, ,为此由插值条件为此由插值条件(2)(2)知知P Pn n(x)(x)的系数满足下列的系数满足下列n+1n+1个代数方程构成的线性方程组个代数方程构成的线性方

30、程组 a0+a1x0+anx0n=y0 a0+a1x1+anx1n=y1 .a0+a1xn+anxnn=yn (3)lLagrange插值多项式插值多项式lNewton插值多项式插值多项式l分段插值多项式分段插值多项式lHermite插值多项式插值多项式l样条插值样条插值njnjiijijinjjnjjjjjjjnjjnnjjjnjyxxxyxxxxxxxxxxxxxxxPylPlxxxxxxxxxx000111011100)().()().()().()().()()()()()(中得代入将若给定数据点若给定数据点P Pi i及其切矢，可构造一条及其切矢，可构造一条C C1 1分段三次多项式

31、曲线分段三次多项式曲线P(u):P(u):S(x)=aix3+bix2+cix+di i=1,2,n S(xi-1)=yi-1 S(xi)=yi S(xi-1)=ti-1 S(xi)=ti 在区间在区间a,b上给定一个分割上给定一个分割：a=x1x2xn=b,则称在区间则称在区间a,b上满足下列条件的上满足下列条件的函数函数S(x)为三次样条函数：为三次样条函数：（1）在每个子区间）在每个子区间xi-1,xi（i=1,2, ,n）上为三次多项式上为三次多项式;（2）在整个区间）在整个区间a,b上具有直到上具有直到二阶连续的导数二阶连续的导数，即在内节点，即在内节点xi处，处， i=2,3, ,

32、n-1, k=0,1,2（3）给定一组型值点（给定一组型值点（xi,yi)(i=1,2, ,n）, S(x)满足满足S( xi ) yi， 则称则称S(x)为插值三次样条函数；为插值三次样条函数；)x(S)x(Si)k(i)k( P0P0P2P1P1P2P3P3P1P0P3P2Bezier曲线曲线Bezier曲线的数学表达式曲线的数学表达式 Bezier曲线是由多项式混合函数推导出来的，通常 n+1 个顶点定义一个 n次多项式。其数学表达式为： (0 t 1)式中：i：为各顶点的位置向量i,n(t)：为伯恩斯坦基函数niniitBPtP0,)()(伯恩斯坦基函数的表达式为：假如规定：，！，则t

33、=0:i=0 ,Bi,n(t)=1 i0 ,Bi,n(t)=0P(0)=P0000)01 (0!1!)0(PPnnPnininittinintB)1()!(!)(,t=1:i=n ,Bi,n(t)=1 in ,Bi,n(t)=0P(1)=Pn 所以说，“只有第一个顶点和最后一个 顶点在曲线上”。即Bezier曲线只通过 多边折线的起点和终点。nnnPPnnP0) 11 (11!) 1 (下面我们通过对基函数求导，来分析两端切矢的情况。得： )()()(1,1, 1,tBtBntBninini101,1,1)()()(nininiitBtBPntP讨论：t=0:i=0: Bi-1,n-1(t)=

34、0；Bi,n-1(t)=1。 i=1: Bi-1,n-1(t)=1；Bi,n-1(t)=0。 i2: Bi-1,n-1(t)=0；Bi,n-1(t)=0。ininiininittinintBttinintB11,111,1)1()!1(!)!1()()1()!()!1()!1()( t=0同理可得，当 t=1 时这两个式子说明：Bezier曲线在两端点处的切矢方向与特征多边形的第一条边和最后一条边相一致。 )()0()0(01PPntPP)()1(1nnPPnP二次和三次二次和三次BezierBezier曲线曲线(1) 三个顶点：P0,P1,P2 可定义一条二次(n=2) Bezier曲线：其

35、相应的混合函数为： 22222,21212,120202,0)1(!0!2!2)()1(2)1(! 1! 1!2)()1()1(!2!0!2)(ttttBtttttBttttB所以，根据式：二次 Bezier 曲线的表达形式为：P(t)=(1-t)2P0+2t(1-t)P1+t 2 P2（t 1)niniitBPtP0,)()( P(t)=(1-t)2P0+2t(1-t)P1+t2P2 P(t)=2(t-1)P0+2(1-2t)P1+2tP2P(1/2)=1/2P1+1/2(P0+P2)P(0)=2(P1-P0)P(1)=2(P2-P1)P(1/2)=P2-P0P0PmP2P(1/2)P(1/

36、2)P1四个顶点 P0、P1、P2、P3 可定义一条三次 Bezier 曲线：3210233322120300010033036313311)1 (3)1 (3)1 ()(PPPPtttPtPttPttPttPB0,3(t)B1,3(t)B3,3(t)B2,3(t)33 , 323 , 223 , 133 , 0)()1 (3)()1 (3)()1 ()(ttBtttBtttBttB1、曲线通过多边形折线的、曲线通过多边形折线的起点起点和和终点终点t=0时，时，P(0)=P0 t=1时，时，P(1)=Pn2、曲线在起点和终点处的、曲线在起点和终点处的切线方向切线方向与多边形的与多边形的始边和终边的方始边和终边的方向向一致一致 t=0时，时，P (0)=n(P1-P0) t=1时，时，P (1)=n(Pn-Pn-1) 3、曲线在、曲线在始点处二阶导数始点处二阶导数仅与仅与相邻的两点位置相邻的两点位置有关有关t=0时，时，P(0)=n(n-1)(P2-2P1+P0) t=1时，时，P(1)=n(n-1)(Pn-2Pn-1+Pn