第四章柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面

1、解析几何授课教师 舒级第四章第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 主要内容主要内容 1、柱面、柱面 2、锥面、锥面 3、旋转曲面、旋转曲面 4、椭球面、椭球面 5、双曲面、双曲面 6、抛物面、抛物面 7、单叶双曲面与双曲抛物面的直母线、单叶双曲面与双曲抛物面的直母线第一节第一节 柱面柱面定义定义平行于定方向并与定曲线相交的一族平行平行于定方向并与定曲线相交的一族平行直线所形成的曲面称为柱面直线所形成的曲面称为柱面. .定曲线叫柱面的定曲线叫柱面的准线准线，定方向叫柱面的方向，定方向叫柱面的方向,平行直线中的每一条直线都叫柱面的平行直线中的每一条直线都叫柱面的母线

2、母线.设柱面的准线为设柱面的准线为) 1 (0),(0),(21zyxFzyxF母线的方向数为母线的方向数为X,Y,Z。如果。如果M1(x1,y1,z1)为准线为准线上一点，则过点上一点，则过点M1的母线方程为的母线方程为)2(111ZzzYyyXxx且有且有F1(x1,y1,z1)=0,F2(x1,y1,z1)=0 (3)从（从（2）（）（3）共四个式子中消去参数）共四个式子中消去参数x1,y1,z1得得F(x,y,z)=0这就是以这就是以（1 1）为准线，母线的方向数为为准线，母线的方向数为X，Y，Z的的柱面的方程。柱面的方程。M1(x1,y1,z1)满足方程方向为v=X,Y,X0),(0

3、),(21zyxFzyxF准线L方程为L过M1的母线为M(x,y,z)为母线上任一点)2(111ZzzYyyXxx0),(0),(11121111zyxFzyxF柱面举例柱面举例xozyxozyxy22 抛物柱面抛物柱面xy 平面平面例例1、柱面的准线方程为、柱面的准线方程为2221222222zyxzyx而母线的方向数为而母线的方向数为-1-1，0 0，1 1，求这柱面的方程。，求这柱面的方程。解： 设M1(x1,y1,z1)是准线上的点，则过M1的母线为101111zzyyxx且有, 1212121zyx, 222212121zyx（4）（5）再设tzzyyxx101111则有x1=x+t

4、, y1=y, z1=z-t(6)(6)代入（4）,（5）得, 1)()(222tzytx, 2)(2)(2222tzytx(7)(8)由(7),(8)得, 0)(2tz所以t=z(9)(9)代入(7)或(8)即得所求柱面方程, 1)(22yzx即, 012222xzzyx例例2、已知圆柱面的轴为、已知圆柱面的轴为21211zyx点点（1,-2,1)1,-2,1)在此在此圆柱面上，求这个柱面的方程圆柱面上，求这个柱面的方程。解法一：因为圆柱面的母线平行于其轴，所以母线的方向数即为轴的方向数1，-2，-2. 现在还需要找出准线圆. 由于空间圆总可以看作是球面和平面的交线, 这里的准线圆可以看成是

5、以轴上的点(0,1,-1)为球心, 点(0,1,-1)到已知点(1,-2,1)的距离14d为半径的球面 x2+(y-1)2+(z+1)2=14 与 过已知点(1,-2,1)且垂直于轴的平面 x-2y-2z-3=0 的交线, 即准线圆的方程为032214) 1() 1(222zyxzyx再设 (x1,y1,z1) 为准线圆(10)上的点, 则过(x1,y1,z1)的母线为(10)221111zzyyxx并且有0322,14) 1() 1(111212121zyxzyx由以上四式可以消去参数 x1,y1,z1 , 即得所求圆柱面的方程0991818844558222zyyzxzxyzyx解法二:由

6、于圆柱面是一个特殊的柱面, 它可以看作是到动点到轴线等距离的点的轨迹.因为轴的方向向量为 v=1,-2,-2, 轴上的定点为 M0(0,1,-1), 而圆柱面上的点为 M1(1,-2,1), 所以 =1,-3,2, 因此点M1(1,-2,1) 到轴10MM的距离为1310vvMMd再设点 M(x,y,z) 为圆柱面上的任意点, 则有 130vvMM即13)2()2(1211121221122222yxxzzy化简整理可得所求圆柱面方程0991818844558222zyyzxzxyzyxLM0(0,1,-1)M1(1,-2,1)下面给出一个用来判别柱面的定理定理4.1.1: 在空间直角坐标系中

7、, 只含两个元(坐标)的三元方程表示 的曲面是一个柱面, 它的母线平行于所缺元(坐标)的同名坐标轴.例如:.2, 1, 1222222222pxybyaxbyax(4.1-1)(4.1-1)(4.1-3)分别表示椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面, 其母线都平行于z轴.如图所示zzzxyxxyyooo2. 空间曲线的射影柱面设空间曲线为. 0),(, 0),(:zyxGzyxFL(15)上述方程分别消去 x,y,x 可得三个方程 , 0),(, 0),(, 0),(321zyFzxFyxF显然这是三个柱面方程, 而且它们两两构成的方程组与(15)等价我们称这三个拄面为空间曲线(15)分别对坐标面

8、xoy, xoz, yoz 的射影柱面. 而曲线. 0, 0),(1zyxF. 0, 0),(2yzxF. 0, 0),(1xzyF分别称为空间曲线(15)分别对坐标面xoy, xoz, yoz 的射影曲线,也可以看作是前三个射影柱面的一条准线.注记: 要得到曲线的射影柱面只需消去相应的元(坐标), 而求射影曲线只需令相应的坐标为0, 与射影柱面方程联立即可.例3: 求下列空间曲线对三个坐标面的射影柱面和射影曲线方程1022xzzyx解: 分别消去 x,y,z 得柱面方程0122xyx0) 1(22zyz1 xz而射影曲线为00122zxyx00) 1(22xzyz01yxz第二节第二节 锥面

9、锥面)1 (0),(0),(21zyxFzyxF一、锥面一、锥面1 1、定义、定义 在空间，通过一定点且与定曲线相交的一族在空间，通过一定点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面称为锥面，这些直线都称为锥面的直线所产生的曲面称为锥面，这些直线都称为锥面的母线，定点称为锥面的顶点，定曲线称为锥面的准线。母线，定点称为锥面的顶点，定曲线称为锥面的准线。2 2、锥面的方程、锥面的方程设锥面的准线为设锥面的准线为顶点为顶点为A(xA(x0 0,y,y0 0,z,z0 0) )，如果，如果M M1 1(x(x1 1,y,y1 1,z,z1 1) )为准线上任一点，为准线上任一点，则锥面过点则锥面过点M M

10、1 1的母线为：的母线为：)2(010010010zzzzyyyyxxxx且有且有F1(x1,y1,z1)=0F2(x1,y1,z1)=0 （3）从（从（2 2）（）（3 3）中消去参数）中消去参数x x1 1,y,y1 1,z,z1 1得三元方程得三元方程F(x,y,z)=0这就是以（这就是以（1 1）为准线，以）为准线，以A A为顶点的锥面方程。为顶点的锥面方程。A(x0,y0,z0)LM1(x1,y1,z1)例例1 1：锥面的顶点在原点锥面的顶点在原点, , 且准线为且准线为czbyax12222求锥面的方程求锥面的方程. .解解: :设设 M M1 1(x(x1 1,y,y1 1,z,

11、z1 1) ) 为准线上的点为准线上的点, , 则过则过M M1 1的母线为的母线为111zzyyxx并且有并且有(4)czbyax1221221, 1(5)(6)由由(4),(6)(4),(6)得得zycyzxcx11,(7)将将(7)(7)代入代入(5)(5)即得所求锥面方程即得所求锥面方程, 122222222zbyczaxc或改写为或改写为0222222czbyax这个锥面叫二次锥面这个锥面叫二次锥面. . 另外另外, , 锥面的准线不唯一锥面的准线不唯一. .例例2: 2: 已知圆锥面的顶点为已知圆锥面的顶点为(1,2,3), (1,2,3), 轴垂直于平面轴垂直于平面 2 2x+2

12、y-z+1=0,x+2y-z+1=0,母线于轴成母线于轴成 角角， 30 试求这圆锥面的方程。试求这圆锥面的方程。解解: : 设设M(x,y,z)M(x,y,z)为任意母线上的点为任意母线上的点, , 那么过那么过M M点的母线方向向量为点的母线方向向量为3, 2, 1zyxv而在直角坐标系下而在直角坐标系下, , 圆锥面的轴线的方向即为平面圆锥面的轴线的方向即为平面 2 2x+2y-z+1=0 x+2y-z+1=0的法方向的法方向 1, 2 , 2n根据题意有根据题意有30cosnvnv可得可得23144.)3()2() 1()3()2(2) 1(2222zyxzyx化简得所求圆锥面方程化简

13、得所求圆锥面方程0)3)(2(16)3)(1(16)2)(1(32)3(23)2(11) 1(11222zyzxyxzyx上述解法是特殊解法上述解法是特殊解法, , 对于一般解法留给大家课后去做对于一般解法留给大家课后去做. .定理定理 一个关于一个关于x,y,zx,y,z的齐次方程总表示顶点在坐标的齐次方程总表示顶点在坐标原点的锥面原点的锥面。齐次方程齐次方程：设设为实数，对于函数为实数，对于函数f(x,y,z)f(x,y,z)，如果有，如果有f(tx,ty,tz)=tf(x,y,z)则称则称f(x,y,z)f(x,y,z)为为的齐次函数，的齐次函数，f(x,y,z)=0f(x,y,z)=0

14、称为齐次称为齐次方程。方程。例如，方程例如，方程 x2+y2- -z2=0圆锥面圆锥面又如，方程又如，方程 x2+y2+z2=0原点（虚锥面）原点（虚锥面）推论推论 一个关于一个关于x-xx-x0 0, y-y, y-y0 0, z-z, z-z0 0的齐次方程总表示顶点在的齐次方程总表示顶点在( (x x0 0,y,y0 0,z,z0 0) )的锥面的锥面。例如：例例如：例2 2中所得方程中所得方程0)3)(2(16)3)(1(16)2)(1(32)3(23)2(11) 1(11222zyzxyxzyx表示顶点在表示顶点在 (1,2,3) (1,2,3) 的锥面的锥面. .第三节第三节 旋转

15、曲面旋转曲面一、一、 旋转曲面旋转曲面1、 定义定义: : 空间曲线空间曲线C C绕一条定直线旋转一周绕一条定直线旋转一周所成的曲面叫做所成的曲面叫做旋转曲面旋转曲面, , 这条定这条定直线叫旋转曲面的直线叫旋转曲面的轴轴. .曲线曲线C C称为称为旋转旋转曲面的曲面的母线母线oC纬线纬线经线经线二、旋转曲面的方程二、旋转曲面的方程在空间坐标系中，设旋转曲面的母线为：在空间坐标系中，设旋转曲面的母线为：)1 (0),(0),(:21zyxFzyxFC旋转直线为：旋转直线为：)2(:000ZzzYyyXxxL其中其中P P0 0(x(x0 0,y,y0 0,z,z0 0) )为轴为轴L L上一定

16、点，上一定点，X X，Y Y，Z Z为旋转轴为旋转轴L L的方向数。的方向数。设设M M1 1(x(x1 1,y,y1 1,z,z1 1) )为母线为母线C C上的任意点，则上的任意点，则M M1 1的纬圆总的纬圆总可以看成是过可以看成是过M M1 1且垂直于旋转轴且垂直于旋转轴L L的平面与以的平面与以P P0 0为中为中心，心，|P|P0 0M M1 1| |为半径的球面的交线。为半径的球面的交线。所以过所以过M M1 1的纬圆的方程为：的纬圆的方程为()()()()()() 3 (0)()()(zzyyxxzzyyxxzzZyyYxxX 当点当点M

17、 M1 1跑遍整个母线跑遍整个母线C C时，就得到所有的纬圆，时，就得到所有的纬圆，这些纬圆就生成旋转曲面这些纬圆就生成旋转曲面。又由于又由于M M1 1在母线上，所以又有：在母线上，所以又有：)4(0),(0),(:11121111zyxFzyxFC从（从（3 3）（）（4 4）的四个等式中消去参数）的四个等式中消去参数x x1 1,y,y1 1,z,z1 1, ,得到一得到一个三元方程：个三元方程：F(x,y,z)=0这就是以这就是以C C为母线，为母线，L L为旋转轴的旋转曲面的方程。为旋转轴的旋转曲面的方程。例例1 1、求直线、求直线0112zyx绕直线绕直线x=y=zx=y=z旋转所

18、得旋转曲面的方程。旋转所得旋转曲面的方程。解：设解：设M M1 1(x(x1 1,y,y1 1,z,z1 1) )是母线上的任意点，因为旋转轴是母线上的任意点，因为旋转轴通过原点，所以过通过原点，所以过M M1 1的纬圆方程是：的纬圆方程是：2121212221110)()()(zyxzyxzzyyxx又由于又由于M M1 1在母线上，所以又有：在母线上，所以又有：0112111zyx即即 x x1 1=2y=2y1 1,z,z1 1=1,=1,消去消去x x1 1,y,y1 1,z,z1 1得所求旋转曲面的方程：得所求旋转曲面的方程：2(x2+y2+z2)-5(xy+yz+zx)+5(x+y

19、+z)-7=0。三、母线在坐标面而旋转轴为坐标轴的旋转曲面：三、母线在坐标面而旋转轴为坐标轴的旋转曲面： 如图，如图， 设旋转曲面的母线为设旋转曲面的母线为xozy), 0(111zyM 00),(:xzyF旋转轴为旋转轴为z z轴轴100zyx如果如果M M1 1(0,y(0,y1 1,z,z1 1) )为母线为母线 上的上的任意点，则过任意点，则过M M1 1的纬圆为的纬圆为（10）（11）212122210zyzyxzz且有且有0),(11zyF（12）（13）（14）由由(12),(13),(14)(12),(13),(14)消去参数消去参数y y1 1, z, z1 1, , 得所求

20、旋转曲面方程得所求旋转曲面方程0) ,(22zyxFyoz坐坐标标面面上上的的曲曲线线绕绕 z轴轴旋旋转转一一周周的的旋旋转转曲曲面面方方程程. . 同理：同理：yoz坐标面上的曲线绕坐标面上的曲线绕 y轴旋转一周轴旋转一周的的旋转曲面方程旋转曲面方程为为 . 0,22zxyF即即规律：规律： 当坐标平面上的曲线当坐标平面上的曲线C C绕此坐标平面的一个坐标绕此坐标平面的一个坐标旋转时，要求该旋转曲面的方程，只要将曲线旋转时，要求该旋转曲面的方程，只要将曲线C C在在坐标面里的方程保留和旋转轴同名的坐标，而以其坐标面里的方程保留和旋转轴同名的坐标，而以其它两个坐标平方和的平方根来代替方程中的另

21、一坐它两个坐标平方和的平方根来代替方程中的另一坐标。标。例例2 2 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程求生成的旋转曲面的方程绕绕x轴轴旋旋转转 绕绕z轴旋转轴旋转 122222 czyax122222 czayx旋转双曲面旋转双曲面（单叶）（单叶）（双叶）（双叶）（1）双曲线）双曲线分别绕分别绕x轴和轴和z轴旋转；轴旋转；0, 12222yczax例例3 3、将圆、将圆0)0()(222xabazby绕绕Z Z轴旋转，求所得旋转曲面的方程。轴旋转，求所得旋转曲面的方程。解：所求旋转曲面的方程为：解：所求旋转曲面的方程为：22222)(azby

22、x即：即：(x2+y2+z2+b2-a2)2=4b2(x2+y2)该曲面称为圆环面。该曲面称为圆环面。（2）椭椭圆圆 012222xczay绕绕y轴轴和和z轴轴； 绕绕y轴轴旋旋转转 绕绕z轴轴旋旋转转 122222 czxay122222 czayx旋转椭球面旋转椭球面（3）抛抛物物线线 022xpzy绕绕z轴轴； pzyx222 旋转抛物面旋转抛物面（长形）（长形）（短形）（短形）二次曲面的定义：二次曲面的定义：三元二次方程三元二次方程相应地平面被称为相应地平面被称为一次曲面一次曲面讨论二次曲面性状的讨论二次曲面性状的平行截割法平行截割法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面用坐标面和平行

23、于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截口）的形状，然后相截，考察其交线（即截口）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌加以综合，从而了解曲面的全貌以下用截割法讨论几种特殊的二次曲面以下用截割法讨论几种特殊的二次曲面一、基本内容、基本内容所表示的曲面称之为二次曲面所表示的曲面称之为二次曲面ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz + fyz + gx + hy + iz +j = 0第四节第四节 几类常见二次曲面几类常见二次曲面zoxyO2 用平面用平面z z = = k k去截割去截割( (要求要求 | |k k | | c c), ), 得椭圆得椭圆kzckbyax2222

24、221当当 | |k k | | c c 时时, |, |k k | |越大越大, , 椭圆越小椭圆越小; ;当当 | |k k | = | = c c 时时, , 椭圆退缩成点椭圆退缩成点.二二. . 几种常见二次曲面几种常见二次曲面.（一）椭球面（一）椭球面1 用平面用平面z z = 0= 0去截割去截割, , 得椭圆得椭圆012222zbyax1222222czbyax这里这里 .0cba( (标准方程标准方程) )3 类似地类似地, , 依次用平面依次用平面x x = 0,= 0,平面平面y y = 0= 0截截割割, , 得椭圆得椭圆: :,012222xczby.012222ycz

25、ax特别特别: : 当当a=b=ca=b=c时时, , 方程方程x x2 2 + + y y2 2 + + z z2 2 = = a a2 2 , , 表示球心在原点表示球心在原点o o, , 半径为半径为a a的球面的球面. .（二）双曲面（二）双曲面单叶双曲面单叶双曲面1222222 czbyax（1 1）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截)0( zxoy截得中心在原点截得中心在原点 的椭圆的椭圆.)0 , 0 , 0(O 012222zbyax(a,b,c0)( (标准方程标准方程) )与平面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆. .1zz 当当 变动时，这种椭变动时，这种椭圆的圆的中

26、心中心都在都在 轴上轴上. .1zz 122122221zzczbyax（2）用坐标面用坐标面 与曲面相截与曲面相截)0( yxoz截得中心在原点的双曲线截得中心在原点的双曲线. . 012222yczax实轴与实轴与 轴相合，轴相合，虚轴与虚轴与 轴相合轴相合. .xz 122122221yybyczax双曲线的双曲线的中心中心都在都在 轴上轴上. .y与平面与平面 的交线为双曲线的交线为双曲线. .1yy )(1by ,)1(221by x实轴与实轴与 轴平行轴平行,z虚轴与虚轴与 轴平行轴平行. .,)2(221by z实轴与实轴与 轴平行轴平行,x虚轴与虚轴与 轴平行轴平行.,)3(1

27、by 截口为一对相交于点截口为一对相交于点 的直线的直线. .)0 , 0(b,0 byczax.0 byczax,)4(1by 截口为一对相交于点截口为一对相交于点 的直线的直线.)0 , 0(b ,0 byczax.0 byczax（3）用坐标面用坐标面 ， 与曲面相截与曲面相截)0( xyoz1xx 均可得双曲线均可得双曲线. .单叶双曲面图形单叶双曲面图形 xyoz平面平面 的截口是的截口是两对相交直线两对相交直线. .ax 双叶双曲面双叶双曲面1222222 czbyaxxyo( (标准方程标准方程) )（三）抛物面（三）抛物面zbyax22222椭圆抛物面椭圆抛物面用截割法讨论：用

28、截割法讨论：（1）用坐标面用坐标面 与曲面相截与曲面相截)0( zxoy截得一点，即坐标原点截得一点，即坐标原点)0 , 0 , 0(O原点也叫椭圆抛物面的原点也叫椭圆抛物面的顶点顶点. .( (标准方程标准方程) )(a, b 0)与平面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆. .1zz 1122122122zzzbyzax当当 变动时，这种椭变动时，这种椭圆的圆的中心中心都在都在 轴上轴上. .1zz)0(1 z与平面与平面 不相交不相交. .1zz )0(1 z（2）用坐标面用坐标面 与曲面相截与曲面相截)0( yxoz0222yzax截得抛物线截得抛物线与平面与平面 的交线为抛物线的交线为抛

29、物线. .1yy 12212222yybyzax它的轴平行于它的轴平行于 轴轴z顶点顶点22112, 0byy（3）用坐标面用坐标面 ， 与曲面相截与曲面相截)0( xyoz1xx 均可得抛物线均可得抛物线.椭圆抛物面的图形如下椭圆抛物面的图形如下：xyzo特殊地：当特殊地：当 时，方程变为时，方程变为ba zayx2222旋转抛物面旋转抛物面112222zzzayx与平面与平面 的交线为圆的交线为圆.1zz )0(1 z当当 变动时，这种变动时，这种圆的圆的中心中心都在都在 轴上轴上. .1zzzbyax22222双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）用截割法讨论用截割法讨论：图形如下图形如下：xyzo第五节第五节 单叶双曲面与双曲抛物单叶双曲面与双曲抛物面的直母线面的直母线对于单叶双曲面对于单叶双曲面1222222c