计算机控制-第4章 预备知识 离散系统分析(2hs)

1、计算机控制 离散系统基本理论1 离散系统的基本概念n一. 连续与离散系统连续信号：时间上连续，幅度上连续的信号离散信号：时间上离散时间，幅度上连续或离散幅度信号连续系统：控制系统中所有信号都是时间变量的连续函数离散系统：控制系统中有一处或者几处是离散信号u脉冲控制系统(采样系统)：离散信号是脉冲序列（幅值连续）u数字控制系统（计算机系统）：数字信号，幅值不连续1）连续时间，连续幅度信号（CT signal），又称为模拟信号（Analog Signal） )(tx信号表示0510-1-0.500.51CT signalTime(t)sin(t)0510-1-0.500.51CT signalTi

2、me(t)sin(t)2）离散时间，连续幅度信号（DT signal）DT信号只在离散的时间点 有数据, 1 ,0,nnTtT是采样周期)(nTx是CT信号 的采样信号)(tx051015202530-1-0.500.51DT signalsequencesin(t)3）离散时间，离散幅度信号，又称为数字信号（Digital Signal）数字信号存在量化误差例如，设数字信号量化运算规则Q是取整运算 5)3 . 5()6 . 25 . 2(633)6 . 2()5 . 2(QQQQ7)5 . 6()6 . 25 . 2(933)6 . 2()5 . 2(QQQQ数字信号的运算具有非线性0246

3、8101214161820-5-4-3-2-1012345digital signalsequencesin(t)本章约定：连续信号，指连续时间、连续幅度信号离散信号，指离散时间、连续幅度信号【例】指出下列各种信号的时间和幅度的性质1）每月下雨的天数2）每月平均温度3）当前温度4）中国瞬时的人口数离散幅度，离散时间连续幅度，离散时间连续幅度，连续时间离散幅度，连续时间二二. 采样控制系统采样控制系统n对来自传感器的连续信息在某些规定的时间上瞬时取值采样，周期对来自传感器的连续信息在某些规定的时间上瞬时取值采样，周期采样采样VS非周期采样非周期采样n应用背景应用背景高质量控制效果（大惯性系统：炉

4、温采样系统）高质量控制效果（大惯性系统：炉温采样系统）质量仪表质量仪表)(tr)(te)(sGh( )he t)(tc)(sGp)(*te)(sH三三. 数字控制系统数字控制系统n数字计算机作为控制器，输入输出均为数字信号数字计算机作为控制器，输入输出均为数字信号n连续信号连续信号 脉冲信号脉冲信号 数字信号数字信号n与连续信号的转换与连续信号的转换A/D转换器：采样转换器：采样+量化量化D/A转换器：解码转换器：解码+复现复现数字计算机被控对象反馈装置)(tr)(teDA/)(tf)(kTe)(kTuAD/)(1tu)(tc)(tr)(te)(sGc)(tu)(sGh)(tuh)(tc)(s

5、Gp)(*te)(*tu)(sH数字控制系统的典型结构控制器的传递函数)(sGc)(sGp被控对象)(sGh信号保持器的传递函数)(sH测量元件的传递函数三三.离散控制系统的特点离散控制系统的特点n1）数字校正装置比连续校正装置实现方便n2）离散信号可以有效抑制噪声n3）控制精度高n4）计算机利用率高四四.研究方法研究方法n 研究连续线性系统所沿用的方法，但是拉氏变换、传递函数和频率响应法、根轨迹法不再适应。n研究离散时间控制系统的数学基础是Z变换变换，进一步利用脉冲传递脉冲传递函数函数来分析离散控制系统的稳定性和性能。2 2 采样与保持采样与保持一一. 信号的采样信号的采样n1.采样开关：连

6、续信号采样开关：连续信号e(t)变为离散信号变为离散信号e*(t)e(t)e*(t)TT 为采样周期为采样周期00.511.500.20.40.60.81n2.理想采样过程理想采样过程00.511.500.20.40.60.8100.511.500.20.40.60.8100.511.500.20.40.60.81理想采样信号的表达式 *0022ietete TtTeTtTe iTtiT)()()(*tteteT0)()(nTnTtte(t)n3.实际采样过程实际采样过程实际采样信号的表达式 *00 111121212()11ietette TtTtTeTtTtTe iTtiTtiT二二.采样

7、定理采样定理n给出从离散信号不失真地恢复原来信号所需的最低采样频率给出从离散信号不失真地恢复原来信号所需的最低采样频率n1.采样信号频谱采样信号频谱理想单位脉冲序列 TnttnT写成傅立叶级数的复数形式 1sjntTneT式中，2 /sT，称为采样角频率。采样信号可以写为 *Tnete ttnTe tt*1snEjE jjnTn2.香农采样定理香农采样定理 若采样器的采样频率若采样器的采样频率 s大于或等于其输入连续信号大于或等于其输入连续信号f(t)的频谱中最高频率的频谱中最高频率 max的的2倍倍,即即 s2 max，则能够从采样信号，则能够从采样信号 f(t)中完全复现中完全复现 采样信

8、号的频谱 max2smax2s连续信号的频谱n为了毫不失真地把原信号复现出来，采样角频率必须大于或等于为了毫不失真地把原信号复现出来，采样角频率必须大于或等于原信号频谱带宽原信号频谱带宽2倍，这就解释了香农（倍，这就解释了香农（Shannon）采样定理。）采样定理。n只有大于源信号的频谱带宽才有可能使用低通滤波器可以无畸变只有大于源信号的频谱带宽才有可能使用低通滤波器可以无畸变地把信号复现地把信号复现 ，否则出现信号频谱交叠则无法恢复。，否则出现信号频谱交叠则无法恢复。n常用的采样周期常用的采样周期 控制过程采样周期(s)流量1压力5液面520成分20温度n三. 零阶保持器将离散信号恢复为连续

9、信号，本质上解决各采样时刻之间的差值问题用时间多项式逼近两个采样时刻之间的信号当取多项式中的阶次p=0时称为零阶保持器，两个采样时刻之间保持采样值不变01phpenTtaatat 使采样信号变成阶梯信号以 tgh表示零阶保持器，在冲量为的理想脉冲 t作用下的输出， tgh可以分解为两个单位阶跃函数之和 shTtttg11 tgh为零阶保持器的脉冲响应函数。其传递函数为sesessGTsTsh11)(3 Z变换n一. Z变换（采样拉氏变换）snTnenTesE0*)()(令sTez (Z也是个复数)zTsln1nnzTsznTesEzE0ln1*)()()(采样信号 的Z变换为)(*te)()(

10、)(*teZteZzE或记作二二. Z变换方法变换方法 1. 幂级数求和法利用Z变换的定义式kkkzkTezTezTeezkTezE)()2()()0()()(210若级数收敛，则Z变换存在111qqaS 解：单位阶跃信号的离散信号为2101)()(zzzkTezEkk时上式收敛111)( 1 1zzztZ1, 11zorz因此单位阶跃函数的Z变换为 【例1】求单位阶跃函数 的Z变换)( 1)(tte, 2 , 1 , 0, 1)(kkTe等比序列111qqaS【例2】 求理想脉冲序列序列的Z变换0)(nnzzE解：离散信号为所以1)(zzzE0)()()(nTnTttte0*)()()(nT

11、nTttte时上式收敛1, 11zorz0*)(nsnTesE1)( 1 zztZ)( 1)(tte1)(zztZT0)()(nTnTtt单位阶跃理想脉冲序列为何相同？00.20.40.60.8100.20.40.60.81在每个采样点处的值相同设E(s)没有重极点 ，将E(s)展开为)()()(sMsNsEniiissAsE1)(nitsiieAsELte11)()(2. 部分分式法设式中，M(s)、N(s)是s的多项式niTsinitsinitsiiiiezzAeZAeAZteZzE110)()(【例3】 求下面传递函数的Z变换)()(assasE解：将F(s)展开为部分分式asssE11

12、)(求拉氏逆变换，得aTaTaTaTezezezezzzzteZ)1 (1 (1)(2)atesELte1)()(1再求Z变换，得表 Z变换简表 函数函数拉氏变换拉氏变换Z变换变换11)(tateas 11zzaTezz)( 1 ts1attetsin2)(1as 2)(aTaTezTze211cos21sinzTzTz22st21s2) 1( zTz)(nTt nTsenzZ变换的性质1. 线性定理 )()(zEateaZ)()()()(2121zEzEteteZ)()(),()(2211zEteZzEteZ若a为常数，则2. 滞后定理(实数位移定理) )()(zEzkTteZk)()(zE

13、teZ若0,0)(tte设则【例4】求 的Z变换，a为常数)(Ttae解：1)(atTtaeZzeZaTatezzeZaTaTTtaezezzzeZ11)(3.复数位移定理)()(aTatzeFtfeZ 解 :已知22)() 1()(aTaTaTaTatezTzezezeTteZ设 ，则有 )()(zFtfZ【例5】求 的Z变换atte2) 1(zTztZ4.终值定理终值定理 )() 1(lim)(lim1zEzkTezk若 ,序列 极限存在，则)()(zEteZ)(kTe)()1 (lim)(lim11zEzkTezk或1208. 0416. 01792. 0208. 0416. 0792.

14、 0lim)() 1(lim)(2211zzzzEzezz解：应用终值定理级数必须收敛，或Z函数必须稳定才可以应用终值定理（稳定性在后面介绍）)208. 0416. 0)(1(792. 0)(22zzzzzE【例6】已知确定 的终值)(*te5.卷积定理 两个离散信号的卷积定义为0()* ()() () kx nTy nTx kT y nk T那么)()()(zYzXzG()()* ()g nTx nTy nT如果若已知序列 的Z变换为Z反变换反变换)(nTe)()(1zEZnTe)(zE则求 的Z反变换为)(nTeniiizzzAzE1)(再改写为2）查Z变换表，得每个分式的反变换iiizz

15、zAZnTe1)(niinTenTe1)()(3） 的反变换为)(zE1.部分分式法1）设 无重极点， 将其分解为)(zEniiizzAzzE1)(【例7】求下面Z变换函数的反变换)(1()1 ()(aTaTezzzezE解：aTaTaTezzezzezzE111)(1(1)(aTezzzzzE1)(所以anTenTe1)(查Z变换表，得0*)()1 ()(natnTtete4 离散系统的数学模型离散系统数学模型差分方程脉冲(Z)传递函数离散状态空间模型, 2, 1, 0),(nnr离散系统输入序列输出序列输入序列, 2, 1, 0),(nnc输出序列1离散系统在离散时间系统理论中，信号总是以

16、序列的形式出现。将输入序列 r(n)，n = 0,1,2,，变换为输出序列c(n)的一种变换关系，称为离散系统。线性离散系统线性定常离散系统： 离散模型满足线性叠加原理，并且输入输出关系不随时间变化mjjniijkrbikcakc01)()()(或记为差分方程的求解：迭代法。二、差分方程 k时刻的输出c(k)不仅与k时刻的输入有关，而且与k时刻以前的输入和输出有关，表示为)() 1() 1()()() 1()2() 1()(110121mkrbmkrbkrbkrbnkcankcakcakcakcmmnn【例1】求如下差分方程的输出序列的值)2(2) 1()()(kckckrkc已知输入序列 ，

17、初始条件1)(kr1) 1 (, 0)0(cc解：手工计算(0)0(1)1(2)(2)(1)2 (0)2(3)(3)(2)2 (1)1cccrcccrcc（2）Z变换法, 2 , 1 , 0)2() 1()(2123)()()23()0()()1() 1 ()0()()2(1) 1 (, 0)0(0)(2) 1(3)2(2222kkczzzzzzzzCzzCzzzczzCkcZzcczzCzkcZcckckckckkn三. 脉冲传递函数n1.定义)()()(zRzCzG设初始条件为零，脉冲传递函数定义为输出采样信号的Z变换与输入采样信号的Z变换之比，即)(sG)(*tr)(tr)(*tc)(t

18、c)(zR)(zC)(zG)(tr采样)(*trZ变换)(zR)(tc采样)(*tcZ变换)(zCnG(s)是一个线性环节的传递函数，而G(z)表示的是线性环节与理想开关两者的组合体的传递函数（脉冲传递函数）。如果不存在理想开关，那么定义式是不成立的。 n利用线性环节的脉冲传递函数只能得出在采样时刻上的信息。为了强调这一点，往往在环节的输出端画上一个假想的同步理想开关。实际上，线性环节的输出仍然是一个连续信号。n系统脉冲响应函数等于加权序列的Z变换)(sG)(*tr)(tr)(*tc)(tc)(zR)(zC)(zG)()()()(11*zRzGZzCZtc若已知若已知 ，则，则)(),(zGz

19、R若输出为连续信号若输出为连续信号c(t)，可以在输出端设一虚拟采样开关，如图，可以在输出端设一虚拟采样开关，如图)().()().1 (1102211zRzbzbbzCzazazammnnnnmmzazazazbzbbzRzCzG.1.)()()(2211110则则所以，该系统（或环节）的所以，该系统（或环节）的Z传递函数是传递函数是【例例2】设某环节的差分方程为设某环节的差分方程为)()(TknrnTc求其脉冲传递函数求其脉冲传递函数G(z)解：对差分方程两边取解：对差分方程两边取Z变换，有变换，有)()(zRzzCkkzzRzCzG)()()(Z传递函数传递函数G(z)和传递函数和传递函

20、数G(s)的关系的关系则有则有)()(sGZzGG(z)与G(s)的关系)(sG)(tr)(*tr)(tc对于传递函数对于传递函数 ，假设前面加上一个虚拟的采样开关，如图，假设前面加上一个虚拟的采样开关，如图)(sG【例例3】设一个系统的开环传递函数为设一个系统的开环传递函数为)()(assasG求其相应的脉冲传递函数求其相应的脉冲传递函数解：将解：将G(s)展开为部分分式展开为部分分式asssG11)(查查Z变换表，得变换表，得aTezzzzzG1)(n四、开环脉冲传函n当开环离散系统由几个环节串联时，其脉冲传函的求法与连续系统不同。即使两个系统环节完全相同，但是由于采样开关位置和数目不同，

21、开环传函也会不同.采样拉氏变换的重要性质：若采样函数的拉氏变换 与连续函数的拉氏变换 相乘后再离散化，则 可以从离散符号中提出来，即)(*sE)(sG)(*sE)()()()(*sEsGsEsGr(t)G1(z)c(t)d*(t)R(z)G1(s)G2(s)TsTsTsG2(z)G(z)=G1(z) G2(z)d(t)r*(t)c*(t)D(z)C(z)串联环节之间串联环节之间有有采样开关采样开关212121( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )*C sG s D sD sG s R sCsGs D sD sGs R sCsGs Gs

22、R s1212( )( )( )( )( )( )( )( )( )*CsGs GsR sC zG zG z G zR zr(t)c(t)R(z)G1(s)G2(s)TsTsG(z)=G1G2(z)d(t)r*(t)c*(t)C(z)串联环节之间无采样开关)()()()()()()()()()()()()()()(2121212121zGGsGGZzRzCzG sGGsRsC sRsGGsCsRsGsGsC*)()()()()()(*1*2*12*21*12sGsGsGGsGsGsGG 被理想采样开关隔开的两个线性环节串联时，其脉冲传递函数等于这两个环节各自的脉冲传递函数的乘积。这个结论可以推

23、广到几个环节串联，而所有串联环节之间都有理想开关分隔的情况。在这种情况下，总的脉冲传递函数等于每个环节的脉冲传递函数的乘积。 没有采样开关隔离时两个线性环节串联,其脉冲传函为这两个环节的传函相乘之积的Z变换。【例4】) 1(1)(0sssG 022111111Gsssssss 0211ssTGsT zzzZszzez 12(1)11ssTT zzzG zzzzez 001(1)ssT sT sGseG zZGsZessn五. 闭环脉冲传函采样器在闭环系统中有多种配置的可能性，系统的闭环Z传递函数不唯一)(*tr)(*tb)(*tc)(sH)(tr)(tc)(sG)(te)(*te)(tb系统中

24、有一个实际采样开关，增加三个虚拟采样开关)(*tr)(*tb)(*tc)(sH)(tr)(tc)(sG)(te)(*te)(tb系统中的连续信号系统中的连续信号)()()(*sEsGsC)()()()(sCsHsRsE)()()()()(*sEsGsHsRsE)()()()(*sEsHGsRsE误差采样信号误差采样信号 的拉氏变换为的拉氏变换为)(*te)(1)()(*sHGsRsE整理得整理得)(*tr)(*tb)(*tc)(sH)(tr)(tc)(sG)(te)(*te)(tb)()()()()(*sEsGsHsRsE)()(11)(zRzHGzE由于由于)()(1)()()()()()(

25、*sRsHGsGsEsGsEsGsC取取Z变换，得变换，得)()(1)()(zRzHGzGzC)(*tr)(*tb)(*tc)(sH)(tr)(tc)(sG)(te)(*te)(tb)(1)()(*sHGsRsE)(11)()()(zHGzRzEze)(1)()()()(zHGzGzRzCz误差脉冲传递函数误差脉冲传递函数闭环脉冲传递函数闭环脉冲传递函数0)(1)(zGHzD特征多项式为特征多项式为注意：注意：)()(,)()(sZzsZzee)(sH)(tr)(tc)(sG)(te)(*te)(tb【例例5】求下图所示离散系统的闭环脉冲传递函数求下图所示离散系统的闭环脉冲传递函数解：解：)(

26、)()()()()(*11*12sEsGsEsEsGsC)()()(*1*1sEsGsE对对 离散化离散化)(1sE)()()()(*12sEsGsGsC又又)()()()()()()()()(*12sEsGsGsHsRsCsHsRsE离散化后，有离散化后，有)()()()()(*1*2*sEsGsHGsRsE)()(1)()(*1*2*sGsHGsRsE)()(1)()()()()()()(*2*1*2*1*1*2*sHGsGsRsGsGsEsGsGsC)()()()(*12sEsGsGsC)()(1)()()()()(2121zHGzGzGzGzRzCz闭环脉冲传递函数为闭环脉冲传递函数为

27、)()(1)()()()(*2*1*2*1*sHGsGsRsGsGsC【例例6】求下图所示离散系统的闭环脉冲传递函数求下图所示离散系统的闭环脉冲传递函数解：解：)()()()()()()(*sCsHsRsEsEsGsC)()()()()()(*sCsHsGsRsGsC)()()()()()(*sCsHsGsRsGsC对上式离散化，得对上式离散化，得)()()()(*sCsGHsGRsC)(1)()(*sGHsGRsC取取Z变换得变换得)(1)()(zGHzGRzC不能求出闭环脉冲传递函数，只能求出不能求出闭环脉冲传递函数，只能求出)(*tc5 5 系统的稳定性和稳态误差系统的稳定性和稳态误差n

28、一、离散系统的稳定性一、离散系统的稳定性1.定义：对有界输入序列，其输出序列有界，则该离散系统稳定定义：对有界输入序列，其输出序列有界，则该离散系统稳定2.0)(1)(zGHzD设一个离散系统特征方程为设一个离散系统特征方程为当且仅当特征方程的全部特征根分布在当且仅当特征方程的全部特征根分布在z平面上单位圆内，平面上单位圆内，即特征根的模均小于即特征根的模均小于1，相应的线性离散系统是稳定的。，相应的线性离散系统是稳定的。离散系统的稳定性充要条件： 系统脉冲传递函数G(z)的所有极点（或离散系统的所有特征值）都位于z（根）平面上一个以原点为圆心的单位圆内。)(1()1 (10)(11ezzze

29、zG【例1】 1)() 1(10)(sHsssG1sT0)(1()1 (101)(111ezzzezG0368. 0952. 42zz876. 4,076. 021zz1|2z系统不稳定。n离散系统稳定判据离散系统稳定判据劳斯判据可以判断一个多项式方程位于复平面的右半平面上根的个数。劳斯判据可以判断一个多项式方程位于复平面的右半平面上根的个数。为了判断一个多项式方程中位于为了判断一个多项式方程中位于z平面上以原点为圆心的单位圆外的根的个平面上以原点为圆心的单位圆外的根的个数，也可以利用劳斯判据。关键是把数，也可以利用劳斯判据。关键是把z平面的单位圆内区域映射到另一复平平面的单位圆内区域映射到另

30、一复平面的左半平面。面的左半平面。解决方法：解决方法：11z11zz双线性变换1)(022yxu变换可以将变换可以将z平面的特征方程转换为平面的特征方程转换为平面的特征方程，从而应用劳斯判据平面的特征方程，从而应用劳斯判据222222) 1(2) 1(1)(yxyjyxyxjvu平面平面jvujyz平面平面1x1)(022yxu1)(022yxu11z11zz把劳斯稳定判据用于判断离散控制系统稳定性的步骤为：把劳斯稳定判据用于判断离散控制系统稳定性的步骤为： (1) 求出离散控制系统的特征方程求出离散控制系统的特征方程 0zD(2) 对其进行变换，整理后得出一个以对其进行变换，整理后得出一个以

31、w为变量的多项式方程为变量的多项式方程 0wp(3) 应用劳斯稳定判据。离散控制系统稳定的充分必要条件是应用劳斯稳定判据。离散控制系统稳定的充分必要条件是 0wp的根都在的根都在w平面的左半平面上。平面的左半平面上。【例例7.4.2】设设T=0.1s，试求系统稳定时，试求系统稳定时K的临界值的临界值解：解：闭环脉冲传递函数为闭环脉冲传递函数为)(1)()(zGzGz)(tr)(tc)1 . 01 (ssKT1011)1 . 01 ()(ssKssKsG368. 0368. 1632. 011)(210zzKzezzzKzGT闭环特征方程为0368. 0)368. 1632. 0(2zKz令11

32、z0368. 011)368. 1632. 0(112K0)632. 0736. 2(264. 1632. 02KK368. 0368. 1632. 0)(2zzKzzG0)632. 0736. 2(264. 1632. 02KK列劳斯判别矩阵0632. 0736. 20264. 1632. 0736. 2632. 0012KKK0632. 0736. 20KK33. 40 K33. 4cK所以4 采样周期与开环增益对稳定性的影响离散系统的稳定性受零极点、开环增益K和采样周期影响)(sR)(sC) 1( ssKTseTs1【例3】如图所示系统，求1）采样周期T分别为1s, 0.5s时，系统的临

33、界开环增益2）r(t)=1(t), K=1时，T=0.1s, 1s, 2s, 4s时系统的输出响应解：系统的开环脉冲传递函数为)(1()1 () 1() 1()1 ()(21TTTTezzTeezTeKssKZzzG闭环特征方程为0)(1)(zGzD)(sR)(sC) 1( ssKTseTs1当 时，有0)368. 0264. 0()368. 1368. 0()(2KzKzzD1T2( )0.632(1.2640.528)(2.7360.104)0DKKK令11z根据劳斯判据，得4 . 2cK368. 0368. 1264. 0368. 0)(2zzzKzG0)(1)(zGzDT=1时，不同K的仿真结果4 . 2cK05101500.511.5K=0.505101500.511.52K=1.5051015-10123K=2.4051015-20246K=32( )0.197(0.7860.18)(3.2140.017)0DKKK根据劳斯判据，得37. 4