2013全国初中数学联赛答案

1、2013年全国初中数学竞赛试题参考答案2013年全国初中数学竞赛试题参考答案12013年全国初中数学竞赛试题参考答案#一、选择题2013年全国初中数学竞赛试题参考答案#2013年全国初中数学竞赛试题参考答案#1.设非零实数a，,a2b3c=0，ab+bc+cab，c满足2a3b+4c=0,则忘E的值为()2013年全国初中数学竞赛试题参考答案#2013年全国初中数学竞赛试题参考答案#（A）-2B)0（C）1D)12013年全国初中数学竞赛试题参考答案#【解答】【答案】A由已矢口得abc=(2a3b4c)(a2b3c)=0,故(abc)2=0.于；是1 abbcca1abbcca=-(a2+b2

2、+c2)，所以=-2 a2b2c222013年全国初中数学竞赛试题参考答案#2013年全国初中数学竞赛试题参考答案#2.已知a，b，c是实常数，关于x的一元二次方程ax2bxc=0有两个非零实根x，1x，2则下列关于x的一元二次方程中,A）c2x2(b2一2ac)xa2=0以丄，丄为两个实根的是(x2x212(B)c2x2(b2一2ac)xa2=0）2013年全国初中数学竞赛试题参考答案#c2x2(b2一2ac)x一a2=0D)c2x2一(b2一2ac)x一a2=0【答案】2013年全国初中数学竞赛试题参考答案#2013年全国初中数学竞赛试题参考答案#【解答】由于ax2bxc=0是关于x的一兀

3、二次方程，则a丰0.因为xx=一12xx12且xx丰0，所以c丰0，且丄+丄=（xix2一2xix=冬12x2x2122x2x212c11a2，.=，c2x2x2c2122013年全国初中数学竞赛试题参考答案2第3题）于是根据方程根与系数的关系，以丄，丄为两个实根的一元二次方程是x2x212b2一2aca2x2一x=0，艮卩c2x2一(b2一2ac)xa2=0.c2c3.如图，在RtAABC中，已知O是斜边AB的中点，CD丄AB，垂足为D，DE丄OC，垂足为E.若AD，DB，CD的长度都是有理数，则线段OD，OE，DE，AC的长度中，不一定是有理数的为（）.A)OD(B)OEC)DE(D)AC

4、【答案】【解答】因AD，DB，CD的长度都是有理数，所以，OA=OB=OC=AD+BD是有理数.于是，OD=OAAD是有理2数第3题答题）由R/DOEsR/cod，知OE=D，DE=DOC0都是有理数，而ACJADAB不一定是有理数.4.如图，已知ABC的面积为24,在线段BC的延长线上，且BC=4CF,图中阴影部分的面积为（）A）【答案】B)4D)8因为DCFE是平行四边形，所以DE/CF，且EFIIDC.连接CE，因为DE/CF，即DE/BF，所以SDEB=SDEC,DEBDEC因此原来阴影部分的面积等于AACE的面积.连接AF，因为EF/CD，即EF/AC，所以SACE=SACF.ACE

5、ACF因为BC=4CF，所以SABC=4S，CF.故阴影部分的面积为6.ABCACFx，y，z，定义运算“*”为：【解答】5对于任意实数3x3y3x2y2xy345Xy=(x+山+(y+160且xyz二(xy)*z,607967CA）【答案】【解答】则2013201232的值为(B)凹(C)5463967967）(D)空967设201320124=m，则,20132012*4)*3二m3=3m33+3m29+mx27+45=9,m3+3m2+3m+1+64一60于是(201320123)2二9-33-2一才9上+45=二、填空题6.设a运,b是a2的小数部分，则(b+2)3的值为,【答案】20

6、13年全国初中数学竞赛试题参考答案42013年全国初中数学竞赛试题参考答案#【解答】由于1,a,2,a2,3，故ba2-239-2,因此(b+2)3(39)39.7.如图，点D,E分别是AABC的边AC,AB上的点，直线BD与CE交于点F，已知ACDF,BFE,BCF的面积分别是3，4,5,则四边形AEFD的面积是【答案】20413【解答】如图，连接AF,则有:BFAEFAEFBFEAFDAFDFDBCFCDFCFAFDAEFAFDCDFAEFFEBCFBEF解得S108AEF13AFD9613所以，四边形AEFD的面积是204138.已知正整数a,b，Y两足a+b22c2=0,3a2-8b+

7、c0,则abc的最大值2013年全国初中数学竞赛试题参考答案5为.【答案】2013【解答】由已知a+b2-2c-20,3a2-8b+c0消去c,并整理得(b-8+6a2+a66.由a为正整数及6a2+aW66，可得lWaW3.若a1，则(b-859，无正整数解；若a2，则(b-840，无正整数解；若a3，则(b8)29，于是可解得b11,b5.(i) 若b11,则c61,从而可得abc3x11x612013；(ii) 若b5，贝Uc13,从而可得abc3x5x13195.综上知abc的最大值为2013.9实数a,b,c,d满足：一元二次方程x2+cxd=0的两根为a,b,一元二次方程x2+ax

8、+b=0的两根为c,d,则所有满足条件的数组(a,b,c,d)为【答案】(1,2,1,2),(t,0,，t,0)(t为任意实数)a+b=c,【解答】由韦达定理得ab:d,c+d=-a,cd=b.由上式,可矢口b=-a-c=ddb若b=d丰0,贝Ua=1,c=1,进而b=d=ac=2bd若bd0,则c=a,有(a,b,c,d)(t,0,-1,0)(t为任意实数)经检验，数组1,-2,1,，2)与(t,0,，t,0)(t为任意实数)满足条件.10.小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支4元,圆珠笔每支售7元.开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元

9、.则他至少卖出了支圆珠笔.所以2013-7y4(503-2y)+弓【答案】207【解答】设x,y分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则黑二篇013于是苇1是整数.又20134(x+y)+3y204,故y的最小值为207,此时x141三、解答题11.如图，抛物线yax2+bx-3,顶点为E,该抛物线与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,且OB=OC=3OA.直线y=-x+3求/DBC/CBE.【解答】将x0分别代入y-1x+1,D(0,1),C(0,3),所以B(3,0),A(-1,0).直线y-1x+7第11题答题）将点C(0,-3)的坐标代入ya(x+1)(x-3),得a=1.5分抛物线y

10、x2，2x-3的顶点为E(1,-4).于是由勾股定理得BC=32,CE=、辽,BE=2J5.因为BC2+CE2=BE2,所以，ABCE为直角三角形，ZBCE=9010分因此tanZCBE=.又tanZDBO=，贝UZDBO=ZCBE.CB3OB315分所以，ZDBC-ZCBE=ZDBC，ZDBO=ZOBC=45.20分2013年全国初中数学竞赛试题参考答案712.设ABC的外心，垂心分别为O,H,若B,C,H,O共圆，对于所有的ABC,求BAC所有可能的度数.【解答】分三种情况讨论.(i)若厶ABC为锐角三角形.因为BHC=180，A,BOC=2A,所以由BHC=BOC,可得180，A=2A,

11、于是A=60。.5分2013年全国初中数学竞赛试题参考答案82013年全国初中数学竞赛试题参考答案#10分15分O共圆,20分(ii) 若厶ABC为钝角三角形.当A90，时，因为BHC=180，A,BOC二2(180。A),所以由BHC+BOC=180，,可得3(180。A)=180，于是A=120，。当A90，时，不妨假设B90，,因为BHC=A,BOC=2A,所以由BHC+BOC=180，,可得3A=180，,于是A=60，.(iii) 若厶ABC为直角三角形.当A=90，时，因为O为边BC的中点，B,C,H,O不可能共圆，所以A不可能等于90，；当A90，时，不妨假设B=90，,此时点B

12、与H重合,于是总有B,C,H,因此A可以是满足0，A90，的所有角.综上可得，A所有可能取到的度数为所有锐角及120，.13.设a,b,c是素数，记xb+c一a,y=c+a一b,z=a+b一c,当z-y,一Qy=2时，a,b,c能否构成三角形的三边长？证明你的结论.【解答】不能.依题意,得a-2(y+z),b-(x+z),2c-2(x+y)因为y-z2，所以a-(y+z)-(z2+z)-Z+-222又由于z为整数，a为素数，所以z-2或，3,a-3.10分当z-2时，y-z2-4,x-(的+2)2-16.进而，b-9,c-10,与b,c是素数矛盾;15分当z=，3时，a+b，c0，所以a,b,c不能构成三角形的三边长.20分14.如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m的“魔术数”(例如,把86放在415的左侧,得到的数86415能被7整除,所以称86为415的魔术数).求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数a,a,a,满足对任意12n一个正整数m,在a,a,a中都至少有一个为m的魔术数.12n【解答】若nW6,取m=1,2,7,根据抽屉原理知，必有a,a,a中的12n一个正整数M是i,j(1WiVjW7)的公共的魔术数，即71(10M+i),71(10M+j).则有71(j，i)，但0Vj，iW6,矛盾.故n7.10分又当a,a,a为1