第五节函数展开成幂级数及其应用

1、高等数学高等数学主讲教师主讲教师 数学学院数学学院 魏毅强魏毅强 教授教授联系电话联系电话Email : Yiqiang Wei 2统计学第第七七章章 无穷级数无穷级数 Yiqiang Wei 4v 7.1 常数项级数的概念与性质常数项级数的概念与性质v 7.2 正项级数正项级数v 7.3 任意项级数任意项级数v 7.4 幂级数幂级数v 7.5 函数展开成幂级数函数展开成幂级数及其应用及其应用v 7.6 函数的幂级数展开式的应用函数的幂级数展开式的应用v 7.7 函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的 基本性质基本性质v 7.8

2、傅里叶级数傅里叶级数v 7.9 正弦级数与余弦级数正弦级数与余弦级数v 7.10 以以2l为周期的周期函数的傅里叶级数为周期的周期函数的傅里叶级数目录目录 Yiqiang Wei 5学习学习的基本要求和预期的基本要求和预期目标目标v 1）理解无穷级数收敛、发散的概念及，理解无穷级数和）理解无穷级数收敛、发散的概念及，理解无穷级数和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。v 2）熟悉几何级数与级数的收敛性。）熟悉几何级数与级数的收敛性。v 3）掌握正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审）掌握正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法，回用根

3、式审敛法。敛法，回用根式审敛法。v 4）掌握交错级数的莱布尼兹定理。）掌握交错级数的莱布尼兹定理。v 5）了解级数绝对收敛和条件收敛的概念，以及绝对收敛）了解级数绝对收敛和条件收敛的概念，以及绝对收敛和收敛的关系。和收敛的关系。v 6）了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。）了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。v 7）理解幂级数收敛半径的概念，掌握幂级数的收敛半径、）理解幂级数收敛半径的概念，掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。收敛区间及收敛域的求法。Yiqiang Wei 6学习学习的基本要求和预期的基本要求和预期目标目标v 8）了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一）了

4、解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。级数的和。v 9）了解函数展开为泰勒级数的必要条件和充分条件。）了解函数展开为泰勒级数的必要条件和充分条件。v 10）掌握的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数展）掌握的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数展开为幂级数。开为幂级数。v 11) 了解幂级数在近似计算中的简单应用。了解幂级数在近似计算中的简单应用。v 12）理解付氏级数的概念，狄利克雷定理，函数展开为付）理解付氏级数的概念，狄利克雷定理，函数展开为付氏级数的充分条件，会将定义

5、在上的函数展开为付氏级数，氏级数的充分条件，会将定义在上的函数展开为付氏级数，会将定义在上的函数展开为正弦和余弦级数，会写出付氏会将定义在上的函数展开为正弦和余弦级数，会写出付氏级数和函数的表达式。级数和函数的表达式。Yiqiang Wei 77.5.2 泰勒级数泰勒级数7.5.4 函数幂级数展开式的应用函数幂级数展开式的应用7.5 函数展开成幂级数函数展开成幂级数及其应用及其应用7.5.3 函数展开成幂级数函数展开成幂级数7.5.5 欧拉公式欧拉公式 7.5.1 问题的提出问题的提出Yiqiang Wei 8 本节讨论的问题是：给定函数本节讨论的问题是：给定函数f(x)，要考虑是否能找到，要

6、考虑是否能找到这样一个幂级数，它在某区间内收敛，且其和恰好就是给这样一个幂级数，它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数定的函数 f(x) 如果能找到这样的幂级数，我们就说，函如果能找到这样的幂级数，我们就说，函数数f(x)在该区间内能展开成幂级数在该区间内能展开成幂级数7.5 函数展开成幂级数函数展开成幂级数及其应用及其应用7.5.1 问题的提出问题的提出Yiqiang Wei 97.5 函数展开成幂级数函数展开成幂级数及其应用及其应用定理定理5.1(泰勒泰勒Taylor中值定理中值定理) 泰勒泰勒 英国英国数学家数学家. 16851731如果函数如果函数f(x)在含有在含有x0的某个开区

7、间的某个开区间(a, b)内具内具有直到有直到(n1)的阶导数，则当的阶导数，则当x 在在(a, b)内时，内时，f(x)可以表示为可以表示为(xx0)的一个的一个n次多项式与一个次多项式与一个余项余项Rn(x)之和：之和：)()()(xRxPxfnnnnnxxxfnxxxfxfxP)(!1)()()(00)(000泰勒多项式泰勒多项式10)1()()!1(1)(nnnxxfnxR这里这里 是是x0与与x 之间的某个值之间的某个值泰勒余项泰勒余项Yiqiang Wei 107.5.2 泰勒级数泰勒级数7.5 函数展开成幂级数函数展开成幂级数及其应用及其应用 注：注：只要函数有导数就会有泰勒级数

8、，只要函数有导数就会有泰勒级数，除了除了xx0外，外，f(x)的的泰勒级数是否收敛泰勒级数是否收敛? 如果收敛，它是否一定收敛于如果收敛，它是否一定收敛于f(x)? 定义定义5.1 如果如果 f(x) 在点在点 x0 的某邻域内具有的某邻域内具有任意任意阶导数阶导数 f (x)，f (x)， ，f (n)(x )， ，则记则记称称这一级数为这一级数为 f(x) 在点在点 x0 的的泰勒泰勒级数级数。特别，当。特别，当x0=0时，时，称为称为麦克劳林级数麦克劳林级数，其系数称为，其系数称为泰勒（泰勒（麦克劳林）系麦克劳林）系数数nnxxxfnxxxfxf)(!1)()(00)(000nnxfnx

9、ff)0(!1)0()0()(Yiqiang Wei 117.5 函数展开成幂级数函数展开成幂级数及其应用及其应用由数学归纳法由数学归纳法例例5.1 设函设函数数 证明证明 f(x) 任意阶可导，任意阶可导，并且并且 f(n)(0)=0，进一步有麦克劳林级数和为进一步有麦克劳林级数和为S(x)=0.0, 00,)(21xxexfx0, 00,2)(213xxexxfx0, 00,)()()(21)(xxexpxqxfxn一般地，一般地， 其中其中p(x),q(x)为多项式为多项式进一步有麦克劳林级数为进一步有麦克劳林级数为0)0(!1)0()0()(nnxfnxffYiqiang Wei 12

10、7.5 函数展开成幂级数函数展开成幂级数及其应用及其应用定义定义4.2 设函数设函数 f(x) 在在 x0 的某邻域具有任意阶导数的某邻域具有任意阶导数，如果所，如果所导出的级数在区间导出的级数在区间 I I 上仍然收敛与上仍然收敛与 f(x)，则称，则称函数可展开成函数可展开成为泰勒级数为泰勒级数 。 Ixxfxxxfnnnn),()(!1100)(注注: : 区间区间 I I 不一定是泰勒级数的收敛域不一定是泰勒级数的收敛域, , 同样也不一定是函同样也不一定是函数数 f(x) 导函数存在区域，更不是导函数存在区域，更不是函数函数 f(x) 定义域，它是使定义域，它是使级级数的和函数数的和

11、函数 s(x) 就等于就等于 f(x) 的区域。的区域。Yiqiang Wei 137.5 函数展开成幂级数函数展开成幂级数及其应用及其应用 注：注：唯一性指明不论什么方法展开其结果是一样的。唯一性指明不论什么方法展开其结果是一样的。 定理定理5.2 如果如果 f(x) 在点在点 x0 的某邻域内具有的某邻域内具有任意任意阶导数，阶导数，则则 f(x) 在点在点 x0 的某邻域内的某邻域内可展开成为泰勒级数的充分必要条可展开成为泰勒级数的充分必要条件是件是 f(x) 的泰勒公式中的余项趋于零，即的泰勒公式中的余项趋于零，即0)(!1)(lim)(lim000nknnnnxxxfkxfxR定理定

12、理5.3 如果如果 f(x) 在点在点 x0 的某邻域内的某邻域内可展开成为泰勒级数，可展开成为泰勒级数，则展开式是唯一的，即则展开式是唯一的，即 x 的的 n 次幂项系数为次幂项系数为, 3 , 2 , 1 , 0),(!10)(nxfnannYiqiang Wei 147.5 函数展开成幂级数函数展开成幂级数及其应用及其应用7.5.3 函数展开成幂级数函数展开成幂级数幂幂级数级数直接展开法直接展开法如果极限为零，则函数在如果极限为零，则函数在(-R, R)内可展开为泰勒内可展开为泰勒级数级数 。第一步，求出第一步，求出 f(x) 的各阶导数：的各阶导数：f(n)(x)；第二步，计算各阶导数

13、在第二步，计算各阶导数在 x0 的值：的值：f(n)(x0)；nnnxxxfn)( )(!1000)(第三步，写出泰勒级数：第三步，写出泰勒级数： ；并求出收敛；并求出收敛半径半径R；第四步，考察余项在第四步，考察余项在(-R, R)内的极限：内的极限：10)1()()!1()(lim)(limnnnnnxxnfxR 是是x0与与x 之间的某个值之间的某个值Yiqiang Wei 157.5 函数展开成幂级数函数展开成幂级数及其应用及其应用例例5.2 求下列函数的幂级数展开求下列函数的幂级数展开0,)(0 xexfx0,sin)(0 xxxf)(,!1! 31! 21132xxnxxxenx)

14、(,)!12(1) 1(! 51! 31sin1253xxnxxxxnn0,)1 ()(0 xxxf) 11(,!) 1() 1() 1(! 3)2)(1(! 2) 1(1)1 (32xxnnxxxxnn特别特别) 11(,1112xxxxxnYiqiang Wei 167.5 函数展开成幂级数函数展开成幂级数及其应用及其应用幂幂级数级数间接展开法间接展开法间接展开法是指：利用一些已知函数的幂级数展开式及间接展开法是指：利用一些已知函数的幂级数展开式及其幂级数的运算其幂级数的运算( (如四则运算、逐项求导求积、变量替换如四则运算、逐项求导求积、变量替换与恒等变形等），将所给函数展开成为幂级数，

15、包括收与恒等变形等），将所给函数展开成为幂级数，包括收敛域。敛域。间接法成立的依据是展开式的唯一性。间接法成立的依据是展开式的唯一性。间接法中常常使用下列函数的展开式作为已知：间接法中常常使用下列函数的展开式作为已知：x11xexsin)1 (xYiqiang Wei 177.5 函数展开成幂级数函数展开成幂级数及其应用及其应用例例5.3 求下列函数的幂级数展开求下列函数的幂级数展开0,cos)(0 xxxf)(,)!2(1) 1(cos02xxnxnnn0),1ln()(0 xxxf) 11(,1) 1()1ln(11xxnxnnn0,arctan)(0 xxxf) 11(,121) 1(a

16、rctan1121xxnxnnn0),21ln()(02xxxxf3,231)(02xxxxf4,sin)(0 xxxfYiqiang Wei 187.5 函数展开成幂级数函数展开成幂级数及其应用及其应用7.5.4 函数幂级数展开式的应用函数幂级数展开式的应用两类问题两类问题：给定项数给定项数,求近似值并估计精度求近似值并估计精度; 给出精度给出精度,确定项数确定项数. 关键关键是是通过估计余项通过估计余项, 确定精度或项数确定精度或项数。近似计算近似计算nkknnaaA111nkknar误差误差Yiqiang Wei 197.5 函数展开成幂级数函数展开成幂级数及其应用及其应用例例5.4 计

17、算下列函数的近似值计算下列函数的近似值sin90, 误差不超过误差不超过10-3ln2, 误差不超过误差不超过10-4e, 误差不超过误差不超过10-5Yiqiang Wei 207.5 函数展开成幂级数函数展开成幂级数及其应用及其应用计算计算数项级数的和数项级数的和1.1.利用级数和的定义求和利用级数和的定义求和常用的方法有：常用的方法有：直接法直接法，拆项法拆项法，递推法递推法2. 阿贝尔法阿贝尔法(构造幂级数法构造幂级数法)010limnnnxnnxaa)(lim10 xSaxnn0)(nnnxaxS(逐项积分、逐项求导逐项积分、逐项求导)Yiqiang Wei 217.5 函数展开成幂

18、级数函数展开成幂级数及其应用及其应用例例5.5 计算下列数项级数的和计算下列数项级数的和1212nnn12!2nnnn1221arctannnYiqiang Wei 227.5 函数展开成幂级数函数展开成幂级数及其应用及其应用计算定积分计算定积分第一步，将被积函数展开幂级数第一步，将被积函数展开幂级数第二步，对幂级数逐项求积第二步，对幂级数逐项求积第三步，计算数项级数的和第三步，计算数项级数的和10sindxxx(精确到精确到10-4)例例5.6 求求下列定积分的值下列定积分的值.Yiqiang Wei 237.5 函数展开成幂级数函数展开成幂级数及其应用及其应用7.5.5 欧拉公式欧拉公式v

19、复数项级数：复数项级数： 设有复数项级数设有复数项级数(u1 + iv1 )+ (u2 + iv2 )+ +(un + ivn )+ 其中其中un ，vn （n=1，2，3，）为实常数或实函数如果）为实常数或实函数如果实部所成的级数实部所成的级数u1 + u2 + + un + 收敛于和收敛于和u，并且虚部所成的级数，并且虚部所成的级数v1 + v2 + + vn + 收敛于和收敛于和v，就说复数项级数收敛且和为，就说复数项级数收敛且和为u+ivYiqiang Wei 247.5 函数展开成幂级数函数展开成幂级数及其应用及其应用v 绝对收敛：绝对收敛： 如果级1n(un + ivn )的各项的

20、模所构成的级数收敛，则称级数1n(un + ivn )绝对收敛v复变量指数函数：复变量指数函数：考察复数项级数考察复数项级数,! 212nzzzenz, ,! ! ! 2 21 12 2 n nz zz zz zn n此级数在复平面上是绝对收敛的，在此级数在复平面上是绝对收敛的，在x轴上它表示指数函数轴上它表示指数函数ex ，在复平面上我们用它来定义复变量指数函数，记为在复平面上我们用它来定义复变量指数函数，记为ez 即即Yiqiang Wei 257.5 函数展开成幂级数函数展开成幂级数及其应用及其应用v 欧拉公式欧拉公式：当当x = 0时，时，z = i y ，于是，于是njxjxnjxj

21、xe)(!1)(! 2112)!12()1(! 31()!2()1(! 211(12322 nxxxjnxxnnnnxjxsincos xcosxsinYiqiang Wei 267.5 函数展开成幂级数函数展开成幂级数及其应用及其应用xjxejxsincos jeexeexjxjxjxjx2sin2cosxjxejxsincos 又又揭示了三角函数和复变数指数函数之间的一种关系揭示了三角函数和复变数指数函数之间的一种关系. .欧拉公式欧拉公式)sin(cosyjyeeexjyxzYiqiang Wei 277.5 函数展开成幂级数函数展开成幂级数及其应用及其应用一、 将下列函数展开成x的幂级

22、数,并求展开式成立的区间:1、xa；2、)1ln()1(xx ;3、xarcsin；4、3)1(1xx .二、 将函数3)(xxf 展开成)1( x的幂级数,并求展开式成立的区间 .三、 将函数231)(2 xxxf展开成)4( x的幂级数 .四、 将 级 数 11211)!12(2)1(nnnnnx的 和 函 数 展 开 成)1( x的幂级数 .7.5.6 练习练习Yiqiang Wei 28五、利用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值:1、3ln(精确到0001. 0)；2、2cos(精确到0001. 0).六 、 利 用 被 积 函 数 的 幂 级 数 展 开 式 求 定 积 分 5 .

23、 00arctandxxx(精确到001. 0)的近似值 .七、将函数xexcos展开成的幂级数的幂级数x.7.5 函数展开成幂级数函数展开成幂级数及其应用及其应用Yiqiang Wei 29一、一、1 1、)(!)(ln0 xxnannn； 2 2、)11()1()1(111 xxnnxnnn； 3 3、)11()2()12() !()!2(21122 xxnnnxnn； 4 4、)1 , 1(112 nnxn. .二、二、 )1(231x 022)21(2)2)(1(3) !()!2()1(nnnnxnnnn)20( x. .7.5 函数展开成幂级数函数展开成幂级数及其应用及其应用参考答案参考答案Yiqiang Wei 30五、1、1.0986；2、0.9994.六、0.487.七、),(!4cos2cos02 nnxnxnxe .(提示:xjxjxeexe)4sin4(cos2