经济数学 微积分 极限存在准则 重要极限 连续复利

1、一、夹逼准则一、夹逼准则二、单调有界收敛准则二、单调有界收敛准则四、小结四、小结 思考题思考题极限存在准则极限存在准则两个重要极限两个重要极限第五节第五节三、连续复利三、连续复利连续复利连续复利一、夹逼准则准则准则 如果数列如果数列nnyx ,及及 nz满足下列条件满足下列条件: : ,lim,lim)2()3 , 2 , 1()1(azaynzxynnnnnnn 那末数列那末数列nx的极限存在的极限存在, , 且且axnn lim. . 证证,azaynn使得使得, 0, 0, 021 NN ,1 ayNnn时恒有时恒有当当,max21NNN 取取恒有恒有时时当当,Nn , ayan即即,2

2、 azNnn时恒有时恒有当当, azan上两式同时成立上两式同时成立, azxyannn,成立成立即即 axn.limaxnn 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限准则准则 如果当如果当),(00 xUx ( (或或Mx ) )时时, ,有有 ,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那末那末)(lim)(0 xfxxx 存在存在, , 且等于且等于A. . 注意注意: :.,的的极极限限是是容容易易求求的的与与并并且且与与键键是是构构造造出出利利用用夹夹逼逼准准则则求求极极限限关关nnn

3、nzyzy准则准则 I和和准则准则 I称为称为夹逼准则夹逼准则.AC作为准则作为准则 的应用，下面证明一个重要的极限的应用，下面证明一个重要的极限1sinlim0 xxx,O设单位圆设单位圆如右图，如右图，,tan,sinACxABxBDx 弧弧于于是是有有xoBD.ACO ，得作单位圆的切线,xOAB的圆心角为扇形,BDOAB的高为 (0)2AOBxx 圆圆心心角角,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也成立也成立上式对于上式对于 x,20时时当当 xxxcos11cos0 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02lim20 xx, 0)cos1(lim0 xx,

4、 1coslim0 xx, 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxx例例1 解解 0tanlim.xxx求求00tansin1limlimcosxxxxxxx 00sin1limlim1cosxxxxx 例例2 2.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 例例 3解解0arcsinlim.xxx求求arcsintx 令令，sinxt 于于是是，0,0.xt在在有有由复合函数的极限运算法则得由复合函数的极限运算法则得 00arcsinlimlim1sinxtxtx

5、t 例例 4sinlim.xxx 求求解解,tx 令令则则sinlimxxx 0sinlimttt 0sinlimttt 1 例例5 5).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夹逼定理得由夹逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnnx1x2x3x1 nxnx满足条件满足条件如果数列如果数列nx,121 nnxxxx单调增加单调增加,121 nnxxxx单调减少单调减少单调数列单调数列准准则则 单单调调有有界界数数列列必必有有极极限限.几何解释几何解释

6、:AM二、单调有界收敛准则exxx )11(lim定义定义ennn )11(limnnnx)11( 设设 21! 2)1(1! 11nnnnn).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn nnnnnnn1!)1()1( 作为准则作为准则的应用，可以证明一个重要的极限的应用，可以证明一个重要的极限).11()221)(111()!1(1)111()221)(111(!1)111(! 21111 nnnnnnnnnnnxn,1nnxx 显然显然 ;是单调递增的是单调递增的nx!1! 2111nxn 1212111 n1213 n, 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx

7、 ennn )11(lim记为记为)71828. 2( e类似地类似地,因因此此的的极极限限都都存存在在且且等等于于时时，函函数数或或取取实实数数而而趋趋向向可可以以证证明明，当当,)11(exxx .)11(limexxx ezzxxzzz 10)1(lim,01于于是是有有时时，则则当当利利用用代代换换例例6 6.)11(limxxx 求求解解xxx )11(1lim1)11(lim xxx原式原式.1e 例例7 7.)23(lim2xxxx 求求解解422)211()211(lim xxxx原式原式.2e 例例8 8解解.)1ln(lim0 xxx 求求. 1ln)1(limln)1ln

8、(lim)1ln(lim10100 exxxxxxxxx例例9 9解解)1ln(lim1lim00uuxeuxx .1lim0 xexx 求求,1uex 令令),1ln(ux 即即, 0,0ux有有时时则当则当uuu)1ln(1lim0 . 1 .)(333的的极极限限存存在在式式重重根根证证明明数数列列nxn 例例1010证证,1nnxx 显然显然 ;是单调递增的是单调递增的nx, 331 x又又, 3 kx假定假定kkxx 3133 , 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32AA 2131,2131

9、AA解得解得(舍去舍去).2131lim nnx则则，年利率为，年利率为称为本金称为本金设一笔贷款设一笔贷款,)(0rA三、连续复利)1(01rAA 一年后本利和一年后本利和2012)1()1(rArAA 两年后本利和两年后本利和kkrAAk)1(0 年后本利和年后本利和，则则，年年利利率率仍仍为为期期计计息息如如果果一一年年分分rn，于是一年后的本利和，于是一年后的本利和每期利率为每期利率为nrnnrAA)1(01 nkknrAAk)1(0 年后本利和年后本利和年年后后的的本本利利和和，则则称称为为连连续续复复利利复复利利，即即每每时时每每刻刻计计算算如如果果计计息息期期数数kn)( rkr

10、krnnnknkeArnAnrAA00011lim)1(lim 四、小结1.两个准则两个准则2.两个重要极限两个重要极限夹逼准则夹逼准则; 单调有界准则单调有界准则 .; 1sinlim10 某过程某过程.)1(lim210e 某过程某过程,为某过程中的无穷小为某过程中的无穷小设设 思考题思考题 有小兔一对，若第二个月它们成年，第三个月生下小兔一对，以后每月生产小兔一对. 而所生小兔亦在第二个月成年，第三个月生产另一对小兔，以后每月亦生产小兔一对. 假定每产一对小兔必为一雌一雄，且均无死亡，试问一年后共有小兔几对？并求出许多年后，兔子总对数的月增长率. 解解 若用“”、“”分别表示一对未成年和

11、成年的兔子，则根据题设有下面的小兔繁殖数量图： 去年12月 1今年 1 月 12 月 23 月 34 月 55 月 86 月 13 从上图可看出, 从三月份开始, 每月的兔子总数恰好等于它前面两个月的兔子总数之和. 按此规律可写出数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233可见一年后共有兔子233对. 按上述规律写出的无限项数列为著名的斐波那契(Fibonacci)数列, 其通项为 1125125151nnnF且此数列有递推关系：), 2 , 1 , 0(12nFFFnnn月相对就是第则记1%100) 1(,1nbFFbnnnn第n月的兔子对数的增长率 nnbnl

12、im), 2 , 1 , 0(若数的月就表示许多年后兔子对则存在) 1lim(,nnb增长率。nnblim存在的证明及求法如下：证), 2 , 1(111111110nbFFFFFFFbbnnnnnnnnn用数学归纳法容易证明：数列2nb是单调增加的；数列12 nb是单调减少的.又, 对一切223, 0nbn成立. 即数列 、2nb12 nb是有界的.根据“单调有界数列必有极限”的准则可知数列 和 的极限存在, 分别记作b*和b* , 即 2nb12 nbbbbbnnnn122lim,lim得两边取极限及分别对,1111212122nnnnbbbbbbbb1111与两式相减，得bbbbbb,

13、1.limlim, 0122bbbbbbnnnn否则有即由此得).1(, 0112nbbbbb因这是不可能的，得而由bbbbnnnn lim,lim即记作存在因此bbbbnn11,111得两边取极限对解上方程，得 ，因为 故251b, 1nb618. 1251b即618. 1limlim1nnnnnFFb从而618. 01limnnb故许多年后兔子的总对数均以每月61.8%的速率增长.思考题思考题求极限求极限 xxxx193lim 思考题解答思考题解答 xxxx193lim xxxxx111319lim xxxxx 313311lim9990 e练练 习习 题题._3cotlim. 40 xxx一、填空题一、填空题:._sinlim. 10 x