第二节直线的交点与距离公式

1、栏目索引第二节 直线的交点与距离公式课标版课标版 文数文数栏目索引1.两条直线的交点两条直线的交点教材研读教材研读ccc栏目索引点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离|P1P2|=点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离d=222121(xx )(yy )0022|Axy|ABBC1222|CC |AB2.三种距离三种距离ccc栏目索引1.两条直线l1:2x+y-1=0和l2:x-2y+4=0的交点为()A.B.C.D.答案B解方程组得所以两直线的交点为.2.原点到直线x+2y-5=0的距离为()A.1

2、B.C.2D.2 9,5 52 9,5 529,5529,55210,240,xyxy 2,59,5xy 2 9,5 535c栏目索引答案D由相应距离公式易得d=.3.已知直线l1:x+y+1=0,l2:x+y-1=0,则l1,l2之间的距离为()A.1B.C.D.2答案B由题意可知l1与l2平行,故l1与l2之间的距离d=,故选B.4.若三条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0和x+by=0相交于一点,则b=.答案-解析由解得将其代入x+by=0,得b=-.| 5|55231222|CCAB|1 ( 1)|2 2122380,10 xyxy 1,2.xy 12cc栏目索引5.已知坐标平面内

3、两点A(x,-x)和B,那么这两点之间距离的最小值是.答案解析由题意可得两点间的距离d=,即最小值为.22,0212222( 2)2xx23 21244x1212c栏目索引直线的交点直线的交点典例典例1(1)经过直线l1:x+y+1=0与直线l2:x-y+3=0的交点P,且与直线l3:2x-y+2=0垂直的直线l的方程是.(2)已知三条直线l1:4x+y-4=0,l2:mx+y=0,l3:2x-3my-4=0,若它们不能围成三角形,则m的取值构成的集合是.答案(1)x+2y=0(2)解析(1)解法一:由方程组解得即点P(-2,1),由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-1=k(x+2)

4、,l3l,k=-,1 21,46 3 10,30 xyxy 2,1,xy 12考点突破考点突破c栏目索引直线l的方程为y-1=-(x+2),即x+2y=0.解法二:因为直线l过直线l1和l2的交点,所以可设直线l的方程为x+y+1+(x-y+3)=0,即(1+)x+(1-)y+1+3=0.因为l与l3垂直,所以2(1+)-(1-)=0,所以=-,所以直线l的方程为x+y=0,即x+2y=0.(2)由已知易知l2与l3相交,且交点为,若l1、l2、l3交于一点,则易得m=-1或;若l1l2,则m=4;若l1l3,则m=-.综上可得,m=-1或或4或-.121323432244,2323mmm23

5、162316栏目索引经过两条直线交点的直线方程的设法经过两相交直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(这个直线系不包括直线A2x+B2y+C2=0).栏目索引1-1若将本例(1)的“垂直”改为“平行”,试求l的方程.解析由方程组解得即点P(-2,1).设直线l的方程为y-1=k(x+2),因为ll3,所以k=2,故直线l的方程为y-1=2(x+2),即2x-y+5=0. 距离问题距离问题典例典例2正方形的中心为点C(-1,0),一条边所在直线的方程为x+3y-5=0,求其他三边所在直线的方程.解析点C到直线x

6、+3y-5=0的距离d1=.10,30 xyxy 2,1,xy | 1 5|1 9 3 105cc栏目索引设与直线x+3y-5=0平行的边所在直线的方程是x+3y+m=0(m-5),则点C到直线x+3y+m=0的距离d2=,解得m=-5(舍去)或m=7,所以与直线x+3y-5=0平行的边所在直线的方程是x+3y+7=0.设与x+3y-5=0垂直的边所在直线的方程是3x-y+n=0,则点C到直线3x-y+n=0的距离d3=,解得n=-3或n=9,所以与直线x+3y-5=0垂直的两边所在直线的方程分别是3x-y-3=0和3x-y+9=0.| 1|1 9m 3 105| 3|1 9n 3 105栏目

7、索引正方形的四条边两两平行或垂直,设平行直线系和垂直直线系可以较方便地解题.运用点到直线的距离公式时,需把直线方程化为一般式;运用两平行线间的距离公式时,需先把两平行线方程中x,y的系数化为相同的形式.栏目索引2-1已知点P(2,-1).(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程;(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程,并求出最大距离;(3)是否存在过P点且与原点距离为6的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由.解析(1)过P点的直线l与原点距离为2,又P点坐标为(2,-1),可见,过P(2,-1)且垂直于x轴的直线满足条件.此时l的斜率不存在,其方程为x=2.若斜率存在,则设l

8、的方程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0.c栏目索引则=2,解得k=.此时l的方程为3x-4y-10=0.综上,直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0.(2)由题意可知过P点且与原点距离最大的直线l是过P点且与PO(O为坐标原点)垂直的直线,由lOP,得klkOP=-1,所以kl=-=2.由点斜式得直线l的方程为y+1=2(x-2),即2x-y-5=0.所以2x-y-5=0是过P点且与原点距离最大的直线的方程,最大距离为=.2| 21|1kk341OPk| 5|55栏目索引(3)不存在.由(2)可知,过P点不存在与原点距离超过的直线,因此不存在过P点且与原点距离为6的直线.

9、对称问题对称问题命题角度一点关于点的对称命题角度一点关于点的对称典例典例3过点P(0,1)作直线l使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,求直线l的方程.解析设l1与l的交点为A(a,8-2a),则由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,将其代入l2的方程,得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,则A(4,0),又P(0,1),所以由两点式可得直线l的方程为x+4y-4=0.5c栏目索引命题角度二点关于线的对称命题角度二点关于线的对称典例典例4求点A(-1,-2)关于直线l:2x-3y+1=0的对称点A的坐标.解析设A(x,y)

10、,则由已知得解得A.命题角度三线关于点的对称命题角度三线关于点的对称典例典例5求直线l:2x-3y+1=0关于点A(-1,-2)对称的直线l的方程.解析设P(x,y)为l上任意一点,则P(x,y)关于点A(-1,-2)的对称点为P(-2-x,-4-y),点P在直线l上,2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,2 21,1 3122310,22yxxy 33,134.13xy 33 4,13 13cc栏目索引即2x-3y-9=0.则直线l的方程为2x-3y-9=0.命题角度四线关于线的对称命题角度四线关于线的对称典例典例6求直线m:3x-2y-6=0关于直线l:2x-3y+1=0的对称直线m的方

11、程.解析在直线m上任取一点,如点M(2,0),则点M(2,0)关于直线l的对称点M必在直线m上.设点M的对称点M的坐标为(a,b),则解得故点M的坐标为.202310,22021,23abba 6,1330,13ab6 30,13 13c栏目索引设直线m与直线l的交点为N,由解得则N(4,3).由两点式可得直线m的方程为9x-46y+102=0.命题角度五对称问题的应用命题角度五对称问题的应用典例典例7(2013湖南,8,5分)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点.光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(如图).若光线QR经过ABC的重心,则AP等于(

12、)2310,3260 xyxy 4,3,xyA.2B.1C.D.8343栏目索引答案D解析以AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立如图所示的坐标系,由题意可知B(4,0),C(0,4),A(0,0),则直线BC的方程为x+y-4=0.栏目索引设P(t,0)(0t4),由对称知识可得点P关于直线BC的对称点P1的坐标为(4,4-t),点P关于y轴的对称点P2的坐标为(-t,0),根据反射定理可知直线P1P2就是光线RQ所在直线.由P1、P2两点坐标可得直线P1P2的方程为y=(x+t),设ABC的重心为G,易知G.因为重心G在光线RQ上,所以=,即344tt4 4,3 34 4,3 34344tt43tt2-4t=0,解得t=0或t=,因为0t4,所以t=,即AP=,故选D.434343栏目索引常见对称问题的求解方法:(1)中心对称若点M(x1,y1)与N(x,y)关于P(a,b)对称,则由中点坐标公式得若直线关于点对称,则在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程,或者求出一个对称点,再利用原直线与其关于点对称的直线平行,由点斜式得到所求直线方程.112,2.xaxyby栏目索引(2)轴对称点关于直线的对称若两