第10章等截面直杆的扭转

1、第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转n10.1 扭转问题中的应力和位移扭转问题中的应力和位移n10.2 扭转问题的薄膜比拟扭转问题的薄膜比拟n10.3 椭圆截面杆的扭转椭圆截面杆的扭转n10.4 矩形截面杆的扭转矩形截面杆的扭转n10.5 薄壁杆的扭转薄壁杆的扭转n10.6 扭转问题的差分解扭转问题的差分解10.1 设有等截面直杆，体力不计，在两端受有大小相等而转向相反设有等截面直杆，体力不计，在两端受有大小相等而转向相反的扭矩的扭矩M作用。取杆的一端平面为作用。取杆的一端平面为xy平面，平面，z轴沿杆的纵向。轴沿杆的纵向。xxxyyzOOMMAB 00zxzy，1001xyzxy体

2、力为零体力为零0XYZ平衡方程平衡方程 000zyyzzxxzazzxy，zyzxxy 分析：分析：zx和和zy只是只是x和和y的函数，并对平衡方程第三式变形的函数，并对平衡方程第三式变形根据微分方程理论，一定存在一个函数根据微分方程理论，一定存在一个函数(x，y)，使得，使得zxzyyx ，则应力分量为则应力分量为102zxxzzyyzyx ，函数函数(x，y) 称为称为扭转问题的应力函数扭转问题的应力函数（普朗都普朗都提出）。提出）。将将（10-110-1）及（）及（10-210-2）代入相容方程（）代入相容方程（9-329-32），得），得2200 xy，即即2103C边界条件：边界条件

3、：在杆的侧面上在杆的侧面上00nXYZ，应力边界条件要求应力边界条件要求0 xzyzsslm在边界上有在边界上有ddddyxlmss ，将（将（10-210-2）代入得）代入得0sslmyx所以边界条件要求所以边界条件要求ddd0dddssyxysxss 上式说明：上式说明：在杆的侧面上（横截面的边界曲线上），应力函数在杆的侧面上（横截面的边界曲线上），应力函数的边界值应当是常数。的边界值应当是常数。 当应力函数当应力函数增加或减少一个常数时，应力分量不受影响，因增加或减少一个常数时，应力分量不受影响，因此在单连截面（实心杆）的情况下应力函数此在单连截面（实心杆）的情况下应力函数的边界值可以取

4、为零的边界值可以取为零s=0 （10-4）在多连截面的情况下，虽然应力函数在多连截面的情况下，虽然应力函数s在每一边界上都是常数，但在每一边界上都是常数，但各个常数一般并不相同。因此只能把其中某一个边界上的各个常数一般并不相同。因此只能把其中某一个边界上的s取为零，取为零，其它边界上的其它边界上的s ，则应根据位移单值条件来确定。，则应根据位移单值条件来确定。 在杆的任一端（上端）在杆的任一端（上端）l=m=0，n=-1，则要求，则要求 zxzyXYb， 因面力必须合成扭矩因面力必须合成扭矩M，所以要求，所以要求 d d0X x yc d d0Y x yd d dyXxYx yMe 根据（根据

5、（b）中的第一式及（）中的第一式及（10-2），式（），式（c）左边的积分改写为）左边的积分改写为d dd dd ddddzxBAX x yx yx yxyxxx xxyOAB 其中其中B及及A是横截面边界上是横截面边界上B点及点及A点点的的值，由图可知，应当等于零，可见值，由图可知，应当等于零，可见（c）、（）、（d）两式满足）两式满足 根据（根据（b）式及（）式及（10-2），式（），式（e）左边的积分改写为）左边的积分改写为d dd dd dddddzxzyyXxYx yyxx yyxx yyxx yyy xxyx 利用分部积分，并注意到利用分部积分，并注意到B=A=0ddddd dBB

6、AAx yyxyyyx yy 同理可得同理可得ddd dy xxx yx 于是（于是（e）式成为）式成为1052d dx yM 为了求得应力，只须求出应力函数，使之能满足方程（为了求得应力，只须求出应力函数，使之能满足方程（10-310-3）（10-510-5），然后由（），然后由（10-210-2）式求应力分量。）式求应力分量。 位移公式位移公式 将应力分量的表达式（将应力分量的表达式（10-1）及（）及（10-2）代入物理方）代入物理方程（程（8-17）得）得总总 结：结： 将上述表达式代入几何方程（将上述表达式代入几何方程（8-9）得）得000110 xyzyzzxxyGxGy ， 00

7、0011uvwvuxyzxyfwvuwyzGxzxGy ， 通过积分，可求得位移分量通过积分，可求得位移分量00yzzxuuw zw yKyzvvw xw zKxz 积分常数代表刚体位移，积分常数代表刚体位移，K也是积分常数。只保留与形变有关的也是积分常数。只保留与形变有关的位移，则位移，则106uKyzvKxz ， 若用柱坐标表示，则为若用柱坐标表示，则为0ruuKrz， 可见，每个横截面在可见，每个横截面在xy面上的投影不改变形状，而只是转动一个面上的投影不改变形状，而只是转动一个角度角度=Kz=Kz。由此可见，杆的单位长度内的扭转角为。由此可见，杆的单位长度内的扭转角为 。 将（将（10

8、-610-6）代入（）代入（f f）中的）中的5 5、6 6两式得两式得ddKz11017wwKyKxxGyyGx ， 通过以上两式可以求解通过以上两式可以求解w。并将以上两式分别对。并将以上两式分别对y及及x求导，然后求导，然后相减，即得相减，即得22108GK 方程（方程（10-3）中的常数）中的常数C应为应为1092CGK10.2 扭转问题的薄膜比拟扭转问题的薄膜比拟 普朗都指出：薄膜在均匀压力下的垂度，与等截面直杆扭转问普朗都指出：薄膜在均匀压力下的垂度，与等截面直杆扭转问题中的应力函数，在数学上是相似的。用薄膜来比拟扭杆，可以有题中的应力函数，在数学上是相似的。用薄膜来比拟扭杆，可以

9、有助于求得扭转问题的解答。助于求得扭转问题的解答。 设有一块均匀薄膜，张在一设有一块均匀薄膜，张在一个水平边界上，水平边界与某一个水平边界上，水平边界与某一扭杆的横截面边界具有同样的形扭杆的横截面边界具有同样的形状和大小。当薄膜承受微小的均状和大小。当薄膜承受微小的均匀压力，薄膜的各点将发生微小匀压力，薄膜的各点将发生微小的垂度。以边界所在的水平面为的垂度。以边界所在的水平面为xy面，则垂度为面，则垂度为z。假定薄膜不承。假定薄膜不承受弯矩、扭矩、剪力和压力，只受弯矩、扭矩、剪力和压力，只承受均匀的拉力承受均匀的拉力T。OOqTTTTTTxxzydxdyabcd 在薄膜中取微小部分在薄膜中取微

10、小部分abcd，则有，则有ddddddddddzabT yT yxzcdT yT yzxxxzadTzzzzxT xyzbcT xT xzyyy边上的拉力，在 轴上的投影边上的拉力，在 轴上的投影边上的拉力，在 轴上的投影边上的拉力，在 轴上影-的投- 由平衡条件得由平衡条件得ddddddd d0zzzzT yT yzxT xT xzyq x yxxxyyy 简化得简化得22220zzTqxy 即即210 10qzT 薄膜在边界上的垂度等于零，即薄膜在边界上的垂度等于零，即10 101sz 由于由于q/T 为常量，（为常量，（10-1010-10）及（）及（10-1110-11）两式可以改写为

11、）两式可以改写为 2100sTTzzaqq ， 因为扭转问题中的因为扭转问题中的GK也为常量，（也为常量，（10-810-8）及（）及（10-410-4）变形为）变形为 210022sbGKGK ， 2/GKczq T 对比（对比（b b）、（）、（a a）两式，并注意到薄膜和扭杆横截面具有相同的）两式，并注意到薄膜和扭杆横截面具有相同的边界，边界， 与与 决定于同样的微分方程和边界条件，因而具有相同决定于同样的微分方程和边界条件，因而具有相同的解答，即的解答，即2GKTzq 命薄膜及其边界平面之间的体积为命薄膜及其边界平面之间的体积为V，则有，则有d dVz x y 应用（应用（c c）式及

12、（）式及（10-510-5），可得），可得d d24qqMVx yGKTGKT 从而有从而有 22/GKVdq T 此外，根据（此外，根据（10-210-2）及（）及（c c），又可得），又可得22/zxGKTGKzzyyqq Ty 其中其中 为薄膜沿为薄膜沿y方向的斜率，上式可以改写为方向的斜率，上式可以改写为zy 2/zxzGKeyq T 调整薄膜所受的压力调整薄膜所受的压力q，使得薄膜的，使得薄膜的q/T的值等于扭杆的的值等于扭杆的2GK值，值，由（由（c）、（）、（d）、（）、（e）可得如下结论：）可得如下结论： （1）该扭杆的应力函数）该扭杆的应力函数，等于该薄膜的垂度，等于该薄膜的

13、垂度z； （2）该扭杆所受的扭矩）该扭杆所受的扭矩M，等于该薄膜及其边界平面之间的体，等于该薄膜及其边界平面之间的体积的两倍，即积的两倍，即2V； （3）该扭杆横截面上某一点处的剪应力）该扭杆横截面上某一点处的剪应力zx，等于该薄膜上对，等于该薄膜上对应点处的斜率应点处的斜率 。zy讨讨 论：论： 因为因为x轴和轴和y轴可以取在扭杆横截面上任意两个相互垂直的方向，轴可以取在扭杆横截面上任意两个相互垂直的方向，所以第三个结论可以推广为：所以第三个结论可以推广为：在扭杆横截面上某一点处、沿任一方在扭杆横截面上某一点处、沿任一方向的剪应力，等于该薄膜在对应点处的、沿垂直方向的斜率向的剪应力，等于该薄

14、膜在对应点处的、沿垂直方向的斜率。 扭杆横截面上的最大剪应力等于该薄膜的最大斜率。扭杆横截面上的最大剪应力等于该薄膜的最大斜率。 最大剪应力的方向和最大斜率的方向相互垂直。最大剪应力的方向和最大斜率的方向相互垂直。10.3 椭圆截面杆的扭转椭圆截面杆的扭转 设有等截面直杆，它的横截面具有一个椭圆边界，椭圆的半轴设有等截面直杆，它的横截面具有一个椭圆边界，椭圆的半轴分别为分别为a和和b。 22221xyaabxyOABab 椭圆的方程为椭圆的方程为 应力函数在边界上为零，故设为应力函数在边界上为零，故设为 22221xymbab 将（将（b b）代入（）代入（10-310-3），得），得2222

15、22222mma b CCmabab求解 应力函数的形式为应力函数的形式为 2222222212a b Cxycabab 将（将（c c）代入（）代入（10-510-5）得）得 2222222211d dd dd d2a b Cxx yyx yx yMdabab 由材料力学知由材料力学知3232d d4d d4d dyxa bxx yIabyx yIx yab 代入（代入（d d）可得）可得 22332M abCea b 再回代（再回代（c c）可得应力函数）可得应力函数 22221Mxyfab ab 应力分量的表达式应力分量的表达式332210 12zxzyMyabMxa b 任一点的合剪应

16、力任一点的合剪应力22224410321zxzyMxyabaa 最大剪应力最大剪应力max2210 14ABMab 单位长度内的扭转角单位长度内的扭转角2233210 15abMCKGa b G 位移分量的表达式位移分量的表达式2233223310 16zyabMuyza b GabMxza b G 不计刚体位移，则不计刚体位移，则223310 17abMwxya b G结结 论：论： 扭杆的横截面并不保持为平面，而将翘成曲面。曲面的等高线扭杆的横截面并不保持为平面，而将翘成曲面。曲面的等高线在在xy面上的投影是双曲线，这些双曲线的渐近线是面上的投影是双曲线，这些双曲线的渐近线是x轴和轴和y轴

17、。只有轴。只有当当a=b时，才有时，才有w=0，横截面才保持为平面。，横截面才保持为平面。 设矩形的边长分别为设矩形的边长分别为a和和b，如图所示，如图所示 狭长矩形，狭长矩形，ab。应力函数。应力函数在绝大部分横截面上几乎不随在绝大部分横截面上几乎不随x变变化，因为对应的薄膜几乎不受短边化，因为对应的薄膜几乎不受短边的影响，于是可以近似取的影响，于是可以近似取 1. 1. 狭长矩形狭长矩形10.4 矩形截面杆的扭转矩形截面杆的扭转OxyA/2a/2a/2b/2bd0dxyy， （10-310-3）成为）成为 22ddCy 积分，并利用边界条件积分，并利用边界条件 222024byCbya边界

18、条件， 将（将（a a）代入（）代入（10-510-5）得）得2222222d d22ababCbyx yM 解得解得 36MCbab 应力函数的表达式应力函数的表达式 22334Mbycab 应力分量的表达式应力分量的表达式3601018zxzyMyyabx ， 最大剪应力最大剪应力max2231019bzxyMab 单位长度内扭转角单位长度内扭转角2. 2. 任意矩形任意矩形 应力函数满足应力函数满足 22GKe 3123200CMKGab G 应力函数也可表示为应力函数也可表示为 224bGKyd 边界条件满足边界条件满足 2200abxxf， 根据对称条件，应力函数应该是根据对称条件，

19、应力函数应该是x及及y的偶函数。的偶函数。 取应力函数为取应力函数为 22,4bGKyF xyg F为修正项，并注意边界条件（为修正项，并注意边界条件（f），所以），所以F应是调和函数，并满应是调和函数，并满足边界条件足边界条件 20Fh 222204abxxbFGKyFi， 根据对称条件，根据对称条件，F也应该是也应该是x及及y的偶函数。的偶函数。 经过分析，经过分析，F可以取如下形式可以取如下形式 1,3,5,chcosmmm xm yFAjbb 代入（代入（j j）中的第一式，得）中的第一式，得 将上式右边展成级数，并比较系数将上式右边展成级数，并比较系数221,3,5,chcos24m

20、mm am ybAGKybb22122233228chcosd124bmbmm abm yGKbAGKyybbbm 从而得修正项的表达式从而得修正项的表达式122331,3,5,1chcos8ch2mmm xm yGKbbbFm amb 应力函数的最终表达式应力函数的最终表达式 12222331,3,5,1chcos84ch2mmm xm ybbbbGKykm amb 最大剪应力最大剪应力 扭矩扭矩M与扭角与扭角K的关系的关系 max20,221,3,5,0,2811ch2bzxxybmxyGKblm aymb 扭角扭角K的表达式的表达式322551,3,5,22th16422d d2d d3

21、ababmm abbMx yx yGKabam 3551,3,5,th16423mMKmm abbab Gam 最大剪应力的计算公式最大剪应力的计算公式 （m m）及（）及（n n）可以写成）可以写成 221,3,5,max2551,3,5,811ch2th16423mmMm ambnm abbabam31021MKab Gmax211022Mab 因子因子和和1只与比值只与比值a/b有关。两个因子的数值如下有关。两个因子的数值如下a/b1a/b11.00.1410.2083.00.2630.2671.20.1660.2194.00.2810.2821.50.1960.2305.00.2910

22、.2912.00.2290.24610.00.3120.3122.50.2490.258很大很大0.3330.333 当当a/b很大时，很大时， 和和1都趋于都趋于1/3,1/3,退化为狭长矩形。退化为狭长矩形。10.5 薄壁杆的扭转薄壁杆的扭转工程上通常使用的薄壁杆，它们的横截面大都是由等宽度的狭工程上通常使用的薄壁杆，它们的横截面大都是由等宽度的狭长矩形组成。长矩形组成。 如果有两个狭长矩形截面的扭杆，它们的扭角如果有两个狭长矩形截面的扭杆，它们的扭角K相同，剪切弹相同，剪切弹性模量性模量G相同，则两个扭杆的扭矩相同，则两个扭杆的扭矩M及剪应力及剪应力差别不大。因此，差别不大。因此，一个曲

23、的狭矩截面，可以用一个同宽同长的直的狭矩截面来代替，一个曲的狭矩截面，可以用一个同宽同长的直的狭矩截面来代替，而不致引起多大的误差。而不致引起多大的误差。 用用ai及及bi分别代表扭杆横截面的第分别代表扭杆横截面的第i个狭矩形的长和宽，个狭矩形的长和宽，Mi代表代表该矩形面积上承受的扭矩（整个横截面上扭矩该矩形面积上承受的扭矩（整个横截面上扭矩M的一部分），的一部分），i代代表矩形长边中点附近的剪应力，表矩形长边中点附近的剪应力，K代表扭杆的扭角，根据公式（代表扭杆的扭角，根据公式（10-19）及（）及（10-20），则有），则有 23iiiiMaab 由式（由式（b b）可得）可得 33ii

24、iMKbab G 33iiiab GKMc 扭杆整个横截面上的扭矩为扭杆整个横截面上的扭矩为 33iiiGKMMabd （c）式代入（）式代入（d）式消去）式消去K，回代（，回代（a）及（）及（b）两式得）两式得313302iiiiMbab310243iiMKGab对于狭矩形长边中点处的剪应力对于狭矩形长边中点处的剪应力i，公式（，公式（10-23）给出相当精）给出相当精确的数值，但在两个狭矩形的连接处，可能发生远大于此的局部剪确的数值，但在两个狭矩形的连接处，可能发生远大于此的局部剪应力。按照胡斯用差分计算的结果，比值应力。按照胡斯用差分计算的结果，比值max/i与比值与比值/i大致如下。大

25、致如下。ibmaxiib 分析闭合薄壁杆的扭转问题时，最好应用薄膜比拟，以避免应用分析闭合薄壁杆的扭转问题时，最好应用薄膜比拟，以避免应用位移单值条件的麻烦。位移单值条件的麻烦。 假想在薄壁杆的横截面边界上张一块薄膜，薄膜在外边界假想在薄壁杆的横截面边界上张一块薄膜，薄膜在外边界AB处处的垂度为零。命内边界的垂度为零。命内边界CD处的垂度为处的垂度为h。由于杆壁的厚度。由于杆壁的厚度很小，很小，薄膜的斜率沿厚度方向的变化可以忽略不计。于是，在杆壁厚度为薄膜的斜率沿厚度方向的变化可以忽略不计。于是，在杆壁厚度为之处，剪应力的大小为之处，剪应力的大小为 hexxyzOOABTTqhCDABCDds

26、扭矩扭矩M为为 2MAhf A可以取内外两边界所可以取内外两边界所包围面积的平均值，也可以包围面积的平均值，也可以取杆壁中线所包围的面积取杆壁中线所包围的面积。在杆壁中线的微段在杆壁中线的微段ds上，薄膜对平板的拉力为上，薄膜对平板的拉力为Tds。该拉力在。该拉力在z轴上的投影为轴上的投影为Tsinds，可以近似的取为，可以近似的取为Ttands，即，即Tdsh/, ,平板所平板所受的压力为受的压力为qA，由平衡方程得，由平衡方程得ddhhsqT sqAAT由于由于22MqhGKAT，从而得从而得216d402MsKA G 对于均匀厚度的闭口薄壁杆，对于均匀厚度的闭口薄壁杆，是常量，故有是常量

27、，故有241027MsKA G s是杆壁中线的全长。是杆壁中线的全长。在截面有凹角之处，局部的最大剪应力在截面有凹角之处，局部的最大剪应力max，可能发生远大于，可能发生远大于公式（公式（10-25）给出的）给出的值。按照胡斯用差分计算的结果，比值值。按照胡斯用差分计算的结果，比值max/i与比值与比值/i大致如下。大致如下。maxiib10.6 扭转问题的差分解扭转问题的差分解 对于等截面直杆的扭转问题，如果杆的横截面是单连截面，则对于等截面直杆的扭转问题，如果杆的横截面是单连截面，则用差分法求解比较方便。用差分法求解比较方便。xyhhAB12034567891011121314 在杆的横截

28、面上剖分网格，在任一内节点在杆的横截面上剖分网格，在任一内节点0，有，有 2213024022220022axhyh， 根据根据的微分方程（的微分方程（10-8），在内节点，在内节点0，有，有 2222002GKbxy 将（将（a）代入（）代入（b）即得内节点）即得内节点0处的差分方程处的差分方程201234104282GKh 由于由于GKh2是常量，上式对每个内节点都相同是常量，上式对每个内节点都相同。 对于单连截面，可以把边界上各节点处的对于单连截面，可以把边界上各节点处的 值取为零。在（值取为零。在（10-28）所示方程中，未知量只有内节点处的）所示方程中，未知量只有内节点处的值，而方程

29、的数目又恰值，而方程的数目又恰好等于方程的数目，因而可以完全求解各内节点处的好等于方程的数目，因而可以完全求解各内节点处的值。值。 用应力函数表示应力分量的表达式为用应力函数表示应力分量的表达式为1029zxzyxy ， 对于内节点，采用中点导数公式对于内节点，采用中点导数公式13240022xhyh， 对于边界节点，采用端点导数公式对于边界节点，采用端点导数公式01903110002100412003434or223434or22xhxhyhyh， 上述应力分量是用上述应力分量是用GKh表示的表示的 ，利用应力函数与扭矩，利用应力函数与扭矩M的关系的关系式，即式，即 2d dx yMc 假设图中节点假设图中节点0到节点到节点8九个节点处的九个节点处的值均已求出，可应用二维值均已求出，可应用二维辛普生积分，计算以节点辛普生积分，计算以节点0为中心的为中心的2h2h正方形范围内的积分值。正方形范围内的积分值。0