统计通信理论

1、引言1.移动无线电信号所处的环境复杂多变；2.移动无线电在传播过程中会因复杂的环境而产生能量损耗， 主要表现为“多径”衰落（高速运动环境需考虑多普勒频移） 以及不可忽视的噪声特性和时延扩散；3.移动通信中的多径衰落现象主要存在于3种环境，只能在统计 意义上对其建模研究；4.统计通信理论就是通过对复杂通信环境概率建模给出自己的 评估结果，它是解决复杂问题的数学工具。1/152-12-1统计方法统计方法第第2 2章章 统计通信理论统计通信理论一个移动中的移动台接收到N个入射波的合成信号可以表达为： 000001expcosexpexpNiiittis ta aj wtVtAjj wt式中参数 -

2、载波信号的振幅 - 第i条路径的传播衰减因子 - 载波信号的初始相位 - 角频率 - 波数 - 第i个散射波的入射角度 - 移动台的移动速度 - 第i个散射波的初始相位 （2.1） （2.2）iaia00wiVi01cosNiiiRaa01sinNiiiSaa欧拉展开后整理得：（1.21）2/151NiiSS R与S分别表示各个波的实数和虚数部分，对于第i波而言， 是振幅， 是相位，实际上不可能分别测量第i波的 与 所以有必要将 与 看成随机变量。1NiiRRiaiiaiiai 组成两个或多个随机变量的数值相容可以构成一个新的随机变量。其分布规律依据在概率论中的中心极限定理（独立分布的中心极限

3、定理，李雅普诺夫定理，棣莫弗-拉普拉斯定理）。式2.2与2.3所示的R和S也是随机变量，可表示为如下：（2.6）（2.7） 00exp2s tRjSjf t可以写成：（2.3）（2.4） （2.5）1/222tARS1tantSR式2.3与1.21的关系为：3/15如下图 在（0,1）间隔内是均匀分布的，R是三个变量的和 那么R的概率密度就非常接近于高斯（正态）分布。12iER112iRD32u 2144/15iRiRiR都服从均匀分布10 ,1nikRnNn21(,)nikRRnn2-22-2平均值平均值1NiixxN1 122331NNNiiin xn xn xn xn x111/NNNi

4、i iiiiiinxnxnxn 平均值的定义不同会产生不同的统计结果，工程上对任意有限的检验数作采样平均值时，一般采用算术平均，表达式为：假设所有的 具有相等的概率，在对 观察 次得到观察值的总和为：ixixin采样平均值采样平均值变成 在讨论统计平均值统计平均值（期望或总体平均值）时，应该以上面的算术平均作大量的检验，则平均值是基于事件的发生概率，这就是统计平均值，统计平均值的表达式是：（2.8）（2.9）（2.10）5/15 01Txx t dtT 01limTTx tx t dtT有偏时平均值有偏时平均值是通过产生一个时间内的连续变式 得到的，一个有限周期T内的 均值可定义为： x t

5、x t无偏时平均值无偏时平均值是通过产生一个趋向无限的周期T内的连续 变式 得到的，此条件可表示为： x t 111limlimNNNiiiiiinniiinnE xxxP x xnn（2.11）（2.12）（2.13）无偏无偏：若估计量 的数学期望 存在，且对于任意 有 = ，则称 是 的无偏估计量无偏估计量。无偏性，有效性，相合性都是估计量的评选标准 无偏估计的实际意义就是无系统误差。12,nXXXE E 6/152-32-3遍历过程遍历过程 22E xtxt nnE xtxt x tx t E x tx t 一个遍历过程也是一个平稳的过程，即统计结果不受数据的起始时间影响的，若起始时间为

6、 到 这段时间内的任意时刻，即满足下式：tt如果统计平均值和无偏时平均值的表达式之间存在以下某些等同特性，即：（2.14）（2.15a）（2.15b） 这些等式成立的随机过程的类型称为“遍历遍历”，遍历的关键在于样本空间要涵盖所有可能的情况，也就是统计无偏。（2.16） 遍历过程是平稳的原因样本的总体平均值都独立于观察时间，且保持式(2.14)和（2.15）的关系。但一个平稳过程并不一定是遍历的，大多数静态（平稳）物理现象的随机数据通常都是遍历的，无线电领域中所收集的数据就是遍历的，这样可以通过完成单个采样函数 的时间平均确定随机过程的所有特性。 x t7/152-42-4累计概率分布（累计概

7、率分布（CPDCPD）（cumulative probability distribution)cumulative probability distribution)xFXP xX 01xF X0 xF1xF 1221xxP Xx XF XF X 50%P xM 在x是随机变量，而X是x指定情形中的定值，累计概率分布（cpd）定义为随机变量事件x等于或小于X的概率，cpd 函数符号表示为： xF X称为“概率分布函数”；一个事件的 具有下列一般的特性：xFX非负有界累计递增中值平分（2.17）（2.18a）（2.18b）（2.18c）（当M=中值）（2.18d） 在计算一个移动无线电信号的c

8、pd时，可以将采样函数 数字化，所以每一个 采样都可和不同的信号电平X相关，可以用具有信号强度小于预定电平的采样数来除以总采样数，以确定在该电平上的累计概率。 x tix 8/152-52-5概率密度函数（概率密度函数（PDFPDF）（probability density functionprobability density function）xxdpXFXdXxpX dXp XxXdX2-5-12-5-1单个变量的单个变量的PDFPDF 在决定单个变量的pdf时，cpd的导数是概率密度函数 0 xpx x 1xpx dx XxxFXpu du xp X或满足下列特性：（2.19 ）（2.

9、20 ）（2.21a）（2.21b）（2.21c） 2112XxXpx dxp XxXxExxpxd x nnxExx px dx（2.21d）（2.21e）pdf 方法可以指出哪里是集中随机变量最大数量的地方。9/152-5-2两个变量的联合PDF,xyFX YP xX yY2,|xyx X y YFX Yp x yX Y ,0p x y ,1p x y dxdy 令随机变量x和y的联合累计概率分布由下式定义： 如果假定 存在二阶偏导数，该数值就是随机变量的x和y的联合pdf,定义为： ,xyFx y通常讨论得较多的复合随机变量z, 求z的pdf时需要用到两个变量的联合pdf。 ,zf x

10、y（2.27）（2.28）x和y的联合pdf有下列特性：（2.29）（2.30）10/152-5-32-5-3边缘边缘PDFPDF,XxxyxyFXFXpd d ,xxypXpX y dy ,yxypYpx Y dx ,xyxypx ypx py 当一个随机变量处于边界状态时，需要研究另一个随机变量的统计特性时，就得研究它的边缘pdf,此时分布函数 表达为：xFX通过对x的式（2.31）微分，可以得到X边缘pdf或 ： xp X同样，y 的边缘pdf表示为：当两个随机变量x和y相互独立时，则有：（2.31）（2.32）（2.33）（2.34）,p x y,xypx y一般用 简写 。11/15

11、2-5-42-5-4联合特征函数联合特征函数121,212,expxyxypx yj v xv yv vdv dv 111,0jv xxxvE ev2220,jv yyyvE ev1,21212expexpxyxyv vEj v xv yj v xv yp dxdy 1iNzxivv expzzpzjvzv dv特征函数特征函数：设随机变量X的分布函数为 则称 xF x jtXjtXXxtEeedFX为X的特征函数。 一般在难以从 直接获得随机变量z的 时，可以用联合特征函数的方式作为从 得到 的桥梁。两个随机变量x和y 的联合特征函数定义如下：,p xy p z,p x y p z依据 边缘

12、特征函数 和 可以表达为： 12,xyv v1 2,xyv v 1xv 2yv（2.35）是 的双傅里叶变换,xypx y（2.36）（2.37）1Niizx当 时（2.38）12/152-5-52-5-5条件条件PDFPDF,|xyyxpx ypy xXpX ,|xyxypx ypx yYpY |xyyxpx yY pYpy xXpX 有时用一个相对于另一个固定在一个特殊电平上的变量来寻找变量的pdf 是有用处的，这种比较使得有可能了解和评价依据其他变量选择变量的影响，这时的pdf就是条件pdf。式2.41与2.42满足下列关系（2.41）（2.42）（2.43）式2.43是Bayes定理的连续形式。13/1513/15例2.5 当信号的分布是 ,则通过使用2.4的方法条件CPD可以表示为：2( ) 1 exp/2xF XX XaXa|xP x X x aF X x a当当|1xFXxa 221 exp(/2)|1 exp/2xxxFXXFX xaF aa14/1514/15,|p xX xap xX xap xa解：例例2.62.6下列方法用来估算函数的近似平均值，其中变量x的pdf 和 是已知的 E xnnEx1022解解： 设x的均值：对于每一个x的n阶中心矩为：则x的方差：函数 的平均值