第1章矢量分析

1、电磁场电磁场第第1章章 矢量分析矢量分析工欲善其事，必先利其器 -论语第第1章章 矢量分析矢量分析Vector Analysis电磁场电磁场第第1章章 矢量分析矢量分析1 1、矢量代数、矢量代数2 2、曲面坐标系及矢量微分元曲面坐标系及矢量微分元3 3、矢量场的散度和散度定理、矢量场的散度和散度定理4 4、矢量场的旋度和斯托克斯定理、矢量场的旋度和斯托克斯定理5 5、标量场的梯度和格林定理、标量场的梯度和格林定理6 6、 Helmholtz Helmholtz 定理定理主要内容主要内容电磁场电磁场第第1章章 矢量分析矢量分析重重 点点 矢量场的散度矢量场的散度 矢量场的旋度矢量场的旋度 标量场

2、的梯度标量场的梯度 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理电磁场电磁场第第1章章 矢量分析矢量分析1.1 矢量代数矢量代数Vector Algebra 一一矢量和标量的定义矢量和标量的定义二二矢量表示法矢量表示法三三矢量的运算法则矢量的运算法则电磁场电磁场第第1章章 矢量分析矢量分析一、矢量和标量的定义一、矢量和标量的定义1.标量：标量：只有大小，没有方向的物理量。2.矢量：矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。如:力 、速度 、电场 等FEv如：温度 T、长度 L 等电磁场电磁场第第1章章 矢量分析矢量分析二、矢量表示法二、矢量表示法a) 矢量的矢量的写法写法所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积

3、。B在符号上加短横线：在符号上加短横线： 、A矢量表示为：AAA1.AA的方向，其大小为为单位矢量，表示矢量量的大小。为矢量的模，表示该矢 其中：电磁场电磁场第第1章章 矢量分析矢量分析zyxzyxAAAA222zyxAAAAAcoscoscosAAAAAzyxAzAyAxAzyxxAyAzAxyzoAb) 矢量的矢量的分量表示式及图示法分量表示式及图示法模的计算：单位矢量：电磁场电磁场第第1章章 矢量分析矢量分析方向角与方向余弦：,|cos,|cos,|cosAAAAAAzyxxAyAzAxyzoAcoscoscosAAAAAzyxAzAyAxAzyx电磁场电磁场第第1章章 矢量分析矢量分析

4、例1：在直角坐标系中， x 方向的大小为 6 的矢量如何表示？图示法： xy分量表示分量表示x 6x 6电磁场电磁场第第1章章 矢量分析矢量分析三、矢量的运算法则1.加法加法: : 矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。a.满足交换律：ABBAb.满足结合律：CABBACBAC()()()()ABCDACBD电磁场电磁场第第1章章 矢量分析矢量分析2.减法：换成加法运算()DABAB ABCBAB逆矢量： 和 的模相等，方向相反，互为逆矢量。B()BDBADABC0推论：任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形，其矢量和必为零。电磁场电磁场第第1章章 矢量分析矢量分析直角坐标系下矢量的加减法:

5、 直角坐标系中两个矢量加法运算：l 直角坐标系中两矢量的减法运算： zBAyBAxBABAzzyyxxzBAyBAxBABAzzyyxx电磁场电磁场第第1章章 矢量分析矢量分析3.3.乘法：乘法：（1）标量与矢量的乘积：0|00kkAk A akk方向不变，大小为|k|倍方向相反，大小为|k|倍（2）矢量与矢量乘积分两种定义a. 标量积（点积）b. 矢量积（叉积）电磁场电磁场第第1章章 矢量分析矢量分析（2）矢量与矢量乘积分两种定义a. 标量积（点积）两矢量的点积含义： 一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，其结果是一标量。ABABcosBA)(ABBAABABBcosABBsinn

6、 BABC0电磁场电磁场第第1章章 矢量分析矢量分析标量积的推论推论1：满足交换律推论2：满足分配律推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。A BB A()ABCA BA C电磁场电磁场第第1章章 矢量分析矢量分析推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。 结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。2222AAAAzyxAA在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即有两矢量点积：1zzyyxx0 xzzyyx即 jijijixxxxxx,0/,1zzyyxxBABABABA电磁场电磁场第第1章章 矢量分析矢量分析b.矢量积（叉积）含义： 两矢量叉积，结果得一新矢量，其

7、大小为这两个矢量组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三者符合右手螺旋法则。ABABnBAsin)(ABBAABABBcosABBsinn BABC0BAn BAn,: 所在平面的右手螺旋法向电磁场电磁场第第1章章 矢量分析矢量分析矢量积的推论推论1：不服从交换律：,A BB AA BB A 推论2：服从分配律：()AB CA BA C推论3：不服从结合律：()()AB CA BC推论4：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。电磁场电磁场第第1章章 矢量分析矢量分析分量运算：分量运算：yxzxzyzyx, , 0zzyyxx即 jijijixxnxxxx, /,0电磁场电磁场第

8、第1章章 矢量分析矢量分析在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下：两矢量的叉积又可表示为：xyzo)( )( )( )()(BAxyyxzxxzyzzyzyxzyxBABAzBABAyBABAxBzByBxAzAyAxzyxzyxBBBAAAzyxBA电磁场电磁场第第1章章 矢量分析矢量分析（3）三重积三个矢量相乘有以下几种形式：()A B C矢量，标量与矢量相乘。()ABC标量，标量三重积。矢量，矢量三重积。()ABC电磁场电磁场第第1章章 矢量分析矢量分析a. 标量三重积法则：在矢量运算中,先算叉积,后算点积。定义：|sincosA BCA B C含义： 标量三重积结果为三矢量构成的平行六面

9、体的体积 。ABChB C 注意：先后轮换次序。推论：三个非零矢量共面的条件。()0ABC()()()VABCCABBCA()ABC电磁场电磁场第第1章章 矢量分析矢量分析在直角坐标系中：()xyzxyzxyzAAAABCBBBCCC()()xyzxxyyzzxyzxyzaaaAB CA aA aA aBBBCCCb.矢量三重积：()()()ABCB A CC A B 电磁场电磁场第第1章章 矢量分析矢量分析a) ) 标量三重积标量三重积 )()(BACACB)CB(Ab) b) 矢量三重积矢量三重积)()(BACCAB)CB(A称为“BACKCAB”法则 总结：三重积总结：三重积电磁场电磁场

10、第第1章章 矢量分析矢量分析例2：12342,3223,325xyzxyzxyzxyzraaaraaaraaaraaa 求：4123rarbrcr中的标量 a、b、c。解：325(2)(32)( 23)xyzxyzxyzxyzaaaaaaab aaacaaa(22 )(3)(23 )xyzabc aabc aabc a 则：设213abc 22332235abcabcabc电磁场电磁场第第1章章 矢量分析矢量分析例3： 已知263xyzAaaa43xyzBaaa求：确定垂直于 、 所在平面的单位矢量。AB解：已知AB所得矢量垂直于 、 所在平面。ABnABaAB 263151030431xyz

11、xyzaaaABaaa1(326)7nxyzaaaa 222|15( 10)3035AB 电磁场电磁场第第1章章 矢量分析矢量分析1.6 曲面坐标系曲面坐标系(Curvilinear Coordinate Systems) 三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。确定。 在电磁场理论中，在电磁场理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：三种常用的正交曲线坐标系为： 直角直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，

12、称为正交曲线坐标系正交曲线坐标系；三条正交曲线称为；三条正交曲线称为坐标轴坐标轴；描述坐标轴的量称；描述坐标轴的量称为为坐标变量坐标变量。电磁场电磁场第第1章章 矢量分析矢量分析主要内容一、三种曲面坐标系及其微分元表示二、三种坐标的变换三、场论运算电磁场电磁场第第1章章 矢量分析矢量分析矢量微分元：线元、面元 体元例：d ,d ,dFlBSV其中： 和 称为微分元。d ,dlSdVdldS一、三种曲面坐标系及其微分元表示电磁场电磁场第第1章章 矢量分析矢量分析1. 直角坐标系 线元：在直角坐标系中，坐标变量为(x,y,z)，如图，做一微分体元。l面元：dd dxxSy zal体元：dd d d

13、Vx y zdd dyySx zadd dzzSx yazzyyxxlddddxxlxddyylyddzzlzdd 与三个单位矢量相垂直的三个面元 电磁场电磁场第第1章章 矢量分析矢量分析2、圆柱坐标系、圆柱坐标系z200zzAAAzAddr ddd rzzdzddzr 增加量不变量位移量长度增量 、z 、z 、dddlddlzlzdd电磁场电磁场第第1章章 矢量分析矢量分析3 3、球面坐标系、球面坐标系2000r球面坐标系rAAArrArlrddddrl dsindrl 电磁场电磁场第第1章章 矢量分析矢量分析1. 直角坐标系 z zyyxxr位置矢量位置矢量面元矢量面元矢量线元矢量线元矢量

14、zzyyxxlddddzyxllxSzyxdddddyxzllzSyxzddddd体积元体积元zyxVddddzxyllySzxyddddd坐标变量坐标变量zyx,坐标单位矢量坐标单位矢量zyx , , 点点P(x0,y0,z0)0yy（平面）（平面） o x y z0 xx（平面）（平面）0zz（平面（平面）P 直角坐标系直角坐标系 x z y x yz直角坐标系的长度元、面积元、体积元直角坐标系的长度元、面积元、体积元 odzd ydxzySxddxdyxSzddzdzxSyddyd电磁场电磁场第第1章章 矢量分析矢量分析2. 圆柱坐标系圆柱坐标系z,坐标变量坐标变量z , , 坐标单位矢

15、量坐标单位矢量z zr 位置矢量位置矢量zldzddd线元矢量线元矢量圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系圆柱坐标系0（半平面半平面）0（圆柱面圆柱面）0zz （平面平面）),(000zP体积元体积元zlllvzddddddd面元矢量面元矢量dddddddddddddddllszllszllszzz电磁场电磁场第第1章章 矢量分析矢量分析3. 球坐标系球坐标系, r坐标变量坐标变量, r坐标单位矢量坐标单位矢量r rr位置矢量位置矢量面元矢量面元矢量球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系球坐标系0（半平面半平面）0（圆锥面圆锥

16、面）0rr （球面球面）),(000rPddddd:ddsinddd:ddsinddd: r 2rrllsrrllsrllsrrr体积元体积元dddsindddd2rrlllvr线元矢量线元矢量drrddrrl dsin电磁场电磁场第第1章章 矢量分析矢量分析二、三种坐标的变换二、三种坐标的变换图图1.6-3 三种坐标间的变换三种坐标间的变换zzyxsincoscossinrzrcossinsincossinrzryrxsinycosxrzyxP),(),(),(rzzyxcosrz o电磁场电磁场第第1章章 矢量分析矢量分析xx y y0图1.6-4 之间的关系，与, yx 0 0 0 0

17、1x coscossinsiny z z 表1.6-1直角坐标与柱坐标单位矢量的变换 表1.6-2柱坐标与球坐标单位矢量的变换 0 0 0 1 0z r sincoscossin图1.6-5 之间的关系与, ,r利用图1.6-4可得出表1.6-1关系，利用图1.6-5可得出表1.6-2关系，由二者又可得出表1.6-3 。0zr z r电磁场电磁场第第1章章 矢量分析矢量分析 0z cossinsinsincossincossincoscossincosx y r 同样可用于矢量分量：sincoscoscossinAAAxAArxEx. 由表1.63第一列，cossinsincossinzyxr

18、Ex. 由表1.63第一行，sincoscoscossinrx这些表的作用与矩阵变换相似。表1.6-3直角坐标与球坐标单位矢量的变换 电磁场电磁场第第1章章 矢量分析矢量分析作业作业：1.1-31.1-51.2-1 1.2-3电磁场电磁场第第1章章 矢量分析矢量分析1.21.2矢量场的通量、散度、散度定理矢量场的通量、散度、散度定理Flux and Divergence of a Vector Field, Divergence Theorem 矢量场的通量 散度，哈密顿算子 散度定理电磁场电磁场第第1章章 矢量分析矢量分析场的基本概念1.什么是场？ 重力场、温度场、电磁场、 a.从数学角度：

19、场是给定区域内各点数值的集合，这些数值规定了该区域内一个特定量的特性。 比如：T 是温度场中的物理量，T 就是温度场 b.从物理角度：场是遍及一个被界定的或无限扩展的空间内的，能够产生某种物理效应的特殊的物质，场是具有能量的。电磁场电磁场第第1章章 矢量分析矢量分析2.场的分类 a. 按物理量的性质分： 标量场：描述场的物理量是标量。 矢量场：描述场的物理量是矢量。 b. 按场量与时间的关系分： 静态场：场量不随时间发生变化的场。 动态场：场量随时间的变化而变化的场。 动态场也称为时变场。电磁场电磁场第第1章章 矢量分析矢量分析 例如流体空间中的流速分布等可以用矢量场来表示。标量场和矢量场的定

20、义标量场和矢量场的定义 例如物理系统中的温度、压力、密度等可以用标量场来表示。 矢量场（矢量场（vector field）：）：在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢量唯一地描述，则该矢量函数定出矢量场。标量场（标量场（scalar field）：在指定的时刻，空间每一点可以用一个标量唯一地描述，则该标量函数定出标量场。电磁场电磁场第第1章章 矢量分析矢量分析场的场的 场图场图 表示表示 对矢量场，用一些有向曲线来形象表示矢量在空间的分布，称为力线力线或流线流线。 力线上任意点的切线方向必定与该点的矢量方向相同。 对标量场，用等值面图等值面图表示。 空间内标量值相等的点集合形成的曲面称为等值面；

21、 例如气象图上的等压线，地图上的等高线等。 电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析一、矢量场的通量一、矢量场的通量1. 1. 矢线（场线）：矢线（场线）： 在矢量场中，若一条曲线上每一点的切线方向与场矢量在该点的方向重合，则该曲线称为矢线。2. 2. 通量：通量：定义：如果在该矢量场中取一曲面S， 通过该曲面的矢线量称为通量。表达式：若曲面为闭合曲面：意义意义：形象直观地描述了矢量场的空间分：形象直观地描述了矢量场的空间分 布状态。布状态。SSdnAs dAs（标量标量）vsAn dsl矢量线矢量线OM FdrrrdrSSdnAs dAs电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章

22、 矢量分析矢量分析的取法：n （2）封闭面： 取为封闭面的外法线方向外法线方向（1）开曲面：沿封闭曲线 的绕行方向按右手螺旋的拇指方向lSSdnAs dAs电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析讨论：讨论：a. 如果闭合曲面上的总通量0 说明穿出闭合面的通量大于穿入曲面的通量，意味着闭合面内存在正的通量源。b. 如果闭合曲面上的总通量0 说明穿入的通量大于穿出的通量，那么必然有一些矢线在曲面内终止了，意味着闭合面内存在负源或称沟。c. 如果闭合曲面上的总通量0说明穿入的通量等于穿出的通量。电磁场电磁场第第1章章 矢量分析矢量分析0通过闭合曲面有通过闭合曲面有净的矢量线穿出净的

23、矢量线穿出0有净的矢有净的矢量线进入量线进入0进入与穿出闭合曲进入与穿出闭合曲面的矢量线相等面的矢量线相等矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果 闭合曲面的通量从闭合曲面的通量从宏观上宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。量与曲面内产生矢量场的源的关系。通量的物理意义通量的物理意义电磁场电磁场第第1章章 矢量分析矢量分析二、散度，哈密顿算子二、散度，哈密顿算子通量反映了封闭面中源的总特性，但没有反映源的分布特性;若要进一步描述源的分布特性，则要引入散度;a) a) 散度散度(divergence)(div

24、ergence)定义定义:VsdAsvlim0Adiv（标量标量） 散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限。体积之比的极限。电磁场电磁场第第1章章 矢量分析矢量分析b b）散度的物理意义）散度的物理意义 散度是 通过某点处单位体积的通量 （通量体密度通量体密度）；AA 它反映了 在该点的通量源强度通量源强度；无散场或管形场。无源区中的矢量场叫做无源;, 0A div；有正源, 0A div；有负源, 0A div（A点）（B点）（C点）电偶极子的电力线和等位线电磁场电磁场第第1章章 矢量分析矢量分析同理同理，穿过左

25、面左面向外流出的通量为zxyyAAzxyAyyzyyxl.)2()( ,2,图1.2-3 直角坐标表示式的推导 AdivzxAzxyAzyyxyzyyxr,2,2,.)2(! 212222,2,yyAyyAAAyzyxyzyxyzyyxyzxyyAAyyr.)2(得故穿过左右两面左右两面的通量为 .zyxyAylrrl取决于取决于 的的y y分量沿分量沿y y向的变化率向的变化率AA穿过右边右边向外流出的通量：c) c) 散度的分量表示式散度的分量表示式A计算计算 穿过包围点穿过包围点P(x,y,z)的无穷小体积的无穷小体积 的通量：的通量：zyxv电磁场电磁场第第1章章 矢量分析矢量分析.)

26、(zyxzAyAxAsdAzyxs穿过六面体的总通量总通量:AzAyAxAVsdAAdivzyxsV0lim故(1.2-4) 对应于标量的导数,由一维推广至三维;A 的散度是 的三维分量沿各自方向的变化率三维分量沿各自方向的变化率之和， 即取决于 各分量的纵向变化率纵向变化率。AA电磁场电磁场第第1章章 矢量分析矢量分析d) d) 哈密顿算子哈密顿算子比较上式与式(1.2-4) 知: AAdivzAyAxAAzAyAxzzyyxxzyxzyx)()(Azzyyxx 兼有矢量和微分运算双重功能兼有矢量和微分运算双重功能: : 先按矢量规则展开先按矢量规则展开, ,再做微分运算：再做微分运算：zA

27、yAxAVsdAAdivzyxsV0lim(1.2-4)电磁场电磁场第第1章章 矢量分析矢量分析AA;AA注意注意：e)常用坐标系中，散度的计算公式常用坐标系中，散度的计算公式圆柱坐标系圆柱坐标系)(sin1)(sinsin1)(122ArArArrrArzAAAAz)(球坐标系球坐标系zAyAxAAzyx直角坐标系直角坐标系电磁场电磁场第第1章章 矢量分析矢量分析f) 散度的运算规则散度的运算规则BA)BA(AA)A(zzyyxxzzyyxx)(GFGFfFFfFfkFkFkfCfCCCC)()(为常量)()()()为常矢量(0散度的有关公式散度的有关公式：电磁场电磁场第第1章章 矢量分析矢

28、量分析三、散度定理dsdvSVAAissdAiiivAv ，对矢量散度的矢量散度的体积分体积分该矢量的封闭该矢量的封闭面积分面积分 矢量场的散度代表其通量的体密度,因此从散度的定义出发，散度的体积分等于穿过包围该体积封闭面的总通量:得证,lim)(lim1010sdAsdAVAdVAssNiVViiNiViii证电磁场电磁场第第1章章 矢量分析矢量分析 散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系变换关系，在电磁理论中有着广泛的应用。在电磁理论中有着广泛的应用。物理含义： 穿过一封闭曲面的总通量等于矢量散度的体积分。dsdvSVAA电磁场与电磁波电磁

29、场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析点电荷q在离其r处产生的电通密度为： 其中 ，模 求：求：任意点处电通密度的散度 ，并求穿出以 r为半径的球面的电通量 )0r ( rr4qD3zyxzyxr222zyxrDezyx2/3222Dz Dy Dx )zyxzz yy xx 4qD（解解5222/52222/32222/3222xrx3r4q)zyxx2)2/3(x)zyx14q)zyxxx4qxD（例例1 1电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析qsrqdsrrrqsdSSSed44D23这说明在此球面上所穿过的电通量的源正是点电荷q 。52234ryrqyDy52234r

30、zrqzDz同理可见，除了点电荷所在源点可见，除了点电荷所在源点 外，空间各点的电通密度散度均为外，空间各点的电通密度散度均为0，它是管形场，它是管形场 。0r故0)( 33452222rzyxrqzDyDxDDzyx电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析球面s上任意点的位置矢量为 试利用散度定理计算z zyyxxrSsdr3rzzyyxx然后利用散度定理计算面积分：VVSrrvvs334343d3drdr解解 首先求出 的散度：r例例2电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析1.3 1.3 环量、旋度、环量、旋度、StokesStokes定理定理Circul

31、ation and Curl of a Vector Field, Stokess Theorem 矢量场的环流与旋涡源矢量场的环流与旋涡源 例如：流速场。例如：流速场。 不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。分不为零。电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析 如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭

32、合曲线所围曲面的电如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电流成正比，即流成正比，即SCSzyxJIlzyxBd),(d),(00上式建立了磁场的环流与电流的关系。上式建立了磁场的环流与电流的关系。 电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析内 容 环量环量 旋度旋度 StokesStokes定理定理电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析lldAsldsAl dPlSSl方向规定为使所包围面积在其左侧，如图1.3-1所示.一、环量的概念一、环量的概念图1.3-1矢量场的环量 矢量 沿某封闭曲线的线积分，定义为 沿该曲线的环量(或旋涡量):AA电磁场与电

33、磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析应用：应用：IdIl dBl02002图1.3-2 电流I的磁通密度B*电流会产生环绕它的磁场电流会产生环绕它的磁场 ， 沿圆周的线积分就沿圆周的线积分就是其环量是其环量 ：BB可见，电流就是旋涡源可见，电流就是旋涡源。电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析 矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源宏观联系。宏观联系。 为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入矢量场的旋度矢量场的旋度。 二、二、 矢量场的旋度矢量场的旋度AA

34、curl电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析a)矢量场的旋度定义矢量场的旋度定义环量面密度(环量强度):SCMAn称为矢量场在点称为矢量场在点M 处沿方向处沿方向 的的环流面密度环流面密度。n特点特点：其值与点其值与点M 处的方向处的方向 有关。有关。n 过点过点M 作一微小曲面作一微小曲面 S ，它的边界曲线记为，它的边界曲线记为l，曲面的法，曲面的法线方向线方向 与曲线的绕向成右手螺旋法则。当与曲线的绕向成右手螺旋法则。当 S0 时，极限时，极限nsllSdAlim0（标量） 面元是有方向的，在给定点处，上述极限值对于不同的面元是不同的。电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第

35、1章章 矢量分析矢量分析slnlSmax0dAlimAcurl旋度：（矢量矢量）n 大小大小：旋度为矢量 在给定点处的最大环量面密度最大环量面密度。方向方向：面元的取向使环量面密度最大时，该面元的方向 .A旋度定义定义物理意义物理意义：旋涡源密度矢量旋涡源密度矢量电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析讨论：讨论：说明该处有漩涡源；,0Acurl说明该处无漩涡源,0AcurlAcurl反映 在该处的旋涡源强度旋涡源强度。A称该矢量场为称该矢量场为无旋场无旋场，又称为，又称为保守场保守场。q 称该矢量场为称该矢量场为有旋矢量场有旋矢量场；q 能够激发有旋矢量场的源称为能够激发有旋

36、矢量场的源称为旋涡源旋涡源。q 电流是磁场的旋涡源。电流是磁场的旋涡源。电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析b)b)分量表示式分量表示式)( )( )( yAxAzxAzAyzAyAxAcurlxyzxyz)( )( )( )()(AyAxAzxAzAyzAyAxAzAyAxzzyyxxxyzxyzzyxAAcurl故由教材p.1314的推导得AAcurl 的三个坐标分量都取决于其另两个坐标分量在与各自正交的方向上的变化率。 简言之， 的旋度取决于各分量的横向变化率的旋度取决于各分量的横向变化率。利用哈密顿算子，有电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析C)

37、C)旋度运算旋度运算zyxAAAzyxzyxAzaAAzzA1ArrAArrrrrArsinsinsin12 圆柱坐标系圆柱坐标系 球坐标系球坐标系 直角坐标系直角坐标系电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析d) 旋度运算规则旋度运算规则：BABA)（AAA)（BAABBA)（0A)（“旋无散旋无散” ）A)A(A2zyxAzAyAxA2222)(2222222拉普拉辛zyx矢量场的旋度矢量场的旋度的散度恒为零的散度恒为零电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析证证 0A )（例例：证明：zyxAAAzyxzyxA)（0)()()()( )( )( 22222

38、2zyAzxAyzAyxAxzAxyAyAxAzzAxAyzAyAxzzyyxxxyxzyzxyxzyz电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析三、斯托克斯（三、斯托克斯（ Stokes）定理）定理矢量旋度的面积分面积分该矢量的线积分线积分 证 见教材p.15lSlsdAd)A( 矢量场的旋度代表其单位面积的环量，因此旋度的面积分即为包围此面积的闭曲线上的环量： 斯托克斯斯托克斯定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个变换关系式，在电磁理论中也有广泛的应用。变换关系式，在电磁理论中也有广泛的应用。物理含义：物理含义： 一个矢量场旋度的面积分等

39、于该矢量沿此曲面周界的曲一个矢量场旋度的面积分等于该矢量沿此曲面周界的曲线积分。线积分。电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析解解 根据旋度的公式得)()()()()()(4/4E33333303330rxyryxzrzxrxzyryzrzyxqrzryrxzyxzyxq所以0E 结论：静止点电荷产生的电场是无旋场。结论：静止点电荷产生的电场是无旋场。 2/3222030)44Ezyxzzyyxxqrrq（求任意点处（ ）电场强度的旋度0rE例例1 自由空间的点电荷q所产生的电场强度而5433221) 3(0)(ryzryrzrzy533)(ryzryz,电磁场与电磁波电磁场

40、与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析)()()()ACACCAAC(两边同时进行体积分，左边利用散度定理后得 SSSsdsdsdACCA(AC(）)于是得 VsdvsdAC)A(CSVsddvA)A(式中S为包围体积V的封闭面 证明下述矢量Stokes定理由于 是任意常矢量，所以SVsddvA)A(C例例2 2证证：设 为任意常矢量，那么根据运算规则3有： C电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析1.4 1.4 方向导数、梯度方向导数、梯度 、GreenGreen定理定理( (Directional Derivative and Gradient of a Scalar Fi

41、eld, Greens Theorem) 方向导数概念方向导数概念 标量场的梯度标量场的梯度 GreenGreen定理定理电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析一、标量场的等值面一、标量场的等值面等值面等值面: : 标量场取得同一数值的点在空标量场取得同一数值的点在空 间形成的曲面。间形成的曲面。Czyxu),(等值面方程等值面方程：常数常数C 取一系列不同的值，就得到一系列取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；不同的等值面，形成等值面族；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面互不相交。标量场的等值面互不相交

42、。 等值面的特点等值面的特点：意义意义: : 形象直观地描述了物理量在空间形象直观地描述了物理量在空间 的分布状态。的分布状态。标量场的等值线标量场的等值线( (面面) )电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析二、方向导数二、方向导数ddl空间变化率，称为方向导数。ddn为最大的方向导数。标量场的场函数为),(tzyx00dP1P2Pdndl电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析coscoscoszyxl设coscoscoszyxlzzlyylxxl矢量 在 上的投影等于 在该方向上的方向导数。 l),cos(|lll则方向导数z y x z y x z y

43、 x z y x ）（算子引入二、方向导数二、方向导数电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析定义：标量场中某点梯度的大小为该点最大的方向导数， 其方向为该点所在等值面的法线方向。数学表达式：dgraddnan三、 标量场的梯度式中式中grad 是英文字母是英文字母 gradient 的缩写。的缩写。电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析三、梯度三、梯度 的模是 在给定点上的最大方向导数其方向就是具有该最大方向导数的方向，也就是 的变化率最大的方向。 1),cos( l|maxl则即zzyyxxgrad梯度梯度:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析

44、矢量分析等值面等值面const),zyx（0cl对等值面上的任意方向，cl0cl即结论：结论：梯度的方向就是等值面的法线方向： cn 电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析四、梯度运算规则四、梯度运算规则)()()(1)(2)()(ff0“梯无旋梯无旋 ”2222222zyxm20 xyPclm0m10ll 0电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析试证明运算规则 )()(ff证证zfzyfyxfxfzzyyxxf)()()()()(）（所以等式成立 )( )( )( zfzyfyxfx)(zzyyxxddf)()(fddf例例电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第

45、1章章 矢量分析矢量分析五、五、Green 定理定理将Green第一定理中的两个函数交换位置，则有u Green第二定理 SVsnvdd)(2以Green第一定理减去上式，得 SVsnnv)d-(d)(22u Green第一定理 2)(ASSVsnsnvdd)(d)(2利用散度定理得电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析 Green函数的应用格林定理广泛地用于电磁理论。格林定理广泛地用于电磁理论。将体积V中场的求解问题变换为边界S上场的求解问题。已知其中一个场的分布，就可以用Green定理求解另一场的分布特性。电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析电偶极子相

46、距为l的两点电荷 和 的静电场，设 ，且电位qqlr cos4),(20rqlr求电场强度),(rE解解利用球坐标的梯度公式得到 ),(rEsin4cos423030rqlrqlrcos4)sin11 (20rqlrrrr例例电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析梯度、散度或旋度梯度、散度或旋度 梯度、散度或旋度都是微分运算，它们表示梯度、散度或旋度都是微分运算，它们表示场在某点附近场在某点附近的变化特性的变化特性，场中各点的梯度、散度或旋度可能不同。，场中各点的梯度、散度或旋度可能不同。 梯度、散度及旋度描述的是梯度、散度及旋度描述的是场的点特性场的点特性或称为或称为微分特

47、性微分特性。 函数的连续性是可微的必要条件。因此函数的连续性是可微的必要条件。因此在场量发生不连续在场量发生不连续处，也就不存在前面定义的梯度、散度或旋度处，也就不存在前面定义的梯度、散度或旋度。 电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析 重要的场论公式重要的场论公式(1)()0 1. 1. 两个零恒等式两个零恒等式 任何标量场梯度的旋度恒为零。 (2)()0F 任何矢量场的旋度的散度恒为零。 电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析在圆柱坐标系中： 2222221)(1zrrrrr在球坐标系中： 22222222111()(sin)sinsinRRRRRR2.

48、 2. 拉普拉斯算子拉普拉斯算子 2() 在直角坐标系中：2222222zyx电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析)()AAA AAA)() ()()()()A BABBA ABBA ()A BBA AB ()()()A BAB BABAAB 3. 3. 常用的矢量恒等式常用的矢量恒等式 电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析1.5 1.5 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 Helmholtzs Theorem一、散度和旋度的比较一、散度和旋度的比较定义 意义分量式 取决于场分量的纵向变化率 取决于场分量的横向变化率 A散度A旋度sldAnlsmax0lim最大环

49、量面密度（矢量） vsdAsvlim0通量体密度（标量） 旋涡源强度的量度 通量源强度的量度 zAyAxAzyx)( )( )( yAxAzxAzAyzAyAxxzzxyz表表1-1 散度与旋度的比较散度与旋度的比较电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析矢量场的散度唯一地确定场中任一点的通量源强度；场的旋度唯一地确定场中任一点的旋涡源强度. 如果已知矢量场的散度和旋度,则两种源都已知,因而能唯一地确定这个矢量场.从分量式上可以看出，散度取决于场分量的纵向变化率，而旋度取决于场的横向变化率；因而，散度和旋度完整地描述了场的分布特性。电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分

50、析矢量分析l 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理亥姆霍兹的论著：亥姆霍兹的论著：力的守恒力的守恒、生物光学手册生物光学手册、音色感觉音色感觉、音乐理论的生理基础音乐理论的生理基础1. 若已知某矢量的散度、旋度及边界处值，则该矢量唯一确定若已知某矢量的散度、旋度及边界处值，则该矢量唯一确定2. 任一矢量可表达为一任一矢量可表达为一标量函数的梯度标量函数的梯度和一和一矢量函数的旋度矢量函数的旋度之和之和二二、亥姆霍兹定理及推论亥姆霍兹定理及推论电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析l Helmholtz定理定理GFGFgGF令两边取散度和旋度，得gGF0g 所以 gGF0g 所以 所以可令

51、 g说明已知散度和旋度的矢量是唯一的。所以 0g于是GF C这是拉普拉斯方程，已知满足拉普拉斯方程的函数不会出现极值，而是在无限空间上取值的函数，因此 只能是一个常数:02则条件条件：若矢量场 在无限空间处处单值，且其导数连续有界，而源分布在有限区域中结论结论：矢量场由其散度和旋度唯一确定。 表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和：AFF证证 假设在无限空间中有二矢量函数 和 ，它们具有相同的散度和旋度FG电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析cdFFFdFAFc 因此，一个矢量场可表示为一个标量场的梯度和一个矢量场的旋度之和，即 AF结论：结论：研究一个矢量场必须

52、从它的旋度和它的散度着手，研究一个矢量场必须从它的旋度和它的散度着手， 矢量场的旋度和散度满足的方程决定了矢量场的基本特性。矢量场的旋度和散度满足的方程决定了矢量场的基本特性。一个既有散度又有旋度的一般矢量场可以表示为一个无旋场 (有散度)和一个无散场 (有旋度)之和 ：dFcF电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析l 推论：推论：1. 梯无旋，旋无散；无旋则梯，无散则旋梯无旋，旋无散；无旋则梯，无散则旋2. 矢量场矢量场=有散无旋场有散无旋场+有旋无散场有旋无散场 =通量通量(散度散度)源产生的场源产生的场+涡旋源产生的场涡旋源产生的场电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析矢量场的惟一性定理矢量场的惟一性定理 位于某一区域中的矢量场，当其位于某一区域中的矢量场，当其散度散度、旋度旋度以及边界以及边界上场量的上场量的切向切向分量或分量或法向法向分量给定后，则该区域中的矢分量给定后，则该区域中的矢量场被惟一地确定。量场被惟一地确定。 已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见惟一性已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见惟一性定理表明，矢量场被其定理表明，矢量场被其源源及及边界条件边界条件共同决定的。共同决定的。电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析三三、矢量场按源的分类矢量场按源的分类（1）无旋场）无旋场