华南农业大学现代控制理论课件第六章状态反馈与状态观测器

1、1第六章第六章 状态反馈和状态观测器状态反馈和状态观测器Modern Control Theory2目前为止，我们已经：目前为止，我们已经： 建立了系统的状态空间模型建立了系统的状态空间模型 提出了基于状态空间模型的系统的运动分析提出了基于状态空间模型的系统的运动分析 探讨了系统的性能：稳定性、能控性、能观性探讨了系统的性能：稳定性、能控性、能观性“认识了世界认识了世界” 如何来如何来“改变改变世界世界”？！？！设计控制系统！设计控制系统！系统的控制方式系统的控制方式-反馈？：开环控制、闭环控制反馈？：开环控制、闭环控制第六章第六章 状态反馈和状态观测器状态反馈和状态观测器3第六章第六章 状态

2、反馈和状态观测器状态反馈和状态观测器控制系统的动态性能，主要由其状态矩阵的特征控制系统的动态性能，主要由其状态矩阵的特征值（即闭环极点）决定。值（即闭环极点）决定。基于状态空间表达式，可以通过形成适当的反馈基于状态空间表达式，可以通过形成适当的反馈控制，进而配置系统的极点，使得闭环系统具有控制，进而配置系统的极点，使得闭环系统具有期望的动态特性。期望的动态特性。经典控制：经典控制：只能用系统输出作为反馈控制器的输入；只能用系统输出作为反馈控制器的输入；现代控制：现代控制：由于状态空间模型刻画了系统内部特征，由于状态空间模型刻画了系统内部特征，故而还可用系统内部状态作为反馈控制器的输入。故而还可

3、用系统内部状态作为反馈控制器的输入。根据根据用于控制的用于控制的系统信息系统信息：状态反馈、输出反馈：状态反馈、输出反馈4本章主要内容本章主要内容状态反馈与输出反馈状态反馈与输出反馈极点配置问题极点配置问题状态观测器的设计状态观测器的设计第六章第六章 状态反馈和状态观测器状态反馈和状态观测器56.1 6.1 状态反馈和输出反馈状态反馈和输出反馈一、状态反馈1、定义：将系统的每一个状态变量乘以相应 的反馈系数，然后反馈到输入端， 与参考输入相加形成控制律，作为 受控系统的控制输入。给定线性定常被控系统： x = Ax+Buy = Cx+ Du选取状态反馈控制律为： u = v-Kx状态反馈（增状

4、态反馈（增益）矩阵益）矩阵rn参考输入，参考输入，r1 维矩阵维矩阵 66.1 6.1 状态反馈和输出反馈状态反馈和输出反馈 代入可得，状态反馈系统：代入可得，状态反馈系统：x =(A-BK)x+Bvy =(C-DK)x+Dv2 2、基本结构、基本结构闭环状态反馈系统闭环状态反馈系统原系统原系统Kxvu状态反馈控制律：状态反馈控制律：76.1 6.1 状态反馈和输出反馈状态反馈和输出反馈x = (A-BK)x+Bvy = Cx若控制输入不直接作用到输出，即若控制输入不直接作用到输出，即D=0，则：，则： 比较开环系统和闭环系统，可见：比较开环系统和闭环系统，可见：状态反馈阵状态反馈阵K的引入，

5、并不增加系统的维数，但的引入，并不增加系统的维数，但通过通过K的选择，可以改变闭环系统的特征值，从的选择，可以改变闭环系统的特征值，从而使系统达到所要求的性能而使系统达到所要求的性能.此时对应的传递函数矩阵为：此时对应的传递函数矩阵为： BBKAsICsGk10)(BKAIa对应特征方程：对应特征方程：86.1 6.1 状态反馈和输出反馈状态反馈和输出反馈二、输出反馈二、输出反馈1 1、定义：、定义：将系统的输出量乘以相应的系数反将系统的输出量乘以相应的系数反 馈到输入端与参考输入相加，其和馈到输入端与参考输入相加，其和 作为受控系统的控制输入。作为受控系统的控制输入。2、基本结构（控制输入不

6、直接作用到输出，即（控制输入不直接作用到输出，即D=0）Hyvu输出反馈控制输出反馈控制律为律为:输出反馈系统输出反馈系统输出反馈矩阵输出反馈矩阵rm用输出用输出信号信号96.1 6.1 状态反馈和输出反馈状态反馈和输出反馈输出反馈系统的状态空间表达式为输出反馈系统的状态空间表达式为 ：HyvBAxBuAxxCxy BvxBHCABHCxBvAx 输出反馈中的输出反馈中的 HC 与状态反馈中的与状态反馈中的 K 相当；相当； 但但 H可供选择的自由度远比可供选择的自由度远比 K 小（因小（因m小于小于n）；）； 输出反馈一般只能相当于输出反馈一般只能相当于部分状态反馈部分状态反馈。 只有当只有

7、当 HC=K时，输出反馈等同于全状态反馈。时，输出反馈等同于全状态反馈。对应的传递函数矩阵为：对应的传递函数矩阵为：Hyvu106.1 6.1 状态反馈和输出反馈状态反馈和输出反馈 在不增加补偿器的条件下，输出反馈在不增加补偿器的条件下，输出反馈 改变系统性能的效果不如状态反馈改变系统性能的效果不如状态反馈 好，不能任意配置系统的全部特征值；好，不能任意配置系统的全部特征值；输出反馈在技术实现上很方便；输出反馈在技术实现上很方便； 而状态反馈所用的系统状态可能不能直接而状态反馈所用的系统状态可能不能直接 测量得到（需要状态观测器重构状态）。测量得到（需要状态观测器重构状态）。优点优点缺点缺点与

8、状态反馈相比较，输出反馈：与状态反馈相比较，输出反馈： （输出反馈只是状态反馈的一种特例，它能（输出反馈只是状态反馈的一种特例，它能达到的系统性能，状态反馈一定能达到；反之达到的系统性能，状态反馈一定能达到；反之则不然。）则不然。）116.1 6.1 状态反馈和输出反馈状态反馈和输出反馈三、闭环系统的能控性与能观性三、闭环系统的能控性与能观性2 2、定理：、定理：输出反馈不改变受控系统的能控输出反馈不改变受控系统的能控 性和能观性。性和能观性。1 1、定理：、定理：状态反馈不改变受控系统的能控状态反馈不改变受控系统的能控 性；但不保证系统的能观性不变性；但不保证系统的能观性不变。证明思路：证明

9、思路： 引入反馈前、后的能控性和能观性引入反馈前、后的能控性和能观性 判别矩阵；判别矩阵； 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。 （过程略）（过程略）状态反馈可以任意改变系统传函的极点，但不能改变状态反馈可以任意改变系统传函的极点，但不能改变其零点，故可能出现零极点相消，导致能观性的改变。其零点，故可能出现零极点相消，导致能观性的改变。12例例6.1、试分析引入状态反馈试分析引入状态反馈 前后系统的能控前后系统的能控性和能观性。性和能观性。xyuxx10 100110.20110 rankAbbrank能控能控6.1 6.1 状态反馈和输出反馈状态反馈和输出反馈2011

10、0rankCACrank能观能观解：解： 1）判断原系统的能控性，能观性。）判断原系统的能控性，能观性。01K13Kxvu01K2）引入状态反馈：）引入状态反馈：bVxbKAx)(.Cxy 则：则：可得：可得：20110 rankbAbrank能控能控6.1 6.1 状态反馈和输出反馈状态反馈和输出反馈10010rankCACrank不能观！不能观！引入状态反引入状态反馈后出现了馈后出现了零极点对消。零极点对消。则：则：146.1 6.1 状态反馈和输出反馈状态反馈和输出反馈总结：总结：状态反馈状态反馈 效果佳效果佳输出反馈输出反馈 实现方便实现方便 但能力有限但能力有限都不改变都不改变系统维

11、数系统维数不改变不改变系统的系统的能控性能控性不改变不改变系统的系统的能控性能控性和能观和能观性性（因为两种（因为两种反馈形式均反馈形式均未增加新的未增加新的状态变量）状态变量）15 系统性能系统性能：稳态性能和动态性能：稳态性能和动态性能 稳态性能：稳定性、静态误差稳态性能：稳定性、静态误差 动态性能：调节时间、响应速度动态性能：调节时间、响应速度. 影响系统稳定性、动态性能的因素影响系统稳定性、动态性能的因素： 极点位置（系统矩阵的特征值）极点位置（系统矩阵的特征值） 通过反馈控制器的设计，可使得闭环系通过反馈控制器的设计，可使得闭环系统的极点位于预先给定的期望位置。统的极点位于预先给定的

12、期望位置。6.2 6.2 极点配置问题极点配置问题166.2 6.2 极点配置问题极点配置问题定义：通过选择反馈增益矩阵定义：通过选择反馈增益矩阵K, ,将闭环将闭环 系统的极点恰好配置在根平面上系统的极点恰好配置在根平面上 所期望的位置，以获得所希望的所期望的位置，以获得所希望的 动态性能。动态性能。极点配置的方法极点配置的方法：一一、采用状态反馈、采用状态反馈()()定理：线性定常系统可通过线性定理：线性定常系统可通过线性状态反馈状态反馈 任意地任意地配置其配置其全部极点全部极点的的充要条件充要条件 是：此是：此被控系统状态完全能控被控系统状态完全能控。176.2 6.2 极点配置问题极点

13、配置问题()()方法：方法： 单输入单输出线性定常系统的状态方程为： 若线性反馈控制律为：极点配置状态反馈增益阵极点配置状态反馈增益阵K的设计步骤为：的设计步骤为：( (1)1)、判断系统状态的能控性、判断系统状态的能控性（极点配置可解的前提条（极点配置可解的前提条件）。件）。(2)(2)、列写系统、列写系统矩阵矩阵A A的特征多项式的特征多项式 确定出的确定出的 值。值。x = Ax +Buu = v -Kx120,naaa186.2 6.2 极点配置问题极点配置问题( (3)3)、寻找使系统状态方程变换为能控标准形、寻找使系统状态方程变换为能控标准形的变换矩阵的变换矩阵P P，若给定的状态

14、方程已是能控标，若给定的状态方程已是能控标准型，则：准型，则：P=IP=I。(4)(4)、写出、写出期望的特征多项式期望的特征多项式 并确定出并确定出 的值。的值。110,naaaPKK Paaaaaann1*11*10*0(5)(5)、求出变换前系统的状态反馈增益矩阵、求出变换前系统的状态反馈增益矩阵K: : *0*11*1*2*1*)()(aaaannnn（）xPx1K196.2 6.2 极点配置问题极点配置问题例例6.2、 已知系统状态方程为已知系统状态方程为试设计状态反馈控制器，使闭环极点为试设计状态反馈控制器，使闭环极点为 。010001100021 xxu2,11 j 解：（解：（

15、1）判断系统能控性）判断系统能控性001013124c2QBABA B3cranknQ系统状态完全能控，所以可以采用状态反馈进行极点的任意配置。系统状态完全能控，所以可以采用状态反馈进行极点的任意配置。 （2）系统的特征多项式为）系统的特征多项式为321001132002IA（3）根据给定的期望闭环极点值，得到期望的特征多项式）根据给定的期望闭环极点值，得到期望的特征多项式464)1)(1)(2()(23jjf206.2 6.2 极点配置问题极点配置问题特征多项式的系数为特征多项式的系数为 （4）根据）根据 可求得可求得441K（5）计算能控标准形变换矩阵）计算能控标准形变换矩阵其逆其逆 1*

16、11*10*0nnaaaaaaK（第四章能控标准形）xPx112110 0 00 1npbAbA bA b1111nAPAPPP216.2 6.2 极点配置问题极点配置问题其逆其逆 因而，所要确定的反馈增益阵：因而，所要确定的反馈增益阵： （第四章能控标准形）xPx1226.2 6.2 极点配置问题极点配置问题注意：注意：1 1、对于单输入系统，只要系统能控必能通过状、对于单输入系统，只要系统能控必能通过状态反馈实现闭环极点的任意配置，而且不态反馈实现闭环极点的任意配置，而且不影影响原系统零点的分布。响原系统零点的分布。 但若极点重新配置后出现零极点对消，则此但若极点重新配置后出现零极点对消，

17、则此时闭环系统是不能观的。时闭环系统是不能观的。2、以上原理同样适用于多输入系统，但具体设、以上原理同样适用于多输入系统，但具体设计较困难。计较困难。236.2 6.2 极点配置问题极点配置问题3、对于、对于低阶系统（低阶系统（n n33），求解状态反馈），求解状态反馈阵阵K K时，时，并不一定要进行能控标准型的变并不一定要进行能控标准型的变换换； 可以可以直接计算状态反馈后的特征多项式直接计算状态反馈后的特征多项式 （其系数均为（其系数均为k k的函数），然后的函数），然后与闭环系与闭环系统希望的特征多项式的系数相比较统希望的特征多项式的系数相比较，确定，确定出矩阵出矩阵K K另一种解题思路

18、另一种解题思路 24例例6.3 考虑线性定常系统考虑线性定常系统 x = Ax +Bu0100001,01561 AB希望使该系统的闭环极点为希望使该系统的闭环极点为s = -2j4和和s = -10。试设计状态反馈增益矩阵试设计状态反馈增益矩阵K。6.2 6.2 极点配置问题极点配置问题利用状态反馈控制利用状态反馈控制 u = v -Kx250100001,01561 AB解：能控性矩阵为解：能控性矩阵为0010161631c2QB AB A B3cranknQ故系统状态完全能控，所以可以采用状态反馈进行极点的故系统状态完全能控，所以可以采用状态反馈进行极点的任意配置。任意配置。 方法方法1

19、：原被控系统的特征方程为：原被控系统的特征方程为：6.2 6.2 极点配置问题极点配置问题26期望的特征方程为：期望的特征方程为：因为因为原系统为能控标准型原系统为能控标准型，可得：，可得： 200 1 60 5 146 199 55 8K6.2 6.2 极点配置问题极点配置问题KIKPKK27方法方法2：设期望的状态反馈增益矩阵为：设期望的状态反馈增益矩阵为：123kkkK8,55,199321kkk引入反馈后：引入反馈后：对应闭环系统的特征方程为：对应闭环系统的特征方程为：期望的特征方程为：期望的特征方程为：6.2 6.2 极点配置问题极点配置问题相应有：相应有：比较系数，所以：比较系数，

20、所以：28二、输出反馈实现极点配置二、输出反馈实现极点配置输出反馈状态微分输出反馈状态微分 处处CxyhyBuAxx ,.CxyBuxhCAx ,)(.x 6.2 6.2 极点配置问题极点配置问题BA1/sChuy-+.x.xx x29输出反馈至参考输入的极点配置：输出反馈至参考输入的极点配置：引入输出反馈：引入输出反馈：(),xABfC xBvyCxBA1/sCfu-+yx x6.2 6.2 极点配置问题极点配置问题v30注意：关于输出反馈，有如下定理：注意：关于输出反馈，有如下定理： 定理：对单入单出系统，即使完全能控，定理：对单入单出系统，即使完全能控，也也不能采用输出反馈不能采用输出反

21、馈来实现闭环系统来实现闭环系统极点极点的任意配置的任意配置。6.2 6.2 极点配置问题极点配置问题(),xABfC xBvyCx因为只有一个可调参数因为只有一个可调参数f，不可能做到任意配置系，不可能做到任意配置系统的统的n个特征值。个特征值。316.3 6.3 状态观测器状态观测器状态观测器状态观测器状态估计器状态估计器状态重构状态重构nRxnx R原系统状态：原系统状态：估计状态：估计状态： 状态观测器状态观测器 问题的提出：问题的提出： 极点的任意配置离不开极点的任意配置离不开全状态反馈全状态反馈； 而系统的状态变量并不都是易于直接检测得到而系统的状态变量并不都是易于直接检测得到 的，

22、有些甚至根本无法检测的，有些甚至根本无法检测状态观测或状状态观测或状态重构问题态重构问题326.3 6.3 状态观测器状态观测器带观测器的闭环系统带观测器的闭环系统b1/SCA状态观测器状态观测器k-.xxuyxv原系统 观测器观测器以原系统的输入以原系统的输入u和输出和输出y为其输入量为其输入量； 观测器的状态观测器的状态 ，应以足够快的速度接近实际，应以足够快的速度接近实际 原系统的状态原系统的状态 ，即满足，即满足 。1、基本原理、基本原理x x0limxxt332、状态观测器的构成、状态观测器的构成 原系统：原系统：模拟系统模拟系统：由于：实际中很难做到模拟系统与原系统的初由于：实际中

23、很难做到模拟系统与原系统的初 始条件完全一致，即始条件完全一致，即 存在初始误差存在初始误差 存在估计误差存在估计误差cxyBuAxx . xcyBuxAx)()(00txtx0 xx6.3 6.3 状态观测器状态观测器为了消除误差，在观测器中为了消除误差，在观测器中引入原系统和模拟系统输引入原系统和模拟系统输出的差值进行反馈出的差值进行反馈。34x1/Su+1/S+G.x-y状态观测器状态观测器.xxy6.3 6.3 状态观测器状态观测器+xcyyyGBuxAx) (原系统cxyBuAxx .356.3 6.3 状态观测器状态观测器xcyyyGBuxAx) (进而，状态观测器的状态空间表达式

24、为：进而，状态观测器的状态空间表达式为：cxy xcyGyBuxGcAxccxGBuxAx)()(-观测器的系统阵观测器的系统阵/系数矩阵系数矩阵-观测器的输出反馈阵观测器的输出反馈阵GcAmnRG3、状态观测器的设计、状态观测器的设计366.3 6.3 状态观测器状态观测器)0( )0() )()(xxexxGcAxxtGcA结论：结论：满足估计误差衰减至零的条件是：矩阵满足估计误差衰减至零的条件是：矩阵 的的特特征值具有负实部，征值具有负实部，且且距虚轴越远距虚轴越远则观测器的状态则观测器的状态逼近逼近实际状态实际状态就越快就越快。所以，状态观测器的设计过程是：所以，状态观测器的设计过程是

25、： 人为根据需要确定状态观测器的极点位置，反过人为根据需要确定状态观测器的极点位置，反过 来确定状态观测器的输出反馈阵来确定状态观测器的输出反馈阵G的取值。的取值。GcA376.3 6.3 状态观测器状态观测器定理：定理：若系统若系统 (A, B, C) (1) 完全能观完全能观-充分条件充分条件；或者或者 (2) 不能观部分是渐近稳定不能观部分是渐近稳定-充要条件充要条件；均可构造如下的全维观测器对原状态进行重构：均可构造如下的全维观测器对原状态进行重构：GyBuxGcAx)(mnRG适当选取适当选取但，注意：但，注意：观测器的观测器的极点可以任意配置的充要条件极点可以任意配置的充要条件为：

26、为： 原被控系统状态原被控系统状态完全能观完全能观。38方法一：方法一：验证原系统的能观性。验证原系统的能观性。观测器的特征多项式：观测器的特征多项式：希望的闭环系统的特征多项式：希望的闭环系统的特征多项式： 比较两者的系数，确定比较两者的系数，确定G。*0*11*1*2*1*)()(aaaannnn （）6.3 6.3 状态观测器状态观测器nmmnggggG1111mnRG状态观测器设计步骤状态观测器设计步骤（求解输出反馈阵（求解输出反馈阵G）：）：396.3 6.3 状态观测器状态观测器方法之二：方法之二：( (1)1)、判断系统状态的能观性、判断系统状态的能观性 (2)(2)、列写原系统

27、、列写原系统矩阵矩阵A A的特征多项式的特征多项式 确定出的确定出的 值。值。120,naaa( (3)3)、确定使系统状态方程变换为能观标、确定使系统状态方程变换为能观标准形的变换矩阵准形的变换矩阵T T。若给定的状态方程。若给定的状态方程已是能观标准型，则已是能观标准型，则: :T=IT=I。xTx 406.3 6.3 状态观测器状态观测器(4)(4)、由状态观测器的设计极点确定观测器的、由状态观测器的设计极点确定观测器的期期 望特征多项式：望特征多项式： 并确定出并确定出 的值。的值。110,naaaGTGTnnaaaaaaT1*11*10*0(5)(5)、求出输出反馈增益矩阵、求出输出反馈增益矩阵G: : *0*11*1*2*1*)()(aaaannnn（）G416.3 6