大学物理3_4刚体绕定轴转动的动能定理

1、3 4 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理第三章第三章 刚体的转动刚体的转动ddddttrFsFrFWddMW 21dMW力矩的功力矩的功一一 力矩作功力矩作功 力的空间累积效应力的空间累积效应 力的功力的功,动能动能,动能定理动能定理.力矩的空间累积效应力矩的空间累积效应 力矩的功力矩的功,转动动能转动动能,动能定理动能定理.MtMtWPdddd二二 力矩的功率力矩的功率orvFxvFoxrtFrdd3 4 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理第三章第三章 刚体的转动刚体的转动Oiriv三三 转动动能转动动能整个刚体的动能整个刚体的动能221iiikmEv22221

2、)(21Jrmiiiim 刚体可看成是由许许多多的质刚体可看成是由许许多多的质点所组成点所组成.刚体的转动动能等于各刚体的转动动能等于各质点的总和质点的总和.设刚体中第设刚体中第 个质元个质元的质量、线速率和与转轴间的距的质量、线速率和与转轴间的距离分别为离分别为 、 、 .则当刚体则当刚体以角速度以角速度 绕定轴转动时的动能绕定轴转动时的动能为为:iimivir2222121iiiirmvm3 4 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理第三章第三章 刚体的转动刚体的转动21222121d21JJMW四四 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理 合外力矩对绕定轴转动的刚体所

3、作的功等于刚体合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量转动动能的增量 .2111ddddJtJ)(dtdJJM2121ddJMW3 4 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理第三章第三章 刚体的转动刚体的转动质点运动与刚体定轴转动对照质点运动与刚体定轴转动对照质点运动质点运动刚体定轴刚体定轴转动转动速度速度加速度加速度trddvtvdda角速度角速度角加速度角加速度t ddt dd质量质量 m转动惯量转动惯量动量动量角动量角动量mrJd2JL vmP 力力力矩力矩FM3 4 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理第三章第三章 刚体的转动刚体的转动质点运动规律

4、与刚体定轴转动的规律对照质点运动规律与刚体定轴转动的规律对照运动定律运动定律amF转动定律转动定律JM 质点的平动质点的平动刚体的定轴转动刚体的定轴转动动量定理动量定理00dvvmmtFtt角动量定理角动量定理00dLLtMtt动量守恒定律动量守恒定律角动量守恒定律角动量守恒定律恒量iiimFv, 0恒量iiJM, 0力的功力的功barFWd力矩的功力矩的功0dMW动能动能2/2kvmE 转动动能转动动能2/2kJE 3 4 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理第三章第三章 刚体的转动刚体的转动质点运动规律与刚体定轴转动的规律对照质点运动规律与刚体定轴转动的规律对照质点的平动质点的

5、平动刚体的定轴转动刚体的定轴转动动能定理动能定理2022121vvmmW动能定理动能定理2022121JJW重力势能重力势能mghE p重力势能重力势能CpmghE 机械能守恒机械能守恒恒量pkEE只有保守力作功时只有保守力作功时机械能守恒机械能守恒恒量pkEE只有保守力作功时只有保守力作功时3 4 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理第三章第三章 刚体的转动刚体的转动vovoompTR圆圆锥锥摆摆子子弹弹击击入入杆杆ov以子弹和杆为系统以子弹和杆为系统机械能机械能不不守恒守恒 .角动量守恒；角动量守恒；动量动量不不守恒；守恒；以子弹和沙袋为系统以子弹和沙袋为系统动量守恒；动量守恒

6、；角动量守恒；角动量守恒；机械能机械能不不守恒守恒 .圆锥摆系统圆锥摆系统动量动量不不守恒；守恒；角动量守恒；角动量守恒；机械能守恒机械能守恒 .讨讨 论论子子弹弹击击入入沙沙袋袋细细绳绳质质量量不不计计3 4 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理第三章第三章 刚体的转动刚体的转动oRhmmm2022121JJ 和和 、 分别分别为圆盘终了和起始时的角为圆盘终了和起始时的角坐标和角速度坐标和角速度 .0,0dd00TTFRRF 例例3-10 一质量为一质量为 、半径为、半径为 R 的圆盘，可绕一垂的圆盘，可绕一垂直通过盘心的无摩擦的水平轴转动直通过盘心的无摩擦的水平轴转动 . 圆盘

7、上绕有轻绳，圆盘上绕有轻绳，一端挂质量为一端挂质量为m 的物体的物体 . 问物体在静止下落高度问物体在静止下落高度 h 时，时，其速度的大小为多少其速度的大小为多少? 设绳的质量忽略不计设绳的质量忽略不计 .m 解解 拉力拉力 对圆盘做功，由刚体绕定轴转动的动对圆盘做功，由刚体绕定轴转动的动能定理可得，拉力能定理可得，拉力 的力矩所作的功为的力矩所作的功为TFTFoTFNFPTFPm3 4 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理第三章第三章 刚体的转动刚体的转动202TT2121dd00JJFRRF物体由静止开始下落物体由静止开始下落0, 000v解得解得ghm2)2(mm2mmmg

8、h2v并考虑到圆盘的转动惯量并考虑到圆盘的转动惯量221RmJ202T2121d0vvmmFRmgh由质点动能定理由质点动能定理TTFFoTFNFPTFPmRv3 4 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理第三章第三章 刚体的转动刚体的转动 例例2 有一吊扇第一档转速为有一吊扇第一档转速为 ,第二档转速第二档转速为为 ,吊扇转动时要受到阻力矩吊扇转动时要受到阻力矩 的作用的作用,一般一般来说来说,阻力矩与转速之间的关系要有实验测定阻力矩与转速之间的关系要有实验测定,但作为近似但作为近似计算计算,我们取它们的关系为我们取它们的关系为 .求求(1)吊扇的电机在吊扇的电机在这两种转速下所消

9、耗的功率这两种转速下所消耗的功率;(2)设吊扇由静止匀加速地达设吊扇由静止匀加速地达到第二档转速经历时间为到第二档转速经历时间为5s ,在此时间内阻力矩作了多少在此时间内阻力矩作了多少功功?(其中其中 ) 解解 (1)由刚体绕定轴转动的力矩作功的功率公式可知由刚体绕定轴转动的力矩作功的功率公式可知,吊吊扇按一档和二档转动时阻力矩的功率分别为扇按一档和二档转动时阻力矩的功率分别为srn71srn102fM2kMf2241074. 2sradmNk)(3 .23)2(3131111WnkkMPf)(0 .68)2(3232222WnkkMPf3 4 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理

10、第三章第三章 刚体的转动刚体的转动(2) 由于吊扇的角速度由静止匀加速增大由于吊扇的角速度由静止匀加速增大,故故角加速度角加速度任意时刻的角速度任意时刻的角速度:阻力矩所作的功阻力矩所作的功22024502sradntttt00dtkdtdtdkdkdMWf322JdttkdttkWt25033303108 .843 4 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理第三章第三章 刚体的转动刚体的转动 例例3 留声机的转盘绕通过盘心垂直盘面的轴以角速度留声机的转盘绕通过盘心垂直盘面的轴以角速度 作匀速转动作匀速转动.放上唱片后放上唱片后,唱片将在摩擦力作用下随转盘一唱片将在摩擦力作用下随转盘

11、一起转动起转动.设唱片的半径为设唱片的半径为 、质量为、质量为 ,它与转盘间的摩它与转盘间的摩擦系数为擦系数为 .求求(1)唱片与转盘间的摩擦力矩唱片与转盘间的摩擦力矩;(2)唱片达到唱片达到角速度角速度 需要多长时间需要多长时间;(3)在这段时间内在这段时间内,转盘的驱动力转盘的驱动力矩作了多少功矩作了多少功?RmdldrRmgdFf2 解解 (1)如图所示如图所示,在唱片上取长为在唱片上取长为 宽为宽为 的面积元的面积元 ,该面该面积元所受的摩擦力为积元所受的摩擦力为:dldrdldrdS 此摩擦力对此摩擦力对O点的力矩为点的力矩为rdldrRmgrdFf23 4 刚体绕定轴转动的动能定理

12、刚体绕定轴转动的动能定理第三章第三章 刚体的转动刚体的转动于是于是,在宽为在宽为 的圆环上的圆环上,唱片所受的摩擦力矩为唱片所受的摩擦力矩为drrRmgdlrdrRmgdMr220222所以所以,唱片所受的摩擦力矩为唱片所受的摩擦力矩为RmgdrrRmgdMMR322022(2) 唱片的转动惯量唱片的转动惯量221mRJ 由转动定律得唱由转动定律得唱片片 的角加速度的角加速度RgJM34dr3 4 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理第三章第三章 刚体的转动刚体的转动(3) 驱动力矩的功驱动力矩的功唱片的角加速度唱片的角加速度RgJM34可见在可见在 过程中唱片是作匀加速转动过程中

13、唱片是作匀加速转动,故得所需时间故得所需时间0gRtt43唱片转过的角度唱片转过的角度gR832222202功功:2220418332mRgRRmgMdMMdW或由转动动能定理得或由转动动能定理得:222220241021212121mRmRJJW3 4 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理第三章第三章 刚体的转动刚体的转动 解解 把子弹和竿看作一个系统把子弹和竿看作一个系统 .子弹射入竿的过程系统角动量守恒子弹射入竿的过程系统角动量守恒 例例3-11 一长为一长为 l , 质量为质量为 的均质细竿可绕支点的均质细竿可绕支点O自自由转动由转动 . 一质量为一质量为 、速率为、速率为

14、 的子弹射入竿内一端，的子弹射入竿内一端，使竿的偏转角为使竿的偏转角为30 . 问子弹的初速率为多少问子弹的初速率为多少 ?m0m0volm300v)31(220mllmlm0v22033mllmlm0v3 4 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理第三章第三章 刚体的转动刚体的转动 射入竿后，以子弹、细杆和射入竿后，以子弹、细杆和地球为系统地球为系统 ，机械能守恒，机械能守恒 .olm300v22033mllmlm0v2220)31(21mllm)30cos1 (mgl)30cos1 (20lgm)3)(2)(32(6100mmmmglm0v3 4 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定

15、轴转动的动能定理第三章第三章 刚体的转动刚体的转动 例例5 如图所示如图所示,有一根长为有一根长为 l , 质量为质量为 的均匀细棒的均匀细棒,棒棒的一可绕支点的一可绕支点O自由转动自由转动 . 棒的另一端有质量为棒的另一端有质量为 的小球的小球.开始时开始时,棒静止地处于水平位置棒静止地处于水平位置A,当棒转过角度当棒转过角度 到达位到达位置置B时时,棒的角速度为多少棒的角速度为多少?m 解解 如图所示如图所示,显然显然,小球和细小球和细棒为一整体棒为一整体,其转动惯量为其转动惯量为m222213431mlmlmlJJJ 取小球和细棒、地球为一取小球和细棒、地球为一系统系统 ，由于无外力和非保守，由于无外力和非保守内力作功内力作功,故机械能守恒故机械能守