第五章 变形预测常用方法(研究生)

1、第三章第三章 变形预测常用方法变形预测常用方法l1、监测曲线形态判断法、监测曲线形态判断法l2、监测数据线性回归分析法、监测数据线性回归分析法l3、监测数据非线性曲线预测模型、监测数据非线性曲线预测模型l4、监测数据时间序列预测模型、监测数据时间序列预测模型l5、监测数据的灰色系统预测方法、监测数据的灰色系统预测方法l6、监测预测的神经网络模型、监测预测的神经网络模型变形预测常用方法变形预测常用方法l随着现代科学技术的发展和计算机应用水平的提随着现代科学技术的发展和计算机应用水平的提高，各种理论和方法为变形分析和变形预报提供高，各种理论和方法为变形分析和变形预报提供了广泛的研究途径。了广泛的研

2、究途径。l因变形体变形机理的复杂性和多样性，对变形分因变形体变形机理的复杂性和多样性，对变形分析与建模理论和方法的研究，需结合地质、力学析与建模理论和方法的研究，需结合地质、力学和水文等相关学科的信息和方法，引入数学、数和水文等相关学科的信息和方法，引入数学、数字信号处理、系统科学及非线性科学的理论，采字信号处理、系统科学及非线性科学的理论，采用数学模型来逼近、模拟和揭示变形体的变形规用数学模型来逼近、模拟和揭示变形体的变形规律和动态特征，为工程设计和灾害防治提供科学律和动态特征，为工程设计和灾害防治提供科学的依据。的依据。l确定变形体的变形大小和规律与变形原因之间的确定变形体的变形大小和规律

3、与变形原因之间的关系的基本方法为：统计分析法、确定函数法和关系的基本方法为：统计分析法、确定函数法和混合模型法。混合模型法。l统计分析法依赖于数学处理，主要包括回归分析统计分析法依赖于数学处理，主要包括回归分析法、时间序列分析模型、灰色系统分析模型、人法、时间序列分析模型、灰色系统分析模型、人工神经网络模型、工神经网络模型、Kalmam滤波模型、频谱分析滤波模型、频谱分析法等方法。法等方法。l确定函数法和混合模型法是以有限元法等计算不确定函数法和混合模型法是以有限元法等计算不同荷载下的效应量，并研究计算效应量与实测值同荷载下的效应量，并研究计算效应量与实测值的拟合问题。的拟合问题。l回归分析是

4、变形分析中应用最多的一种方法，广回归分析是变形分析中应用最多的一种方法，广泛应用于变形测量数据处理的数理统计中。泛应用于变形测量数据处理的数理统计中。l回归分析法中主要有曲线拟合、多元线性回归分回归分析法中主要有曲线拟合、多元线性回归分析、逐步回归计算等方法。析、逐步回归计算等方法。3.1 曲线拟合曲线拟合 l曲线拟合是趋势分析方法中的一种，又称曲线回曲线拟合是趋势分析方法中的一种，又称曲线回归、趋势外推或趋势曲线分析，是迄今为止研究归、趋势外推或趋势曲线分析，是迄今为止研究最多，也最为流行的定量预测方法。最多，也最为流行的定量预测方法。l可用各种光滑曲线来近似描述事物发展的基本趋可用各种光滑

5、曲线来近似描述事物发展的基本趋势，即：势，即：l式中，式中， 为预测对象；为预测对象； 预测误差；预测误差； 根据不根据不同情况和假设，可取不同的形式，而其中的同情况和假设，可取不同的形式，而其中的 代代表某些待定的参数，为时间。表某些待定的参数，为时间。 i)t，( fYiiYi)，t (ft3.1 曲线拟合曲线拟合 l几类典型的趋势模型：几类典型的趋势模型：l多项式趋势模型多项式趋势模型l对数趋势模型对数趋势模型l幂函数趋势模型幂函数趋势模型l指数趋势模型指数趋势模型l双曲线趋势模型双曲线趋势模型l修正指数模型修正指数模型l逻辑斯蒂（逻辑斯蒂（Logistic）模型）模型l龚伯茨（龚伯茨（

6、Gompertz）模型）模型nnitatataaY2210tbaYilnbiatY btiaeY tbaYi/btiaeLY)1 (btieLY0, 0,exptieLYl多项式趋势模型应用：多项式趋势模型应用：l任一连续函数都可以用分段的多项式来逼近，所任一连续函数都可以用分段的多项式来逼近，所以在实际问题中，不论变量与其它变量的关系如以在实际问题中，不论变量与其它变量的关系如何，在相当宽的范围内，总可以用多项式的模型何，在相当宽的范围内，总可以用多项式的模型来拟合比较复杂的曲线。来拟合比较复杂的曲线。l采用多项式模型进行拟合，多项式中的阶数采用多项式模型进行拟合，多项式中的阶数n其其实事先

7、并不知道。很多具体应用时，为图省事有实事先并不知道。很多具体应用时，为图省事有直接取直接取n=4或或n=5。比较科学的方法采用对。比较科学的方法采用对n添项添项增加的建模法。增加的建模法。l一般情况下，模型刚添项时，模型误差有显著的一般情况下，模型刚添项时，模型误差有显著的下降，但添加到一定的阶数后，模型的残差平方下降，但添加到一定的阶数后，模型的残差平方和已无显著的变化，表明拟合的多项式已基本接和已无显著的变化，表明拟合的多项式已基本接近需要的阶数。近需要的阶数。3 3.2 .2 回归分析法回归分析法 一、线性回归分析一、线性回归分析 3 3.2 .2 回归分析法回归分析法 nnxaxaxa

8、ay2210nnxzxzxz,221nnzazazaay221103 3.2 .2 回归分析法回归分析法 3 3.2 .2 回归分析法回归分析法 xyTNyyyy),(21NpNNppxxxxxxxxxx212222111211111Tp),(2103 3.2 .2 回归分析法回归分析法 yxxxTT1)(xy3 3. .3 3 线性回归模型的统计分布和统计性质线性回归模型的统计分布和统计性质l一、 均为正态分布l在线性回归模型中，观测值 服从正态分布即：l 由于 都是 的线性函数，故l 也都是服从正态分布。即有l式中vyy, ,y)(),(yDyENyvy, ,yvy, ,)(),()(),

9、()(),(vDvENvyDyENyDEN0)(vE3 3. .3 3 线性回归模型的统计分布和统计性质线性回归模型的统计分布和统计性质二、 是 的无偏估计xxxxyExxxyxxxEExExEyETTTTTT111)()()()()()()()(3 3. .3 3 线性回归模型的统计分布和统计性质线性回归模型的统计分布和统计性质l三、是 的最优线性无偏估计l设线性回归模型的最优线性无偏估计 的任意线性函数为 。如果 是 的无偏估计，必有l则下列等式必须成立：l这是无偏性条件方程yFGTTTTTTGxFyEFGE)()(TTGxF3 3. .3 3 线性回归模型的统计分布和统计性质线性回归模型

10、的统计分布和统计性质l线性函数 的方差为：l如果 是无偏的而具有方差最小性，就必须在满足无偏条件 下， 的方差最小，即求条件极值的问题。l式中变量为F，故有l则有l所以 是 的最优估计量TGFFFyDFGDTTT2)()(TTGxFTGmin)(2TTTTGxFKFFTTTTTTxKFxKFF022yxxxyxxxGGxxxGFGxxKGxxKTTTTTTTTTTTTTT1111)()()()(3 3. .3 3 线性回归模型的统计分布和统计性质线性回归模型的统计分布和统计性质l四、 是 的无偏估计量l已知02022020220) 1()()1(mnvvEEmnxvvTT3 3. .4 4 n

11、iiiyynS12)(21%15%10yS3 3. .4 4 yyxxxyniniiiniiiMMMyyxxyyxxr11221)()()(1r10r01r0rr3 3. .4 4 2) 2/()1 (22nSSnrrF残回2112)()(iniiniiyySyyS残回3 3. .4 4 iibxayiiniiniiiDW12221)(3 3. .4 4 5 . 20 . 20201xx和47.345 . 2862.246870.2704.222862.246870.270201yyniiiyynS12)(213 3. .4 4 （1）当样本）当样本 时，如果置信度时，如果置信度100（1-a

12、）%，则置信，则置信区间为：区间为：（2）当样本）当样本 时，如果置信度时，如果置信度100（1-a）%，则置信区，则置信区间为：间为：30n) (22StySty30n) (0202SctyScty3 3. .5 5 时间序列分析模型时间序列分析模型 无论是按时间序列排列的观测数据还是按空间位置无论是按时间序列排列的观测数据还是按空间位置顺序排列的观测数据，变形的数据之间都或多或少顺序排列的观测数据，变形的数据之间都或多或少地存在统计自相关现象。然而长期以来，变形数据地存在统计自相关现象。然而长期以来，变形数据分析与处理的方法都是假设观测数据是统计上独立分析与处理的方法都是假设观测数据是统计

13、上独立或互不相关的，如回归分析法等。这类统计方法是或互不相关的，如回归分析法等。这类统计方法是一种静态的数据处理方法，从严格意义上说，它不一种静态的数据处理方法，从严格意义上说，它不能直接应用于所考虑的数据是统计相关的情况。能直接应用于所考虑的数据是统计相关的情况。3 3. .5 5 时间序列分析模型时间序列分析模型 l时间序列分析是时间序列分析是20世纪世纪20年代后期开始出现的一年代后期开始出现的一种现代数据处理方法，是系统辨识与系统分析的种现代数据处理方法，是系统辨识与系统分析的重要方法之一，是一种动态的数据处理方法。重要方法之一，是一种动态的数据处理方法。l时间序列分析的特点在于：逐次

14、的观测值通常是时间序列分析的特点在于：逐次的观测值通常是不独立的，且分析必须考虑到观测资料的时间顺不独立的，且分析必须考虑到观测资料的时间顺序，当逐次观测值相关时，未来数值可以由过去序，当逐次观测值相关时，未来数值可以由过去的观测资料来预测，可以利用观测数据之间的自的观测资料来预测，可以利用观测数据之间的自相关性建立相应的数学模型来描述客观现象的动相关性建立相应的数学模型来描述客观现象的动态特征态特征。3 3. .5 5 时间序列分析模型时间序列分析模型 l时间序列分析模型与回归分析模型的根本区别在于：时间序列分析模型与回归分析模型的根本区别在于：l回归模型可以描述随机变量与其他变量之间的相关

15、关系。回归模型可以描述随机变量与其他变量之间的相关关系。但是，对于一组随机观测数据，即一个时间序列的观测值，但是，对于一组随机观测数据，即一个时间序列的观测值，它却不能描述其内部的相关关系；另一方面，实际上，某它却不能描述其内部的相关关系；另一方面，实际上，某些随机过程与另一些变量的取值之间的随机关系往往根本些随机过程与另一些变量的取值之间的随机关系往往根本无法用任何函数关系式来描述。这时，需要采用这个随机无法用任何函数关系式来描述。这时，需要采用这个随机过程本身的观测数据之间的依赖关系来揭示这个随机过程过程本身的观测数据之间的依赖关系来揭示这个随机过程的规律性。的规律性。l后续观测值与前期的

16、时间序列观测值是序列中不同时刻的后续观测值与前期的时间序列观测值是序列中不同时刻的随机变量，彼此相互关联，带有记忆性和继续性，是一种随机变量，彼此相互关联，带有记忆性和继续性，是一种动态的数据模型。动态的数据模型。3 3. .5 5 时间序列分析模型时间序列分析模型 l一、平稳时间序列分析模型一、平稳时间序列分析模型l时间序列分析的基本思想是对于平稳、正态、零均值的时时间序列分析的基本思想是对于平稳、正态、零均值的时间序列间序列 ，若，若 的取值不仅与其前的取值不仅与其前n步的各个取值步的各个取值 l 有关，而且还与有关，而且还与m步的各个干步的各个干l扰扰 有关，则按多元线性回归的有关，则按

17、多元线性回归的思想，可得到自回归滑动平均模型（思想，可得到自回归滑动平均模型（ARMA）l l l当当 上式变为上式变为 l称为称为n阶自回归模型，阶自回归模型， 记为记为AR（n） )(tx)(tx)() 3() 2() 1(ntxtxtxtx、)() 3() 2() 1(mtatatata、tmtmtntptttaaaxxxx1122110jtntptttaxxxx22113 3. .5 5 时间序列分析模型时间序列分析模型 l当当 时，时， 上式变为上式变为 l称为称为m阶滑动平均模型，记为阶滑动平均模型，记为MA（m）l二、自回归模型参数的最小二乘估计二、自回归模型参数的最小二乘估计l

18、设有按时间顺序排列的样本观测值设有按时间顺序排列的样本观测值 ，p阶阶自回归模型的误差方程为：自回归模型的误差方程为：0itmtmttaaax11nxxxx,321NppNNNNpppppppppxxxxvxxxxvxxxxv22112221121121113 3. .5 5 时间序列分析模型时间序列分析模型 l记：l在在 下，模型参数最小二乘解为：下，模型参数最小二乘解为：NppvvvV21pNNNppppxxxxxxxxxX212111p21NppxxxY21minPVVTYXXXTT1)(3 3. .5 5 时间序列分析模型时间序列分析模型 l三、自回归模型阶数的确定三、自回归模型阶数的

19、确定l建立自回归模型，需要合理确定其阶数建立自回归模型，需要合理确定其阶数p，一般可先设定，一般可先设定模型阶数在某个范围内，对此范围内各种模型进行参数估模型阶数在某个范围内，对此范围内各种模型进行参数估计，同时对参数的显著性进行检验，在利用定阶准则确定计，同时对参数的显著性进行检验，在利用定阶准则确定阶数。下面采用线性假设法来进行模型定阶。其原理为：阶数。下面采用线性假设法来进行模型定阶。其原理为：l设有观测数据设有观测数据 ，先设阶数为，先设阶数为p，建立自回归，建立自回归模型模型l在考虑在考虑p-1模型，将模型，将 ，联合上式平差，即得，联合上式平差，即得p-1阶模阶模型，求得残差平方和

20、型，求得残差平方和lP阶模型，平差得阶模型，平差得nxxxx,321tntptttaxxxx22110p11)(pTpVVpTpVV)(3 3. .5 5 时间序列分析模型时间序列分析模型 l令令l由于由于 构成统计量：构成统计量：l选显著水平选显著水平 ，查表，若，查表，若 ，则线性假，则线性假设设 不成立，应采用不成立，应采用p阶，否则采用阶，否则采用p-1l【例例5-3】对某建筑物进行沉降观测，共对某建筑物进行沉降观测，共30期，观测数据期，观测数据见表，进行自回归模型的确立。见表，进行自回归模型的确立。l解：（解：（1）确定模型的阶数）确定模型的阶数l当当p=1是，得自回归模型为是，得

21、自回归模型为ppR1)2(, ) 1 (22pNxxRp)2,1 ()2/(pNFpNRFp)2,1 (pNFF0p)30,3,2(11taxxttt3 3. .5 5 时间序列分析模型时间序列分析模型 l求得参数求得参数 和改正数和改正数V，计算，计算l当当p=2，回归模型为，回归模型为l求得参数求得参数 ，改正数，改正数V，计算，计算l统计量统计量l当当p=3，回归模型为，回归模型为l求得参数求得参数 ，改正数，改正数V，计算，计算l统计量统计量 1472. 21)30,4,3(2211taxxxtttt21和104. 2223. 4)26,1 (55. 426/104. 2368. 0)

22、2/(05. 02FpNRF)30,5,4(332211taxxxxttttt321058. 2326. 4)24,1 (54. 024/058. 2046. 0)2/(05. 0332FpNF3 3. .5 5 时间序列分析模型时间序列分析模型 l检验结果表明，检验结果表明，p=3不显著，故采用不显著，故采用p=2l（2）模型参数估计）模型参数估计l误差方程为误差方程为l最小二乘解为：最小二乘解为：l则自回归模型为：则自回归模型为：)30,4,3(2211txxxvtttt281. 0281. 1)()(121YXXXTT21281. 0281. 1tttxxx3 3. .5 5 时间序列分

23、析模型时间序列分析模型 l（3）AR（2）模型正确性检验模型正确性检验lAR（2）模型是否正确，需做平差模型正确性检验，检验模型是否正确，需做平差模型正确性检验，检验假设为：假设为：l 为母体中误差，取为母体中误差，取 作作 统计量统计量l查表查表l故原假设成立，即故原假设成立，即AR（2）模型正确。模型正确。221220)(:,)(:EHEHmm3 . 02x4 .23) 3 . 0(104. 2)26(2222x9 .41)26(,8 .13)26(025. 02975. 02xx3 3. .6 6 灰色系统分析模型灰色系统分析模型 l灰色系统理论是由我国原华中理工大学邓聚龙教灰色系统理论

24、是由我国原华中理工大学邓聚龙教授在授在20世纪世纪80年代提出的，它是用来解决信息不年代提出的，它是用来解决信息不完备系统的数学方法，它把控制论的观点和方法完备系统的数学方法，它把控制论的观点和方法延伸到复杂的大系统中，将自动控制与运筹学的延伸到复杂的大系统中，将自动控制与运筹学的数学方法相结合，用独树一帜的方法和手段，研数学方法相结合，用独树一帜的方法和手段，研究广泛存在于客观世界中具有灰色性的问题。在究广泛存在于客观世界中具有灰色性的问题。在短短的时间里，灰色系统理论有了飞速发展，它短短的时间里，灰色系统理论有了飞速发展，它的应用已经渗透到自然科学和社会经济等许多领的应用已经渗透到自然科学

25、和社会经济等许多领域，显示如这门学科的强大生命力，具有广阔的域，显示如这门学科的强大生命力，具有广阔的发展前景发展前景。 l系统分析的经典方法是将系统的行为看做是随机系统分析的经典方法是将系统的行为看做是随机变化的过程，用概率统计方法，从大量历史数据变化的过程，用概率统计方法，从大量历史数据中寻找统计规律，这对于统计数据量较大情况下中寻找统计规律，这对于统计数据量较大情况下的处理较为有效，但对于数据量少的贫信息系统的处理较为有效，但对于数据量少的贫信息系统的分析较为棘手。的分析较为棘手。l灰色系统理论研究的是贫信息建模，它提供了贫灰色系统理论研究的是贫信息建模，它提供了贫信息情况下解决系统问题

26、的新途径。它把一切随信息情况下解决系统问题的新途径。它把一切随机过程看做是在一定范围内变化的、与时间有关机过程看做是在一定范围内变化的、与时间有关的灰色过程，对灰色量不是从寻找统计规律的角的灰色过程，对灰色量不是从寻找统计规律的角度，通过大样本进行研究，而是用数据生成的方度，通过大样本进行研究，而是用数据生成的方法，将杂乱无章的原始数据整理成规律性较强的法，将杂乱无章的原始数据整理成规律性较强的生成数列后再作研究。生成数列后再作研究。l灰色理论认为系统的行为现象尽管是朦胧的，数灰色理论认为系统的行为现象尽管是朦胧的，数据是杂乱无章的，但它毕竟是有序的，有整体功据是杂乱无章的，但它毕竟是有序的，

27、有整体功能的，在杂乱无章的数据后面必然潜藏着某种能的，在杂乱无章的数据后面必然潜藏着某种规律，灰数的生成，是从杂乱无章的原始数据中规律，灰数的生成，是从杂乱无章的原始数据中去开拓、发现、寻找这种内在规去开拓、发现、寻找这种内在规律。律。3 3. .7 7 Kalmam滤波模型滤波模型lKalman滤波技术是滤波技术是20世纪世纪60年代初由卡尔曼等人年代初由卡尔曼等人提出的一种递推式滤波算法，它是一种对动态系提出的一种递推式滤波算法，它是一种对动态系统进行实时数据处理的有效方法。测量界开展了统进行实时数据处理的有效方法。测量界开展了多方面的多方面的Kalman滤波应用研究工作，尤其是在变滤波应

28、用研究工作，尤其是在变形监测中的应用较为广泛。形监测中的应用较为广泛。 l对于动态系统，对于动态系统，Kalman滤波采用递推的方式，借滤波采用递推的方式，借助于系统本身的状态转移矩阵和观测资料，实时助于系统本身的状态转移矩阵和观测资料，实时最优估计系统的状态，并且能对未来时刻系统的最优估计系统的状态，并且能对未来时刻系统的状态进行预报，因此，这种方法可用于动态系统状态进行预报，因此，这种方法可用于动态系统的实时控制和快速预报。的实时控制和快速预报。 3 3. .8 8 人工神经网络模型人工神经网络模型l1. 人工神经网络的特点人工神经网络的特点l自自20世纪的世纪的80年代以来，人工神经网络

29、年代以来，人工神经网络(Artificial Neural Networks)的发展迅速，应用领域极为广的发展迅速，应用领域极为广泛，其显著特点是：泛，其显著特点是：l(1)以分布方式存储知识，知识不是存储在特定的以分布方式存储知识，知识不是存储在特定的存储单元中，而是分布在整个系统中。存储单元中，而是分布在整个系统中。l(2)以并行方式进行处理，即神经网络的计算功能以并行方式进行处理，即神经网络的计算功能分布在多个处理单元中，大大提高了信息处理和分布在多个处理单元中，大大提高了信息处理和运算的速度。运算的速度。l(3)有很强的容错能力，它可以从不完善的数据和有很强的容错能力，它可以从不完善的

30、数据和图形中通过学习作出判断。图形中通过学习作出判断。l(4)可以用来逼近任意复杂的非线性系统。可以用来逼近任意复杂的非线性系统。l(5)有良好的自学习、自适应、联想等智能，能适有良好的自学习、自适应、联想等智能，能适应系统复杂多变的动态特性。应系统复杂多变的动态特性。l正是由于人工神经网络的上述特点，在变形监测正是由于人工神经网络的上述特点，在变形监测数据处理与分析预报方面有着广泛的应用前景。数据处理与分析预报方面有着广泛的应用前景。 l2. 神经细胞的结构神经细胞的结构l人工神经网络采用物理可实现的系统来模仿人脑人工神经网络采用物理可实现的系统来模仿人脑神经细胞的结构和功能。从人脑的结构来看，它神经细胞的结构和功能。从人脑的结构来看，它由大量的神经细胞（约由大量的神经细胞（约1010个）组合而成。这些个）组合而成。这些细胞相互联结，每个细胞完成某种基本功能，如细胞相互联结，每个细胞完成某种基本功能，如兴奋和抑制。它们并行工作，整体上完成复杂的兴奋和抑制。它们并行工作，整体上完成复杂的信息处理和思维活动。信息处理和思维活动。3 3. .9 9 频谱分析及其应用频谱分析及其应用l频谱分析方法是动态观测时间序列研究的频谱分析方法是动态观测时间序列研究的一个途径。该方法是将时域内的观测数据一个途径。该方法是将时域内的观测数据序列通过傅里叶级数转换到频域内进行分序列通过