第1章《有理数》总复习

1、1. 负数负数 2.有理数有理数 3.数轴数轴4. 互为相反数互为相反数5. 互为倒数互为倒数6. 有理数的绝对值有理数的绝对值7. 有理数大小的比较有理数大小的比较8. 科学记数法与近似数科学记数法与近似数一、有理数的基本概念一、有理数的基本概念二、有理数的运算二、有理数的运算 加、减、乘、除、乘方运算加、减、乘、除、乘方运算一、有理数的基本概念一、有理数的基本概念 负数：负数： 在正数前面加在正数前面加“”的数；的数；0既不是正数，也不是负数.判断：判断： 1）a一定是正数；一定是正数； 2）a一定是负数；一定是负数； 3）（）（a）一定大于）一定大于0； 4）0表示没有表示没有.1.正数

2、：正数： 大于大于0的数叫做正数；的数叫做正数；. .如果全班某次数学测试的平均成绩为如果全班某次数学测试的平均成绩为8383 分，某同学考了分，某同学考了8585分，记作分，记作+2+2分，则得分，则得 80 80分应记作分应记作_. .温度上升温度上升99的实际意义是的实际意义是_ _ _. . .如果水位升高如果水位升高8m8m记作记作8m8m，那么水位不升，那么水位不升 不降记作不降记作_，- -5m5m表示表示_ _ _. . .一种瓶装饮料包装上印有一种瓶装饮料包装上印有“（6006003030） ml”的字样，其含义是的字样，其含义是_ _ _. .温度下降温度下降9 9水位下降

3、水位下降5 5m0 0m- -3 3分分具有相反意义的量具有相反意义的量一、有理数的基本概念一、有理数的基本概念2.有理数：有理数： 整数和分数统称有理数整数和分数统称有理数.有理数有理数整数整数分数分数正整数正整数负整数负整数正分数正分数负分数负分数有理数有理数正有理数正有理数零零负有理数负有理数正整数正整数正分数正分数负整数负整数负分数负分数自然数自然数零零正整数集合正整数集合：负分数集合：负分数集合： ，34 负整数集合：负整数集合：正分数集合：正分数集合： - -10，- -8，- -3， 3 , 0.6 ,4 1 36，5，+40，3 ，3.14， 0.6 , 1 3一、有理数的基本

4、概念一、有理数的基本概念规定了规定了原点原点、正方向正方向和和单位长度单位长度的直线的直线. .1)1) 在数轴上表示的两个数，在数轴上表示的两个数，右边右边的数总的数总 比比左边左边的数的数大大；2 2）正数都大于）正数都大于0,0,负数都小于负数都小于0 0； 正数大于一切负数；正数大于一切负数；-3 -3 2 2 1 1 0 1 2 3 40 1 2 3 43 3）所有有理数都可以用数轴上的点表示）所有有理数都可以用数轴上的点表示. .数轴上数轴上两点之间的距离两点之间的距离等于这两点所等于这两点所 表示的表示的两数的差的绝对值两数的差的绝对值. .一、有理数的基本概念一、有理数的基本概

5、念-3 -3 2 2 1 1 0 1 2 3 40 1 2 3 45+3+3-3-3. .+ +3 3表示的点与表示的点与- -2 2表示的点距离是表示的点距离是_个单位个单位. . .与与+3+3表示的点距离表示的点距离20002000个单位的点有个单位的点有_个，个，他们分别表示的有理数是他们分别表示的有理数是_ _ 和和_ ._ .2003- -1997一、有理数的基本概念一、有理数的基本概念.0ba 有理数有理数a、b在数轴上的位置如图如图所示在数轴上的位置如图如图所示1.1.指出指出a、b的符号的符号2.2.比较比较a、b、- - a、- -b的大小，并用大于的大小，并用大于号连接号

6、连接. .3.3.若若a =2=2，b=-3=-3，指出大于，指出大于b且不大于且不大于a的所的所有整数有整数. .- -a一、有理数的基本概念一、有理数的基本概念- -ba为为“”，b为为“”. .- -b a - -a b- -2,2,- -1,0,1,21,0,1,2 4. 比比- -3大的负整数是大的负整数是_； 已知已知m是整数且是整数且- -4m 3， 则则m为为_. 有理数中，最大的负整数是有理数中，最大的负整数是_，最小的，最小的正正 整数是整数是_, 最大的非正数是最大的非正数是_. 与原点的距离为三个单位的点有与原点的距离为三个单位的点有_个，他个，他 们分别表示的有理数是

7、们分别表示的有理数是_和和_.- -2，- -1- -3，- -2，- -1，0，1，2- -110+3- -3一、有理数的基本概念一、有理数的基本概念5. 选择题：选择题：(1)在数轴上，原点及原点左边所表示的数（在数轴上，原点及原点左边所表示的数（ ） 整数负数非负数非正数整数负数非负数非正数(2)下列语句中正确的是（下列语句中正确的是（ ）数轴上的点只能表示整数数轴上的点只能表示整数 数轴上的点只能表示分数数轴上的点只能表示分数 数轴上的点只能表示有理数数轴上的点只能表示有理数 所有有理数都可以用数轴上的点表示出所有有理数都可以用数轴上的点表示出来来(3)在数轴上点在数轴上点A表示表示-

8、4,如果把原点如果把原点O向负方向移向负方向移动动1个单位个单位,那么在新数轴上点那么在新数轴上点A表示的数是表示的数是( ) A. - -5， B. - -4 C. - -3 D. - -2DDC C只有符号不同的两个数，只有符号不同的两个数， 其中一个是另一个的相反数其中一个是另一个的相反数1 1）数）数a的相反数是的相反数是- -a；2 2）0 0的相反数是的相反数是0. 0. -4 -3 -4 -3 2 2 1 1 0 1 2 3 40 1 2 3 4- -2 22 2- -4 44 43 3）若）若a、b互为相反数，则互为相反数，则a + +b= =0 0. . （a是任意一个有理数

9、）是任意一个有理数）一、有理数的基本概念一、有理数的基本概念基础练习：基础练习：1. - -5的相反数是的相反数是 ；- -（- -8）的相反数是的相反数是 ； - - +（- -6）=_；0的相反数是的相反数是 ； a的的相反数是相反数是 ；- -0.125的相反数的倒数是的相反数的倒数是_；2. 若若a和和b是互为相反数，则是互为相反数，则a + b（ ） A. 2a B. 2b C. 0 D. 任意有理数任意有理数 3. (1)如果如果a = - -13，那么，那么- -a =_； (2)如果如果- -a = - -5.4，那么，那么a =_； (3)如果如果- -x = - -6，那么

10、，那么x =_； (4)x = 9，那么，那么x =_.5 5- -8 86 60 0- -a8 8C C13135.45.4基础练习：基础练习： 4. 已知已知a、b都是有理数，且都是有理数，且|a|=a，|b|= - -b， 则则ab是（是（ ） A负数；负数； B.正数；正数； C.负数或零；负数或零； D.非负数非负数 5. 用用-a表示的数一定是（表示的数一定是（ ） A .负数负数 B. 正数正数 C .正数或负数正数或负数 D.正数或负数或正数或负数或0 6. 一个数的相反数是最小的正整数，那么这个一个数的相反数是最小的正整数，那么这个数数 是（是（ ） A . 1 B. 1 C

11、 . 1 D. 0C CDA乘积是乘积是1 1的两个数互为倒数的两个数互为倒数. .3 3）若）若a与与b互为倒数，则互为倒数，则ab= =1.1.2 2）0 0没有倒数没有倒数 ；4 4）倒数是它本身的是）倒数是它本身的是_._.一、有理数的基本概念一、有理数的基本概念1 1）a的倒数是：的倒数是： （a00）；）； a1 11 1 下列各数，哪两个数互为倒数？下列各数，哪两个数互为倒数？ 8 8， ，- -1 1，+ +（- -8 8），），1 1，81 181 1- -( )( )81)81( 一个数一个数a的绝对值就是数轴上表示数的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离的点与原点的距

12、离. .1 1）数）数a的绝对值记作的绝对值记作a; ; 若若a0 0，则，则a a= = ; ;2 2） 若若a0 0，则，则a a= = ; ; 若若a = = 0 0，则，则a a= = ; ;a a-a-a0 03) 3) 对任何有理数对任何有理数a,a,总有总有a a0.0.一、有理数的基本概念一、有理数的基本概念abab0基础练习基础练习:1. - -2的绝对值表示它离开原点的距离是的绝对值表示它离开原点的距离是 个个单位，记作单位，记作 .2. |- -8|= ； - -|- -5|= ；绝对值等于；绝对值等于4的的数是数是_.3. 绝对值等于其相反数的数一定是（绝对值等于其相反

13、数的数一定是（ ） A负数负数 B正数正数 C负数或零负数或零 D正数或零正数或零4. |x|7 ，则，则x=_； |- -x|7，则，则 x =_；2 2| |- -2|2|8 8- -5 54 4C C7 77 77 x5. 5. 如果如果a3 3，则，则| |a- -3|3| ; ; | |a- -3|3| ; ;6. 6. 绝对值不大于绝对值不大于1111的整数有（的整数有（ ） A A1111个个 B B1212个个 C C2222个个 D D2323个个a- -3 33 3- -aD基础练习基础练习:_3 a0-6 -5 -4 -3 -2 -1654321 例例: :在数轴上表示绝

14、对值不小于在数轴上表示绝对值不小于2 2而而又不大于又不大于5.15.1的所有整数；并求出绝对的所有整数；并求出绝对值小于值小于4 4的所有整数的和与积的所有整数的和与积- -5 54 43 32 25 5- -2 2- -3 3- -4 4绝对值小于绝对值小于4 4的所有整数的和的所有整数的和: :绝对值小于绝对值小于4 4的所有整数的积的所有整数的积: :( (- -3)3)+ +( (- -2)2)+ +( (- -1)1)+ +1 1+ +2 2+ +3 3+ +0 0= =0 00 0( (- -3)3)( (- -2)2)( (- -1)1)0 01 12 23 3= =0 0 1

15、）绝对值小于）绝对值小于2的整数有的整数有_.2）绝对值等于它本身的数有）绝对值等于它本身的数有_.3）绝对值不大于）绝对值不大于3的负整数有的负整数有_.4) 数数a和和b的绝对值分别为的绝对值分别为2和和5，且在数轴上，且在数轴上表示表示a的点在表示的点在表示b的点左侧，则的点左侧，则b的值为的值为 . 0，1零和正数- -1,- -2,- -351 1、若（、若（x- -1)1)2 2 + +| |y + +4|4|= =0,0,则则3 3x+ +5 5y= = . . x-1=0,y+4=0, x= =1 ,y=-4 3x+5y=31+5(-4)=3-20=-172 2、若、若| |a

16、- -3|3|+ +|3|3a- -4 4b| |= =0,0,则则- -2 2a+ +8 8b= = . .3 3、|7|7|= = ，| |- -7|7|= = . . 绝对值是绝对值是7 7的数是（的数是（ ）4 4、若、若|3|3- - | |+ +|4|4- - | |= = . .1 112125.5.已知已知| |x| |= =3,|3,|y| |= =2,2,且且xy, ,则则x + +y= = . . | |x| |= =3,|3,|y| |= =2 2 x= =3,3,y= =2 2 xy x不能为不能为3 3 x=-=-3,3,y= =2 2 或或 x=-=-3 3，y=

17、-=-2 2 x+ +y=-=-3 3+ +2 2=-=-1 1 或或 x+ +y=-=-3 3- -2 2=-=-5 5- -1 1或或- -5 510191.514141313121211?6 6、计算、计算先去掉绝对值符号，再进行计算！7.7.有理数大小的比较有理数大小的比较1 1）可通过数轴比较：）可通过数轴比较： 在数轴上的两个数，右边的数总比在数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；左边的数大； 正数都大于正数都大于0 0，负数都小于，负数都小于0 0； 正数大于一切负数；正数大于一切负数；2 2）两个负数，绝对值大的反而小）两个负数，绝对值大的反而小. . 即即: :若若 a0,

18、0,b0,0,且且ab, , 则则 ab. .一、有理数的基本概念一、有理数的基本概念8.8.科学记数法、近似数科学记数法、近似数 把一个大于把一个大于1010的数记成的数记成 a1010n的形的形式，其中式，其中a是整数数位只有一位的数，这是整数数位只有一位的数，这种记数法叫做种记数法叫做科学记数法科学记数法 . .一、有理数的基本概念一、有理数的基本概念 精确度精确度: :一个近似数四舍五入到哪一位一个近似数四舍五入到哪一位, ,就称这个数精确到哪一位就称这个数精确到哪一位. . 与实际完全符合的数是与实际完全符合的数是准确数准确数，接近实，接近实际但又与实际数值有差别的数叫际但又与实际数

19、值有差别的数叫近似数近似数. . 一只苍蝇的腹内细菌多达一只苍蝇的腹内细菌多达28002800万个万个, ,你能用科学记数法表示吗你能用科学记数法表示吗? ? 2800 2800万个万个= =2.82.810103 3（万个（万个) ) 或或 28002800万个万个= =2800000028000000个个=2.8=2.810107 7个个 例：下列由四舍五入得到的近似数，例：下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？各精确到哪一位？（1）43.8（2）0.03086（3）2.4万万（4）6104 （5）6.0104解：（解：（1）43.8精确到十分位精确到十分位;（2）0.03086精确

20、到十万分位精确到十万分位;（3）2.4万精确到千位万精确到千位;（4） 6104 精确到万位精确到万位;（5） 6.0104 精确到千位精确到千位;基础练习：基础练习： 1 1、用科学记数数表示：、用科学记数数表示： 1305000000=1305000000= ； - -1020=1020= ； 2 2、4 4万的原数是万的原数是 ； 3 3、近似数、近似数3.53.5万精确到万精确到 位；位； 4 4、近似数、近似数0.40620.4062精确到精确到 . .1.3051.30510109 9-1.02-1.0210103 34000040000千千万分位万分位 二、有理数的五种运算二、有

21、理数的五种运算1.1.运算法则运算法则2.2.运算顺序运算顺序3.3.运运 算算 律律1)1)有理数加法法则有理数加法法则 同号两数相加同号两数相加, ,取相同的符号取相同的符号, ,并把绝对值相加；并把绝对值相加； 异号两数相加异号两数相加, ,取绝对值较大取绝对值较大的加数的符号的加数的符号, ,并用较大的绝对值并用较大的绝对值减去较小的绝对值；减去较小的绝对值； 互为相反数的两数相加得互为相反数的两数相加得0 0； 一个数同一个数同0 0相加相加, ,仍得这个数仍得这个数. .有理数加法法则应用举例：有理数加法法则应用举例： 同号相加：同号相加： 异号相加：异号相加： 与与0 0相加：相

22、加：若若a、b互为相反数，则互为相反数，则a+ +b= =a是任一个有理数，则是任一个有理数，则a + +0 0= =（-5）+（-3）=-8( (+ +5)5)+ +( (+ +3)3)= =8 85 + +（- -3）= 2- -5 +（+3）= - -2先定符号，再算绝对值先定符号，再算绝对值.有理数加法法则应用举例：有理数加法法则应用举例：（1）同号结合相加：）同号结合相加：加法运算技巧：（2）相反数结合相加：）相反数结合相加：( (+ +7)7)+ +( (- -15)15)+ +( (- -12)12)+ +( (+ +7)7)( (+ +17)17)+ +( (- -150)15

23、0)+ +( (- -12)12)+ +( (+ +150)150)（3）凑整相加：）凑整相加：5.65.6+ +0.90.9+ +4.44.4+ +8.18.1+ +( (- -1)1)211146323234 （4）整数、分数、小数分别结合）整数、分数、小数分别结合； 减去一个数，等于加上这个数的相反数减去一个数，等于加上这个数的相反数. . 即即 a- -b= =a + +( (- -b b) )2)2)有理数减法法则有理数减法法则两个变化： （1）减号变为加号 （2）减数变为它的相反数解：解：= =减数变相反数减数变相反数减号变加号减号变加号= =2=2计算计算:（1 1） 1818（

24、3 3） （2 2）（）（3 3） 18 18 （3 3） 0 0（3 3） （4 4）（）（3 3）（）（1818） 解解：（：（1 1）原式）原式= =18 18 + +（+ +3 3）= =2121（2 2）原式）原式= =（- -3 3）+ +（- -1818）=-=-2121（3 3）原式）原式= = 0 0 + +（+ +3 3）= =3 3（4 4）原式）原式= =（- -3 3）+ +（+ +1818）= =1515加减法可以统一成加法加减法可以统一成加法: 把下式写成省略加号的和的形式，把下式写成省略加号的和的形式， 并把它读出来并把它读出来 （3）（8）（）（6）（7）解：

25、原式解：原式 = ( (- -3) 3) + +( (- -8)8) + +( (+ +6)6) + +( (- -7) 7) =3867读作读作“3，8，6，7的和的和 或或: 负负3减减8加加6减减7- -（-12-12）- -（-25-25）-18+-18+（-10-10）1 8()5(0.25)4 110.53( 2.75)742 例：分别求出数轴上两点间的距离：例：分别求出数轴上两点间的距离： 表示表示2 2的点与表示的点与表示- -7 7的点；的点； 表示表示- -3 3的点与表示的点与表示- -1 1的点的点. . 解：解： 2 2- -( (- -7)7)= =2 2+ +7

26、7= =9 9 ( (或或- -7 7- -2 2= =- - 9 9= = 9)9) - -1 1- -( (- -3)3)=-=-1 1+ +3 3= =2 23 3）有理数的乘法法则）有理数的乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；把绝对值相乘； 任何数同任何数同0 0相乘，都得相乘，都得0.0. 几个几个不等于不等于0 0的数相乘的数相乘，积的符号由负因积的符号由负因数的个数决定数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为当负因数有奇数个时，积为负负；当负因数有偶数个时，积为正当负因数有偶数个时，积为正. . 几个数相乘，有一个因数为几个数相乘

27、，有一个因数为0 0，积就为积就为0 0. . 同号相乘：同号相乘： 异号相乘：异号相乘： 数与数与0 0相乘：相乘：a为任何有理数，则为任何有理数，则 a0 0= =0 0有理数乘法法则应用举例：有理数乘法法则应用举例：2 23 3= =6 6 ( (- -2)2)3 3=-=-6 6( (- -2)2)( (- -3)3)= =6 62 2( (- -3)3)=-=-6 6 连连 乘：乘： ( (- -2)2)( (- -3)3)( (- -4)4)= -= -2424( (- -2)2)3 3( (- -4)4)= =2424除以一个除以一个不为零不为零的数等于乘上这个数的倒数的数等于乘

28、上这个数的倒数; ; 即即4)4)有理数除法法则有理数除法法则 两数相除两数相除, ,同号得正同号得正, ,异号得负异号得负, ,并把绝并把绝 对值相除对值相除; ; 0 0除以任何一个不等于除以任何一个不等于0 0的数的数, ,都得都得0.0.ab= =a ( (b0)0)b1 1求求n n个相同因数的积的运算个相同因数的积的运算, ,叫做乘方叫做乘方. .即 aaa a = an n个个5)5)有理数的乘方有理数的乘方幂指数 底数 an正数的任何次乘方都取正号；正数的任何次乘方都取正号；负数的奇次方取负号；负数的奇次方取负号；负数的偶次方取正号；负数的偶次方取正号； 0 0的正数次方是的正

29、数次方是0 0. .1、计算：、计算：23 =33 =3 3=9=9（1）32=（2）(3)2=（3）33=（4）(3)3=（7）（8）（5）(3)2=（6） (2)3=243432当当 x=-=-3 3时，时， 等于等于( )( )xA A、B B、23 =33 解解: :x 所以选所以选 A A 因为因为 x x1 1）有括号，先算括号里面的；）有括号，先算括号里面的；2 2）先算乘方，再算乘除，最后算加减；）先算乘方，再算乘除，最后算加减；3 3）同级运算，按照从左往右顺序进行）同级运算，按照从左往右顺序进行. .2.2.有理数的运算律有理数的运算律1.1.运算顺序运算顺序1)1)加法交

30、换律加法交换律a+ +b= =b+ +a2)2)加法结合律加法结合律( (a+ +b) )+ +c= =a+ +( (b+ +c) )3)3)乘法交换律乘法交换律ab= =ba4)4)乘法结合律乘法结合律( (ab) )c= =a ( (bc) )5)5)分分 配配 律律a( (b+ +c) )= =ab+ +ac计算：计算： 42+（27）+27+5824614131 1 14 4+(+(2)2)2 22 23 3( (2)2)3 3 3 32 2( (3)3)2 2 + +3 3( (6) 6) 1 1、计算：、计算：1.2+31.2+34 40.8=0.8= . .2 2、某运动员在东西

31、走向的公路上练习跑步，跑、某运动员在东西走向的公路上练习跑步，跑 步情况记录如下：（向东为正，单位：米）步情况记录如下：（向东为正，单位：米） 10001000，12001200，11001100，800800，14001400 该运动员共跑的路程为（该运动员共跑的路程为（ ） A. 1500A. 1500米米 B. 5500B. 5500米米 C. 4500C. 4500米米 D. 3700D. 3700米米3B3 3、五个有理数的积为负数，则五个数、五个有理数的积为负数，则五个数中负数的个数是（中负数的个数是（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 1A. 1 B. 3 C. 5 D.

32、1或或3 3或或5 54 4、一个数的立方等于它本身，这个数、一个数的立方等于它本身，这个数是（是（ ） A. 0 B. 1 A. 0 B. 1 C. C. 1 1，1 D. 1 D. 1 1，1 1，0 0DD 5 5、一杯饮料，第一次喝了一半，、一杯饮料，第一次喝了一半，第二次喝了剩下的一半，第二次喝了剩下的一半，如此喝下如此喝下去，第五次喝后剩下的饮料是原来的去，第五次喝后剩下的饮料是原来的几分之几？几分之几？521321 6 6、五袋白糖以每袋、五袋白糖以每袋5050千克为标准，千克为标准，超过的记为正，不足的记为负，称量记超过的记为正，不足的记为负，称量记录如下：录如下： 4.54.

33、5，4 4，2.32.3，3.53.5，2.5 2.5 （1 1）这五袋白糖共超过多少千克？）这五袋白糖共超过多少千克？ （2 2）总重量是多少千克？）总重量是多少千克？ 解解：（：（1 1）4.54.54 42.32.33.53.52.5=1.82.5=1.8（2 2）50505 51.8=251.81.8=251.87 7、在下列说法中，正确的个数是（、在下列说法中，正确的个数是（ ） 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点任何一个有理数都可以用数轴上的一个点 来表示来表示 数轴上的每一个点都表示一个有理数数轴上的每一个点都表示一个有理数 任何有理数的绝对值都不可能是负数任何有理数的绝对值都不可能是负数 每个有理数都有相反数每个有理数都有相反数 A A、4 B4 B、3 C3 C、2 D2 D、1 1 B B8 8、下列说法正确的是（、下列说法正确的是（ ） A A、正数与负数统称为有理数、正数与负数统称为有理数 B B、带负号的数是负数、带负号的数是负数 C C、正数一定大于、正数一定大